2012湖南衡阳中考数学

2012湖南衡阳中考数学

‎2012年衡阳市初中学业水平考试 数 学 考生注意：1.本学科试卷共三道大题，满分120分，考试时量120分钟.‎ ‎2.本试卷的作答一律答在答题卡上，选择题用2B铅笔按涂写要求将你认为正确的选项涂黑，非选择题用黑色墨水签字笔作答，作答不能超出黑色矩形边框，直接在试卷上作答无效.‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（2012湖南衡阳，1，3分）－3的绝对值是（ ）‎ ‎ A． B．－‎3 C．3 D．‎ ‎【答案】C ‎2．（2012湖南衡阳，2，3分）2012年我省各级政府将总投入594亿元教育经费用于“教育强省”战略，将594亿用科学计数法（保留两个有效数字）表示为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎3．（2012湖南衡阳，3，3分）下列运算正确的是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎4．（2012湖南衡阳，4，3分）函数中自变量x的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎5．（2012湖南衡阳，5，3分）一个圆锥的三视图如下图所示，则此圆锥的底面积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎6．（2012湖南衡阳，6，3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）‎ ‎ A．等边三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形 ‎【答案】C ‎7．（2012湖南衡阳，7，3分）为备战2012年伦敦奥运会，甲乙两位射击运动员在一次训练中的成绩分别为：（单位：环）‎ 甲： 9 10 9 8 10 9 8‎ 乙： 8 9 10 7 10 8 10‎ 下列说法正确的是（ ）‎ ‎ A．甲的中位数为8 B．乙的平均数为9‎ ‎ C．甲的众数为9 D．乙的极差为2‎ ‎【答案】C ‎8．（2012湖南衡阳，8，3分）如下图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，则∠2＝（ ）‎ ‎ A．70° B．90° C．110° D．80°‎ ‎【答案】A ‎ ‎9．（2012湖南衡阳，9，3分）掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎10．（2012湖南衡阳，10，3分）已知⊙O的直径等于‎12cm，圆心O到直线l的距离为‎5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（ ）‎ ‎ A．0 B．‎1 ‎‎ C．2 D．无法确定 ‎【答案】C ‎11．（2012湖南衡阳，11，3分）为了丰富同学们的业余生活，体育委员小强到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍，若购买1幅羽毛球拍和1幅乒乓球拍共需50元，小强一共用了320元购买了6幅同样的购买羽毛球拍和10幅同样的乒乓球拍，若设每幅羽毛球拍x元，每幅乒乓球拍y元，可列二元一次方程组为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎12．（2012湖南衡阳，12，3分）下图为二次函数的图象，则下列说法：①；②；③；④当时，，其中正确的个数为（ ）‎ ‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎13．（2012湖南衡阳，13，3分）计算 .‎ ‎【答案】‎ ‎14．（2012湖南衡阳，14，3分）分式方程的解为x＝ .‎ ‎【答案】2‎ ‎15. （2012湖南衡阳，15，3分）如图，反比例函数的图象经过点P，则k＝ .‎ ‎【答案】-6‎ ‎16．（2012湖南衡阳，16，3分）某校为了丰富学生的课外体育活动，欲增购一批体育器材，为此该校对一部分学生进行一次题为“你喜欢的体育活动”的问卷调查（每人限选一项）.根据所收集的数据，绘制成如下统计图（不完整）：‎ ‎ ‎ 根据图中提供的信息得出“跳绳”部分的学生共有 人.‎ ‎【答案】50‎ ‎17．（2012湖南衡阳，17，3分）如图，⊙O的半径为‎6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A＝30°，则劣弧的长为 cm.‎ ‎【答案】‎ ‎18．（2012湖南衡阳，18，3分）如图，一次函数的图象与正比例函数 的图象平行且经过点A（1，－2），则＝ .‎ ‎【答案】－8‎ ‎19．（2012湖南衡阳，19，3分）如图，菱形ABCD的周长为‎20cm，且，则菱形ABCD的面积为 .‎ ‎【答案】24‎ ‎20．（2012湖南衡阳，20，3分）观察下列等式：‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎……‎ 根据以上规律，计算＝ * .‎ ‎【答案】1‎ 三、解答题（本大题共8小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎21．（2012湖南衡阳，21，6分）计算：‎ ‎【答案】解：原式＝1+3－2+3＝5‎ ‎22．（2012湖南衡阳，22，6分）解不等式组，并在数轴上表示解集.‎ ‎【答案】解：解不等式可得：‎ ‎ 解不等式可得：‎ ‎ ∴不等式组的解集为：‎ 解集在数轴上表示为：‎ ‎23．（2012湖南衡阳，23，6分）如下图所示，AF＝DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由.‎ ‎【答案】解：补充条件：∠A＝∠D （注：答案不唯一）‎ ‎ 证明：∵AF＝DC ‎∴AF+FC＝DC+FC 即：AC＝FD ‎∵BC∥EF ‎∴∠EFD＝∠ACB 又∵∠A＝∠D ‎∴△ABC≌△DEF（ASA）‎ ‎24．（2012湖南衡阳，24，6分）如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD.（，单位：m）‎ ‎【答案】解：如图所示，过点B作BF⊥AD，可得矩形BCEF ‎ ∴EF＝BC＝4；BF＝CE＝4‎ ‎ 在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AB＝5，BF＝4‎ ‎ 由勾股定理可得：‎ ‎ 又∵Rt△CED中，‎ ‎ ∴ED＝2CE＝2×4＝8‎ ‎ ∴AD＝AF+FE+ED＝3+4+8＝15（米）‎ ‎ ‎ ‎25．（2012湖南衡阳，25，8分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1、2、3、4的四个小球，除所标数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀.‎ ‎（1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？‎ ‎（2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率.‎ ‎（3）若设计一个游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由. ‎ ‎【答案】解：（1）P（球上的数字为偶数）＝‎ ‎（2）如下图 由树状图可知，所有可能的情况共有12种，两球数字之和为偶数的情况有4种，‎ 所以P（两球数字之和为偶数）＝‎ ‎（3）游戏方案对甲、乙双方是公平的.如下图 由树状图可知，所有可能的情况共有12种，两球数字之差的绝对值为1的情况有6种，‎ 可知P（甲胜）＝；P（乙胜）＝.由于P（甲胜）＝P（乙胜）＝，所以此游戏方案对甲、乙双方是公平的.‎ ‎26．（2012湖南衡阳，26，8分）如下图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB＝‎10cm.‎ ‎（1）求证：BF是⊙O的切线.‎ ‎（2）若AD＝‎8cm，求BE的长.‎ ‎（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种特殊四边形？并说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明：∵BF∥CD；AB⊥CD ‎ ∴AB⊥BF ‎ 又∵AB是⊙O的直径 ‎ ∴BF是⊙O的切线 ‎（2）如图，连接BD；‎ ‎∵AB是⊙O的直径；AB⊥CD ‎ ∴∠ADB＝∠AED＝90°‎ ‎ ∵∠DAB＝∠DAB ‎ ∴△AED∽△ADB ‎ ∴；代入数据得：；解得：AE＝6.4‎ ‎ ∴AE＝10－6.4＝3.6（cm）‎ ‎（3）如图，连接BC，BD；四边形ACBD为正方形.‎ 证明：∵AB是⊙O的直径 ‎ ∴∠ADB＝∠ACB＝90°‎ ‎∵四边形CBFD为平行四边形 ‎ ∴BC∥AF ‎ ∴∠CBD＝∠ADB＝90°‎ ‎ ∴CD必为⊙O的直径 ‎ ∴AB＝CD ‎ 又∵∠ADB＝∠ACB＝∠CBD＝90°‎ ‎ ∴四边形ACBD为矩形 ‎ ∴四边形ACBD为正方形 ‎27．（2012湖南衡阳，27，10分）如图，A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度.连结PQ，若设运动的时间为t（）秒，解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ∥BO？‎ ‎（2）设△AQP的面积为S；‎ ‎ ①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值.‎ ‎ ②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（，），（，），则新坐标（，）称为“向量PQ”的坐标，当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标.‎ ‎【答案】解：（1）如下图，连接PQ；‎ 在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，BO＝6，AO＝8；‎ ‎∴由勾股定理可得： ‎ 由题意可得：BP＝3t，AP＝10－3t，AQ＝2t，‎ ‎∴当时有PQ∥BO；即 解得：‎ ‎（2）①如下图，过点P作PD⊥OA ‎ ∵PD∥BO ‎ ∴△APD∽△ABO ‎ ∴，即 ‎ 解得：‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴当时，S有最大值为5.‎ ‎②当时，； ‎ ‎∴点P为线段AB的中点 ‎∴点P的坐标为（4，3）‎ 又∵OA＝8‎ ‎∴‎ ‎∴点Q的坐标为（，0）‎ ‎∴当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标为（，－3）‎ ‎28．（2012湖南衡阳，28，10分）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A、D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动.（点P异于点O）.‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R；‎ ‎①求证：PF＝PR ‎②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形；若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.‎ ‎③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为点S，试判断 ‎△RSF的形状.‎ ‎【答案】解：（1）由题意可得：点A的坐标为（2，－1）‎ ‎∵抛物线的顶点为坐标原点O ‎∴可设抛物线的解析式为：；‎ 将点A（2，－1）代入可得：；解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为：‎ ‎（2）①如下图，过点P作PG⊥y轴，垂足为G；‎ 由题意可知：F（0，－1），G（0，b），R（a，1）‎ ‎∴，，‎ ‎∵点P（a，b）为抛物线上的动点 ‎∴，变形得：‎ 在Rt△PGF中，由勾股定理可得：‎ ‎∴PF＝PR ‎②存在点P，使得△PFR为等边三角形；‎ ‎∵P（a，b），F（0，－1），R（a，1）‎ ‎∴‎ 由①可知：PF＝PR＝1－b ‎∴当时△PFR为等边三角形 ‎ 解得：，（不合题意，舍去）‎ ‎∴当时，有，解得：，‎ ‎∴点P的坐标为（，－3），（，－3）‎ ‎③△RSF为直角三角形.‎ 如下图，连接SF、RF ‎∵PF＝PR；PR∥FO ‎∴∠1＝∠2；∠1＝∠3‎ ‎∴‎ 同理可得：‎ ‎∴‎ ‎∴△RSF为直角三角形.‎