中考数学真题汇编二次函数含答案

中考数学真题汇编二次函数含答案

中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 ‎1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（   ） ‎ A. ①③                                     B. ③④                                     C. ②④                                     D. ②③‎ ‎【答案】B ‎ ‎2.如图,函数 和 ( 是常数,且 )在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ） ‎ A.            B.             C.            D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎3.关于二次函数 ，下列说法正确的是（  ） ‎ A. 图像与 轴的交点坐标为                           B. 图像的对称轴在 轴的右侧       C. 当 时， 的值随 值的增大而减小          D. 的最小值为-3‎ ‎【答案】D ‎ ‎4.二次函数 的图像如图所示，下列结论正确是(    )‎ A.          B.          C.          D. 有两个不相等的实数根 ‎【答案】C ‎ ‎5.若抛物线 与 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线 ，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点(    ) ‎ A.                           B.                           C.                           D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（    ） ‎ A. （-3，-6）                       B. （-3，0）                       C. （-3，-5）                       D. （-3，-1）‎ ‎【答案】B ‎ ‎7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（   ） ‎ A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同                B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m                            D. 火箭升空的最大高度为145m ‎【答案】D ‎ ‎8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（   ） ‎ A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4‎ ‎【答案】B ‎ ‎9.如图是二次函数 （ ， ， 是常数， ）图象的一部分，与 轴的交点 在点 和 之间，对称轴是 .对于下列说法：① ；② ；③ ；④ （ 为实数）；⑤当 时， ，其中正确的是（   ） ‎ A. ①②④                                B. ①②⑤                                C. ②③④                                D. ③④⑤‎ ‎【答案】A ‎ ‎10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（    ）‎ A.B.C.D.‎ ‎【答案】D ‎ ‎11.四位同学在研究函数 （b，c是常数）时，甲发现当 时，函数有最小值；乙发现 是方程 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 时， ．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（    ） ‎ A. 甲                                         B. 乙                                         C. 丙                                         D. 丁 ‎【答案】B ‎ ‎12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（   ） ‎ A. （                                     B.  C.                                           D. （ ‎ ‎【答案】B ‎ 二、填空题 ‎ ‎13.已知二次函数 ，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”） ‎ ‎【答案】增大 ‎ ‎14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。 ‎ ‎【答案】4 -4 ‎ 三、解答题 ‎ ‎15.学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1 ， P2 ， P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形。若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式。请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式。‎ ‎ ①P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）。 ②P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）。 ‎ ‎【答案】①∵P1（4，0），P2（0，0），4-0=4＞0， ∴绘制线段P1P2 ， P1P2=4. ②∵P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6），0-0=0， ∴绘制抛物线， ‎ 设y=ax（x-4），把点（6，6）坐标代入得a= ， ∴ ，即 。 ‎ ‎16.如图，抛物线 （a≠0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C ， D在抛物线上．设A（t ， 0），当t=2时，AD=4．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式． ‎ ‎（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ ‎ ‎（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ， H ， 且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． ‎ ‎【答案】（1）设抛物线的函数表达式为y=ax（x-10） ∵当t=2时，AD=4 ∴点D的坐标是（2，4） ∴4=a×2×（2-10），解得a= ∴抛物线的函数表达式为 （2）由抛物线的对称性得BE=OA=t ∴AB=10-2t 当x=t时，AD= ∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）= ∵ <0 ∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是多少 （3）如图， ‎ ‎ 当t=2时，点A，B，C，D的坐标分别为（2，0），（8，0），（8，4），（2，4） ∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2） 当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分。 当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分。 ∴当G，H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形面积平分。 当点G，H分别落在线段AB，DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积。 ∵AB∥CD ∴线段OD平移后得到线段GH ∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P 在△OBD中，PQ是中位线 ∴PQ= OB=4 所以，抛物线向右平移的距离是4个单位。 ‎ ‎17.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题： ‎ ‎（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？ ‎ ‎（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ ‎ ‎（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ ‎ ‎【答案】（1）解：当y=15时， 15=﹣5x2+20x， 解得，x1=1，x2=3， 答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s （2）解：当y=0时， ‎ ‎0═﹣5x2+20x， 解得，x3=0，x2=4， ∵4﹣0=4， ∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s （3）解：y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20， ∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20， 答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m ‎ ‎18.在平面直角坐标系中，点 ，点 .已知抛物线 （ 是常数），定点为 . ‎ ‎（1）当抛物线经过点 时，求定点 的坐标； ‎ ‎（2）若点 在 轴下方，当 时，求抛物线的解析式； ‎ ‎（3）无论 取何值，该抛物线都经过定点 .当 时，求抛物线的解析式. ‎ ‎【答案】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ∴ ，解得 . ∴抛物线的解析式为 . ∵   ， ∴顶点 的坐标为 . （2）解：如图1，                                                                                                                                                                                                    抛物线 的顶点 的坐标为 . 由点 在 轴正半轴上，点 在 轴下方， ，知点 在第四象限. 过点 作 轴于点 ，则 . 可知 ，即 ，解得 ， . ‎ 当 时，点 不在第四象限，舍去. ∴ . ∴抛物线解析式为 . （3）解： 如图2：                                                                                                                                                                                             由   可知， 当 时，无论 取何值， 都等于4. 得点 的坐标为 . 过点 作 ，交射线 于点 ，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，则 . ∵ ， ， ∴ .∴ . ∵   ， ∴ . ∴ . ∴ ， . 可得点 的坐标为 或 . 当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 . ∵点 在直线 上， ∴ .解得 ， . 当 时，点 与点 重合，不符合题意，∴ . 当点 的坐标为 时， 可得直线 的解析式为 . ‎ ‎∵点 在直线 上， ∴   .解得 （舍）， . ∴ . 综上， 或 . 故抛物线解析式为 或 . ‎ ‎19.如图，已知二次函数 的图象经过点 ，与 轴分别交于点 ，点 .点 是直线 上方的抛物线上一动点. ‎ ‎（1）求二次函数 的表达式； ‎ ‎（2）连接 ， ，并把 沿 轴翻折，得到四边形 .若四边形 为菱形，请求出此时点 的坐标； ‎ ‎（3）当点 运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时 点的坐标和四边形 的最大面积. ‎ ‎【答案】（1）解：将点B和点C的坐标代入 , 得 ，解得 ， ． ∴ 该二次函数的表达式为 ． （2）解：若四边形POP′C是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上； 如图，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E， ‎ ‎∵ C（0，3）， ∴ E（0， ）, ∴ 点P的纵坐标等于 ． ∴ , 解得 ， （不合题意，舍去）， ∴ 点P的坐标为（ ， ）． （3）解：过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F， 设P（m， ），设直线BC的表达式为 ， 则 ,   解得 . ∴直线BC的表达式为 ． ∴Q点的坐标为（m， ）， ∴ . 当 ， 解得 ， ∴ AO=1，AB=4， ∴ S四边形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ = = 当 时，四边形ABPC的面积最大． 此时P点的坐标为 ，四边形ABPC的面积的最大值为 ． ‎ ‎20.如图1，四边形 是矩形，点 的坐标为 ，点 的坐标为 .点 从点 出发，沿 以每秒1个单位长度的速度向点 运动，同时点 从点 出发，沿 以每秒2个单位长度的速度向点 ‎ 运动，当点 与点 重合时运动停止.设运动时间为 秒. ‎ ‎（1）当 时，线段 的中点坐标为________； ‎ ‎（2）当 与 相似时，求 的值； ‎ ‎（3）当 时，抛物线 经过 、 两点，与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ，如图2所示.问该抛物线上是否存在点 ，使 ，若存在，求出所有满足条件的 点坐标；若不存在，说明理由. ‎ ‎【答案】（1）（ ，2） （2）解：如图1，∵四边形OABC是矩形， ∴∠B=∠PAQ=90° ∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况： ①当△PAQ∽△QBC时， ， ∴ ， 4t2-15t+9=0， （t-3）（t- ）=0， t1=3（舍），t2= ， ②当△PAQ∽△CBQ时， ， ∴ ， t2-9t+9=0， t= ， ∵0≤t≤6， ＞7， ‎ ‎∴x= 不符合题意，舍去， 综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是 或 （3）解：当t=1时，P（1，0），Q（3，2）， 把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c中得： ，解得： ， ∴抛物线：y=x2-3x+2=（x- ）2- ， ∴顶点k（ ，- ）， ∵Q（3，2），M（0，2）， ∴MQ∥x轴， 作抛物线对称轴，交MQ于E， ∴KM=KQ，KE⊥MQ， ∴∠MKE=∠QKE= ∠MKQ， 如图2，∠MQD= ∠MKQ=∠QKE，设DQ交y轴于H， ∵∠HMQ=∠QEK=90°， ∴△KEQ∽△QMH， ∴ ， ∴ ， ∴MH=2， ∴H（0，4）， 易得HQ的解析式为：y=- x+4， ‎ 则 ， x2-3x+2=- x+4， 解得：x1=3（舍），x2=- ， ∴D（- ， ）； 同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM= ∠MKQ=∠QKE， 由对称性得：H（0，0）， 易得OQ的解析式：y= x， 则 ， x2-3x+2= x， 解得：x1=3（舍），x2= ， ∴D（ ， ）； 综上所述，点D的坐标为：D（- ， ）或（ ， ） ‎ ‎21.平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴有两个交点.‎ ‎（1）当 时，求二次函数的图象与 轴交点的坐标； ‎ ‎（2）过点 作直线 轴，二次函数的图象的顶点 在直线 与 轴之间(不包含点 在直线 上)，求 的范围； ‎ ‎（3）在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线 相交于点 ，求 的面积最大时 的值. ‎ ‎【答案】（1）解：当m=-2时，y=x2+4x+2当y=0时，则x2+4x+2=0 解之：x1= ，x2= （2）解：∵ =（x-m）2+2m+2∴顶点坐标为（m，2m+2） ∵此抛物线的开口向上，且与x轴有两个交点，二次函数图像的顶点在直线l与x轴之间（不包括点A在直线l上） ∴ 解之：m＜-1，m＞-3 即-3＜m＜-1 （3）解：根据(2)的条件可知-3＜m＜-1根据题意可知点B（m，m-1）,A（m，2m+2） ∴AB=2m+2-m+1=m+3 S△ABO= ∴ m=−时，△ABO的面积最大。 ‎ ‎22.如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，交 轴于点 .过点 作 轴，交抛物线于点 .‎ ‎（1）求抛物线的解析式； ‎ ‎（2）若直线 与线段 、 分别交于 、 两点，过 点作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，求矩形 的最大面积； ‎ ‎（3）若直线 将四边形 分成左、右两个部分，面积分别为 、 ，且 ，求 的值. ‎ ‎【答案】（1）解：根据题意得：9a-3b-3=0 a+b-3=0 解之：a=1，b=2 ∴抛物线的解析式为y-=x2+2x-3 （2）解：解：∵x=0时，y=-3∴点C的坐标为（0，-3） ∵CD∥X轴， ∴点D（-2，-3） ∵A（-3,0），B（1,0） ∴yAD=-3x-9，yBD=x-1 ∵直线 与线段 、 分别交于 、 两点 ∴ ∴ ∴ ∴矩形的最大面积为3 （3）解：AB=1-（-3）=4，CD=0-（-2）=2,OC=3 ∵CD∥x轴 ∴S四边形ABCD= ∵ ∴S1=4，S2=5 ∵若直线y=kx+1经过点D时，点D（-2，-3） -2k+1=-3 解之：k=2 ∴y=2x+1 当y=0时，x= ∴点M的坐标为 ∴ ∴ 设直线y=kx+1与CD、AO分别交于点N、S ‎ ‎ ∴ ∴ 解之：k= ‎ ‎23.如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B． ‎ ‎（1）当x=2时，求⊙P的半径； ‎ ‎（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象； ‎ ‎（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到________的距离等于到________的距离的所有点的集合． ‎ ‎（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小． ‎ ‎【答案】（1）解：由x=2，得到P（2，y）， 连接AP，PB， ‎ ‎∵圆P与x轴相切， ∴PB⊥x轴，即PB=y， 由AP=PB，得到 =y， 解得：y= ， 则圆P的半径为 （2）解：同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2 ， 整理得：y= （x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线， 画出函数图象，如图②所示； （3）点A；x轴 （4）解：连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F， 设PE=a，则有EF=a+1，ED= ， ∴D坐标为（1+ ，a+1）， 代入抛物线解析式得：a+1= （1﹣a2）+1， 解得：a=﹣2+ 或a=﹣2﹣ （舍去），即PE=﹣2+ ， 在Rt△PED中，PE= ﹣2，PD=1， 则cos∠APD= = ﹣2 ‎ ‎ ‎