高考试题——数学文海南卷

高考试题——数学文海南卷

绝密 ★ 启用前 ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式：‎ 样本数据的标准差 锥体体积公式 ‎ ‎ 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ‎ ‎ 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）设集合，则 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）已知命题 R，，则 ‎（A）R, （B）R, ‎ ‎（C）R, （D）R, ‎ ‎（3）函数在区间的简图是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）已知平面向量则向量=‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 开始 k≤50?‎ k=1‎ S=S+2k 输出S 否 是 S=0‎ k=k+1‎ 结束 ‎（5）如果执行右面的程序框图，‎ 那么输出的 ‎（A）2 450‎ ‎（B）2 500‎ ‎（C）2 550‎ ‎（D）2 652‎ ‎（6）已知成等比数列，且曲线的顶点是，则ad等于 ‎（A）3 （B）2 （C）1 （D）‎ ‎（7）已知抛物线的焦点为，点、、在抛物线上，且，则有 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（8）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 ‎20‎ ‎20‎ 正视图 ‎20‎ ‎10‎ 俯视图 ‎10‎ 侧视图 ‎20‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎（9）若，则的值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）已知三棱锥的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，，. 则球的体积与三棱锥体积之比是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表 甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩 环数 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 环数 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 环数 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ 频数 ‎6‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ 频数 ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎、、分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 .‎ ‎（14）设函数为偶函数，则 .‎ ‎（15）是虚数单位， . (用的形式表示，)‎ ‎（16）已知是等差数列，，其前5项和，则其公差 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图，A，B，C，D为空间四点. 在△ABC中，AB=2，AC=BC=. 等边三角形ADB以AB为轴转动.‎ ‎（Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；‎ D A B C ‎（Ⅱ）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 设有关于的一元二次方程.‎ ‎（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，b是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.‎ ‎（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知圆的圆心为Q，过点且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.‎ ‎（Ⅰ）求k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。 ‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 A B M C O P 如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在的内部，点M是BC的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；‎ ‎（Ⅱ）求∠OAM＋∠APM的大小.‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 ‎⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为.‎ ‎（Ⅰ）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程.‎ 绝密 ★ 启用前 ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案和评分参考 评分说明:‎ ‎1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.‎ ‎2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.‎ ‎3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ ‎4. 只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.‎ 一．选择题 ‎（1）A （2）C （3）A （4）D （5）C （6）B ‎（7）C （8）B （9）C （10）D （11）D （12）B 二．填空题 ‎（13）3 （14） （15） （16）‎ 三．解答题 ‎（17）解：‎ 在△BCD中，‎ ‎. ……2分 由正弦定理得 ‎ ……5分 所以 ‎ ‎ ……8分 在Rt△ABC中，‎ ‎ ……12分 ‎（18）解：‎ D A B C E ‎（Ⅰ）取AB的中点E，连结DE，CE，因为ADB是等边三角形，所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE. ……2分 由已知可得DE=，EC=1.‎ 在Rt△DEC中，‎ ‎ ……6分 ‎（Ⅱ）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.‎ ‎ ……8分 证明：‎ ‎（ⅰ）当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD. ……9分 ‎（ⅱ）当D不在平面ABC内时，由（Ⅰ）知AB⊥DE. 又因AC=BC，所以AB⊥CE. ‎ 又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由平面CDE，得AB⊥CD.‎ 综上所述，总有AB⊥CD. ……12分 ‎（19）解：‎ 的定义域为.‎ ‎（Ⅰ）. ……3分 当时，；当时，；当时，.从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少.‎ ‎ ……7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为. ……9分 又 ‎ 所以在区间的最大值为. ……12分 ‎（20）解：‎ 设事件A为“方程有实根”.‎ 当，时，方程有实根的充要条件为.‎ ‎（Ⅰ）基本事件共有12个：‎ ‎(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2) .‎ 其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.‎ 事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为 ‎. ……6分 ‎（Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为 ‎.‎ 构成事件A的区域为 ‎.‎ 所以所求的概率为 ‎. ……12分 ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为. 过且斜率为k的直线方程为 ‎，‎ 代入圆方程得 ‎，‎ 整理得 . ① ……3分 直线与圆交于两个不同的点A、B等价于 解得，即k的取值范围为. ……6分 ‎（Ⅱ）设，则，‎ 由方程①，‎ ‎. ②‎ 又 . ③ ……8分 而.‎ 所以与共线等价于 ‎，‎ 将②③代入上式，解得. ……11分 由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数k. ……12分 A B M C O P ‎（22）‎ ‎（Ⅰ）证明：连结OP，OM.‎ 因为AP与⊙O相切于点P，所以 OP⊥AP.‎ 因为M是⊙O的弦BC的中点，所以 OM⊥BC.‎ 于是∠OPA＋∠OMA=180°，由圆心O在的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆. ……6分 ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以 ‎∠OAM=∠OPM.‎ 由（Ⅰ）得OP⊥AP.‎ 由圆心O在的内部，可知∠OPM＋∠APM=90°.‎ 所以∠OAM＋∠APM=90°. ……10分 ‎（23）解：‎ 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.‎ ‎（Ⅰ），由得 ‎，‎ 所以.‎ 即为⊙O1的直角坐标方程.‎ 同理为⊙O2的直角坐标方程. ……6分 ‎（Ⅱ）由 解得 ‎ 即⊙O1，⊙O2交于点（0，0）和. 过交点的直线的直角坐标方程为.‎ ‎ ……10分 ‎ ‎