2020版高考数学大二轮复习 板块二 练透基础送分小考点 第1讲 集合与常用逻辑用语优选习题 文
第1讲 集合与常用逻辑用语
[考情考向分析] 1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．
1．(2018·全国Ⅰ)已知集合A＝，则∁RA等于( )
A．{x|－1
2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
答案 B
解析 ∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．
由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}．
故选B.
2．(2018·安徽省江南十校联考)已知集合A＝{x|y＝ln(1－2x)}，B＝{x|ex>1}，则( )
A．A∪B＝{x|x>0} B．A∩B＝
C．A∩∁RB＝ D．(∁RA)∪B＝R
答案 B
解析 ∵A＝{x|y＝ln(1－2x)}＝，
B＝{x|ex>1}＝{x|x>0}，
∴A∩B＝，故选B.
3．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．在下列四个命题中，为p的逆否命题的是( )
A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格
B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分
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D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分
答案 C
解析 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，p的逆否命题是：若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分．故选C.
4．(2018·长春模拟)设命题p：∀x∈(0，＋∞)，lnx≤x－1，则綈p是
A．綈p：∀x∈(0，＋∞)，lnx>x－1
B．綈p：∀x∈(－∞，0]，lnx>x－1
C．綈p：∃x0∈(0，＋∞)，lnx0>x0－1
D．綈p：∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≤x0－1
答案 C
解析 因为全称命题的否定是特称(存在性)命题，
所以命题p：∀x∈(0，＋∞)，lnx≤x－1的否定綈p为∃x0∈(0，＋∞)，lnx0>x0－1.故选C.
5．(2018·宜昌调研)已知命题p：∃x0∈，x0≥sinx0，则命题p的否定为( )
A．∀x∈，x≥sinx
B．∃x0∈，x00，所以ab＝1或ab＝－1，
取a＝－3，b＝，则a＋b＝－<2，
故p2为假命题，所以p1∨(綈p2)为真命题，故选B.
10．(2018·漳州调研)已知命题p：椭圆25x2＋9y2＝225与双曲线x2－3y2＝12有相同的焦点；命题q：函数f(x)＝的最小值为，下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．綈(p∨q) D．p∧(綈q)
答案 B
解析 p中椭圆为＋＝1，双曲线为－＝1，焦点坐标分别为(0，±4)和(±4,0)，故p为假命题；q中f(x)＝＝＝＋，设t＝≥2(当且仅当x＝0时，等号成立)，则f(t)＝t＋在区间[2，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝，故q为真命题．
所以(綈p)∧q为真命题，故选B.
11．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成的集合是S，则C(S)等于( )
A．4B．3C．2D．1
答案 B
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解析 由A＝{1,2}，得C(A)＝2，
由A*B＝1，得C(B)＝1或C(B)＝3.
由(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0，
得x2＋ax＝0或x2＋ax＋2＝0.
当C(B)＝1时，方程(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0只有实根x＝0，这时a＝0；
当C(B)＝3时，必有a≠0，这时x2＋ax＝0有两个不相等的实根x1＝0，x2＝－a，方程x2＋ax＋2＝0必有两个相等的实根，且异于x1＝0，x2＝－a.由Δ＝a2－8＝0，得a＝±2，可验证均满足题意，故S＝{－2，0,2}，故C(S)＝3.
12．已知集合A＝{x|x>2}，集合B＝{x|x>3}，以下命题正确的个数是( )
①∃x0∈A，x0∉B；②∃x0∈B，x0∉A；③∀x∈A都有x∈B；④∀x∈B都有x∈A.
A．4B．3C．2D．1
答案 C
解析 因为A＝{x|x>2}，B＝{x|x>3}，所以B⊆A，即B是A的子集，①④正确，②③错误，故选C.
13．设全集U＝R，函数f(x)＝lg(|x＋1|＋a－1)(a<1)的定义域为A，集合B＝{x|cosπx＝1}，若(∁UA)∩B恰好有两个元素，则a的取值集合为__________．
答案 {a|－20，可得x>－a或xf(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．
答案 f(x)＝sinx(答案不唯一)
解析 设f(x)＝sinx，则f(x)在上是增函数，在上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0,2]时，f(x)>f(0)＝sin0＝0，故f(x)＝sinx满足条件f(x)>f(0)
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对任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函数．
15．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______________．
答案
解析 p：|4x－3|≤1，∴≤x≤1；
q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，∴a≤x≤a＋1.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件，
∴(等号不能同时成立)，∴0≤a≤.
16．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；
②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的一个拓扑的集合τ是______．(填序号)
答案 ②④
解析 ①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，但是{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，所以①错；②④都满足集合X上的一个拓扑集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，所以③错．
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