专题十二 中考数学分类讨论专题

专题十二 中考数学分类讨论专题

分类讨论专题 ‎ 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．‎ 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．‎ ‎   分类的原则：‎ （1） 分类中的每一部分是相互独立的；‎ （2） 一次分类按一个标准；‎ （3） 分类讨论应逐级有序进行．‎ （4） 以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.‎ 综合中考的复习规律，分类讨论的知识点可分为三大类：‎ 1. 代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.‎ 2. 几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.‎ 3. 综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.‎ 代数类 考点1 与数与式有关的分类讨论 1. 化简：|x-1|+|x-2|‎ 2. 已知α、β是关于x的方程x2+x+a=0的两个实根。‎ ‎　　(1)求a的取值范围；‎ ‎　　(2)试用a表示|α|+|β|。‎ 3. 代数式的所有可能的值有（ ）‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 考点1 与方程有关的分类讨论 1. 解方程：①（a-2）x=b-1 ②试解关于x的方程 2. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（）‎ A． ‎ B. C.k< D. k≥‎ 3. 已知关于x的方程 ‎（1）若方程有实数根，求k的取值范围 ‎（2）若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求ΔABC的周长.‎ 考点2 函数部分 4. 一次函数时，对应的y值为，则kb的值是（ ）。‎ A. 14 B. C. 或21 D. 或14‎ 5. 设一次函数的图象不经过第一象限，求a的取值范围。‎ 1. 比较一次函数与二次函数的函数值y1与y2的大小。‎ 2. 图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).‎ ‎（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标； ‎ ‎（2）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，‎ 得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.‎ ‎【变式】就的取值范围，讨论.直线与此图象有公共点的个数 图9‎ ‎几何类 一、 与等腰三角形有关的分类讨论 考点1 与角有关的分类讨论 1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________‎ 考点2 与边有关的分类讨论 1. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________.‎ 考点3 与高有关的分类讨论 1. 一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°，则此等腰三角形的顶角是________度.‎ 2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，这个等腰三角形的顶角是______度.‎ 3. 为美化环境，计划在某小区内用的草皮铺设一块一边长为10的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.‎ 4. 如图，在网格图中找格点M，使△MPQ为等腰三角形.并画出相应的△MPQ的对称轴.‎ 考点1 综合应用 1. 在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（－2，2），试在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，求符合条件的点P的坐标 A（－2，2）‎ y x o 2. 如图，在平面直角坐标系xoy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3，4)．连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形．那么所有满足条件的点P的坐标是 ‎ 3. 直角坐标系中，已知点P（－2，－1），点T（t，0）是x轴上的一个动点.‎ (1) 求点P关于原点的对称点的坐标；（2）当t取何值时，△TO是等腰三角形？‎ y x P O T ‎1‎ ‎1‎ 一、 与圆有关的分类讨论 ‎ 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解.‎ 考点1 由于点与圆的位置关系的不确定而分类讨论 1. 已知点P到⊙O的最近距离为3cm，最远距离为13cm，求⊙O的半径.‎ ‎ ‎ 考点2 由于点在圆周上位置关系的不确定而分类讨论 1. A、B是⊙O上的两点，且∠AOB=136o，C是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠ACB的度数是___________.‎ 考点3 由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论 ‎ 1. 已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度.‎ 考点4 由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论 ‎ 1. ‎⊙O的直径AB=2，过点A有两条弦AC=，AD=，求∠CAD的度数.‎ 考点5 由于直线与圆的位置的不确定而分类讨论 1. 已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移 个单位时，它与轴相切.‎ 2. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点M，N ‎（1）求M，N两点的坐标；　　　　　　‎ ‎（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线相切，求点P的坐标.‎ 考点1 由于圆与圆的位置的不确定而分类讨论 1. 已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3 cm，⊙O2的半径为2 cm，则O1O2的长是 cm ．‎ 2. 如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，将⊙A由图示位置向右平移 个单位长后，⊙A与⊙B相切．‎ A B 3. 如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为(a，0)，半径为5，如果两圆内含，那么a的取值范围是_________．‎ 4. 在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为（1，0），点的坐标为（0，4），直线轴（如图7所示）．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线CM相交于点D，联结OD．‎ ‎（1）求的值和点D的坐标；‎ ‎（2）设点P在轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的⊙与⊙外切，求⊙的半径．‎ C M O x y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 图7‎ A ‎1‎ B D 一、 与直角三角形有关的分类讨论 1. 已知点M（0，1），N（0，3），在直线y=2x＋4上找一点P使△MPN为直角三角形，求点P的坐标.‎ 2. 如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．‎ ‎（1）求P点坐标及a的值； ‎ ‎（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的关系式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． ‎ y x A O B P N 图2‎ C1‎ C4‎ Q E F 图（2）‎ y x A O B P M 图1‎ C1‎ C2‎ C3‎ 图（1）‎ 一、 与相似三角形有关的分类讨论 考点1 对应边不确定 1. 如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm／s的速度向B点匀速运动；同时，动点从D点出发沿DA方向以2cm／s的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A,.M,N为顶点的三角形与ΔACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点2 对应角不确定 A B C E D l 图1‎ 1. 如图1，∠A=500，∠B=600，一直线l与△ABC的边AC、AB边相交于点D、E两点，当∠ADE为________度时，△ABC与△ADE相似.‎ 考点3 图形的位置不确定 1. 在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）. 过P作y轴的垂线PA,垂足为A.‎ 点T为坐标轴上的一点.若以P，O，T 为顶点的三角形与△AOP相似,请写出点T的坐标?‎ ‎【变式】 若点T在第四象限,请写出点T的坐标.‎ ‎2. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．‎ ‎（1）求点E到BC的距离；‎ ‎（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP＝x．‎ ‎①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；‎ ‎②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．‎ F E A D B C 图2‎ N P M F E A D B C 图3‎ M P N F E A D B C 图1‎ F E A D B C 图5(备用)‎ F E A D B C 图4(备用)‎ ‎课下巩固练习 一、填空题：‎ 1. 已知AB是圆的直径，AC是弦，AB＝2，AC＝，弦AD＝1，则∠CAD＝　　　．‎ 2. 直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 . ‎ 3. 已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．‎ 4. 等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角为______．‎ 5. 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中，作格点△ABC和△OAB相似(相似比不为1)，则点C的坐标是_____.‎ 二、选择题：‎ 1. 若等腰三角形的一个内角为500，则其他两个内角为 （ ） ‎ ‎ A．500 ，80o B．650， 650 C．500 ，650 D．500，800或 650，650‎ 2. 若 ‎ A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－1‎ 3. 等腰三角形的一边长为3cm，周长是13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（ ）‎ ‎ A．5cm B.3cm C．5cm或3cm D．不确定 4. 若⊙O的弦 AB所对的圆心角∠AOB=60°，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ）‎ ‎ A．300 B、600 C．1500 D．300或 1500‎ 5. 若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（　　）‎ A. B. C. 或 D. a+b或a-b 二、解答题：‎ 1. 在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，圆A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动，（与点B和C不重合），设BO＝x，ΔAOC的面积为.‎ ‎（1）求关于的函数关系式.‎ ‎（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时ΔAOC的面积.‎ 2. 在直角坐标系XOY中，O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A（5，0），B（0，4），C（－1，0），点M和点N在x轴上，（点M在点N的左边）点N在原点的右边，作MP⊥BN，垂足为P（点P在线段BN上，且点P与点B不重合）直线MP与y轴交于点G，MG＝BN.‎ ‎（1）求点M的坐标.‎ ‎（2）设ON＝t，△MOG的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.‎ ‎（3）过点B作直线BK平行于x轴，在直线BK上是否存在点R，使△ORA为等腰三角形？若存在，请直接写出R的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 3. 如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．‎ ‎（1）直接写出点E、F的坐标；‎ ‎（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的关系式．‎ 1. 在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法) ‎ 2. 已知与是反比例函数图象上的两个点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 3. 如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB 上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.‎ ‎(1)求直线AB的关系式;‎ ‎(2)若S梯形OBCD＝,求点C的坐标;‎ ‎(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 1. 二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点C.‎ ‎ （1）求的面积．；‎ ‎ （2）在该二次函数的图象上是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y x B A C O