- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
中考全等三角形知识总结和例题
长安教育中心 全等三角形复习 [知识要点] 一、全等三角形 1.判定和性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边(SAS)、角边角(ASA) 角角边(AAS)、边边边(SSS) 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等(HL) 性质 对应边相等,对应角相等 对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等 注:① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等; ② 全等三角形面积相等. 2.证题的思路: 性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形周长相等。 (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等。(SSS) 8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA) 10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS) 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL) 运用 1、性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等。 而全等的判定却刚好相反。 2、利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点,角、边的顺序写一致,为找对应边,角提供方便。 3,当图中出现两个以上等边三角形时,应首先考虑用SAS找全等三角形。 4、用在实际中,一般我们用全等三角形测等距离。以及等角,用于工业和军事。有一定帮助。 5、角平分线的性质及判定 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 做题技巧 一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。 因此我们可以来采取逆思维的方式。 来想要证全等,则需要什么条件 另一种则要根据题目中给出的已知条件,求出有关信息。 然后把所得的等式运用(AAS/ASA/SAS/SSS/HL)证明三角形全等。 (二)实例点拨 例1 (2010淮安) 已知:如图,点C是线段AB的中点,CE=CD,∠ACD=∠BCE。求证:AE=BD。 E B C A D 解析:此题可先证三角形全等,由三角形全等得出对应边相等即结论成立。证明如下: 证明:∵点C是线段AB的中点 ∴AC=BC ∵∠ACD=∠BCE ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE 即∠ACE=∠BCD 在△ACE和△BCD中, AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD ∴△ACE≌△BCD(SAS) ∴AE=BD 反思:证明两边相等是常见证明题之一,一般是通过发现或构造三角形全等来得到对应边即要证边相等,或者若要证边在同一个三角形中,也常先证角相等,再用“等角对等边”来证明边相等。 例2 已知:AB=AC,EB=EC,AE的延长线交BC于D,试证明:BD=CD 解析:此题若直接证BD、CD所在的三角形全等,条件不够,所以先证另一对三角形全等得到有用的角、边相等的结论用来证明BD、CD所在的三角形全等。证明如下: 证明:在△ABE和△ACE中 AB=AC, EB=EC, AE=AE ∴ △ABE≌△ACE (SSS) ∴∠BAE=∠CAE 在△ABD和△ACD中 AB=AC ∠BAE= ∠CAE AD=AD ∴ △ABD≌ △ACD (SAS ) ∴ BD = CD 反思:通过证明几次三角形全等才得到边、角相等的思路也是中考中等难度题型的常考思路。此种题型需要学生先针对条件分析、演绎推理,逐步找出解题的思路,再书写规范过程。 例3.(2009·洛江中考)如图,点C、E、B、F在同一直线上,AC∥DF,AC=DF,BC=EF, 求证:AB=DE. 【证明】∵AC∥DF,∴ 在 ≌,∴AB=DE. 17、(2010·潼南中考)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连结AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2 , ∠3=∠4. (1)证明:△ABE≌△DAF; (2)若∠AGB=30°,求EF的长. 【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD, 在△ABE和△DAF中,, ∴△ABE≌△DAF. (2)∵四边形ABCD是正方形, ∴∠1+∠4=90o ∵∠3=∠4, ∴∠1+∠3=90o ∴∠AFD=90o 在正方形ABCD中, AD∥BC, ∴∠1=∠AGB=30o 在Rt△ADF中,∠AFD=90o AD=2 , ∴AF= , DF =1, 由(1)得△ABE≌△ADF, ∴AE=DF=1, ∴EF=AF-AE=. 例4、(2009·吉林中考)如图, ,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明. 【解析】(1)、、、、 (写出其中的三对即可). (2)以为例证明. 证明: 在Rt和Rt中, Rt≌Rt. 要点二、角平分线的性质与应用 例5、(2009·温州中考)如图,OP平分,,,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( ) A. B.平分 C. D.垂直平分 【解析】选D.由OP平分,,,可得,由HL可得Rt△AOP≌Rt△BOP, 所以可得平分,. 例6、(2009·厦门中考)如图,在ΔABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米,BC=8厘米,则点D到直线AB的距离是_______厘米。 【解析】过点D作DE垂直于AB于E,由勾股定理得,由角平分线性质得 答案:6. 【实弹射击】 C A B D E 第1题图 1、 如图,AB=AC,AE=AD,BD=CE,求证:△AEB ≌ △ ADC。 2、如图:AC与BD相交于O,AC=BD,AB=CD,求证:∠C=∠B O A C D B 第2题图 3、如图,已知AB=CD,AD=CB,E、F分别是AB,CD的中点, A D B C F E 第3题图 且DE=BF,说出下列判断成立的理由 .①△ADE≌△CBF ②∠A=∠C 4、已知:BECF在同一直线上, AB ∥DE,AC∥DF,并且BE=CF。 第4题图 求证:△ ABC≌ △ DEF 5、 如图, 已知:AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF.求证:AC=EF. 6、 如图,ΔABC的两条高AD、BE相交于H,且AD=BD,试说明下列结论成立的理由。 (1)∠DBH=∠DAC; (2)ΔBDH≌ΔADC。 7、 如图,已知为等边三角形,、、分别在边、、上,且也是等边三角形. i. 除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,并证明你的猜想是正确的; ii. 你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化相互得到?写出变化过程. 5、 已知等边三角形ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,求∠APE的大小。 6、 如图所示,P为∠AOB的平分线上一点,PC⊥OA于C,∠OAP+∠OBP=180°,若OC=4cm,求AO+BO的值. 7、 如图:四边形ABCD中,AD∥BC ,AB=AD+BC ,E是CD的中点,求证:AE⊥BE 。 11.如图,ABCD是正方形,点G是BC上的任意一点,于E,,交AG于F.求证:. D C B A E F G 查看更多