高考数学第二轮专项专题排列组合二项式定理与概率统计复习及解析湖南师大附中

高考数学第二轮专项专题排列组合二项式定理与概率统计复习及解析湖南师大附中

高考数学二轮复习专项 排列、组合、二项式定理与概率统计（含详解）‎ ‎1. 袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码, 设号码为的球的重量为(克). 这些球以等可能性(不受重量, 号码的影响)从袋里取出. ‎ ‎（Ⅰ）如果任意取出1球, 求其号码是3的倍数的概率.‎ ‎（Ⅱ）如果任意取出1球, 求重量不大于号其码的概率;‎ ‎（Ⅲ）如果同时任意取出2球, 试求它们重量相同的概率.‎ ‎2. 从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为.试求：‎ ‎（I）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；‎ ‎（II）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率.‎ ‎3. 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不在放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数。‎ ‎（1）求的分布列，期望及方差；‎ ‎（2）求的分布列，期望及方差；‎ ‎4. 某大型商场一个结算窗口，每天排队结算的人数及相应概率如下：‎ 排队人数 ‎0—5‎ ‎6—10‎ ‎11—15‎ ‎16—20‎ ‎21—25‎ ‎25以上 概率 ‎0.1‎ a ‎0.25‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.05‎ ‎（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？‎ ‎（2）一周7天中，若有三天以上（含三天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问，该商场是否需要增加结算窗口？‎ ‎5. 某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9,0.8，0.7．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：‎ ‎（1）只有丙柜面需要售货员照顾的概率；‎ ‎（2）三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率；‎ ‎（3）三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．‎ ‎6. 某同学上楼梯的习惯每步走1阶或2阶，现有一个11阶的楼梯 ，该同学从第1阶到第11阶用7步走完。‎ ‎(1)求该同学恰好有连着三步都走2阶的概率；‎ ‎(2)记该同学连走2阶的最多步数为ζ，求随机事件ζ的分布列及其期望。‎ ‎7. 甲、乙两支足球队，苦战120分钟，比分为1 ：1，现决定各派5名队员，每人射一个点球决定胜负，假设两支球队派出的队员点球命中率均为 ‎⑴两队球员一个间隔一个出场射球，有多少种不同的出场顺序？‎ ‎⑵甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率是多少？‎ ‎8. 在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．‎ ‎（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；‎ ‎（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎9. 一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4。各部门是否占线相互之间没有影响。假设有部电话占线，试求随机变量的概率分布和它的期望。‎ ‎10. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.‎ ‎(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;‎ ‎(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;‎ ‎(Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?‎ ‎11. 如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入中的点的数目．‎ ‎（I）求的均值；‎ ‎（II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率．‎ 附表：‎ ‎12. 四个纪念币、、、,投掷时正面向上的概率如下表所示.‎ 纪念币 概率 ‎ 这四个纪念币同时投掷一次,设表示出现正面向上的个数.‎ ‎ (1)求的分布列及数学期望；‎ ‎ (2)在概率中,若的值最大,求的取值范围.‎ ‎13. 数学试题中共有10道选择题每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的.‎ 评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分”，某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：‎ ‎（1）得50分的概率；‎ ‎（2）得多少分的可能性最大.‎ ‎14. 甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，‎ 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.‎ ‎ (Ⅰ)求随机变量ε分布列和数学期望； ‎ ‎(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于‎3”‎这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).‎ ‎15. 多哈亚运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排每一局赢的概率为。已知比赛中，第一局日本女排先胜一局，在这个条件下，（Ⅰ）求中国女排取胜的概率 ‎（Ⅱ）设决赛中比赛总的局数，求的分布列及 （（Ⅰ）（Ⅱ）均用分数作答）‎ ‎16. 某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．‎ ‎（1）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；‎ ‎（2）求的分布列及期望．‎ ‎17. 有三张大小形状质量完全相同的卡片，三张卡片上分别写有0，1，2‎ 三个数字，现从中任抽一张，其上面的数字记为x，然后放回，再抽一张，其上面的数字记为y，记=xy，求：(1)的分布列；(2)的期望．‎ ‎18. 一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。‎ ‎ （I）求前两次取出的都是二等品的概率；‎ ‎ （II）求第二次取出的是二等品的概率；‎ ‎ （III）用随机变量表示第二个二等品被取出时共取出的件数，求的分布列及数学期望。‎ ‎19. 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作，假定在某段时间内，每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内：‎ ‎（1）开关JA，JB恰有一个闭合的概率；‎ ‎（2）线路正常工作的概率。‎ ‎20. 在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：‎ ‎（1）乙连胜四局的概率；‎ ‎（2）丙连胜三局的概率．‎ ‎21. 沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿灯交通信号，汽车在甲、乙、丙三个地方通过（即通过绿灯）的概率分别为，，，对于该大街上行驶的汽车，求：‎ ‎（Ⅰ）在三个地方都不停车的概率；‎ ‎（Ⅱ）在三个地方都停车的概率；‎ ‎（Ⅲ）只在一个地方停车的概率．‎ 答案：‎ ‎1. （Ⅰ）所以所求概率 ‎ ‎（Ⅱ）由, 可解得 ‎ 由题意知=4,5,6,7,8,9,10,11, 共8个值, ‎ 所以所求概率为; ‎ ‎（Ⅲ）设第号和第号的两个球的重量相等, 其中,‎ 当时, 可以得到, ‎ 则(1,11), (2,10), …, (5,7), 共5种情况, ‎ 所以所求概率为. ‎ ‎2. （Ⅰ）随机选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率为 ‎ 1－；‎ ‎（Ⅱ）至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率为 ‎ =；‎ ‎3. （1）的可能值为0，1，2‎ 若表示没有取出次品，其概率为；‎ 同理 ‎ 的分布列为 ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）的可能值为1、2、3，显然 ‎ ‎ ‎ 的分布列为 ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4. （1）依题意知，所求概率为：P=1-0.2-0.05=0.75‎ ‎∴每天不超过20人排队结算的概率是0.75‎ ‎（2）超过15人排队的概率为：0.25+0.2+0.05=‎ ‎1周7天中，没有出现超过15人结算的概率为：‎ ‎1周7天中，有一天超过15人结算的概率为：‎ ‎1周7天中，有二天超过15人结算的概率为：‎ ‎∴该商场需要增加结算窗口。‎ ‎5. 设事件A、B、C分别表示“某一小时内甲、乙、丙柜面不需要售货员照顾”，则A、B、C相互独立，且.‎ ‎(1)设事件D表示“某一小时内只有丙柜面不需要售货员照顾”、‎ 则事件，且事件相互独立，故 ‎.‎ ‎ (2) 设事件E表示“某一小时内三个柜面中最多有一个需要售货员照顾”，‎ 则事件，‎ ‎ 故 ‎.‎ ‎ (3) 设事件F表示“某一小时内三个柜面中至少有一个需要售货员照顾”，‎ 则事件，故 ‎ ，‎ ‎ 所以，.‎ ‎6. 设走2阶的步数为x，走1阶的步数为y，则有 ‎ (1) ‎ ‎(2)P(ζ=1)= ‎ ‎ P(ζ=3)=‎ 随机事件ζ的分布列是 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ξ的期望是Eξ=×1+×2+×3+×4= ‎ ‎7. （1）此题为5个两类不同的元素的相间排列，其方法为：‎ ‎（2）‎ ‎8. （Ⅰ）、可能的取值为、、，‎ ‎ ，，‎ ‎，且当或时，． ‎ 因此，随机变量的最大值为．‎ 有放回抽两张卡片的所有情况有种，‎ ‎． ‎ 答：随机变量的最大值为，事件“取得最大值”的概率为． ‎ ‎（Ⅱ）的所有取值为．‎ 时，只有这一种情况，‎ ‎ 时，有或或或四种情况，‎ 时，有或两种情况． ‎ ‎，，． ‎ 则随机变量的分布列为：‎ 因此，数学期望．‎ ‎9. ‎ 随机变量的概率分别为： ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.09‎ ‎0.3‎ ‎0.37‎ ‎0.2‎ ‎0.04‎ ‎10. （1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件为“4次均击中目标”，则 ‎（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则 ‎（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。‎ 故 ‎11. 每个点落入中的概率均为．‎ 依题意知．‎ ‎（Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ）依题意所求概率为，‎ ‎．‎ ‎12. (1)是个正面向上,个背面向上的概率.其中的可能取值为.‎ ‎ ∴,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,.‎ ‎ ∴的分布列为 ‎ 的数学期望为.‎ ‎ (2)∵,∴,.则 ‎ ,,‎ ‎ 由,得,即的取值范围是.‎ ‎13. （1）得分为50分，10道题必须全做对.‎ ‎ 在其余的四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道答对的概率为，所以得分为50分的概率为：P＝ ‎ ‎ （2）依题意，该考生得分的范围为｛30，35，40，45，50｝.‎ ‎ 得分为30分表示只做对了6道题，其余各题都做错，所以概率为：‎ ‎ 同样可以求得得分为35分的概率为：‎ ‎ 得分为40分的概率为：; ‎ ‎ 得分为45分的概率为：;‎ ‎ 得分为50分的概率为：‎ ‎ 所以得35分或得40分的可能性最大. ‎ ‎14. (Ⅰ)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且 ‎ 所以ε的分布列为 ε ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ε的数学期望为 ‎　　　　　Eε=‎ 解法二：根据题设可知 因此ε的分布列为 ‎（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又 由互斥事件的概率公式得 解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事 P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).‎ ‎=‎ ‎15. （Ⅰ）中国女排取胜的情况有两种： ①中国女排连胜三局 ②中国女排在第2局到第4局中赢两局，且第5局赢。故中国女排取胜的概率为 ‎ ‎（Ⅱ）比赛局数 则， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为:‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎ ‎ ‎16. （1）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．‎ 知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”‎ ‎，．‎ ‎（2）的可能取值为元，元，元．‎ ‎，，‎ ‎．‎ 的分布列为 ‎（元）．……………………10分 ‎17. （1）可取0，1，2，4‎ ‎；，，‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ p ‎∴的分布列为 ‎（2）‎ ‎18. （I）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有种方法，‎ ‎ ∴前两次取出的产品都是二等品的概率为 ‎ ‎ （II）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，第二次取出的产品是二等品的共有种方法，‎ ‎ ∴第二次取出的产品是二等品的概率为 ‎ ‎ （III）的所有可能取值为2，3，4，‎ ‎ ∴的概率分布为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ p ‎∴‎ ‎19. 分别记在这段时间内开关能够闭合为事件A、B、C，则它们的对立事件为，，且P（A）=P（B）=P（C）=0.7，P（）=P（）=P（）=1-0.7=0.3根据题意在这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，即事件A、B、C相互独立（2分）‎ ‎（1）在这段时间内“开关JA，JB恰有一个闭合”包括两种情况：一种是开关JA闭合但开关JB不闭合（事件A·发生），一种是开关JA不闭合但开关JB闭合（事件·B发生），根据题意这两种情况不可能同时发生即事件A·与事件·B互斥。根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是：‎ P（A·+·B）=P（A+）+P（+B）=P（A）P（）+P（）P（B）‎ ‎=0.7·0.3+0.3·0.7=0.42（7分）‎ ‎（2）在这段时间内，线路正常工作，意味着3个开关至少有一个能够闭合，即事件A、B、C至少有一个发生，其对立事件为事件，，同时发生于是所求的概率为：‎ ‎1-P（··）=1-P（）P（）P（）=1-0.3·0.3·0.3=1-0.027=0.973（11分）‎ 答：开关JA，JB恰有一个闭合的概率为0.42；线路正常工作的概率是0.973‎ ‎20. 1）当乙连胜四局时，对阵情况如下：‎ ‎　　第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜．‎ ‎　　所求概率为＝×＝＝0.09‎ ‎　　∴　乙连胜四局的概率为0.09．‎ ‎　　（2）丙连胜三局的对阵情况如下：‎ ‎　　第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜．‎ ‎　　当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜．第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜．‎ ‎　　当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜．‎ ‎　　故丙三连胜的概率＝0.4××0.5＋（1-0.4）××0.6＝0.162．‎ ‎21. （1）；‎ ‎（2）；‎ ‎ (3)‎