高考数学理科知识点总结精辟
2018 高考数学（理科）知识点总结
1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元
素各表示什么？
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3. 注意下列性质：
（3）德摩根定律：
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
的取值范围。
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射 f：A→B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能
构成映射？ （一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
10.如何求复合函数的定义域？ 义域是
_。
11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
12. 反函数的性质有哪些？ 互为反函数的图象关于直线 y＝x 对称；
13. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？
∴……）
{ } { } { }如：集合 ， ， ， 、 、A x y x B y y x C x y y x A B C= = = = = =| lg | lg ( , )| lg
2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集 的特殊情况。∅
{ } { }如：集合 ，A x x x B x ax= − − = = =| |2 2 3 0 1
若 ，则实数 的值构成的集合为B A a⊂ （答： ， ， ）−
1 0 1
3
{ }（ ）集合 ， ，……， 的所有子集的个数是 ；1 21 2a a an
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C C C CU U U U U UA B A B A B A B = =，
( )），，
·∴，∵
·∴，∵（
2593
51
05
555
03
533
2
2
∈⇒
≥−
−∉
<−
−∈
a
a
aM
a
aM
5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或” ，“且” 和( ) ( )∨ ∧ “非”( ).¬
若 为真，当且仅当 、 均为真p q p q∧ 至少有一个为真、为真，当且仅当若 qpqp ∨
若 为真，当且仅当 为假¬p p
[ ]如：函数 的定义域是 ， ， ，则函数 的定f x a b b a F(x f x f x( ) ) ( ) ( )> − > = + −0
[ ]（答： ， ）a a−
[ ]
（内层）（外层）
，则，（ )()()( xfyxuufy ϕϕ ===
u
O 1 2 x
15. 如何利用导数判断函数的单调性？
值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
∴a 的最大值为 3）
16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）
注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数
与奇函数的乘积是奇函数。
17. 你熟悉周期函数的定义吗？
函数，T 是一个周期。）
如：
18. 你掌握常用的图象变换了吗？
( )在区间 ， 内，若总有 则 为增函数。（在个别点上导数等于a b f x f x'( ) ( )≥ 0
零，不影响函数的单调性），反之也对，若 呢？f x'( ) ≤ 0
[ )如：已知 ，函数 在 ， 上是单调增函数，则 的最大a f x x ax a> = − + ∞0 13( )
由已知 在 ， 上为增函数，则 ，即f x a a( ) [ )1 3 1 3+ ∞ ≤ ≤
若 总成立 为奇函数 函数图象关于原点对称f x f x f x( ) ( ) ( )− = − ⇔ ⇔
若 总成立 为偶函数 函数图象关于 轴对称f x f x f x y( ) ( ) ( )− = ⇔ ⇔
f x f x y( ) ( )与 的图象关于 轴 对称−
f x f x x( ) ( )与 的图象关于 轴 对称−
f x f x( ) ( )与 的图象关于 原点 对称− −
f x f x y x( ) ( )与 的图象关于 直线 对称− =1
f x f a x x a( ) ( )与 的图象关于 直线 对称2 − = f x f a x a( ) ( ) ( )与 的图象关于 点 ， 对称− −2 0
将 图象 左移 个单位
右移 个单位
y f x a a
a a
y f x a
y f x a
= > →
>
= +
= −( ) ( )
( )
( )
( )
0
0
上移 个单位
下移 个单位
b b
b b
y f x a b
y f x a b
( )
( )
( )
( )
> →
>
= + +
= + −
0
0
注意如下“翻折”变换：
19.你熟练掌握常用函数的图象和性
质了吗？
的双曲线。
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
②求闭区间［m，n］上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
又如：若 f(a+x)= -f(a-x), f(b+x)= f(b-x)，
则，f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)] (恒等变形）
= -f[a-(x+a-2b)] [f(a+x)=-f(a-x)]
=-f(-x+2b) (恒等变形）
= -f[b+(-x+b)] (恒等变形）
=-f[b-(-x+b)]
[ f(b+x)=f(b-x)]
=-f(x) 2a-2b 为半周期
由图象记性质！ （注意底数的限定！）
( )（ ）一次函数：1 0y kx b k= + ≠
( ) ( )（ ）反比例函数： 推广为 是中心 ，2 0 0y k
x k y b k
x a k O a b= ≠ = + − ≠ '( )
( )（ ）二次函数 图象为抛物线3 0 2
4
4
2
2 2
y ax bx c a a x b
a
ac b
a
= + + ≠ = +
+ −
如：二次方程 的两根都大于ax bx c k b
a k
f k
2 0
0
2
0
+ + = ⇔
≥
− >
>
∆
( )
y
y=log2x
O 1 x
(k<0) y (k>0)
y=b
O’(a,b)
O x
x=a
y
y=ax(a>1)
(0
1)
1
O 1 x
(0
log log log log loga a a a
n
a
M
N M N M n M= − =， 1
（ ） ， 满足 ，证明 是偶函数。2 x R f x f xy f x f y f x∈ = +( ) ( ) ( ) ( ) ( )
又如：求函数 的定义域和值域。y x= − −
1 2 2cos
π
（∵ ）1 2 2 1 2 0− −
= − ≥cos sin
π
x x
y
O x
− k
k
O R
1 弧度
R
y
T
A x
α
B S
O M
P
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？
（x，y）作图象。
27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一 个 三 角
函数值，再判定角的范围。
28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
∴ ，如图：sin x ≤ 2
2
( )y x k k k Z= − +
∈sin 的增区间为 ，2 2 2 2
π π π π ( )减区间为 ，2 2 2 3
2k k k Zπ π π π+ +
∈
( ) ( )图象的对称点为 ， ，对称轴为k x k k Zπ π π
0 2
= + ∈ [ ] ( )y x k k k Z= + ∈cos 的增区间为 ，2 2π π π
[ ] ( )减区间为 ，2 2 2k k k Zπ π π π+ + ∈ ( )图象的对称点为 ， ，对称轴为k x k k Zπ π π+
= ∈
2 0
y x k k k Z= − +
∈tan 的增区间为 ，π π π π
2 2
( ) ( )[ ]26. y = Asin x +正弦型函数 的图象和性质要熟记。 或ω ϕ ω ϕy A x= +cos
（ ）振幅 ，周期1 2| | | |A T = π
ω
( )若 ，则 为对称轴。f x A x x0 0= ± =
( ) ( )若 ，则 ， 为对称点，反之也对。f x x0 00 0=
（ ）五点作图：令 依次为 ， ， ， ， ，求出 与 ，依点2 0 2
3
2 2ω ϕ π π π πx x y+
（ ）根据图象求解析式。（求 、 、 值）3 A ω ϕ
解条件组求 、 值ω ϕ
( )∆正切型函数 ，y A x T= + =tan | |
ω ϕ π
ω
y
x
O− π
2
π
2
π
y tgx=
29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换）
平移公式：
图象？
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
“奇”、“偶”指 k 取奇、偶数。
A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分
母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：
（2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式
（ ）点 （ ， ） ，
平移至
（ ， ），则1 P x y a h k P x y x x h
y y k
→= → = +
= +
( ) ' ' ' '
'
（ ）曲线 ， 沿向量 ， 平移后的方程为 ，2 0 0f x y a h k f x h y k( ) ( ) ( )= = − − =
→
如：函数 的图象经过怎样的变换才能得到 的y x y x= −
− =2 2 4 1sin sin
π
“ · ”化为 的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，k
π α α
2
±
( )如： cos tan sin9
4
7
6 21
π π π+ −
+ = 又如：函数 ，则 的值为y y= +
+
sin tan
cos cot
α α
α α
( )（ ）角的变换：如 ， ……1 2 2 2
β α β α α β α β α β= + − + = −
− −
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
33. 用 反 三 角 函 数 表 示 角 时 要 注 意 角 的 范 围 。
34. 不等式的性质有哪些？
答案：C
35. 利用均值不等式：
值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：
( ) ( )如：已知 ， ，求 的值。sin cos
cos tan tan
α α
α α β β α
1 2 1 2
3 2− = − = − −
（由已知得： ，∴sin cos
sin
cos
sin tan
α α
α
α
α α
2 2 1 1
22
= = =
( ) ( )[ ] ( )
( )∴ · ·
）tan tan tan tan
tan tan
β α β α α β α α
β α α− = − − = − −
+ − =
−
+
=2 1
2
3
1
2
1 2
3
1
2
1
8
正弦定理： a
A
b
B
c
C R
a R A
b R B
c R Csin sin sin
sin
sin
sin
= = = ⇔
=
=
=
2
2
2
2
（ ）求角 ；1 C
( )（（ ）由已知式得：1 1 2 1 12− + + − =cos cosA B C
（ ）由正弦定理及 得：2 1
2
2 2 2a b c= +
[ ]反正弦： ， ， ，arcsin x x∈ −
∈ −π π
2 2 1 1
[ ] [ ]反余弦： ， ， ，arccosx x∈ ∈ −0 1 1π ( )反正切： ， ，arctan x x R∈ −
∈π π
2 2
( )a b ab a b R a b ab ab a b2 2
2
2 2 2
+ ≥ ∈ + ≥ ≤ +
+， ； ； 求最值时，你是否注
意到“ ， ”且“等号成立”时的条件，积 或和 其中之一为定a b R ab a b∈ ++ ( ) ( )
36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。
（移项通分，
分子分母因式分解，x 的系数变为 1，穿轴法解得结果。）
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？ （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）
证明：
（按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）
43. 等差数列的定义与性质
当且仅当 时等号成立。a b=
如：若 ， 的最大值为x x x
> − −0 2 3 4
当且仅当 ，又 ，∴ 时， ）3 4 0 2 3
3 2 4 3x x x x y= > = = −max
（∵ ，∴最小值为 ）2 2 2 2 2 2 2 22 2 1x y x y+ ≥ =+
）…… 2121
1
1
3
1
2
1
2
111 <−=−−++−+−+=
nnn
( )37 0. ( )
( )
解分式不等式 的一般步骤是什么？f x
g x a a> ≠
例如：解不等式| |x x− − + <3 1 1 （解集为 ）x x| >
1
2
41. | | | | | | | | | |会用不等式 证明较简单的不等问题a b a b a b− ≤ ± ≤ + 如：设 ，实数 满足f x x x a x a( ) | |= − + − <2 13 1
1|||||1||1|||)1||(|)1)((| ++≤−+<−+−=<−−+−= axaxaxaxaxaxax
如： 恒成立 的最小值a f x a f x< ⇔ <( ) ( ) a f x a f x> ⇔ >( ) ( )恒成立 的最大值
a f x a f x> ⇔ >( ) ( )能成立 的最小值
例如：对于一切实数 ，若 恒成立，则 的取值范围是x x x a a− + + >3 2
（设 ，它表示数轴上到两定点 和 距离之和u x x= − + + −3 2 2 3
( )定义： 为常数 ，a a d d a a n dn n n+ − = = + −1 1 1( ) 等差中项： ， ， 成等差数列x A y A x y⇔ = +2
( ) ( )
前 项和n S a a n na n n dn
n= + = + −1
12
1
2
{ }性质： 是等差数列a n
{ } { } { }（ ）数列 ， ， 仍为等差数列；2 2 1 2a a ka bn n n− +
0 的二次函数）
项，即：
44. 等比数列的定义与性质
46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法
解：
［练习］
（2）叠乘法
解：
（3）等差型递推公式
（ ）若三个数成等差数列，可设为 ， ， ；3 a d a a d− +
（ ）若 ， 是等差数列 ， 为前 项和，则 ；4 2 1
2 1
a b S T n a
b
S
Tn n n n
m
m
m
m
= −
−
{ }（ ） 为等差数列 （ ， 为常数，是关于 的常数项为5 2a S an bn a b nn n⇔ = +
{ }S S an bn an n n的最值可求二次函数 的最值；或者求出 中的正、负分界= +2
当 ， ，解不等式组 可得 达到最大值时的 值。a d a
a S nn
n
n1
1
0 0 0
0
> < ≥
≤
+
当 ， ，由 可得 达到最小值时的 值。a d a
a S nn
n
n1
1
0 0 0
0
< > ≤
≥
+
{ }如：等差数列 ， ， ， ，则a S a a a S nn n n n n= + + = = =− −18 3 11 2 3
等比中项： 、 、 成等比数列 ，或x G y G xy G xy⇒ = = ±2
( )前 项和： （要注意 ）n S
na q
a q
q qn
n=
=
−
− ≠
1
1
1
1
1 1
( )
( )
! { }性质： 是等比数列a n
（ ） ， ， ……仍为等比数列2 2 3 2S S S S Sn n n n n− −
45. 由 求 时应注意什么？S an n （ 时， ， 时， ）n a S n a S Sn n n= = ≥ = − −1 21 1 1
{ }如： 满足 ……a a a a nn n n
1
2
1
2
1
2 2 5 11 2 2+ + + = + < >
n a a a nn n≥ + + + = − + < >− −2 1
2
1
2
1
2 2 1 5 21 2 2 1 1时， ……
{ }数列 满足 ， ，求a S S a a an n n n n+ = =+ +1 1 1
5
3 4 （注意到 代入得：a S S S
Sn n n
n
n
+ +
+= − =1 1
1 4
{ }又 ，∴ 是等比数列，S S Sn n
n
1 4 4= = n a S Sn n n
n≥ = − = =−
−2 3 41
1时， …… ·
{ }例如：数列 中， ， ，求a a a
a
n
n an
n
n
n1
13 1
= = +
+
由 ， ，求 ，用迭加法a a f n a a an n n− = =−1 1 0( )
［练习］
（4）等比型递推公式
［练习］
（5）倒数法
47. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
解：
［练习］
（2）错位相减法：
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
n a a f
a a f
a a f nn n
≥ − =
− =
− =
−
2 2
3
2 1
3 2
1
时，
…… ……
两边相加，得：
( )
( )
( )
{ } ( )数列 ， ， ，求a a a a n an n
n
n n1
1
11 3 2= = + ≥−
−
( )a ca d c d c c dn n= + ≠ ≠ ≠−1 0 1 0、 为常数， ， ，
( )可转化为等比数列，设a x c a xn n+ = +−1
∴ 是首项为 ， 为公比的等比数列a d
c a d
c cn + −
+ −1 11
{ }数列 满足 ， ，求a a a a an n n n1 19 3 4= + =+ （ ）a n
n
= −
+
−
8 4
3 1
1
例如： ， ，求a a a
a an
n
n
n1 11 2
2
= = ++ 由已知得： 1 2
2
1
2
1
1a
a
a an
n
n n+
= + = +
∴
=1 1 1 1
21a an
为等差数列， ，公差为
{ }如： 是公差为 的等差数列，求a d a an
k kk
n 1
11 +=
∑
求和： …… ……1 1
1 2
1
1 2 3
1
1 2 3
+ + + + + + + + + + + n
{ } { } { }若 为等差数列， 为等比数列，求数列 （差比数列）前 项a b a b nn n n n
{ }和，可由 求 ，其中 为 的公比。S qS S q bn n n n−
［练习］
48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型： 若每期存入本金 p 元，每期利率为 r，n 期后，本利和为：
△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，
第 n 次还清。如果每期利率为 r（按复利），那么每期应还 x 元，满足
p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
（ 2 ） 排 列 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 ， 任 取 m （ m ≤ n ） 个 元 素 ， 按 照 一 定 的 顺 序 排 成 一
（ 3 ） 组 合 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 任 取 m （ m ≤ n ） 个 元 素 并 组 成 一 组 ， 叫 做 从 n 个 不
50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可
采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为 1，2，3，4 的四名学生的考试成绩
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析：可分成两类：
（2）中间两个分数相等 相同两数分别取 90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有
3，4，3 种，∴有 10 种。 ∴共有 5＋10＝15（种）情况
51. 二项式定理
S a a a a
S a a a a
n n n
n n n
= + + + +
= + + + +
−
−
1 2 1
1 2 1
……
……
相加
（由f x f x
x
x
x
x
x
x x( ) +
= + +
+
= + + + =1
1
1
1 1 1
1
1 1
2
2
2
2
2
2 2
∴原式 = + +
+ +
+ +
f f f f f f f( ) ( ) ( ) ( )1 2 1
2 3 1
3 4 1
4
（ 为各类办法中的方法数）mi
分步计数原理： · ……N m m mn= 1 2 （ 为各步骤中的方法数）mi
列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列，所有排列的个数记为n m A n
m .
规定：Cn
0 1=
（ ）组合数性质：4
（ ）中间两个分数不相等，1
Cn
r 为二项式系数（区别于该项的系数）
性质：
（3）最值：n 为偶数时，n＋1 为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
表示）
52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？
的 和
（并）。
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互斥。
（6）对立事件（互逆事件）：
（7）独立事件：A 发生与否对 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
53. 对某一事件概率的求法： 分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即
（5）如果在一次试验中 A 发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生
如：设 10 件产品中有 4 件次品，6 件正品，求下列事件的概率。
( )（ ）对称性： ， ， ，……，1 0 1 2C C r nn
r
n
n r= =− （ ）系数和： …2 C C Cn n n
n n0 1 2+ + + =
n C n nn
n
2 1 12+
+项，二项式系数为 ； 为奇数时， 为偶数，中间两项的二项式( )
系数最大即第 项及第 项，其二项式系数为n n C Cn
n
n
n+ + + =
− +1
2
1
2 1
1
2
1
2
( )如：在二项式 的展开式中，系数最小的项系数为 （用数字x −1 11
∴共有 项，中间两项系数的绝对值最大，且为第 或第 项12 12
2 6 7=
由 ，∴取 即第 项系数为负值为最小：C x rr r r
11
11 1 5 6− − =( )
( ) ( )又如： …… ，则1 2 2004
0 1 2
2
2004
2004− = + + + + ∈x a a x a x a x x R
( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a a0 1 0 2 0 3 0 2004+ + + + + + + + =…… （用数字作答）
令 ，得： ……x a a a= + + + =1 10 2 2004 ( )∴原式 …… ）= + + + + = × + =2003 2003 1 1 20040 0 1 2004a a a a
（ ）必然事件 ， ，不可能事件 ，1 1 0Ω ΩP P( = =) ( )φ φ
（ ）包含关系： ，“ 发生必导致 发生”称 包含 。2 A B A B B A⊂
（ ）事件的和（并）： 或 “ 与 至少有一个发生”叫做 与3 A B A B A B A B+
（ ）事件的积（交）： · 或 “ 与 同时发生”叫做 与 的积。4 A B A B A B A B
“ 不发生”叫做 发生的对立（逆）事件，A A A A A A A = =Ω， φ
A B A B A B A B与 独立， 与 ， 与 ， 与 也相互独立。
P A A m
n( ) = =包含的等可能结果
一次试验的等可能结果的总数
( )（ ）若 、 互斥，则2 A B P A B P A P B+ = +( ) ( ) ( ) ( ) ( )（ ）若 、 相互独立，则 · ·3 A B P A B P A P B=
（ ）4 1P A P A( ) ( )= −
A B
（1）从中任取 2 件都是次品；
（2）从中任取 5 件恰有 2 件次品；
（3）从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品； 解析：有放回地抽取 3 次（每次抽 1 件），∴n＝103 而至少有
2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”
（4）从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 解析：∵一件一件抽取（有顺序）
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54.抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；
系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按
比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：
（2）决定组距和组数； （3）决定分点； （4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。
如：从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。
56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6 ）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量
与任意向量平行。
（7）向量的加、减法如图：
（ 8 ） 平 面 向 量 基 本 定 理 （ 向 量 的 分 解 定 理 ）
的一组基底。
（9）向量的坐标表示
表示。
∴ · ·P C
3
3
2 2 3
3
4 6 4
10
44
125
= + =
其中，频率 小长方形的面积 组距× 频率
组距
= =
( )样本平均值： ……x n x x x n= + + +1
1 2 ( ) ( ) ( )[ ]样本方差： ……S n x x x x x xn
2
1
2
2
2 21= − + − + + −
（ ）向量的模——有向线段的长度，2 | |a
→
（ ）单位向量 ，3 10 0| |
| |
a a a
a
→ →
→
→= =
（ ）零向量 ，4 0 0 0
→ →
=| | （ ）相等的向量 长度相等
方向相同5 ⇔
=
→ →
a b
b a b b a
→ → → → → →
≠ ⇔ =∥ 存在唯一实数 ，使( )0 λ λ
i j x y
→ →
， 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数 ， ，使得
( )a x i y j x y a a x y
→ → → → →
= + =，称 ， 为向量 的坐标，记作： ， ，即为向量的坐标( )
57. 平面向量的数量积
数量积的几何意义：
（ 2 ） 数 量 积 的 运 算 法 则
［练习］
答案：
答案：2
答案：
58. 线段的定比分点
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线 面 平 行 的 判 定 ：
线面平行的性质：
三垂线定理（及逆定理）：
线面垂直：
（ ） · · 叫做向量 与 的数量积（或内积）。1 a b a b a b
→ → → → → →
=| | | |cosθ
a b a b a b
→ → → → →
· 等于 与 在 的方向上的射影 的乘积。| | | |cosθ
注意：数量积不满足结合律 · · · ·( ) ( )a b c a b c
→ → → → → →
≠
( ) ( )（ ）重要性质：设 ， ， ，3 1 1 2 2a x y b x y
→ →
= =
② ∥ · · 或 · ·a b a b a b a b a b
→ → → → → → → → → →
⇔ = = −| | | | | | | | ⇔ = ≠
→ → →
a b bλ λ（ ， 惟一确定）0
（ ）已知正方形 ，边长为 ， ， ， ，则1 1ABCD AB a BC b AC c
→
=
→
=
→
=
→ → →
( ) ( )（ ）若向量 ， ， ， ，当 时 与 共线且方向相同2 1 4a x b x x a b
→ → → →
= = =
（ ）已知 、 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么3 60 3a b a bo
→ → → →
+ =| |
( ) ( ) ( )设 ， ， ， ，分点 ， ，设 、 是直线 上两点， 点在P x y P x y P x y P P P1 1 1 2 2 2 1 2 l
l 上且不同于 、 ，若存在一实数 ，使 ，则 叫做 分有向线段P P P P PP P1 2 1 2λ λ λ
→
=
→
P P P P P P P P1 2 1 2 1 20 0
→
> <所成的比（ ， 在线段 内， ， 在 外），且λ λ
( ) ( ) ( )如： ， ， ， ， ， ，∆ABC A x y B x y C x y1 1 2 2 3 3 则 重心 的坐标是 ，∆ABC G x x x y y y1 2 3 1 2 3
3 3
+ + + +
线∥线 线∥面 面∥面
判定 线⊥线 线⊥面 面⊥面 性质
线∥线 线⊥面 面∥面
← → ← →
→ ← → ← → ←
← → ← →
a b b a a∥ ， 面 ， ∥面⊂ ⊄ ⇒α α α
PA AO PO⊥面 ， 为 在 内射影， 面 ，则α α αa ⊂
B
b
O θ
D A
a
a
b
α
α
a
P
O
面面垂直：
60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
（三垂 线定理法：A∈α作或证 AB⊥β于 B，作 BO⊥棱
于 O，连 AO，则 AO⊥棱 l，∴∠AOB 为所求。）
三类 角的求法：
①找出 或作出有关的角。
②证明 其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA 为α的斜线 OB 为其在α内射影，OC 为α内过 O 点任一直线。
（2）如图，正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1＝8，BD1 与侧面 B1BCC1 所成
的为 30°。
①求 BD1 和底面 ABCD 所成的角的正弦；
②求异面直线 BD1 和 AD 所成的角；
③求二面角 C1—BD1—B1 的正弦。
（3）如图 ABCD 为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面 ABCD，且 PD＝AD，求面 PAB 与
面 PCD 所成的锐二面角的大小。
（∵AB∥DC，P 为面 PAB 与面 PCD 的公共点，作 PF∥AB，则 PF 为面 PCD 与面
PAB 的交线……）
61. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三
垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：正方形 ABCD—A1B1C1D1 中，棱长为 a，则：
（1）点 C 到面 AB1C1 的距离为___________；
a a⊥面 ， 面 ⊥α β β α⊂ ⇒
面 ⊥面 ， ， ， ⊥ ⊥α β α β α β = ⊂ ⇒l la a a
a b a b⊥面 ， ⊥面 ∥α α ⇒
面 ⊥ ，面 ⊥ ∥α β α βa a ⇒
（ ）二面角：二面角 的平面角 ，3 0 180α β θ θ− − < ≤l o o
（ 为线面成角，∠ ，∠ ）θ γ βAOC = BOC =
）；③；②（① 3
6604
3 o
α a
l
β
a
O
α b c
A
O B
γ C
D
α
θ
β
D1 C1
A1 B1
H
G
D C
A B
P F
D C
A E B
（2）点 B 到面 ACB1 的距离为____________；
（3）直线 A1D1 到面 AB1C1 的距离为____________；
（4）面 AB1C 与面 A1DC1 的距离为____________；
（5）点 B 到直线 A1C1 的距离为_____________。
62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：
它们各包含哪 些元素？
63. 球有哪些性质？
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径 R 与内切球半径 r 之比为
R：r＝3：1。
积为（ ）
答案：A
64. 熟 记 下 列 公 式 了 吗 ？
（ 2 ） 直 线 方 程 ：
65. 如何判断两直线平行、垂直？
66. 怎样判断直线 l 与圆 C 的位置关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎 样 判 断 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 ？
68. 分清圆锥曲线的定义
Rt SOB Rt SOE Rt BOE Rt SBE∆ ∆ ∆ ∆， ， 和
S C h C h正棱锥侧 · （ ——底面周长， 为斜高）= 1
2 ' '
V锥 底面积×高= 1
3
（ ）球心和截面圆心的连线垂直于截面1 2 2r R d= −
（ ） ，球 球4 4 4
3
2 3S R V R= =π π
如：一正四面体的棱长均为 ，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面2
A B C D. . . .3 4 3 3 6π π π π
[ )（ ） 直线的倾斜角 ， ， ，1 0 2
2 1
2 1
1 2l α π α α π∈ = = −
− ≠ ≠
k y y
x x x xtan
( ) ( ) ( )P x y P x y a k1 1 1 2 2 2 1， ， ， 是 上两点，直线 的方向向量 ，l l
→
=
( )点斜式： （ 存在）y y k x x k− = −0 0
斜截式：y kx b= + 截距式： x
a
y
b
+ = 1
一般式： （ 、 不同时为零）Ax By C A B+ + = 0
( )（ ）点 ， 到直线 ： 的距离3 00 0
0 0
2 2
P x y Ax By C d Ax By C
A B
l + + = = + +
+
（ ） 到 的到角公式：4 11 2
2 1
1 2
l l tanθ = −
−
k k
k k l l1 2
2 1
1 21
与 的夹角公式： tanθ = −
−
k k
k k
A B A B
A C A C
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2
=
≠
⇔ l l∥ k k l1 2 1 2= ⇒ l ∥ （反之不一定成立）
A A B B1 2 1 2 1 20+ = ⇔ l l⊥
联立方程组 关于 （或 ）的一元二次方程 “ ”
相交； 相切； 相离
⇒ ⇒
> ⇔ = ⇔ < ⇔
x y ∆
∆ ∆ ∆0 0 0
第一定义
椭圆 ，
双曲线 ，
抛物线
⇔ + = > =
⇔ − = < =
⇔ =
PF PF a a c F F
PF PF a a c F F
PF PK
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2
2 2 2
第二定义：e PF
PK
c
a
= =
D C
A B
D1 C1
A1 B1
y
b
O
F1 F2 a x
x a
c
=
2
F
k
e>1 e=1
0 ⇔ = ⇔e e e椭圆； 双曲线； 抛物线
( )69 1 0
2
2
2
2
2
2
2
2. 与双曲线 有相同焦点的双曲线系为x
a
y
b
x
a
y
b
− = − = ≠λ λ
( ) ( )[ ]弦长公式 P P k x x x x1 2
2
1 2
2
1 21 4= + + − ( )[ ]= +
+ −1 1 42 1 2
2
1 2k y y y y
如：椭圆 与直线 交于 、 两点，原点与 中点连mx ny y x M N MN2 2 1 1+ = = −
线的斜率为 ，则 的值为2
2
m
n
（由 ， ， ）a x x b y y x a x y b y= + = + ⇒ = − = −' ' ' '2 2 2 2
( )只要证明 ， 也在曲线 上，即A a x b y C f x y' ( ') '2 2− − =
（ ）点 、 关于直线 对称 ⊥
中点在 上2 A A AA
AA
' '
'
l l
l
⇔
⇔ = −
k k
AA
AA'
'
·
中点坐标满足 方程
l
l
1
74 2 2 2. cos
sin
圆 的参数方程为 （ 为参数）x y r x r
y r
+ = =
=
θ
θ θ 椭圆 的参数方程为 （ 为参数）x
a
y
b
x a
y b
2
2
2
2 1+ = =
=
cos
sin
θ
θ θ
y
P(x0,y0)
K
F1 O F2 x
l
y
A P2
O F x
P1 B