高考数学第九章平面解析几何第10课时直线与圆锥曲线的综合应用更多资料关注微博高中学习资料库

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第九章　平面解析几何第10课时　直线与圆锥曲线的综合应用 ‎1. 直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________．‎ 答案：相交 解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．‎ ‎2. 椭圆＋＝1的两焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为________．‎ 答案：20‎ 解析：△PQF2的周长＝4a＝20.‎ ‎3. 已知双曲线方程是x2－＝1，过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1、P2两点，并使P(2，1)为P1P2的中点，则此直线方程是____________．‎ 答案：4x－y－7＝0‎ 解析：设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x－＝1，x－＝1，得k＝＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．‎ ‎4. 若斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．‎ 答案： 解析：由题意易知两交点的横坐标为－c、c，纵坐标分别为－、，所以由＝得2b2＝ac＝2(a2－‎ c2)，即2e2＋e－2＝0，解得e＝或e＝－(负根舍去)．‎ ‎5. 已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为____________．‎ 答案：－＝1‎ 解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 两式作差得＝＝＝，又AB的斜率是＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是－＝1.‎ ‎1. 直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．‎ 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：‎ Δ>0直线与圆锥曲线相交；‎ Δ＝0直线与圆锥曲线相切；‎ Δ<0直线与圆锥曲线相离．‎ 若a＝0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．‎ ‎2. 圆锥曲线的弦长问题 设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长AB＝|x1－x2|或|y1－y2|.‎ ‎[备课札记]‎ 题型1　如何研究直线与圆锥曲线中的分线段成比例的问题 例1　已知曲线E：ax2＋by2＝1(a>0，b>0)，经过点M的直线l与曲线E交于点A、B，且＝－2.‎ ‎(1) 若点B的坐标为(0，2)，求曲线E的方程；‎ ‎(2) 若a＝b＝1，求直线AB的方程．‎ 解：(1) 设A(x0，y0)，由已知B(0，2)，M(，0)，所以＝，＝(x0－，y0)．‎ 由于＝－2，所以(－，2)＝－2(x0－，y0)，所以即A(，－1)，将A、B点的坐标代入曲线E的方程，得解得 所以曲线E的方程为x2＋＝1.‎ ‎(2) 当a＝b＝1时，曲线E为圆x2＋y2＝1，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．又＝－2，‎ 所以＝－2(x1－，y1)，‎ 即有x＋y＝1 ①，x＋y＝1 ②，由①×4－②，得(2x1＋x2)(2x1－x2)＝3，所以2x1－x2＝，解得x1＝，x2＝0.由x1＝，得y1＝±.当A时，B(0，－1)，此时kAB＝－，直线AB的方程为y＝－x＋1；‎ 当A时，B(0，1)，此时kAB＝，直线AB的方程为y＝x－1.‎ 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A、B两点．若＝3，则k＝________．‎ 答案： 解析：定点F分线段AB成比例，从而分别可以得出A、B两点横坐标之间关系式、纵坐标之间关系式，再把A、B点的坐标代入椭圆方程＋＝1，四个方程联立方程组，解出根，得出A、B两点的坐标，进而求出直线AB的方程．‎ 由已知e＝＝＝，所以a＝2b，‎ 所以a＝c，b＝.‎ 椭圆方程＋＝1变为x2＋3y2＝c2.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又＝3，‎ 所以(c－x1，－y1)＝3(x2－c，y2)，‎ 所以所以 x＋ 3y＝ c2，①‎ x＋ 3y＝ c2，②‎ ‎①－9×②，得(x1＋3x2)(x1－3x2)＋3(y1＋3y2)(y1－3y2)＝－8c2，所以×4c(x1－3x2)＝－8c2，‎ 所以 x1－3x2＝－c，所以x1＝c，x2＝c.‎ 从而y1＝－c，y2＝c，‎ 所以A，B，故k＝.‎ 题型2　有关垂直的问题 例2　如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.‎ ‎(1) 若直线PA平分线段MN，求k的值；‎ ‎(2) 当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；‎ ‎(3) 对任意k>0，求证：PA⊥PB.‎ ‎(1) 解：由题设知，a＝2，b＝，故M(－2，0)，N(0，－)，所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点．又直线PA过坐标原点，所以k＝＝.‎ ‎(2) 解：将直线PA的方程y＝2x代入椭圆方程＋＝1，解得x＝±，因此P，A.于是C，直线AC的斜率为＝1，故直线AB的方程为x－y－＝0.因此，d＝＝.‎ ‎(3) 证明：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1，0)，设直线PA、PB、AB的斜率分别为k、k1、k2.因为C在直线AB上，所以k2＝＝＝.从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2··＋1＝＋1＝＝＝0.‎ 因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.‎ 如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，直线l：x＝4是椭圆C的右准线 ‎，F到直线l的距离等于3.‎ ‎(1) 求椭圆C的方程；‎ ‎(2) 点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M.是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 解：(1) 设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知，得∴∴b＝.‎ 所以椭圆C的方程为＋ ＝1.‎ ‎(2) 由＝e＝，得PF＝PM.∴PF≠PM.‎ ‎①若PF＝FM，则PF＋FM＝PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF不可能与PM相等．‎ ‎②若FM＝PM，设P(x，y)(x≠±2)，则M(4，y)．∴＝4－x，∴9＋y2＝16－8x＋x2.又由＋＝1，得y2＝3－x2.∴9＋3－x2＝16－8x＋x2，‎ ‎∴x2－8x＋4＝0.∴7x2－32x＋16＝0.∴x＝或x＝4.‎ ‎∵x∈(－2，2)，∴x＝.∴P.综上，存在点P，使得△PFM为等腰三角形．‎ 题型3　直线与圆锥曲线 例3　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.‎ ‎(1) 设动点P满足PF2－PB2＝4，求点P的轨迹；‎ ‎(2) 设x1＝2，x2＝，求点T的坐标；‎ ‎(3) 设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．‎ ‎(1) 解：设点P(x，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF2－PB2＝4，得(x－2)2＋y2－[(x－3)2＋y2]＝4，化简得x＝，故所求点P的轨迹为直线x＝.‎ ‎(2) 解：将x1＝2，x2＝分别代入椭圆方程，以及y1>0，y2<0得M、N.直线MTA的方程为＝，即y＝x＋1.直线NTB的方程为＝，即y＝x－.联立方程组，解得所以点T的坐标为.‎ ‎(3) 证明：点T的坐标为(9，m)，直线MTA的方程为＝，即y＝ ‎(x＋3)．直线NTB的方程为＝，即y＝(x－3)．‎ 分别与椭圆＋＝1联立方程组，同时考虑到x1≠－3，x2≠3，解得M、N(，－)．‎ ‎(证法1)当x1≠x2时，直线MN的方程为＝，令y＝0，解得x＝1，此时必过点D(1，0)；当x1＝x2时，直线MN的方程为x＝1，与x轴交点为D(1，0)，所以直线MN必过x轴上的一定点D(1，0)．‎ ‎(证法2)若x1＝x2，则由＝及m>0，得m＝2，此时直线MN的方程为x＝1，‎ 过点D(1，0)．若x1≠x2，则m≠2.‎ 直线MD的斜率kMD＝＝，‎ 直线ND的斜率kND＝＝，‎ 得kMD＝kND，所以直线MN过D点．‎ 因此，直线MN必过x轴上的点D(1，0)．‎ 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.‎ ‎(1) 求椭圆C的方程；‎ ‎(2) 当△AMN的面积为时，求k的值．‎ 解：(1) 由题意得解得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2) 由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，‎ x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以MN＝ ‎＝ ‎＝.‎ 又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，所以△AMN的面积为S＝MN·d＝.由＝，解得k＝±1.‎ ‎【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分16分)‎ 已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点．‎ ‎(1) 求双曲线的方程；‎ ‎(2) 若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．‎ 学生错解：解：(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(2，0)，直线l：y＝k(x－2)，‎ 由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，‎ ‎△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|＝2|k|·＝6k4＋8k2－9＝0k2＝1k＝±1，所以直线l的方程为y＝±(x－2)．‎ 审题引导： (1) 直线与双曲线相交问题时的处理方法；‎ ‎(2) △F1AB面积的表示．‎ 规范解答： 解：(1) 依题意，b＝，＝2a＝1，c＝2，(4分)‎ ‎∴双曲线的方程为x2－＝1.(6分)‎ ‎(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F2(2，0)，直线l：y＝k(x－2)，‎ 由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，(8分)‎ k≠±时，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，(10分)‎ ‎△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝2|k|·＝6k4＋8k2－9＝0k2＝1k＝±1，(14分)‎ 所以直线l的方程为y＝±(x－2)．(16分)‎ 错因分析： 解本题时容易忽略二次项系数不为零，即k≠±这一条件．‎ ‎1. 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．‎ 答案：[－1，1]‎ 解析：易知抛物线y2＝8x的准线x＝－2与x轴的交点为Q(－2，0)，于是，可设过点Q(－2，0)的直线l的方程为y＝k(x＋2)(由题可知k是存在的)，联立 k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.其判别式为Δ＝(4k2－8)2－16k4＝－64k2＋64≥0，可解得－1≤k≤1.‎ ‎2. 如图，过抛物线C：y2＝4x上一点P(1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A(x，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎(1) 求y1＋y2的值；‎ ‎(2) 若y1≥0，y2≥0，求△PAB面积的最大值．‎ 解：(1) 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线C：y2＝4x上，所以A，B，kPA＝＝＝，同理kPB＝，依题意有kPA＝－kPB，因为＝－，所以y1＋y2＝4.‎ ‎(2) 由(1)知kAB＝＝1，设AB的方程为y－y1＝x－，即x－y＋y1－＝0，P到AB的距离为d＝，AB＝·＝|y1－y2|＝2|2－y1|，所以S△PAB＝××2|2－y1|＝|y－4y1－12||y1－2|＝|(y1－2)2－16|·|y1－2|，令y1－2＝t，由y1＋y2＝4，y1≥0，y2≥0，可知－2≤t≤2.S△PAB＝|t3－16t|，因为S△PAB＝|t3－16t|为偶函数，只考虑0≤t≤2的情况，记f(t)＝|t3－16t|＝16t－t3，f′(t)＝16－3t2>0，故f(t)在[0，2]是单调增函数，故f(t)的最大值为f(2)＝24，故S△PAB的最大值为6.‎ ‎3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x＋1)2＋y2＝16，点F(1，0)，E是圆C上的一个动点，EF的垂直平分线PQ与CE交于点B，与EF交于点D.‎ ‎(1) 求点B的轨迹方程；‎ ‎(2) 当点D位于y轴的正半轴上时，求直线PQ的方程；‎ ‎(3) 若G是圆C上的另一个动点，且满足FG⊥FE，记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．‎ 解：(1) 连结BF，由已知BF＝BE，所以BC＋BF＝BC＋BE＝CE＝4，‎ 所以点B的轨迹是以C、F为焦点，长轴为4的椭圆，所以B点的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎(2) 当点D位于y轴的正半轴上时，因为D是线段EF的中点，O为线段CF的中点，所以CE∥OD，且CE＝2OD，所以E、D的坐标分别为(－1，4)和(0，2)．‎ 因为PQ是线段EF的垂直平分线，所以直线PQ的方程为y＝x＋2，即直线PQ的方程为x－2y＋4＝0.‎ ‎(3) 设点E、G的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则点M的坐标为，因为点E、G均在圆C上，且FG⊥FE，所以(x1＋1)2＋y＝16，①　(x2＋1)2＋y＝16，②‎ ‎(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，③‎ 所以x＋y＝15－2x1，x＋y＝15－2x2，x1x2＋y1y2＝x1＋x2－1.所以MO2＝[(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2]＝·[(x＋y)＋(x＋y)＋2(x1x2＋y1y2)]＝[15－2x1＋15－2x2＋2(x1＋x2－1)]＝7，即M点到坐标原点O的距离为定值，且定值为.‎ ‎4. 给定椭圆C：＋＝1(a>b>0)，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为.‎ ‎(1) 求椭圆C和其“准圆”的方程；‎ ‎(2) 若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求·的取值范围；‎ ‎(3) 在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直？并说明理由．‎ 解：(1) 由题意知c＝，且a＝＝，可得b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1，其“准圆”方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(2) 由题意，可设B(m，n)，D(m，－n)(－0)，则ON的方程为y＝－x(k>0)．联立方程组解得 M.同理可得N.‎ 因为点N到直线OM的距离为d＝，OM＝＝2，所以△OMN的面积S＝d·OM＝··2＝1，故△OMN的面积为定值．‎ ‎1. 若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为________．‎ 答案： 解析：依题意得，c＋＝×2c，即b＝c(其中c是双曲线的半焦距)，a＝＝ c，则＝，因此该双曲线的离心率等于.‎ ‎2. 如图，设E：＋＝1(a＞b＞0)的焦点为F1与F2，且P∈E，∠F1PF2＝2θ.求证：△PF1F2的面积S＝b2tanθ.‎ 证明：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则S＝r1r2sin2θ.‎ 又|F1F2|＝2c，‎ 由余弦定理有(2c)2＝r＋r－2r1r2cos2θ＝(r1＋r2)2－2r1r2－2r1r2cos2θ＝(2a)2－2r1r2(1＋cos2θ)，‎ 于是2r1r2(1＋cos2θ)＝4a2－4c2＝4b2.‎ 所以r1r2＝.‎ 这样即有S＝·sin2θ＝b2＝b2tanθ.‎ ‎3. 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴的一个端点为M(0，1)，直线l：y＝kx－与椭圆相交于不同的两点A、B.‎ ‎(1) 若AB＝，求k的值；‎ ‎(2) 求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.‎ ‎(1) 解：由题意知＝，b＝1.‎ 由a2＝b2＋c2可得c＝b＝1，a＝，‎ ‎∴椭圆的方程为＋y2＝1.‎ 由得(2k2＋1)x2－kx－＝0.‎ Δ＝k2－4(2k2＋1)×＝16k2＋＞0恒成立，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝－.‎ ‎∴ AB＝·|x1－x2|＝·＝＝，化简得23k4－13k2－10＝0，即(k2－1)(23k2＋10)＝0，解得k＝±1.‎ ‎(2) 证明：∵ ＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，‎ ‎∴·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝(1＋k2)x1x2－·k(x1＋x2)＋＝－－＋＝0.‎ ‎∴不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.‎ ‎4. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P，A为上顶点，F为右焦点．点Q(0，t)是线段OA(除端点外)上的一个动点，‎ 过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M，以QM为直径的圆的圆心为N.‎ ‎(1) 求椭圆方程；‎ ‎(2) 若圆N与x轴相切，求圆N的方程；‎ ‎(3) 设点R为圆N上的动点，点R到直线PF的最大距离为d，求d的取值范围．‎ 解：(1) ∵ e＝不妨设c＝3k，a＝5k，则b＝4k，其中k>0，故椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵ P在椭圆上，∴＋＝1解得k＝1，∴椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2) kAP＝＝－ , 则直线AP的方程为y＝－x＋4，‎ 令y＝t ，则x＝∴ M.∵ Q(0，t)∴ N，‎ ‎∵圆N与x轴相切，∴＝t ，由题意M为第一象限的点，则＝t，解得t＝.∴ N，圆N的方程为＋＝.‎ ‎(3) F(3，0)，kPF＝，∴直线PF的方程为y＝(x－3)即12x－5y－36＝0，‎ ‎∴点N到直线PF的距离为＝＝，‎ ‎∴ d＝＋(4－t)，∵ 0

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