广东省高考全真模拟考试文科数学试题三

广东省高考全真模拟考试文科数学试题三

‎2013年广东省高考全真模拟试卷文科数学（三）‎ 本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．‎ ‎ ‎ 参考公式：球体的表面积公式，其中为球体的半径 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．若复数，则a + b =（ ）‎ ‎ A．0 B．1 C．－1 D．2‎ ‎2．函数的定义域是 ( ) ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知函数，则函数的零点个数为（ ）‎ ‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎4.已知是等差数列，，，则过点的直线的斜率为（ ）‎ A．4 B． C．－4 D．－14‎ ‎5.已知向量，，且，则实数的值为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 已知F1、F2是椭圆+=1的两焦点，经点F2的的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎ 8.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，‎ 侧（左）视图 正（主）视图 俯视图 可得该几何体的表面积是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ - 16 -‎ ‎9．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则( )‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎10．已知函数：，其中：，记函数满足条件：为事件为A，则事件A发生的概率为( )‎ A． 　 B． 　　 C．　 　D．‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。‎ 开始 开始 输出 开始 开始 开始 开始 是 否 结束 ‎（一）必做题（1113题）‎ ‎11. 命题“”的否定是_________________‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎12. .已知x、y的取值如下表：‎ 从散点图分析，y与x线性相关，‎ 且回归方程为，则 .‎ ‎13. 已知某算法的流程图如图所示,若将输出的值 依次记为,，.‎ ‎(1)若程序运行中输出的某个数组是，则 ；‎ ‎(2)程序结束时,共输出的组数为 ． ‎ ‎（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14、(几何证明选讲选做题)如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两 点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O的半径为_______________．‎ ‎15．(坐标系与参数方程选做题)‎ 曲线与直线有两个公共点，‎ 则实数的取值范围是_________________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知坐标平面上三点，，．‎ - 16 -‎ ‎（1）若（O为原点），求向量与夹角的大小； ‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎17．（本小题满分12分）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题。‎ ‎① 甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？‎ ‎② 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图5，已知平面，平面，△为等边 A B C D E F 图5‎ 三角形，，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知数列满足：．‎ ‎(1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式；‎ ‎(3)令,证明：． ‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知圆：及定点，点是圆上的动点，点在上，点在上，且满足＝2，‎ ‎·＝． （1）若，求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若动圆和k^s*5#u（1）中所求轨迹相交于不同两点，是否存在一组正实数，使得直线垂直平分线段，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．‎ - 16 -‎ ‎21．（本小题满分14分）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么把（）叫闭函数。‎ ‎（Ⅰ）求闭函数符合条件②的区间[]；‎ ‎（Ⅱ）判断函数是否为闭函数？并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若是闭函数，求实数的取值范围。‎ - 16 -‎ ‎ 2011年广东高考全真模拟试卷文科数学（四）答案 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分 ‎ 题号 ‎ 1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B C C A B C B C B D 选择题参考答案:‎ ‎1.解:,选B.‎ ‎2.解:由对数函数的定义域可得到：‎ 即选C ‎3. 当；‎ 当，共3个零点，选C ‎4.，由，，化简可以得到公差，选A ‎5. 由，则，选B ‎6.易知圆的直径所在直线符合题意，由圆心,直线的斜率，则根据点斜式方程为;，选C ‎7.由椭圆的定义可知：，则=16-5=11‎ ‎ 选B ‎8.从三视图中可以看出该几何体是半球体，则表面积，选C ‎9. 由，则，则，故，选B ‎10.本题为线性规划和几何概型的综合题，由条件可得到：‎ - 16 -‎ ‎ ，以为横纵坐标作出满足条件的平面区域；‎ 而总面积是由决定的正方形区域 面积之比为，选D ‎ 二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．‎ ‎11． ‎ ‎12. ‎ ‎13. ,‎ ‎14． ‎ ‎15． ‎ 填空题参考答案:‎ ‎11. ；本题考察的对立性 ‎12.由统计知识，该组数据的平均值点，代入方程得到 ‎13.根据框图知识可得到点符合的特征为，由；又因为2010之前的奇数共有1005个，则输出的组数为1005组 ‎14.设半径为,根据平面几何知识（切割线定理）‎ 有,‎ 代入数值可得 ‎15.将曲线化简;得到，作出图像可观察到 - 16 -‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知坐标平面上三点，，．‎ ‎（1）若（O为原点），求向量与夹角的大小； ‎ 解：（1）∵，‎ ‎ ，‎ ‎∴， …………… 2分 ‎∴． …………… 4分 又，，设与的夹角为，则：‎ ‎，‎ ‎∴与的夹角为或． ………… 7分 ‎（2）若，求的值．‎ 解 ：，‎ ‎ ， ……… 9分 ‎　由，∴，　‎ 可得，① ………… 11分 ‎∴，∴，‎ ‎ …………12分 ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题。‎ ‎① 甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？‎ - 16 -‎ 解：（1）记 “甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A， ……2分 ‎　　甲抽到选择题有6种抽法，乙抽到判断题有4种抽法，‎ 所以事件A的基本事件数为　　 ………………4分 ‎∴　　　 ……6分 ‎　 ‎ ‎② 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？‎ 解：（2）记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B，‎ ‎“至少一人抽到选择题”为事件C， ‎ 则B含基本事件数为　　…………8分 ‎　由古典概率公式得　　　　　　………10分 由对立事件的性质可得　……12分 ‎18．（本小题满分14分）‎ A B C D E F 图5‎ 如图5，已知平面，平面，‎ ‎△为等边三角形，，‎ 为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ 证明：(1) 证：取的中点，连结．‎ ‎∵为的中点，‎ ‎∴且．‎ ‎∵平面，平面， ‎ - 16 -‎ ‎∴，∴． ‎ 又，∴． ………… 4分 ‎ ∴四边形为平行四边形，则． ‎ ‎∵平面，平面， ‎ ‎ ∴平面． ………… 7分 ‎（2）求证：平面平面；‎ 证：∵为等边三角形，为的中点，‎ ‎∴ ∵平面， ………… 9分 平面，∴． ‎ ‎ 又，故平面．………… 11分 ‎∵，∴平面． ∵平面， ‎ ‎∴平面平面． 　　 …………14分 ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知数列满足：．‎ ‎(1)求证：数列为等差数列；‎ 证明：,‎ ‎= ‎ ‎ ==. ………………3分 - 16 -‎ ‎ 数列为等差数列. ………………4分 ‎(2)求数列的通项公式；‎ ‎ 解: 由(1)得,为等差数列,公差为1,‎ ‎ 首项为. ………………6分 . ………………8分 ‎.………9分 ‎(3)令,证明：．‎ ‎, ………10分 ‎. ………11分 ‎. ………12分 当时, ‎ ‎…………13分 当时,‎ 综上所述:. ………14分 ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知圆：及定点，点是圆上的动点，点在上，点在上，且满足 ‎＝2， ·＝．‎ - 16 -‎ ‎（1）若，求点的轨迹的方程；‎ 解：（1）点为的中点，‎ 又，‎ 或点与点重合．∴ …………2分 又 ‎∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，‎ 且，‎ ‎∴的轨迹方程是 …………6分 ‎（2）若动圆和k^s*5#u（1）中所求轨迹相交于不同两点，是否存在一组正实数，使得直线垂直平分线段，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．‎ 解：不存在这样一组正实数，下面证明： ……7分 由题意，若存在这样的一组正实数，当直线的斜率存在时，‎ 设之为，故直线的方程为： ‎ ‎，设，中点，‎ 则，两式相减得：．…………9分 注意到，‎ 且 ，‎ - 16 -‎ ‎ 则 ， ②‎ 又点在直线上，，‎ 代入②式得：．‎ 因为弦的中点在⑴所给椭圆内，故，‎ 这与矛盾，所以所求这组正实数不存在． …………13分 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，‎ 则此时，‎ 代入①式得，这与是不同两点矛盾．‎ 综上，所求的这组正实数不存在． ………14分 ‎21．（本小题满分14分）‎ 对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么把（）叫闭函数。‎ ‎（Ⅰ）求闭函数符合条件②的区间[]；‎ 解：（Ⅰ）由题意，在[]上递减，‎ ‎ 则 ‎ ‎ 解得…………3分 所以，所求的区间为[-1，1] ………………………4分 ‎（Ⅱ）判断函数是否为闭函数？并说明理由；‎ - 16 -‎ 解：取则，‎ 即不是上的减函数。…………6分 ‎ 取 ‎ ， ‎ 即不是上的增函数 …………8分 所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。 ---------9分 ‎（Ⅲ）若是闭函数，求实数的取值范围。 ‎ 解：若是闭函数，则存在区间[]，‎ 在区间[]上，函数的值域为[]，‎ 即，为方程 的两个实数根，…………10分 即方程有两个不等的实根。‎ 当时，有，‎ ‎ 解得 …………12分 当时，有，无解 ……13分 ‎ 综上所述， -----------14分 www.ks5u.com - 16 -‎ - 16 -‎ ‎ ‎ - 16 -‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com - 16 -‎