浙江高考数学理科试卷带详解

浙江高考数学理科试卷带详解

‎2015年全国高考数学 浙江卷 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(15浙江高考)已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【参考答案】C ‎【测量目标】集合的运算.‎ ‎【试题分析】由题意得，，，故选C.‎ ‎2. (15浙江高考)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）‎ A.8 B‎.12‎ C. D. ‎ 第2题图 ‎ ‎【参考答案】C ‎【测量目标】三视图.‎ ‎【试题分析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，体积，故选C.‎ ‎3. (15浙江高考)已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【参考答案】B ‎【测量目标】等差数列的通项公式及前项和，等比数列的概念. ‎ ‎【试题分析】等差数列，成等比数列，‎ ‎，‎ ‎，，故选B.‎ ‎4. (15浙江高考)命题“且”的否定形式是（ ）‎ A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 ‎【参考答案】D ‎【测量目标】命题的否定.‎ ‎【试题分析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.‎ ‎5. (15浙江高考)如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则△与△的面积之比是（ ）‎ 第5题图 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【参考答案】A ‎【测量目标】抛物线的标准方程及其性质.‎ ‎【试题分析】，故选A.‎ ‎6. (15浙江高考)设是有限集，定义，其中表示有限集中的元素个数，‎ 命题①：对任意有限集，“”是“”的充要条件；‎ 命题②：对任意有限集，，‎ A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立，命题②不成立 D.命题①不成立，命题②成立 ‎【参考答案】A ‎【测量目标】集合的性质.‎ ‎【试题分析】命题①显然正确，通过下面文氏图亦可知表示的区域不大于的区域，故命题②也正确，故选A.‎ 第6题图 ‎ ‎7. (15浙江高考)存在函数满足，对任意都有（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【参考答案】D ‎【测量目标】函数的概念.‎ ‎【试题分析】A：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，A错误；同理可知B错误，C：取，可知，再取，可知，矛盾，C错误，D：令，符合题意，故选D.‎ ‎8. (15浙江高考)如图，已知△，是的中点，沿直线将△折成△，所成二面角的平面角，则（ ）‎ 第8题图 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【参考答案】B ‎【测量目标】立体几何中的动态问题.‎ ‎【试题分析】根据折叠过程可知与的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易得，当且仅当时，等号成立，故选B.‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.‎ ‎9. (15浙江高考)双曲线的焦距是_________，渐近线方程是__________.‎ ‎【参考答案】，.‎ ‎【测量目标】双曲线的标准方程及其性质.‎ ‎【试题分析】由题意得：，焦距为，渐近线方程.‎ ‎10. (15浙江高考)已知函数，则_________，的最小值是___________.‎ ‎【参考答案】0，.‎ ‎【测量目标】分段函数.‎ ‎【试题分析】，当时，，当且仅当时，等号成立，当时，，当且仅当时，等号成立，故最小值为.‎ ‎11. (15浙江高考)函数的最小正周期是__________，单调递减区间是_________.‎ ‎【参考答案】.‎ ‎【测量目标】三角恒等变形，三角函数的性质.‎ ‎【试题分析】，故最小正周期为，单调递减区间为 ‎.‎ ‎12. (15浙江高考)若，则________.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【测量目标】对数的计算.‎ ‎【试题分析】.‎ ‎13. (15浙江高考)如图，三棱锥中，,点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是____________.‎ 第13题图 ‎ ‎【参考答案】‎ ‎【测量目标】异面直线的夹角.‎ ‎【试题分析】如下图，连结，取中点，连结，则可知即为异面直线所成角（或其补角）易得:，,,‎ ‎，即异面直线所成角的余弦值为.‎ 第13题图 ‎ ‎14. (15浙江高考)若实数满足，则的最小值是_________.‎ ‎【参考答案】3‎ ‎【测量目标】线性规划的运用，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系.‎ ‎【试题分析】表示圆及其内部，易得直线与圆相离，故，当时，‎ ‎，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数，则可知当时，，当时，，可行域为大的弓形内部，目标函数，同理可知当时，，综上所述，的最小值为3.‎ 第14题图 ‎ ‎15. (15浙江高考)已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则______，_______，_________.‎ ‎【参考答案】，，‎ ‎【测量目标】平面向量的模长，函数值的最值.‎ ‎【试题分析】问题等价于当且仅当时，取得最小值1，两边平方即在时，取得最小值1，‎ ‎， .‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16. (15浙江高考)（本小题满分14分）‎ 在△中，内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若△的面积为7，求的值.‎ ‎【测量目标】三角恒等变形，正弦定理.‎ ‎【试题分析】（1）由及正弦定理得，，又由，即，得,解得；（2）由，得，又，，由正弦定理得，又，故.‎ ‎17. (15浙江高考)（本题满分15分）如图，在三棱柱中，，在底面的射影为的中点，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面;‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值.‎ 第17题图 ‎ ‎【测量目标】线面垂直的判定与性质，二面角的求解.‎ ‎【试题分析】（1）设为中点，由题意得平面，，，故平面，由分别为的中点，得且，从而，所以四边形为平行四边形，故，又平面，平面；（2）作，且 ‎，连结，由，，得,由，得，由，得，因此为二面角的平面角，由，且由余弦定理得，.‎ 第17题图 ‎ ‎18. (15浙江高考)（本题满分15分）已知函数，记是在区间上的最大值.‎ ‎（1）证明：当时，；‎ ‎（2）当满足时，求的最大值.‎ ‎【测量目标】二次函数的性质，分类讨论的思想.‎ ‎【试题分析】（1）由，得对称轴为直线，由得，故在上单调，，当时，由，得，即；当时，由，得，即，综上，当时，；（2）由得，故，由，得，当时，，且在上的最大值为，即，所以的最大值为.‎ ‎19. (15浙江高考)（本题满分15分）已知椭圆上两个不同的点关于直线对称.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求△的面积最大值（为坐标原点）.‎ 第17题图 ‎ ‎【测量目标】直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，求函数最值.‎ ‎【试题分析】（1）由题知，可设直线的方程为，由消去，得，直线与椭圆有两个不同的交点， ①‎ 将中点代入直线方程解得 ②‎ 由①②得或；（2）令，则，且到直线的距离为，设△的面积为，，当且仅当时，等号成立，故△面积的最大值为.‎ ‎20. (15浙江高考)（本题满分15分）已知数列满足且 ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设数列的前项和为，证明.‎ ‎【测量目标】数列与不等式结合综合题.‎ ‎【试题分析】（1）由题意得，，即，由得，由得 ‎，即；（2）由题意得，①，由和得，，因此②，由①②得.‎