中考数学试题分类汇编考点30：切线的性质和判定

中考数学试题分类汇编考点30：切线的性质和判定

中考数学试题分类汇编：考点 30 切线的性质和判定 一．选择题（共 11 小题） 1．（2018•哈尔滨）如图，点 P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点 B，∠P=30°，OB=3，则线段 BP 的长为（ ） A．3 B．3 C．6 D．9 【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出 OP 的长． 【解答】解：连接 OA， ∵PA 为⊙O 的切线， ∴∠OAP=90°， ∵∠P=30°，OB=3， ∴AO=3，则 OP=6， 故 BP=6﹣3=3． 故选：A． 2．（2018•眉山）如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点 A，线段 PO 交⊙ O 于点 C，连结 BC，若∠P=36°，则∠B 等于（ ） A．27° B．32° C．36° D．54° 【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，再利用三角形内角和定理得出∠ AOP=54°，结合圆周角定理得出答案． 【解答】解：∵PA 切⊙O 于点 A， ∴∠OAP=90°， ∵∠P=36°， ∴∠AOP=54°， ∴∠B=27°． 故选：A． 3．（2018•重庆）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 与 ⊙O 相切于点 D，过点 B 作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C，若⊙O 的半径为 4， BC=6，则 PA 的长为（ ） A．4 B．2 C．3 D．2.5 【分析】直接利用切线的性质得出∠PDO=90°，再利用相似三角形的判定与性质 分析得出答案． 【解答】解：连接 DO， ∵PD 与⊙O 相切于点 D， ∴∠PDO=90°， ∵∠C=90°， ∴DO∥BC， ∴△PDO∽△PCB， ∴ = = = ， 设 PA=x，则 = ， 解得：x=4， 故 PA=4． 故选：A． 4．（2018•福建）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，AC 交⊙O 于 点 D，若∠ACB=50°，则∠BOD 等于（ ） A．40° B．50° C．60° D．80° 【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据 圆周角定理计算即可． 【解答】解：∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠ABC=90°， ∴∠A=90°﹣∠ACB=40°， 由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°， 故选：D． 5．（2018•泸州）在平面直角坐标系内，以原点 O 为圆心，1 为半径作圆，点 P 在直线 y= 上运动，过点 P 作该圆的一条切线，切点为 A，则 PA 的最小 值为（ ） A．3 B．2 C． D． 【分析】如图，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，作 OH⊥CD 于 H，先利用一次解析式得到 D（0，2 ），C（﹣2，0），再利用勾股定理可 计算出 CD=4，则利用面积法可计算出 OH= ，连接 OA，如图，利用切线的性 质得 OA⊥PA，则 PA= ，然后利用垂线段最短求 PA 的最小值． 【解答】解：如图，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，作 OH ⊥CD 于 H， 当 x=0 时，y= x+2 =2 ，则 D（0，2 ）， 当 y=0 时， x+2 =0，解得 x=﹣2，则 C（﹣2，0）， ∴CD= =4， ∵ OH•CD= OC•OD， ∴OH= = ， 连接 OA，如图， ∵PA 为⊙O 的切线， ∴OA⊥PA， ∴PA= = ， 当 OP 的值最小时，PA 的值最小， 而 OP 的最小值为 OH 的长， ∴PA 的最小值为 = ． 故选：D． 6．（2018•泰安）如图，BM 与⊙O 相切于点 B，若∠MBA=140°，则∠ACB 的度 数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】连接 OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°， 由内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案． 【解答】解：如图，连接 OA、OB， ∵BM 是⊙O 的切线， ∴∠OBM=90°， ∵∠MBA=140°， ∴∠ABO=50°， ∵OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=50°， ∴∠AOB=80°， ∴∠ACB= ∠AOB=40°， 故选：A． 7．（2018•深圳）如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A 为 60° 角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（ ） A．3 B． C．6 D． 【分析】设三角板与圆的切点为 C，连接 OA、OB，由切线长定理得出 AB=AC=3、 ∠OAB=60°，根据 OB=ABtan∠OAB 可得答案． 【解答】解：设三角板与圆的切点为 C，连接 OA、OB， 由切线长定理知 AB=AC=3，OA 平分∠BAC， ∴∠OAB=60°， 在 Rt△ABO 中，OB=ABtan∠OAB=3 ， ∴光盘的直径为 6 ， 故选：D． 8．（2018•重庆）如图，△ABC 中，∠A=30°，点 O 是边 AB 上一点，以点 O 为 圆心，以 OB 为半径作圆，⊙O 恰好与 AC 相切于点 D，连接 BD．若 BD 平分∠ ABC，AD=2 ，则线段 CD 的长是（ ） A．2 B． C． D． 【分析】连接 OD，得 Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2 ，可求出 OD、AO 的长； 由 BD 平分∠ABC，OB=OD 可得 OD 与 BC 间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论． 【解答】解：连接 OD ∵OD 是⊙O 的半径，AC 是⊙O 的切线，点 D 是切点， ∴OD⊥AC 在 Rt△AOD 中，∵∠A=30°，AD=2 ， ∴OD=OB=2，AO=4， ∴∠ODB=∠OBD，又∵BD 平分∠ABC， ∴∠OBD=∠CBD ∴∠ODB=∠CBD ∴OD∥CB， ∴ 即 ∴CD= ． 故选：B． 9．（2018•湘西州）如图，直线 AB 与⊙O 相切于点 A，AC、CD 是⊙O 的两条弦， 且 CD∥AB，若⊙O 的半径为 5，CD=8，则弦 AC 的长为（ ） A．10 B．8 C．4 D．4 【分析】由 AB 是圆的切线知 AO⊥AB，结合 CD∥AB 知 AO⊥CD，从而得出 CE=4， Rt△COE 中求得 OE=3 及 AE=8，在 Rt△ACE 中利用勾股定理可得答案． 【解答】解：∵直线 AB 与⊙O 相切于点 A， ∴OA⊥AB， 又∵CD∥AB， ∴AO⊥CD，记垂足为 E， ∵CD=8， ∴CE=DE= CD=4， 连接 OC，则 OC=OA=5， 在 Rt△OCE 中，OE= = =3， ∴AE=AO+OE=8， 则 AC= = =4 ， 故选：D． 10．（2018•宜昌）如图，直线 AB 是⊙O 的切线，C 为切点，OD∥AB 交⊙O 于 点 D，点 E 在⊙O 上，连接 OC，EC，ED，则∠CED 的度数为（ ） A．30° B．35° C．40° D．45° 【分析】由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后 由圆周角定理可得答案． 【解答】解：∵直线 AB 是⊙O 的切线，C 为切点， ∴∠OCB=90°， ∵OD∥AB， ∴∠COD=90°， ∴∠CED= ∠COD=45°， 故选：D． 11．（2018•无锡）如图，矩形 ABCD 中，G 是 BC 的中点，过 A、D、G 三点的圆 O 与边 AB、CD 分别交于点 E、点 F，给出下列说法：（1）AC 与 BD 的交点是圆 O 的圆心；（2）AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心；（3）BC 与圆 O 相切，其中正 确说法的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】连接 DG、AG，作 GH⊥AD 于 H，连接 OD，如图，先确定 AG=DG，则 GH 垂直平分 AD，则可判断点 O 在 HG 上，再根据 HG⊥BC 可判定 BC 与圆 O 相 切；接着利用 OG=OG 可判断圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点；然后根据四边形 AEFD 为⊙O 的内接矩形可判断 AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心． 【解答】解：连接 DG、AG，作 GH⊥AD 于 H，连接 OD，如图， ∵G 是 BC 的中点， ∴AG=DG， ∴GH 垂直平分 AD， ∴点 O 在 HG 上， ∵AD∥BC， ∴HG⊥BC， ∴BC 与圆 O 相切； ∵OG=OG， ∴点 O 不是 HG 的中点， ∴圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点； 而四边形 AEFD 为⊙O 的内接矩形， ∴AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心； ∴（1）错误，（2）（3）正确． 故选：C． 二．填空题（共 14 小题） 12．（2018•安徽）如图，菱形 ABOC 的边 AB，AC 分别与⊙O 相切于点 D，E．若 点 D 是 AB 的中点，则∠DOE= 60 °． 【分析】连接 OA，根据菱形的性质得到△AOB 是等边三角形，根据切线的性质 求出∠AOD，同理计算即可． 【解答】解：连接 OA， ∵四边形 ABOC 是菱形， ∴BA=BO， ∵AB 与⊙O 相切于点 D， ∴OD⊥AB， ∵点 D 是 AB 的中点， ∴直线 OD 是线段 AB 的垂直平分线， ∴OA=OB， ∴△AOB 是等边三角形， ∵AB 与⊙O 相切于点 D， ∴OD⊥AB， ∴∠AOD= ∠AOB=30°， 同理，∠AOE=30°， ∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°， 故答案为：60． 13．（2018•连云港）如图，AB 是⊙O 的弦，点 C 在过点 B 的切线上，且 OC⊥ OA，OC 交 AB 于点 P，已知∠OAB=22°，则∠OCB= 44° ． 【分析】首先连接 OB，由点 C 在过点 B 的切线上，且 OC⊥OA，根据等角的余 角相等，易证得∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可． 【解答】解：连接 OB， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴OB⊥BC， ∴∠OBA+∠CBP=90°， ∵OC⊥OA， ∴∠A+∠APO=90°， ∵OA=OB，∠OAB=22°， ∴∠OAB=∠OBA=22°， ∴∠APO=∠CBP=68°， ∵∠APO=∠CPB， ∴∠CPB=∠ABP=68°， ∴∠OCB=180°﹣68°﹣68°=44°， 故答案为：44° 14．（2018•泰州）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，sinA= ，AC=12，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△A'B'C，P 为线段 A′B'上的动点，以点 P 为圆心，PA′ 长为半径作⊙P，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为 或 ． 【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当⊙P 与直线 AC 相切于点 Q 时，如 图 2 中，当⊙P 与 AB 相切于点 T 时， 【解答】解：如图 1 中，当⊙P 与直线 AC 相切于点 Q 时，连接 PQ． 设 PQ=PA′=r， ∵PQ∥CA′， ∴ = ， ∴ = ， ∴r= ． 如图 2 中，当⊙P 与 AB 相切于点 T 时，易证 A′、B′、T 共线， ∵△A′BT∽△ABC， ∴ = ， ∴ = ， ∴A′T= ， ∴r= A′T= ． 综上所述，⊙P 的半径为 或 ． 15．（2018•宁波）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作⊙P．当⊙P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为 3 或 4 ． 【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当⊙P 与直线 CD 相切时；如图 2 中 当⊙P 与直线 AD 相切时．设切点为 K，连接 PK，则 PK⊥AD，四边形 PKDC 是矩 形； 【解答】解：如图 1 中，当⊙P 与直线 CD 相切时，设 PC=PM=m． 在 Rt△PBM 中，∵PM2=BM2+PB2， ∴x2=42+（8﹣x）2， ∴x=5， ∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3． 如图 2 中当⊙P 与直线 AD 相切时．设切点为 K，连接 PK，则 PK⊥AD，四边形 PKDC 是矩形． ∴PM=PK=CD=2BM， ∴BM=4，PM=8， 在 Rt△PBM 中，PB= =4 ． 综上所述，BP 的长为 3 或 4 ． 16．（2018•台州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点 C 作⊙O 的 切线交 AB 的延长线于点 D．若∠A=32°，则∠D= 26 度． 【分析】连接 OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可． 【解答】解：连接 OC， 由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°， ∵CD 为⊙O 的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠D=90°﹣∠COD=26°， 故答案为：26． 17．（2018•长沙）如图，点 A，B，D 在⊙O 上，∠A=20°，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OD 的延长线交 BC 于点 C，则∠OCB= 50 度． 【分析】由圆周角定理易求∠BOC 的度数，再根据切线的性质定理可得∠ OBC=90°，进而可求出求出∠OCB 的度°° 【解答】解： ∵∠A=20°， ∴∠BOC=40°， ∵BC 是⊙O 的切线，B 为切点， ∴∠OBC=90°， ∴∠OCB=90°﹣40°=50°， 故答案为：50． 18．（2018•香坊区）如图，BD 是⊙O 的直径，BA 是⊙O 的弦，过点 A 的切线 交 BD 延长线于点 C，OE⊥AB 于 E，且 AB=AC，若 CD=2 ，则 OE 的长为 ． 【分析】根据题意，利用三角形全等和切线的性质、中位线，直角三角形中 30° 角所对的直角边与斜边的关系、垂径定理可以求得 OE 的长． 【解答】解：连接 OA、AD，如右图所示， ∵BD 是⊙O 的直径，BA 是⊙O 的弦，过点 A 的切线交 BD 延长线于点 C，OE⊥ AB 于 E， ∴∠DAB=90°，∠OAC=90°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△ACO 和△BAD 中， ， ∴△ACO≌△BAD（ASA）， ∴AO=AD， ∵AO=OD， ∴AO=OD=AD， ∴△AOD 是等边三角形， ∴∠ADO=∠DAO=60°， ∴∠B=∠C=30°，∠OAE=30°，∠DAC=30°， ∴AD=DC， ∵CD=2 ， ∴AD=2 ， ∴点 O 为 AD 的中点，OE∥AD，OE⊥AB， ∴OE= ， 故答案为： ． 19．（2018•山西）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点 D 是 AB 的中点，以 CD 为直径作⊙O，⊙O 分别与 AC，BC 交于点 E，F，过点 F 作⊙O 的 切线 FG，交 AB 于点 G，则 FG 的长为 ． 【分析】先利用勾股定理求出 AB=10，进而求出 CD=BD=5，再求出 CF=4，进而 求出 DF=3，再判断出 FG⊥BD，利用面积即可得出结论． 【解答】解：如图， 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理得，AB=10， ∴点 D 是 AB 中点， ∴CD=BD= AB=5， 连接 DF， ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠CFD=90°， ∴BF=CF= BC=4， ∴DF= =3， 连接 OF， ∵OC=OD，CF=BF， ∴OF∥AB， ∴∠OFC=∠B， ∵FG 是⊙O 的切线， ∴∠OFG=90°， ∴∠OFC+∠BFG=90°， ∴∠BFG+∠B=90°， ∴FG⊥AB， ∴S△BDF= DF×BF= BD×FG， ∴FG= = = ， 故答案为 ． 20．（2018•包头）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的切线与 BA 的延长线交于点 D，点 E 在 上（不与点 B，C 重合），连接 BE，CE．若∠D=40°， 则∠BEC= 115 度． 【分析】连接 OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案． 【解答】解： 连接 OC， ∵DC 切⊙O 于 C， ∴∠DCO=90°， ∵∠D=40°， ∴∠COB=∠D+∠DCO=130°， ∴ 的度数是 130°， ∴ 的度数是 360°﹣130°=230°， ∴∠BEC= =115°， 故答案为：115． 21．（2018•湘潭）如图，AB 是⊙O 的切线，点 B 为切点，若∠A=30°，则∠AOB= 60° ． 【分析】根据切线的性质得到∠OBA=90°，根据直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵AB 是⊙O 的切线， ∴∠OBA=90°， ∴∠AOB=90°﹣∠A=60°， 故答案为：60°． 22．（2018•徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点 D．若∠C=18°，则∠CDA= 126 度． 【分析】连接 OD，构造直角三角形，利用 OA=OD，可求得∠ODA=36°，从而根 据∠CDA=∠CDO+∠ODA 计算求解． 【解答】解：连接 OD，则∠ODC=90°，∠COD=72°； ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠A= ∠COD=36°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+36°=126°． 23．（2018•青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O 为 AC 上一点，OA=2， 以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E，与 AB 相交于点 F，连接 OE、OF，则图中阴影 部分的面积是 ﹣ π ． 【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案． 【解答】解：∵∠B=90°，∠C=30°， ∴∠A=60°， ∵OA=OF， ∴△AOF 是等边三角形， ∴∠COF=120°， ∵OA=2， ∴扇形 OGF 的面积为： = ∵OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E， ∴∠OEC=90°， ∴OC=2OE=4， ∴AC=OC+OA=6， ∴AB= AC=3， ∴由勾股定理可知：BC=3 ∴△ABC 的面积为： ×3×3 = ∵△OAF 的面积为： ×2× = ， ∴阴影部分面积为： ﹣ ﹣ π= ﹣ π 故答案为： ﹣ π 24．（2018•广东）如图，矩形 ABCD 中，BC=4，CD=2，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，连接 BD，则阴影部分的面积为 π ．（结果保留π） 【分析】连接 OE，如图，利用切线的性质得 OD=2，OE⊥BC，易得四边形 OECD 为正方形，先利用扇形面积公式，利用 S 正方形 OECD﹣S 扇形 EOD 计算由弧 DE、线段 EC、 CD 所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部 分的面积． 【解答】解：连接 OE，如图， ∵以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E， ∴OD=2，OE⊥BC， 易得四边形 OECD 为正方形， ∴由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积=S 正方形 OECD﹣S 扇形 EOD=22﹣ =4﹣π， ∴阴影部分的面积= ×2×4﹣（4﹣π）=π． 故答案为π． 25．（2018•南京）如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=4，以 CD 为直径作⊙O．将 矩形 ABCD 绕点 C 旋转，使所得矩形 A′B′C′D′的边 A′B′与⊙O 相切，切点为 E，边 CD′与⊙O 相交于 点 F，则 CF 的长为 4 ． 【分析】连接 OE，延长 EO 交 CD 于点 G，作 OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′=∠ B′CD′=90°、AB=CD=5、BC=B′C=4，从而得出四边形 OEB′H 和四边形 EB′CG 都是矩 形且 OE=OD=OC=2.5，继而求得 CG=B′E=OH= = =2，根据 垂径定理可得 CF 的长． 【解答】解：连接 OE，延长 EO 交 CD 于点 G，作 OH⊥B′C 于点 H， 则∠OEB′=∠OHB′=90°， ∵矩形 ABCD 绕点 C 旋转所得矩形为 A′B′C′D′， ∴∠B′=∠B′CD′=90°，AB=CD=5、BC=B′C=4， ∴四边形 OEB′H 和四边形 EB′CG 都是矩形，OE=OD=OC=2.5， ∴B′H=OE=2.5， ∴CH=B′C﹣B′H=1.5， ∴CG=B′E=OH= = =2， ∵四边形 EB′CG 是矩形， ∴∠OGC=90°，即 OG⊥CD′， ∴CF=2CG=4， 故答案为：4． 三．解答题（共 25 小题） 26．（2018•柯桥区模拟）如图，已知三角形 ABC 的边 AB 是⊙O 的切线，切点 为 B．AC 经过圆心 O 并与圆相交于点 D、C，过 C 作直线 CE 丄 AB，交 AB 的延 长线于点 E． （1）求证：CB 平分∠ACE； （2）若 BE=3，CE=4，求⊙O 的半径． 【分析】（1）证明：如图 1，连接 OB，由 AB 是⊙0 的切线，得到 OB⊥AB，由 于 CE 丄 AB，的 OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1= ∠2，通过等量代换得到结果． （2）如图 2，连接 BD 通过△DBC∽△CBE，得到比例式 ，列方程可得结 果． 【解答】（1）证明：如图 1，连接 OB， ∵AB 是⊙0 的切线， ∴OB⊥AB， ∵CE 丄 AB， ∴OB∥CE， ∴∠1=∠3， ∵OB=OC， ∴∠1=∠2 ∴∠2=∠3， ∴CB 平分∠ACE； （2）如图 2，连接 BD， ∵CE 丄 AB， ∴∠E=90°， ∴BC= = =5， ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DBC=90°， ∴∠E=∠DBC， ∴△DBC∽△CBE， ∴ ， ∴BC2=CD•CE， ∴CD= = ， ∴OC= = ， ∴⊙O 的半径= ． 27．（2018•天津）已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，∠BAC=38°， （I）如图①，若 D 为 的中点，求∠ABC 和∠ABD 的大小； （Ⅱ）如图②，过点 D 作⊙O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 DP∥AC，求 ∠OCD 的大小． 【分析】（Ⅰ）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC 和∠ABD 的大 小； （Ⅱ）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD 的大小． 【解答】解：（Ⅰ）∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，∠BAC=38°， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=∠ACB﹣∠BAC=90°﹣38°=52°， ∵D 为 的中点，∠AOB=180°， ∴∠AOD=90°， ∴∠ACD=45°； （Ⅱ）连接 OD， ∵DP 切⊙O 于点 D， ∴OD⊥DP，即∠ODP=90°， 由 DP∥AC，又∠BAC=38°， ∴∠P=∠BAC=38°， ∵∠AOD 是△ODP 的一个外角， ∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°， ∴∠ACD=64°， ∵OC=OA，∠BAC=38°， ∴∠OCA=∠BAC=38°， ∴∠OCD=∠ACD﹣∠OCA=64°﹣38°=26°． 28．（2018•荆门）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，经过点 C 的切线 交 AB 的延长线于点 E，AD⊥EC 交 EC 的延长线于点 D，AD 交⊙O 于 F，FM⊥AB 于 H，分别交⊙O、AC 于 M、N，连接 MB，BC． （1）求证：AC 平分∠DAE； （2）若 cosM= ，BE=1，①求⊙O 的半径；②求 FN 的长． 【分析】（1）连接 OC，如图，利用切线的性质得 OC⊥DE，则判断 OC∥AD 得 到∠1=∠3，加上∠2=∠3，从而得到∠1=∠2； （2）①利用圆周角定理和垂径定理得到 = ，则∠COE=∠FAB，所以∠FAB= ∠M=∠COE，设⊙O 的半径为 r，然后在 Rt△OCE 中利用余弦的定义得到 = ， 从而解方程求出 r 即可； ②连接 BF，如图，先在 Rt△AFB 中利用余弦定义计算出 AF= ，再计算出 OC=3， 接着证明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出 FN 的长． 【解答】（1）证明：连接 OC，如图， ∵直线 DE 与⊙O 相切于点 C， ∴OC⊥DE， 又∵AD⊥DE， ∴OC∥AD． ∴∠1=∠3 ∵OA=OC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2， ∴AC 平方∠DAE； （2）解：①∵AB 为直径， ∴∠AFB=90°， 而 DE⊥AD， ∴BF∥DE， ∴OC⊥BF， ∴ = ， ∴∠COE=∠FAB， 而∠FAB=∠M， ∴∠COE=∠M， 设⊙O 的半径为 r， 在 Rt△OCE 中，cos∠COE= = ，即 = ，解得 r=4， 即⊙O 的半径为 4； ②连接 BF，如图， 在 Rt△AFB 中，cos∠FAB= ， ∴AF=8× = 在 Rt△OCE 中，OE=5，OC=4， ∴CE=3， ∵AB⊥FM， ∴ ， ∴∠5=∠4， ∵FB∥DE， ∴∠5=∠E=∠4， ∵ = ， ∴∠1=∠2， ∴△AFN∽△AEC， ∴ = ，即 = ， ∴FN= ． 29．（2018•随州）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，CN 为⊙O 的切 线，OM⊥AB 于点 O，分别交 AC、CN 于 D、M 两点． （1）求证：MD=MC； （2）若⊙O 的半径为 5，AC=4 ，求 MC 的长． 【分析】（1）连接 OC，利用切线的性质证明即可； （2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）连接 OC， ∵CN 为⊙O 的切线， ∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°， ∵OM⊥AB， ∴∠OAC+∠ODA=90°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠ACM=∠ODA=∠CDM， ∴MD=MC； （2）由题意可知 AB=5×2=10，AC=4 ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∴BC= ， ∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△AOD∽△ACB， ∴ ，即 ， 可得：OD=2.5， 设 MC=MD=x，在 Rt△OCM 中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52， 解得：x= ， 即 MC= ． 30．（2018•黄冈）如图，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP⊥AD，OP 与 AB 的延长线交于点 P，过 B 点的切线交 OP 于点 C． （1）求证：∠CBP=∠ADB． （2）若 OA=2，AB=1，求线段 BP 的长． 【分析】（1）连接 OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据切线的 性质得到∠OBC=90°，然后利用等量代换进行证明； （2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求 BP 的长． 【解答】（1）证明：连接 OB，如图， ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠ABD=90°， ∴∠A+∠ADB=90°， ∵BC 为切线， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC=90°， ∴∠OBA+∠CBP=90°， 而 OA=OB， ∴∠A=∠OBA， ∴∠CBP=∠ADB； （2）解：∵OP⊥AD， ∴∠POA=90°， ∴∠P+∠A=90°， ∴∠P=∠D， ∴△AOP∽△ABD， ∴ = ，即 = ， ∴BP=7． 31．（2018•襄阳）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和 BN 是⊙O 的两条切线，E 为 ⊙O 上一点，过点 E 作直线 DC 分别交 AM，BN 于点 D，C，且 CB=CE． （1）求证：DA=DE； （2）若 AB=6，CD=4 ，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接 OE．推知 CD 为⊙O 的切线，即可证明 DA=DE； （2）利用分割法求得阴影部分的面积． 【解答】解：（1）证明：连接 OE、OC． ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB． ∵BC=EC， ∴∠CBE=∠CEB， ∴∠OBC=∠OEC． ∵BC 为⊙O 的切线， ∴∠OEC=∠OBC=90°； ∵OE 为半径， ∴CD 为⊙O 的切线， ∵AD 切⊙O 于点 A， ∴DA=DE； （2）如图，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，则四边形 ABFD 是矩形， ∴AD=BF，DF=AB=6， ∴DC=BC+AD=4 ． ∵FC= =2 ， ∴BC﹣AD=2 ， ∴BC=3 ． 在直角△OBC 中，tan∠BOE= = ， ∴∠BOC=60°． 在△OEC 与△OBC 中， ， ∴△OEC≌△OBC（SSS）， ∴∠BOE=2∠BOC=120°． ∴S 阴影部分=S 四边形 BCEO﹣S 扇形 OBE=2× BC•OB﹣ =9 ﹣3π． 32．（2018•长春）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点 A，BC 交⊙O 于点 D．已 知⊙O 的半径为 6，∠C=40°． （1）求∠B 的度数． （2）求 的长．（结果保留π） 【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可． 【解答】解：（1）∵AC 切⊙O 于点 A， ∠BAC=90°， ∵∠C=40°， ∴∠B=50°； （2）连接 OD， ∵∠B=50°， ∴∠AOD=2∠B=100°， ∴ 的长为 = π． 33．（2018•白银）如图，点 O 是△ABC 的边 AB 上一点，⊙O 与边 AC 相切于点 E，与边 BC，AB 分别相交于点 D，F，且 DE=EF． （1）求证：∠C=90°； （2）当 BC=3，sinA= 时，求 AF 的长． 【分析】（1）连接 OE，BE，因为 DE=EF，所以 ，从而易证∠OEB=∠DBE， 所以 OE∥BC，从可证明 BC⊥AC； （2）设⊙O 的半径为 r，则 AO=5﹣r，在 Rt△AOE 中，sinA= = = ，从而 可求出 r 的值． 【解答】解：（1）连接 OE，BE， ∵DE=EF， ∴ ∴∠OBE=∠DBE ∵OE=OB， ∴∠OEB=∠OBE ∴∠OEB=∠DBE， ∴OE∥BC ∵⊙O 与边 AC 相切于点 E， ∴OE⊥AC ∴BC⊥AC ∴∠C=90° （2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA= ∴AB=5， 设⊙O 的半径为 r，则 AO=5﹣r， 在 Rt△AOE 中，sinA= = = ∴r= ∴AF=5﹣2× = 34．（2018•绵阳）如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上（点 D 不与 A，B 重 合），直线 AD 交过点 B 的切线于点 C，过点 D 作⊙O 的切线 DE 交 BC 于点 E． （1）求证：BE=CE； （2）若 DE∥AB，求 sin∠ACO 的值． 【分析】（1）证明：连接 OD，如图，利用切线长定理得到 EB=ED，利用切线的 性质得 OD⊥DE，AB⊥CB，再根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ACB，则 EC=ED， 从而得到 BE=CE； （2）作 OH⊥AD 于 H，如图，设⊙O 的半径为 r，先证明四边形 OBED 为正方形 得 DE=CE=r，再利用△AOD 和△CDE 都为等腰直角三角形得到 OH=DH= r， CD= r， 接着根据勾股定理计算出 OC= r，然后根据正弦的定义求解． 【解答】（1）证明：连接 OD，如图， ∵EB、ED 为⊙O 的切线， ∴EB=ED，OD⊥DE，AB⊥CB， ∴∠ADO+∠CDE=90°，∠A+∠ACB=90°， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∴∠CDE=∠ACB， ∴EC=ED， ∴BE=CE； （2）解：作 OH⊥AD 于 H，如图，设⊙O 的半径为 r， ∵DE∥AB， ∴∠DOB=∠DEB=90°， ∴四边形 OBED 为矩形， 而 OB=OD， ∴四边形 OBED 为正方形， ∴DE=CE=r， 易得△AOD 和△CDE 都为等腰直角三角形， ∴OH=DH= r，CD= r， 在 Rt△OCB 中，OC= = r， 在 Rt△OCH 中，sin∠OCH= = = ， 即 sin∠ACO 的值为 ． 35．（2018•德州）如图，AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于点 C，且与 AB 的延长线交于点 E，点 C 是 的中点． （1）求证：AD⊥CD； （2）若∠CAD=30°，⊙O 的半径为 3，一只蚂蚁从点 B 出发，沿着 BE﹣EC﹣ 爬 回至点 B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14， ≈1.73，结果保留一位小数）． 【分析】（1）连接 OC，根据切线的性质得到 OC⊥CD，证明 OC∥AD，根据平 行线的性质证明； （2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可． 【解答】（1）证明：连接 OC， ∵直线 CD 与⊙O 相切， ∴OC⊥CD， ∵点 C 是 的中点， ∴∠DAC=∠EAC， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠EAC， ∴∠DAC=∠OCA， ∴OC∥AD， ∴AD⊥CD； （2）解：∵∠CAD=30°， ∴∠CAE=∠CAD=30°， 由圆周角定理得，∠COE=60°， ∴OE=2OC=6，EC= OC=3 ， = =π， ∴蚂蚁爬过的路程=3+3 +π≈11.3． 36．（2018•北京）如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点 P 作⊙O 的两条切线 PC，PD，切点分别为 C，D，连接 OP，CD． （1）求证：OP⊥CD； （2）连接 AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求 OP 的长． 【分析】（1）先判断出 Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP=∠COP，即可得出结论； （2）先 求出∠COD=60°，得出△OCD 是等边三角形，最后用锐角三角函数即可 得出结论． 【解答】解：（1）连接 OC，OD， ∴OC=OD， ∵PD，PC 是⊙O 的切线， ∵∠ODP=∠OCP=90°， 在 Rt△ODP 和 Rt△OCP 中， ， ∴Rt△ODP≌Rt△OCP， ∴∠DOP=∠COP， ∵OD=OC， ∴OP⊥CD； （2）如图，连接 OD，OC， ∴OA=OD=OC=OB=2， ∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°， ∴∠AOD=80°，∠BOC=40°， ∴∠COD=60°， ∵OD=OC， ∴△COD 是等边三角形， 由（1）知，∠DOP=∠COP=30°， 在 Rt△ODP 中，OP= = ． 37．（2018•铜仁市）如图，在三角形 ABC 中，AB=6，AC=BC=5，以 BC 为直径作 ⊙O 交 AB 于点 D，交 AC 于点 G，直线 DF 是⊙O 的切线，D 为切点，交 CB 的延 长线于点 E． （1）求证：DF⊥AC； （2）求 tan∠E 的值． 【分析】（1）连接 OC，CD，根据圆周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形三线 合一的性质得：D 为 AB 的中点，所以 OD 是中位线，由三角形中位线性质得： OD∥AC，根据切线的性质可得结论； （2）如图，连接 BG，先证明 EF∥BG，则∠CBG=∠E，求∠CBG 的正切即可． 【解答】（1）证明：如图，连接 OC，CD， ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BDC=90°， ∴CD⊥AB， ∵AC=BC， ∴AD=BD， ∵OB=OC， ∴OD 是△ABC 的中位线 ∴OD∥AC， ∵DF 为⊙O 的切线， ∴OD⊥DF， ∴DF⊥AC； （2）解：如图，连接 BG， ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BGC=90°， ∵∠EFC=90°=∠BGC， ∴EF∥BG， ∴∠CBG=∠E， Rt△BDC 中，∵BD=3，BC=5， ∴CD=4， S△ABC= ， 6×4=5BG， BG= ， 由勾股定理得：CG= = ， ∴tan∠CBG=tan∠E= = = ． 38．（2018•昆明）如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点 C，AD 交⊙O 于点 F， ∠AC 平分∠BAD，连接 BF． （1）求证：AD⊥ED； （2）若 CD=4，AF=2，求⊙O 的半径． 【分析】（1）连接 OC，如图，先证明 OC∥AD，然后利用切线的性质得 OC⊥ DE，从而得到 AD⊥ED； （2）OC 交 BF 于 H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形 CDFH 为矩形得到 FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到 BH=FH=4，然后利用勾股 定理计算出 AB，从而得到⊙O 的半径． 【解答】（1）证明：连接 OC，如图， ∵AC 平分∠BAD， ∴∠1=∠2， ∵OA=OC， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OC∥AD， ∵ED 切⊙O 于点 C， ∴OC⊥DE， ∴AD⊥ED； （2）解：OC 交 BF 于 H，如图， ∵AB 为直径， ∴∠AFB=90°， 易得四边形 CDFH 为矩形， ∴FH=CD=4，∠CHF=90°， ∴OH⊥BF， ∴BH=FH=4， ∴BF=8， 在 Rt△ABF 中，AB= = =2 ， ∴⊙O 的半径为 ． 39．（2018•陕西）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作⊙O，分别与 AC、BC 交于点 M、N． （1）过点 N 作⊙O 的切线 NE 与 AB 相交于点 E，求证：NE⊥AB； （2）连接 MD，求证：MD=NB． 【分析】（1）连接 ON，如图，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到 CD=AD=DB， 则∠1=∠B，再证明∠2=∠B 得到 ON∥DB，接着根据切线的性质得到 ON⊥NE， 然后利用平行线的性质得到结论； （2）连接 DN，如图，根据圆周角定理得到∠CMD=∠CND=90°，则可判断四边 形 CMDN 为矩形，所以 DM=CN，然后证明 CN=BN，从而得到 MD=NB． 【解答】证明：（1）连接 ON，如图， ∵CD 为斜边 AB 上的中线， ∴CD=AD=DB， ∴∠1=∠B， ∵OC=ON， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠B， ∴ON∥DB， ∵NE 为切线， ∴ON⊥NE， ∴NE⊥AB； （2）连接 DN，如图， ∵AD 为直径， ∴∠CMD=∠CND=90°， 而∠MCB=90°， ∴四边形 CMDN 为矩形， ∴DM=CN， ∵DN⊥BC，∠1=∠B， ∴CN=BN， ∴MD=NB． 40．（2018•曲靖）如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，将弧 BC 沿直 线 BC 翻折，使弧 BC 的中点 D 恰好与圆心 O 重合，连接 OC，CD，BD，过点 C 的切线与线段 BA 的延长线交于点 P，连接 AD，在 PB 的另一侧作∠MPB=∠ADC． （1）判断 PM 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 PC= ，求四边形 OCDB 的面积． 【分析】（1）连接 DO 并延长交 PM 于 E，如图，利用折叠的性质得 OC=DC，BO=BD， 则可判断四边形 OBDC 为菱形，所以 OD⊥BC，△OCD 和△OBD 都是等边三角形， 从而计算出∠COP=∠EOP=60°，接着证明 PM∥BC 得到 OE⊥PM，所以 OE= OP， 根据切线的性质得到 OC⊥PC，则 OC= OP，从而可判定 PM 是⊙O 的切线； （2）先在 Rt△OPC 中计算出 OC=1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边形 OCDB 的面积． 【解答】解：（1）PM 与⊙O 相切． 理由如下： 连接 DO 并延长交 PM 于 E，如图， ∵弧 BC 沿直线 BC 翻折，使弧 BC 的中点 D 恰好与圆心 O 重合， ∴OC=DC，BO=BD， ∴OC=DC=BO=BD， ∴四边形 OBDC 为菱形， ∴OD⊥BC， ∴△OCD 和△OBD 都是等边三角形， ∴∠COD=∠BOD=60°， ∴∠COP=∠EOP=60°， ∵∠MPB=∠ADC， 而∠ADC=∠ABC， ∴∠ABC=∠MPB， ∴PM∥BC， ∴OE⊥PM， ∴OE= OP， ∵PC 为⊙O 的切线， ∴OC⊥PC， ∴OC= OP， ∴OE=OC， 而 OE⊥PC， ∴PM 是⊙O 的切线； （2）在 Rt△OPC 中，OC= PC= × =1， ∴四边形 OCDB 的面积=2S△OCD=2× ×12= ． 41．（2018•邵阳）如图所示，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，过点 B 作 BD⊥CD，垂足为点 D，连结 BC．BC 平分∠ABD． 求证：CD 为⊙O 的切线． 【分析】先利用 BC 平分∠ABD 得到∠OBC=∠DBC，再证明 OC∥BD，从而得到 OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论． 【解答】证明：∵BC 平分∠ABD， ∴∠OBC=∠DBC， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∴∠OCB=∠DBC， ∴OC∥BD， ∵BD⊥CD， ∴OC⊥CD， ∴CD 为⊙O 的切线． 42．（2018•黄石）如图，已知 A、B、C、D、E 是⊙O 上五点，⊙O 的直径 BE=2 ， ∠BCD=120°，A 为 的中点，延长 BA 到点 P，使 BA=AP，连接 PE． （1）求线段 BD 的长； （2）求证：直线 PE 是⊙O 的切线． 【分析】（1）连接 DB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°，再根据 圆周角定理得到∠BDE=90°，然后根据含 30 度的直角三角形三边的关系计算 BD 的长； （2）连接 EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，而 A 为 的中点，则∠ ABE=45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用 BA=AP 得到△BEP 为等腰直角三 角形，所以∠PEB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论． 【解答】（1）解：连接 DB，如图， ∵∠BCD+∠DEB=180°， ∴∠DEB=180°﹣120°=60°， ∵BE 为直径， ∴∠BDE=90°， 在 Rt△BDE 中，DE= BE= ×2 = ， BD= DE= × =3； （2）证明：连接 EA，如图， ∵BE 为直径， ∴∠BAE=90°， ∵A 为 的中点， ∴∠ABE=45°， ∵BA=AP， 而 EA⊥BA， ∴△BEP 为等腰直角三角形， ∴∠PEB=90°， ∴PE⊥BE， ∴直线 PE 是⊙O 的切线． 43．（2018•怀化）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，点 F，C 是⊙O 上两 点，连接 AC，AF，OC，弦 AC 平分∠FAB，∠BOC=60°，过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于点 D，垂足为点 D． （1）求扇形 OBC 的面积（结果保留）； （2）求证：CD 是⊙O 的切线． 【分析】（1）由扇形的面积公式即可求出答案． （2）易证∠FAC=∠ACO，从而可知 AD∥OC，由于 CD⊥AF，所以 CD⊥OC，所以 CD 是⊙O 的切线． 【解答】解：（1）∵AB=4， ∴OB=2 ∵∠COB=60°， ∴S 扇形 OBC= = （2）∵AC 平分∠FAB， ∴∠FAC=∠CAO， ∵AO=CO， ∴∠ACO=∠CAO ∴∠FAC=∠ACO ∴AD∥OC， ∵CD⊥AF， ∴CD⊥OC ∵C 在圆上， ∴CD 是⊙O 的切线 44．（2018•新疆）如图，PA 与⊙O 相切于点 A，过点 A 作 AB⊥OP，垂足为 C， 交⊙O 于点 B．连接 PB，AO，并延长 AO 交⊙O 于点 D，与 PB 的延长线交于点 E． （1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）若 OC=3，AC=4，求 sinE 的值． 【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接 OBB， 证明 OB⊥PE 即可． （2）要求 sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而 sinE 既可放在直角三角形 EAP 中，也可放在直角三角形 EBO 中，所以利用相似 三角形的性质求出 EP 或 EO 的长即可解决问题 【解答】（1）证明：连接 OB∵PO⊥AB， ∴AC=BC， ∴PA=PB 在△PAO 和△PBO 中 ∴△PAO 和≌△PBO ∴∠OBP=∠OAP=90° ∴PB 是⊙O 的切线． （2）连接 BD，则 BD∥PO，且 BD=2OC=6 在 Rt△ACO 中，OC=3，AC=4 ∴AO=5 在 Rt△ACO 与 Rt△PAO 中， ∠APO=∠APO， ∠PAO=∠ACO=90° ∴△ACO∼△PAO = ∴PO= ，PA= ∴PB=PA= 在△EPO 与△EBD 中， BD∥PO ∴△EPO∽△EBD ∴ = ， 解得 EB= ， PE= ， ∴sinE= = 45．（2018•安顺）如图，在△ABC 中，AB=AC，O 为 BC 的中点，AC 与半圆 O 相切于点 D． （1）求证：AB 是半圆 O 所在圆的切线； （2）若 cos∠ABC= ，AB=12，求半圆 O 所在圆的半径． 【分析】（1）先判断出∠CAO=∠BAO，进而判断出 OD=OE，即可得出结论； （2）先求出 OB，再用勾股定理求出 OA，最后用三角形的面积即可得出结论． 【解答】解：（1）如图，作 OE⊥AB 于 E，连接 OD，OA， ∵AB=AC，点 O 是 BC 的中点， ∴∠CAO=∠BAO， ∵AC 与半圆 O 相切于 D， ∴OD⊥AC， ∵OE⊥AB， ∴OD=OE， ∵AB 径半圆 O 的半径的外端点， ∴AB 是半圆 O 所在圆的切线； （2）∵AB=AC，O 是 BC 的中点， ∴AO⊥BC， 在 Rt△AOB 中，OB=AB•cos∠ABC=12× =8， 根据勾股定理得，OA= =4 ， 由三角形的面积得，S△AOB= AB•OE= OB•OA， ∴OE= = ， 即：半圆 O 所在圆的半径为 ． 46．（2018•衡阳）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线 交⊙O 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC 分别交 AC、AB 的延长线于点 E、F． （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若 AC=4，CE=2，求 的长度．（结果保留π） 【分析】（1）连接 OD，由 OA=OD 知∠OAD=∠ODA，由 AD 平分∠EAF 知∠DAE= ∠DAO，据此可得∠DAE=∠ADO，继而知 OD∥AE，根据 AE⊥EF 即可得证； （ 2 ） 作 OG ⊥ AE ， 知 AG=CG= AC=2 ， 证 四 边 形 ODEG 是 矩 形 得 OA=OB=OD=CG+CE=4，再证△ADE∽△ABD 得 AD2=48，据此得出 BD 的长及∠BAD 的度数，利用弧长公式可得答案． 【解答】解：（1）如图，连接 OD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD 平分∠EAF， ∴∠DAE=∠DAO， ∴∠DAE=∠ADO， ∴OD∥AE， ∵AE⊥EF， ∴OD⊥EF， ∴EF 是⊙O 的切线； （2）如图，作 OG⊥AE 于点 G，连接 BD， 则 AG=CG= AC=2，∠OGE=∠E=∠ODE=90°， ∴四边形 ODEG 是矩形， ∴OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4，∠DOG=90°， ∵∠DAE=∠BAD，∠AED=∠ADB=90°， ∴△ADE∽△ABD， ∴ = ，即 = ， ∴AD2=48， 在 Rt△ABD 中，BD= =4， 在 Rt△ABD 中，∵AB=2BD， ∴∠BAD=30°， ∴∠BOD=60°， 则 的长度为 = ． 47．（2018•孝感）如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D， 交 AC 于点 E，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G． （1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）已知 BD=2 ，CF=2，求 AE 和 BG 的长． 【分析】（1）连接 OD，AD，由圆周角定理可得 AD⊥BC，结合等腰三角形的性 质知 BD=CD，再根据 OA=OB 知 OD∥AC，从而由 DG⊥AC 可得 OD⊥FG，即可得 证； （2）连接 BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得 = ，由此构建方程即可 解决问题； 【解答】解：（1）连接 OD，AD， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°，即 AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=CD， 又∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵DG⊥AC， ∴OD⊥FG， ∴直线 FG 与⊙O 相切； （2）连接 BE．∵BD=2 ， ∴ ， ∵CF=2， ∴DF= =4， ∴BE=2DF=8， ∵cos∠C=cos∠ABC， ∴ = ， ∴ = ， ∴AB=10， ∴AE= =6， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴BE∥GF， ∴△AEB∽△AFG， ∴ = ， ∴ = ， ∴BG= ． 48．（2018•江西）如图，在△ABC 中，O 为 AC 上一点，以点 O 为圆心，OC 为 半径做圆，与 BC 相切于点 C，过点 A 作 AD⊥BO 交 BO 的廷长线于点 D，且∠AOD= ∠BAD． （1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）若 BC=6，tan∠ABC= ，求 AD 的长． 【分析】（1）作 OE⊥AB，先由∠AOD=∠BAD 求得∠ABD=∠OAD，再由∠BOC= ∠D=90°及∠BOC=∠AOD 求得∠OBC=∠OAD=∠ABD，最后证△BOC≌△BOE 得 OE=OC，依据切线的判定可得； （2）先求得∠EOA=∠ABC，在 Rt△ABC 中求得 AC=8、AB=10，由切线长定理知 BE=BC=6、AE=4、OE=3，继而得 BO=3 ，再证△ABD∽△OBC 得 = ，据此 可得答案． 【解答】解：（1）过点 O 作 OE⊥AB 于点 E， ∵AD⊥BO 于点 D， ∴∠D=90°， ∴∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠OAD=90°， ∵∠AOD=∠BAD， ∴∠ABD=∠OAD， 又∵BC 为⊙O 的切线， ∴AC⊥BC， ∴∠BOC=∠D=90°， ∵∠BOC=∠AOD， ∴∠OBC=∠OAD=∠ABD， 在△BOC 和△BOE 中， ∵ ， ∴△BOC≌△BOE（AAS）， ∴OE=OC， ∵OE⊥AB， ∴AB 是⊙O 的切线； （2）∵∠ABC+∠BAC=90°，∠EOA+∠BAC=90°， ∴∠EOA=∠ABC， ∵tan∠ABC= 、BC=6， ∴AC=BC•tan∠ABC=8， 则 AB=10， 由（1）知 BE=BC=6， ∴AE=4， ∵tan∠EOA=tan∠ABC= ， ∴ = ， ∴OE=3，OB= =3 ， ∵∠ABD=∠OBC，∠D=∠ACB=90°， ∴△ABD∽△OBC， ∴ = ，即 = ， ∴AD=2 ． 49．（2018•金华）如图，在 Rt△ABC 中，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与 BC，AB 相交于点 D，E，连结 AD．已知∠CAD=∠B． （1）求证：AD 是⊙O 的切线． （2）若 BC=8，tanB= ，求⊙O 的半径． 【分析】（1）连接 OD，由 OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已 知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4 为 90°，即可得证； （2）设圆的半径为 r，利用锐角三角函数定义求出 AB 的长，再利用勾股定理列 出关于 r 的方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】（1）证明：连接 OD， ∵OB=OD， ∴∠3=∠B， ∵∠B=∠1， ∴∠1=∠3， 在 Rt△ACD 中，∠1+∠2=90°， ∴∠4=180°﹣（∠2+∠3）=90°， ∴OD⊥AD， 则 AD 为圆 O 的切线； （2）设圆 O 的半径为 r， 在 Rt△ABC 中，AC=BCtanB=4， 根据勾股定理得：AB= =4 ， ∴OA=4 ﹣r， 在 Rt△ACD 中，tan∠1=tanB= ， ∴CD=ACtan∠1=2， 根据勾股定理得：AD2=AC2+CD2=16+4=20， 在 Rt△ADO 中，OA2=OD2+AD2，即（4 ﹣r）2=r2+20， 解得：r= ． 50．（2018•南充）如图，C 是⊙O 上一点，点 P 在直径 AB 的延长线上，⊙O 的 半径为 3，PB=2，PC=4． （1）求证：PC 是⊙O 的切线． （2）求 tan∠CAB 的值． 【分析】（1）可以证明 OC2+PC2=OP2 得△OCP 是直角三角形，即 OC⊥PC，PC 是⊙O 的切线 （2））AB 是直径，得∠ACB=90°，通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA，进而 ，得出 tan∠CAB= ． 【解答】解：（1）如图，连接 OC、BC ∵⊙O 的半径为 3，PB=2 ∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5 ∵PC=4 ∴OC2+PC2=OP2 ∴△OCP 是直角三角形， ∴OC⊥PC ∴PC 是⊙O 的切线． （2）∵AB 是直径 ∴∠ACB=90° ∴∠ACO+∠OCB=90° ∵OC⊥PC ∴∠BCP+∠OCB=90° ∴∠BCP=∠ACO ∵OA=OC ∴∠A=∠ACO ∴∠A=∠BCP 在△PBC 和△PCA 中： ∠BCP=∠A，∠P=∠P ∴△PBC∽△PCA， ∴ ∴tan∠CAB=