北京市高考真题——理数

北京市高考真题——理数

绝密★启用前 ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 注意事项：‎ 1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。‎ 2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。‎ 一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ （1） 在复平面内，复数对应的点位于 ‎（A）第一象限 （B）第二象限 ‎（C）第三象限 （D）第四象限 ‎（2）若与都是非零向量，则“”是“”的 ‎ （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（3）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 ‎ （A）36个 （B）24个 ‎（C）18个 （D）6个 ‎（4）平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是 ‎ （A）一条直线 （B）一个圆 ‎（C）一个椭圆 （D）双曲线的一支 ‎（5）已知是上的减函数，那么的取值范围是 ‎ （A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有 ‎ （A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（7）设，则等于 ‎ （A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50 ‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 绝密★启用前 ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 注意事项：‎ 1． 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ 二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。‎ ‎（9）的值等于__________________.‎ ‎（10）在的展开式中，的系数中__________________（用数字作答）.‎ ‎（11）若三点共线，则的值等于_________________.‎ ‎（12）在中，若，则的大小是______________.‎ ‎（13）已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于_______,最大值等于____________.‎ ‎（14）已知三点在球心为，半径为的球面上，，且，那么两点的球面距离为_______________，球心到平面的距离为______________.‎ 三、 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（15）（本小题共12分）‎ ‎ 已知函数，‎ ‎ （Ⅰ）求的定义域；‎ ‎ （Ⅱ）设是第四象限的角，且，求的值.‎ ‎（16）（本小题共13分）‎ ‎ 已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：‎ ‎（Ⅰ）的值；‎ ‎（Ⅱ）的值.‎ ‎（17）（本小题共14分）‎ ‎ 如图，在底面为平行四边表的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小.‎ ‎（18）（本小题共13分）‎ ‎ 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.‎ ‎ 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；‎ ‎ 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.‎ ‎ 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.‎ ‎ （Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；‎ ‎ （Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）‎ ‎（19）（本小题共14分）‎ ‎ 已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.‎ ‎ （Ⅰ）求的方程；‎ ‎ （Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.‎ ‎（20）（本小题共14分）‎ ‎ 在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.‎ ‎（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；‎ ‎（Ⅱ）若“绝对差数列”中，，数列满足，，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；‎ ‎（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.‎ ‎2006年高考理科数学参考答案（北京卷）‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）D　　　　　　（2）C　　　　　（3）B　　　　　（4）A ‎（5）C　　　　　　（6）A　　　　　（7）D　　　　　（8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9）　　　　　　　　　（10）－14‎ ‎（1）　　　　　　　　　　（12）‎ ‎（13）　　　　　　　（14）　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎（15）（共12分）‎ 解：（Ⅰ）由cosx≠0得 故f(x)的定义域为 ‎（Ⅱ）因为，且a是第四象限的角。‎ 所以，‎ 故 ‎　　　　‎ ‎（16）（共13分）‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上，在（1，2）上，‎ 在（2，＋∞）上 故在（－∞，1），（2，＋∞）上递增，在（1，2）上递减。‎ 因此在x=1处取得极大值，所以。‎ ‎（Ⅱ）‎ 由 得 解得a=2，b= -9，c=12‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一。‎ ‎（Ⅱ）设 又 所以 由 即 得m=6‎ 所以a=2，b= -9，c=12‎ ‎（17）（共14分）‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD ‎∴AB是PB在平面ABCD上的射影 又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥PB ‎（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO。‎ ‎∵ABCD是平等四边形，‎ ‎∴O是BD的中点，‎ 又E是PD的中点，‎ ‎∴EO∥PB 又PB平面AEC，EO平面AEC，‎ ‎∴PB∥平面AEC。‎ ‎（Ⅲ）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为 又 ‎∴‎ ‎∴OE⊥AC，OG⊥AC ‎∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角。‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴二面角的大小为 ‎（18）（共13分）‎ 解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，‎ 则 ‎（Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率 应聘者用方案二考试通过的概率 ‎（Ⅱ）因为所以 即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大。‎ ‎（19）（共14分）‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）由知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长 又半焦距c=2，故虚半轴长 所以W的方程为 ‎（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（），（）‎ 当 当AB与x 轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，与W的方程联立，消去y得：‎ 故 所以 ‎ ‎ 又因为 综上，当取得最小值2。‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一。‎ ‎（Ⅱ）设A，B的坐标分别为，则 令 则，所以 当且仅当时，“=”成立 所以的最小值是2。‎ ‎（20）（共14分）‎ ‎（Ⅰ）解：‎ ‎（答案不惟一）‎ ‎（Ⅱ）解：因为绝对差数列，所以自第20项开始，该数列是。‎ 即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，所以当时，an的极限不存在。‎ 当 ‎（Ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项，证明如下：‎ 假设中没有零项，由于，所以对于任意的n，都有，从而当 ‎；‎ 当 即的值要么比至少小1，那么比至少小1。‎ 令 则 由于c1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项c1<0，这与cn>0（n=1,2,3,…）矛盾，从而必有零项。‎ 若第一次出现的零项为第n项，记，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A即 所以绝对差数列中有无穷多个零的项。‎