2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)

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文档介绍

2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)

‎2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.(5分)函数的定义域为(  )‎ A.{x|x≥0} B.{x|x≥1} C.{x|x≥1}∪{0} D.{x|0≤x≤1}‎ ‎2.(5分)掷一个骰子,向上一面的点数大于2且小于5的概率为p1,拋两枚硬币,正面均朝上的概率为p2,则(  )‎ A.p1<p2 B.p1>p2 C.p1=p2 D.不能确定 ‎3.(5分)在△ABC中,=,=.若点D满足=2,则=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(5分)设a∈R,且(a+i)2i为正实数,则a=(  )‎ A.2 B.1 C.0 D.﹣1‎ ‎5.(5分)已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=(  )‎ A.138 B.135 C.95 D.23‎ ‎6.(5分)若函数y=f(x)的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称,则f(x)=(  )‎ A.e2x﹣2 B.e2x C.e2x+1 D.e2x+2‎ ‎7.(5分)设曲线在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=(  )‎ A.2 B. C. D.﹣2‎ ‎8.(5分)为得到函数的图象,只需将函数y=sin2x的图象(  )‎ A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位 ‎9.(5分)设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式 ‎<0的解集为(  )‎ A.(﹣1,0)∪(1,+∞) B.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) D.(﹣1,0)∪(0,1)‎ ‎10.(5分)若直线=1与圆x2+y2=1有公共点,则(  )‎ A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C. D.‎ ‎11.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.(5分)如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为(  )‎ A.96 B.84 C.60 D.48‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.(5分)若x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为  .‎ ‎14.(5分)已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为  .‎ ‎15.(5分)在△ABC中,AB=BC,‎ ‎.若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=  .‎ ‎16.(5分)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C﹣AB﹣D的余弦值为,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值等于  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17.(10分)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB﹣bcosA=c.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求tan(A﹣B)的最大值.‎ ‎18.(12分)四棱锥A﹣BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,,AB=AC.‎ ‎(Ⅰ)证明:AD⊥CE;‎ ‎(Ⅱ)设CE与平面ABE所成的角为45°,求二面角C﹣AD﹣E的大小.‎ ‎19.(12分)已知函数f(x)=﹣x2+ax+1﹣lnx.‎ ‎(Ⅰ)当a=3时,求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)在区间(0,)上是减函数,求实数a的取值范围.‎ ‎20.(12分)已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方法:‎ 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.‎ 方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.‎ ‎(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;‎ ‎(Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化验次数,求ξ的期望.‎ ‎21.(12分)双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知||、||、||成等差数列,且与同向.‎ ‎(Ⅰ)求双曲线的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.‎ ‎22.(12分)设函数f(x)=x﹣xlnx.数列{an}满足0<a1<1,an+1=f(an).‎ ‎(Ⅰ)证明:函数f(x)在区间(0,1)是增函数;‎ ‎(Ⅱ)证明:an<an+1<1;‎ ‎(Ⅲ)设b∈(a1,1),整数.证明:ak+1>b.‎ ‎ ‎ ‎2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.(5分)(2008•全国卷Ⅰ)函数的定义域为(  )‎ A.{x|x≥0} B.{x|x≥1} C.{x|x≥1}∪{0} D.{x|0≤x≤1}‎ ‎【分析】偶次开方的被开方数一定非负.x(x﹣1)≥0,x≥0,解关于x的不等式组,即为函数的定义域.‎ ‎【解答】解:由x(x﹣1)≥0,得x≥1,或x≤0.‎ 又因为x≥0,所以x≥1,或x=0;所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2008•全国卷Ⅰ)掷一个骰子,向上一面的点数大于2且小于5的概率为p1,拋两枚硬币,正面均朝上的概率为p2,则(  )‎ A.p1<p2 B.p1>p2 C.p1=p2 D.不能确定 ‎【分析】计算出各种情况的概率,然后比较即可.‎ ‎【解答】解:大于2小于5的数有2个数,‎ ‎∴p1==;‎ 投掷一次正面朝上的概率为,‎ 两次正面朝上的概率为p2=×=,∵>,‎ ‎∴p1>p2.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2008•全国卷Ⅰ)在△ABC中,=,=.若点D满足=2,则=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】把向量用一组向量来表示,做法是从要求向量的起点出发,尽量沿着已知向量,走到要求向量的终点,把整个过程写下来,即为所求.本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手.‎ ‎【解答】解:∵由,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 故选A ‎ ‎ ‎4.(5分)(2008•全国卷Ⅰ)设a∈R,且(a+i)2i为正实数,则a=(  )‎ A.2 B.1 C.0 D.﹣1‎ ‎【分析】注意到a+bi(a,b∈R)为正实数的充要条件是a>0,b=0‎ ‎【解答】解:(a+i)2i=(a2+2ai﹣1)i=﹣2a+(a2﹣1)i>0,a=﹣1.故选D.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2008•全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=(  )‎ A.138 B.135 C.95 D.23‎ ‎【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质,及等差数列前n项和,根据a2+a4=4,a3+a5=10我们构造关于基本量(首项及公差)的方程组,解方程组求出基本量(首项及公差),进而代入前n项和公式,即可求解.‎ ‎【解答】解:∵(a3+a5)﹣(a2+a4)=2d=6,‎ ‎∴d=3,a1=﹣4,‎ ‎∴S10=10a1+=95.‎ 故选C ‎ ‎ ‎6.(5分)(2008•全国卷Ⅰ)若函数y=f(x)的图象与函数y=ln 的图象关于直线y=x对称,则f(x)=(  )‎ A.e2x﹣2 B.e2x C.e2x+1 D.e2x+2‎ ‎【分析】由函数y=f(x)的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函数,故只要求出函数y=f(x)的反函数即可,欲求原函数的反函数,即从原函数y=ln中反解出x,后再进行x,y互换,即得反函数的解析式.‎ ‎【解答】解:∵,∴,∴x=(ey﹣1)2=e2y﹣2,改写为:y=e2x﹣2‎ ‎∴答案为A.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2008•全国卷Ⅰ)设曲线在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=(  )‎ A.2 B. C. D.﹣2‎ ‎【分析】(1)求出已知函数y在点(3,2)处的斜率;‎ ‎(2)利用两条直线互相垂直,斜率之间的关系k1•k2=﹣1,求出未知数a.‎ ‎【解答】解:∵y=∴y′=﹣‎ ‎∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣‎ ‎∵切线与直线ax+y+1=0垂直 ‎∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a.‎ ‎∴﹣•(﹣a)=﹣1得a=﹣2‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2008•全国卷Ⅰ)为得到函数的图象,只需将函数y=sin2x的图象(  )‎ A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位 ‎【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式,再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案.‎ ‎【解答】解:∵,‎ 只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2008•全国卷Ⅰ)设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为(  )‎ A.(﹣1,0)∪(1,+∞) B.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) D.(﹣1,0)∪(0,1)‎ ‎【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f(x)异号,‎ 然后由奇函数定义求出f(﹣1)=﹣f(1)=0,‎ 最后结合f(x)的单调性解出答案.‎ ‎【解答】解:由奇函数f(x)可知,即x与f(x)异号,‎ 而f(1)=0,则f(﹣1)=﹣f(1)=0,‎ 又f(x)在(0,+∞)上为增函数,则奇函数f(x)在(﹣∞,0)上也为增函数,‎ 当0<x<1时,f(x)<f(1)=0,得<0,满足;‎ 当x>1时,f(x)>f(1)=0,得>0,不满足,舍去;‎ 当﹣1<x<0时,f(x)>f(﹣1)=0,得<0,满足;‎ 当x<﹣1时,f(x)<f(﹣1)=0,得>0,不满足,舍去;‎ 所以x的取值范围是﹣1<x<0或0<x<1.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2008•全国卷Ⅰ)若直线=1与圆x2+y2=1有公共点,则(  )‎ A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C. D.‎ ‎【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径,可以得到结果.‎ ‎【解答】解:直线与圆有公共点,即直线与圆相切或相交得:d≤r ‎,∴‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2008•全国卷Ⅰ)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】法一:由题意可知三棱锥A1﹣ABC为正四面体,设棱长为2,求出AB1及三棱锥的高,由线面角的定义可求出答案;‎ 法二:先求出点A1到底面的距离A1D的长度,即知点B1到底面的距离B1E的长度,再求出AE的长度,在直角三角形AEB1中求AB1与底面ABC所成角的正切,再由同角三角函数的关系求出其正弦.‎ ‎【解答】解:(法一)因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,设为D,‎ 所以三棱锥A1﹣ABC为正四面体,设棱长为2,‎ 则△AA1B1是顶角为120°等腰三角形,‎ 所以AB1=2×2×sin60°=2,A1D==,‎ 所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为==;‎ ‎(法二)由题意不妨令棱长为2,点B1到底面的距离是B1E,‎ 如图,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,设为D,‎ 故DA=,‎ 由勾股定理得A1D==故B1E=,‎ 如图作A1S⊥AB于中点S,‎ 易得A1S=,所以AB1==2,‎ 所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2008•全国卷Ⅰ)如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为(  )‎ A.96 B.84 C.60 D.48‎ ‎【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些,只要分类清楚没有问题,分为三类:分别种两种花、三种花、四种花,分这三类来列出结果.‎ ‎【解答】解:分三类:种两种花有A42种种法;‎ 种三种花有2A43种种法;‎ 种四种花有A44种种法.‎ 共有A42+2A43+A44=84.‎ 故选B ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.(5分)(2008•全国卷Ⅰ)若x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为 9 .‎ ‎【分析】首先作出可行域,再作出直线l0:y=2x,将l0平移与可行域有公共点,直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小时,z有最大值,求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标,代入z=2x﹣y中即可.‎ ‎【解答】解:如图,作出可行域,作出直线l0:y=2x,将l0平移至过点A处时,函数z=2x﹣y有最大值9.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2008•全国卷Ⅰ)已知抛物线y=ax2‎ ‎﹣1的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 2 .‎ ‎【分析】先根据抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点,求得a,得到抛物线方程,进而可知与坐标轴的交点的坐标,进而可得答案.‎ ‎【解答】解:由抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点得,‎ ‎,则 与坐标轴的交点为(0,﹣1),(﹣2,0),(2,0)‎ ‎,则以这三点围成的三角形的面积为 故答案为2‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2008•全国卷Ⅰ)在△ABC中,AB=BC,.若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=  .‎ ‎【分析】设AB=BC=1,,则,由此可知,从而求出该椭圆的离心率.‎ ‎【解答】解:设AB=BC=1,,则,‎ ‎∴,.‎ 答案:.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)(2008•全国卷Ⅰ)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C﹣AB﹣D的余弦值为,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值等于  .‎ ‎【分析】先找出二面角的平面角,建立边之间的等量关系,再利用向量法将所求异面直线用基底表示,然后利用向量的所成角公式求出所成角即可.‎ ‎【解答】解:设AB=2,作CO⊥面ABDE,‎ OH⊥AB,则CH⊥AB,∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角 ‎,‎ 结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥,‎ 则,=‎ 故EM,AN所成角的余弦值故答案为:‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17.(10分)(2008•全国卷Ⅰ)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB﹣bcosA=c.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求tan(A﹣B)的最大值.‎ ‎【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数,‎ ‎(Ⅰ)由正弦定理的边角互化,我们可将已知中,进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB,再利用弦化切的方法即可求的值.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,结合角A,B,C为△ABC的内角,我们易得tanA=4tanB>0,则tan(A﹣B)可化为,再结合基本不等式即可得到tan(A﹣B)的最大值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,,‎ 由正弦定理得 即sinAcosB=4cosAsinB,‎ 则;‎ ‎(Ⅱ)由得 tanA=4tanB>0‎ 当且仅当时,等号成立,‎ 故当时,‎ tan(A﹣B)的最大值为.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2008•全国卷Ⅰ)四棱锥A﹣BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,,AB=AC.‎ ‎(Ⅰ)证明:AD⊥CE;‎ ‎(Ⅱ)设CE与平面ABE所成的角为45°,求二面角C﹣AD﹣E的大小.‎ ‎【分析】(1)取BC中点F,证明CE⊥面ADF,通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的.‎ ‎(2)在面AED内过点E作AD的垂线,垂足为G,由(1)知,CE⊥AD,则∠CGE即为所求二面角的平面角,△CGE中,使用余弦定理求出此角的大小.‎ ‎【解答】解:(1)取BC中点F,连接DF交CE于点O,‎ ‎∵AB=AC,∴AF⊥BC.‎ 又面ABC⊥面BCDE,∴AF⊥面BCDE,∴AF⊥CE.‎ 再根据 ,可得∠CED=∠FDC.‎ 又∠CDE=90°,∴∠OED+∠ODE=90°,‎ ‎∴∠DOE=90°,即CE⊥DF,∴CE⊥面ADF,∴CE⊥AD.‎ ‎(2)在面ACD内过C点作AD的垂线,垂足为G.‎ ‎∵CG⊥AD,CE⊥AD,∴AD⊥面CEG,∴EG⊥AD,‎ 则∠CGE即为所求二面角的平面角.‎ 作CH⊥AB,H为垂足.‎ ‎∵平面ABC⊥平面BCDE,矩形BCDE中,BE⊥BC,故BE⊥平面ABC,CH⊂平面ABC,‎ 故BE⊥CH,而AB∩BE=B,故CH⊥平面ABE,‎ ‎∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角.‎ ‎∵CE=,∴CH=EH=.‎ 直角三角形CBH中,利用勾股定理求得BH===1,∴AH=AB﹣BH=AC﹣1;‎ 直角三角形ACH中,由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+(AC﹣1)2,∴AB=AC=2.‎ 由面ABC⊥面BCDE,矩形BCDE中CD⊥CB,可得CD⊥面ABC,‎ 故△ACD为直角三角形,AD===,‎ 故CG===,DG==,‎ ‎,又 ,‎ 则,‎ ‎∴,‎ 即二面角C﹣AD﹣E的大小.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2010•大纲版Ⅱ)已知函数f(x)=﹣x2+ax+1﹣lnx.‎ ‎(Ⅰ)当a=3时,求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)在区间(0,)上是减函数,求实数a的取值范围.‎ ‎【分析】(1)求单调区间,先求导,令导函数大于等于0即可.‎ ‎(2)已知f(x)在区间(0,)上是减函数,即f′(x)≤0在区间(0,)上恒成立,然后用分离参数求最值即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当a=3时,f(x)=﹣x2+3x+1﹣lnx ‎∴‎ 解f′(x)>0,‎ 即:2x2﹣3x+1<0‎ 函数f(x)的单调递增区间是.‎ ‎(Ⅱ)f′(x)=﹣2x+a﹣,‎ ‎∵f(x)在上为减函数,‎ ‎∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立.‎ 即a≤2x+恒成立.‎ 设,则 ‎∵x∈时,>4,‎ ‎∴g′(x)<0,‎ ‎∴g(x)在上递减,‎ ‎∴g(x)>g()=3,‎ ‎∴a≤3.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2008•全国卷Ⅰ)已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方法:‎ 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.‎ 方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.‎ ‎(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;‎ ‎(Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化验次数,求ξ的期望.‎ ‎【分析】(1)由题意得到这两种方案的化验次数,算出在各个次数下的概率,写出化验次数的分布列,求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率.‎ ‎(2)根据上一问乙的化验次数的分布列,利用期望计算公式得到结果.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)若乙验两次时,有两种可能:‎ ‎①先验三只结果为阳性,再从中逐个验时,恰好一次验中概率为:‎ ‎②先验三只结果为阴性,再从其它两只中验出阳性(无论第二次试验中有没有,均可以在第二次结束)‎ ‎,‎ ‎∴乙只用两次的概率为.‎ 若乙验三次时,只有一种可能:‎ 先验三只结果为阳性,再从中逐个验时,恰好二次验中概率为在三次验出时概率为 ‎∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为:‎ ‎(Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化验次数,‎ ‎∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2008•全国卷Ⅰ)双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知||、||、||成等差数列,且与同向.‎ ‎(Ⅰ)求双曲线的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.‎ ‎【分析】(1)由2个向量同向,得到渐近线的夹角范围,求出离心率的范围,再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比,联想到渐近线的夹角,求出渐近线的斜率,进而求出离心率.‎ ‎(2)利用第(1)的结论,设出双曲线的方程,将AB方程代入,运用根与系数的关系及弦长公式,求出待定系数,即可求出双曲线方程.‎ ‎【解答】解:(1)设双曲线方程为,由,同向,‎ ‎∴渐近线的倾斜角为(0,),‎ ‎∴渐近线斜率为:,∴.‎ ‎∵||、||、||成等差数列,∴|OB|+|OA|=2|AB|,‎ ‎∴|AB|2=(|OB|﹣|OA|)(|OB|+|OA|)=(|OB|﹣|OA|)•2|AB|,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 可得:,而在直角三角形OAB中,‎ 注意到三角形OAF也为直角三角形,即tan∠AOB=,‎ 而由对称性可知:OA的斜率为k=tan,‎ ‎∴,∴2k2+3k﹣2=0,∴;‎ ‎∴,∴,∴.‎ ‎(2)由第(1)知,a=2b,可设双曲线方程为﹣=1,∴c=b.‎ 由于AB的倾斜角为+∠AOB,故AB的斜率为tan(+∠AOB )=﹣cot(∠AOB)=﹣2,‎ ‎∴AB的直线方程为 y=﹣2(x﹣b),代入双曲线方程得:15x2﹣32bx+84b2=0,‎ ‎∴x1+x2=,x1•x2=,‎ ‎∴4=•=•,即16=﹣112b2,‎ ‎∴b2=9,所求双曲线方程为:﹣=1.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)(2008•全国卷Ⅰ)设函数f(x)=x﹣xlnx.数列{an}满足0<a1<1,an+1=f(an).‎ ‎(Ⅰ)证明:函数f(x)在区间(0,1)是增函数;‎ ‎(Ⅱ)证明:an<an+1<1;‎ ‎(Ⅲ)设b∈(a1,1),整数.证明:ak+1>b.‎ ‎【分析】(1)首先求出函数的导数,然后令f′(x)=0,解出函数的极值点,最后根据导数判断函数在区间(0,1)上的单调性,从而 进行证明.‎ ‎(2)由题意数列{an}满足0<a1<1,an+1=f(an),求出an+1=an﹣anlnan,然后利用归纳法进行证明;‎ ‎(3)由题意f(x)=x﹣xlnx,an+1=f(an)可得ak+1=ak﹣b﹣ak,然后进行讨论求解.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:∵f(x)=x﹣xlnx,‎ ‎∴f′(x)=﹣lnx,‎ 当x∈(0,1)时,f′(x)=﹣lnx>0‎ 故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数;‎ ‎(Ⅱ)证明:(用数学归纳法)‎ ‎(i)当n=1时,0<a1<1,a1lna1<0,‎ a2=f(a1)=a1﹣a1lna1>a1,‎ ‎∵函数f(x)在区间(0,1)是增函数且函数f(x)在x=1处连续,‎ ‎∴f(x)在区间(0,1]是增函数,‎ a2=f(a1)=a1﹣a1lna1<1,即a1<a2<1成立,‎ ‎(ⅱ)假设当x=k(k∈N+)时,ak<ak+1<1成立,‎ 即0<a1≤ak<ak+1<1,‎ 那么当n=k+1时,由f(x)在区间(0,1]是增函数,0<a1≤ak<ak+1<1,‎ 得f(ak)<f(ak+1)<f(1),‎ 而an+1=f(an),‎ 则ak+1=f(ak),ak+2=f(ak+1),ak+1<ak+2<1,‎ 也就是说当n=k+1时,an<an+1<1也成立,‎ 根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数n,an<an+1<1恒成立.‎ ‎(Ⅲ)证明:由f(x)=x﹣xlnx,an+1=f(an)可得 ak+1=ak﹣aklnak=,‎ ‎1)若存在某i≤k2,满足ai≤b3,则由(Ⅱ)知:ak+1﹣b<ai﹣b≥04,‎ ‎2)若对任意i≤k6,都有ai>b,则ak+1=ak﹣aklnak==≥a1﹣b1﹣ka1ln=0,‎ 即ak+1>b成立.‎ ‎ ‎
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