2013高考数学文科全国新课标卷1

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2013高考数学文科全国新课标卷1

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类 ‎(全国卷I新课标)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(2013课标全国Ⅰ,文1)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=(  ).‎ A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}‎ ‎2.(2013课标全国Ⅰ,文2)=(  ).‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(2013课标全国Ⅰ,文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(  ).‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(2013课标全国Ⅰ,文4)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(  ).‎ A.y= B.y= C.y= D.y=±x ‎5.(2013课标全国Ⅰ,文5)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是(  ).‎ A.p∧q B.p∧q C.p∧q D.p∧q ‎6.(2013课标全国Ⅰ,文6)设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则(  ).‎ A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an ‎7.(2013课标全国Ⅰ,文7)执行下面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于(  ).‎ A.[-3,4] B.[-5,2]‎ C.[-4,3] D.[-2,5]‎ ‎8.(2013课标全国Ⅰ,文8)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=的焦点,P为C上一点,若|PF|=,则△POF的面积为(  ).‎ A.2 B. C. D.4‎ ‎9.(2013课标全国Ⅰ,文9)函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的图像大致为(  ).‎ ‎10.(2013课标全国Ⅰ,文10)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=(  ).‎ A.10 B.9 C.8 D.5‎ ‎11.(2013课标全国Ⅰ,文11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  ).‎ A.16+8π ‎ B.8+8π C.16+16π ‎ D.8+16π ‎12.(2013课标全国Ⅰ,文12)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(  ).‎ A.(-∞,0] B.(-∞,1]‎ C.[-2,1] D.[-2,0]‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.(2013课标全国Ⅰ,文13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=______.‎ ‎14.(2013课标全国Ⅰ,文14)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为______.‎ ‎15.(2013课标全国Ⅰ,文15)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为______.‎ ‎16.(2013课标全国Ⅰ,文16)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=______.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(2013课标全国Ⅰ,文17)(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前n项和.‎ ‎18.(2013课标全国Ⅰ ‎,文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:‎ 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:‎ ‎0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4‎ 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:‎ ‎3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5‎ ‎(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?‎ ‎(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?‎ ‎19.(2013课标全国Ⅰ,文19)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.‎ ‎(1)证明:AB⊥A1C;‎ ‎(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.‎ ‎20.(2013课标全国Ⅰ,文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.‎ ‎21.(2013课标全国Ⅰ,文21)(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.‎ 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22.(2013课标全国Ⅰ,文22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.‎ ‎23.(2013课标全国Ⅰ,文23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).‎ ‎24.(2013课标全国Ⅰ,文24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.‎ ‎(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;‎ ‎(2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.‎ ‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 ‎(全国卷I新课标)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.‎ 答案:A 解析:∵B={x|x=n2,n∈A}={1,4,9,16},‎ ‎∴A∩B={1,4}.‎ ‎2. ‎ 答案:B 解析:=.‎ ‎3. ‎ 答案:B 解析:由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为.‎ ‎4.‎ 答案:C 解析:∵,∴,即.‎ ‎∵c2=a2+b2,∴.∴.‎ ‎∵双曲线的渐近线方程为,‎ ‎∴渐近线方程为.故选C.‎ ‎5.‎ 答案:B 解析:由20=30知,p为假命题.令h(x)=x3-1+x2,‎ ‎∵h(0)=-1<0,h(1)=1>0,‎ ‎∴x3-1+x2=0在(0,1)内有解.‎ ‎∴∃x∈R,x3=1-x2,即命题q为真命题.由此可知只有p∧q为真命题.故选B.‎ ‎6.‎ 答案:D 解析:=3-2an,故选D.‎ ‎7.‎ 答案:A 解析:当-1≤t<1时,s=3t,则s∈[-3,3).‎ 当1≤t≤3时,s=4t-t2.‎ ‎∵该函数的对称轴为t=2,‎ ‎∴该函数在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减.‎ ‎∴smax=4,smin=3.‎ ‎∴s∈[3,4].‎ 综上知s∈[-3,4].故选A.‎ ‎8.‎ 答案:C 解析:利用|PF|=,可得xP=.‎ ‎∴yP=.∴S△POF=|OF|·|yP|=.‎ 故选C.‎ ‎9. ‎ 答案:C 解析:由f(x)=(1-cos x)sin x知其为奇函数.可排除B.当x∈时,f(x)>0,排除A.‎ 当x∈(0,π)时,f′(x)=sin2x+cos x(1-cos x)=-2cos2x+cos x+1.‎ 令f′(x)=0,得.‎ 故极值点为,可排除D,故选C.‎ ‎10.‎ 答案:D 解析:由23cos2A+cos 2A=0,得cos2A=.‎ ‎∵A∈,∴cos A=.‎ ‎∵cos A=,∴b=5或(舍).‎ 故选D.‎ ‎11.‎ 答案:A 解析:该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.‎ V半圆柱=π×22×4=8π,‎ V长方体=4×2×2=16.‎ 所以所求体积为16+8π.故选A.‎ ‎12.‎ 答案:D 解析:可画出|f(x)|的图象如图所示.‎ 当a>0时,y=ax与y=|f(x)|恒有公共点,所以排除B,C;‎ 当a≤0时,若x>0,则|f(x)|≥ax恒成立.‎ 若x≤0,则以y=ax与y=|-x2+2x|相切为界限,‎ 由得x2-(a+2)x=0.‎ ‎∵Δ=(a+2)2=0,∴a=-2.‎ ‎∴a∈[-2,0].故选D.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.答案:2‎ 解析:∵b·c=0,|a|=|b|=1,〈a,b〉=60°,∴a·b=.‎ ‎∴b·c=[ta+(1-t)b]·b=0,‎ 即ta·b+(1-t)b2=0.‎ ‎∴+1-t=0.‎ ‎∴t=2.‎ ‎14.答案:3‎ 解析:画出可行域如图所示.‎ 画出直线2x-y=0,并平移,当直线经过点A(3,3)时,z取最大值,且最大值为z=2×3-3=3.‎ ‎15.答案:‎ 解析:如图,‎ 设球O的半径为R,‎ 则AH=,‎ OH=.‎ 又∵π·EH2=π,∴EH=1.‎ ‎∵在Rt△OEH中,R2=,∴R2=.‎ ‎∴S球=4πR2=.‎ ‎16.答案:‎ 解析:∵f(x)=sin x-2cos x=sin(x-φ),‎ 其中sin φ=,cos φ=.‎ 当x-φ=2kπ+(k∈Z)时,f(x)取最大值.‎ 即θ-φ=2kπ+(k∈Z),θ=2kπ++φ(k∈Z).‎ ‎∴cos θ==-sin φ=.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.‎ 解:(1)设{an}的公差为d,则Sn=.‎ 由已知可得 解得a1=1,d=-1.‎ 故{an}的通项公式为an=2-n.‎ ‎(2)由(1)知=,‎ 从而数列的前n项和为 ‎=.‎ ‎18. ‎ 解:(1)设A药观测数据的平均数为,B药观测数据的平均数为.‎ 由观测结果可得 ‎=(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)‎ ‎=2.3,‎ ‎=(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)‎ ‎=1.6.‎ 由以上计算结果可得>,因此可看出A药的疗效更好.‎ ‎(2)由观测结果可绘制如下茎叶图:‎ 从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上,而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗效更好.‎ ‎19.‎ ‎(1)证明:取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.‎ 因为CA=CB,‎ 所以OC⊥AB.‎ 由于AB=AA1,∠BAA1=60°,‎ 故△AA1B为等边三角形,‎ 所以OA1⊥AB.‎ 因为OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面OA1C.‎ 又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.‎ ‎(2)解:由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,‎ 所以OC=OA1=.‎ 又A1C=,则A1C2=OC2+,‎ 故OA1⊥OC.‎ 因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.‎ 又△ABC的面积S△ABC=,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1=3.‎ ‎20.‎ 解:(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.‎ 由已知得f(0)=4,f′(0)=4.‎ 故b=4,a+b=8.‎ 从而a=4,b=4.‎ ‎(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,‎ f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)·.‎ 令f′(x)=0得,x=-ln 2或x=-2.‎ 从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0;‎ 当x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0.‎ 故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.‎ 当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).‎ ‎21.‎ 解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.‎ ‎(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,‎ 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.‎ 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为(x≠-2).‎ ‎(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,‎ 所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.‎ 所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.‎ 若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=.‎ 若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).‎ 由l与圆M相切得=1,解得k=.‎ 当k=时,将代入,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=,‎ 所以|AB|=|x2-x1|=.‎ 当k=时,由图形的对称性可知|AB|=.‎ 综上,|AB|=或|AB|=.‎ 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22.‎ ‎ (1)证明:连结DE,交BC于点G.‎ 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.‎ 而∠ABE=∠CBE,‎ 故∠CBE=∠BCE,BE=CE.‎ 又因为DB⊥BE,‎ 所以DE为直径,∠DCE=90°,‎ 由勾股定理可得DB=DC.‎ ‎(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,‎ 故DG是BC的中垂线,‎ 所以BG=.‎ 设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.‎ 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,‎ 所以CF⊥BF,‎ 故Rt△BCF外接圆的半径等于.‎ ‎23.‎ 解:(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,‎ 即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.‎ 将代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.‎ 所以C1的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.‎ ‎(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.‎ 由 解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为,.‎ ‎24.‎ 解:(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.‎ 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,‎ 则y=‎ 其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.‎ 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.‎ ‎(2)当x∈时,f(x)=1+a.‎ 不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.‎ 所以x≥a-2对x∈都成立.‎ 故≥a-2,即a≤.‎ 从而a的取值范围是.‎
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