湖北省孝感市中考数学试卷

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湖北省孝感市中考数学试卷

‎2018年湖北省孝感市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、精心选一选,相信自己的判断!(本大题10小题,每小题3分,共30分,在每小题出的四个选项中只有一项是符合题目求的,不涂,错涂或涂的代号超过一个,一律得0分)‎ ‎1.(3分)(2018•孝感)﹣的倒数是(  )‎ A.4 B.﹣4 C. D.16‎ ‎2.(3分)(2018•孝感)如图,直线AD∥BC,若∠1=42°,∠BAC=78°,则∠2的度数为(  )‎ A.42° B.50° C.60° D.68°‎ ‎3.(3分)(2018•孝感)下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示,则该不等式组是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(3分)(2018•孝感)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则sinA等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(3分)(2018•孝感)下列说法正确的是(  )‎ A.了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是全面调查 B.甲乙两人跳绳各10次,其成绩的平均数相等,S甲2>S乙2,则甲的成绩比乙稳定 C.三张分别画有菱形,等边三角形,圆的卡片,从中随机抽取一张,恰好抽到中心对称图形卡片的概率是 D.“任意画一个三角形,其内角和是360°”这一事件是不可能事件 ‎6.(3分)(2018•孝感)下列计算正确的是(  )‎ A.a﹣2÷a5= B.(a+b)2=a2+b2 C.2+=2 D.(a3)2=a5‎ ‎7.(3分)(2018•孝感)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=10,BD=24,则菱形ABCD的周长为(  )‎ A.52 B.48 C.40 D.20‎ ‎8.(3分)(2018•孝感)已知x+y=4,x﹣y=,则式子(x﹣y+)(x+y﹣)的值是(  )‎ A.48 B.12 C.16 D.12‎ ‎9.(3分)(2018•孝感)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=3cm,BC=6cm,动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动,若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,P点到达B点运动停止,则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(3分)(2018•孝感)如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H.则下列结论:①∠ADC=15°;②AF=AG;③AH=DF;④△AFG∽△CBG;⑤AF=(﹣1)EF.其中正确结论的个数为(  )‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ ‎ ‎ 二、细心填一填,试试自己的身手!(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎11.(3分)(2018•孝感)一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化,1个天文单位是地球与太阳的平均距离,即149600000千米,用科学记数法表示1个天文单位是   千米.‎ ‎12.(3分)(2018•孝感)如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位:cm),根据图中数据计算,这个几何体的表面积为   cm2.‎ ‎13.(3分)(2018•孝感)如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是   .‎ ‎14.(3分)(2018•孝感)已知⊙O的半径为10cm,AB,CD是⊙O的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是   cm.‎ ‎15.(3分)(2018•孝感)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形,我们称之为“杨辉三角”从图中取一列数:1,3,6,10,…,记a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…,那么a4+a11﹣2a10+10的值是   .‎ ‎16.(3分)(2018•孝感)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A的坐标为(﹣l,1),点B在x轴正半轴上,点D在第三象限的双曲线y=上,过点C作CE∥x轴交双曲线于点E,连接BE,则△BCE的面积为   .‎ ‎ ‎ 三、用心做一做做,显显自己的能力!(本大题共8小题,满分72分)‎ ‎17.(6分)(2018•孝感)计算:(﹣3)2+|﹣4|+﹣4cos30°.‎ ‎18.(8分)(2018•孝感)如图,B,E,C,F在一条直线上,已知AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,连接AD.求证:四边形ABED是平行四边形.‎ ‎19.(9分)(2018•孝感)在孝感市关工委组织的“五好小公民”主题教育活动中,我市蓝天学校组织全校学生参加了“红旗队飘,引我成长”知识竞赛,赛后机抽取了部分参赛学生的成绩,按从高分到低分将成绩分成A,B,C,D,E五类,绘制成下面两个不完整的统计图:‎ 根据上面提供的信息解答下列问题:‎ ‎(1)D类所对应的圆心角是   度,样本中成绩的中位数落在   类中,并补全条形统计图;‎ ‎(2)若A类含有2名男生和2名女生,随机选择2名学生担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人,请用列表法或画树状图法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.‎ ‎20.(7分)(2018•孝感)如图,△ABC中,AB=AC,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:‎ ‎①作∠BAC的平分线AM交BC于点D;‎ ‎②作边AB的垂直平分线EF,EF与AM相交于点P;‎ ‎③连接PB,PC.‎ 请你观察图形解答下列问题:‎ ‎(1)线段PA,PB,PC之间的数量关系是   ;‎ ‎(2)若∠ABC=70°,求∠BPC的度数.‎ ‎21.(9分)(2018•孝感)已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=p(p+1).‎ ‎(1)试证明:无论p取何值此方程总有两个实数根;‎ ‎(2)若原方程的两根x1,x2,满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1,求p的值.‎ ‎22.(10分)(2018•孝感)“绿水青山就是金山银山”,随着生活水平的提高,人们对饮水品质的需求越来越高,孝感市槐荫公司根据市场需求代理A,B两种型号的净水器,每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元,用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等.‎ ‎(1)求每台A型、B型净水器的进价各是多少元?‎ ‎(2)槐荫公司计划购进A,B两种型号的净水器共50台进行试销,其中A型净水器为x台,购买资金不超过9.8万元.试销时A型净水器每台售价2500元,B型净水器每台售价2180元,槐荫公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a(70<a<80)元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金,设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W,求W的最大值.‎ ‎23.(10分)(2018•孝感)如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,过点D作DF⊥AC于点F,交AB的延长线于点G.‎ ‎(1)求证:DF是⊙O的切线;‎ ‎(2)已知BD=2,CF=2,求AE和BG的长.‎ ‎24.(13分)(2018•孝感)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知点A和点B的坐标分别为A(﹣2,0),B(0,﹣6),将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°,180°得到Rt△A1OC,Rt△EOF.抛物线C1经过点C,A,B;抛物线C2经过点C,E,F.‎ ‎(1)点C的坐标为   ,点E的坐标为   ;抛物线C1的解析式为   .抛物线C2的解析式为   ;‎ ‎(2)如果点P(x,y)是直线BC上方抛物线C1上的一个动点.‎ ‎①若∠PCA=∠ABO时,求P点的坐标;‎ ‎②如图2,过点P作x轴的垂线交直线BC于点M,交抛物线C2于点N,记h=PM+NM+BM,求h与x的函数关系式,当﹣5≤x≤﹣2时,求h的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2018年湖北省孝感市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、精心选一选,相信自己的判断!(本大题10小题,每小题3分,共30分,在每小题出的四个选项中只有一项是符合题目求的,不涂,错涂或涂的代号超过一个,一律得0分)‎ ‎1.(3分)(2018•孝感)﹣的倒数是(  )‎ A.4 B.﹣4 C. D.16‎ ‎【解答】解:﹣的倒数为:﹣4.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2018•孝感)如图,直线AD∥BC,若∠1=42°,∠BAC=78°,则∠2的度数为(  )‎ A.42° B.50° C.60° D.68°‎ ‎【解答】解:∵∠1=42°,∠BAC=78°,‎ ‎∴∠ABC=60°,‎ 又∵AD∥BC,‎ ‎∴∠2=∠ABC=60°,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2018•孝感)下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示,则该不等式组是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:A、此不等式组的解集为x<2,不符合题意;‎ B、此不等式组的解集为2<x<4,符合题意;‎ C、此不等式组的解集为x>4,不符合题意;‎ D、此不等式组的无解,不符合题意;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2018•孝感)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则sinA等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:在Rt△ABC中,∵AB=10、AC=8,‎ ‎∴BC===6,‎ ‎∴sinA===,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2018•孝感)下列说法正确的是(  )‎ A.了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是全面调查 B.甲乙两人跳绳各10次,其成绩的平均数相等,S甲2>S乙2,则甲的成绩比乙稳定 C.三张分别画有菱形,等边三角形,圆的卡片,从中随机抽取一张,恰好抽到中心对称图形卡片的概率是 D.“任意画一个三角形,其内角和是360°”这一事件是不可能事件 ‎【解答】‎ 解:A、了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是抽样调查,此选项错误;‎ B、甲乙两人跳绳各10次,其成绩的平均数相等,S甲2>S乙2,则乙的成绩比甲稳定,此选项错误;‎ C、三张分别画有菱形,等边三角形,圆的卡片,从中随机抽取一张,恰好抽到中心对称图形卡片的概率是,此选项错误;‎ D、“任意画一个三角形,其内角和是360°”这一事件是不可能事件,此选项正确;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2018•孝感)下列计算正确的是(  )‎ A.a﹣2÷a5= B.(a+b)2=a2+b2 C.2+=2 D.(a3)2=a5‎ ‎【解答】解:A、a﹣2÷a5=,正确;‎ B、(a+b)2=a2+2ab+b2,故此选项错误;‎ C、2+,无法计算,故此选项错误;‎ D、(a3)2=a6,故此选项错误;‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2018•孝感)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=10,BD=24,则菱形ABCD的周长为(  )‎ A.52 B.48 C.40 D.20‎ ‎【解答】解:∵菱形ABCD中,BD=24,AC=10,‎ ‎∴OB=12,OA=5,‎ 在Rt△ABO中,AB==13,‎ ‎∴菱形ABCD的周长=4AB=52,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2018•孝感)已知x+y=4,x﹣y=,则式子(x﹣y+)(x+y﹣)的值是(  )‎ A.48 B.12 C.16 D.12‎ ‎【解答】解:(x﹣y+)(x+y﹣)‎ ‎=•‎ ‎=•‎ ‎=(x+y)(x﹣y),‎ 当x+y=4,x﹣y=时,原式=4=12,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2018•孝感)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=3cm,BC=6cm,动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动,若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,P点到达B点运动停止,则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:由题意可得:PB=3﹣t,BQ=2t,‎ 则△PBQ的面积S=PB•BQ=(3﹣t)×2t=﹣t2+3t,‎ 故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象,开口向下.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2018•孝感)如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H.则下列结论:①∠ADC=15°;②AF=AG;③AH=DF;④△AFG∽△CBG;⑤AF=(﹣1)EF.其中正确结论的个数为(  )‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ ‎【解答】解:∵△ABC为等边三角形,△ABD为等腰直角三角形,‎ ‎∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°,‎ ‎∴△CAD是等腰三角形,且顶角∠CAD=150°,‎ ‎∴∠ADC=15°,故①正确;‎ ‎∵AE⊥BD,即∠AED=90°,‎ ‎∴∠DAE=45°,‎ ‎∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°,∠FAG=45°,‎ ‎∴∠AGF=75°,‎ 由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG,故②错误;‎ 记AH与CD的交点为P,‎ 由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°,‎ 则∠BAH=∠ADC=15°,‎ 在△ADF和△BAH中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△ADF≌△BAH(ASA),‎ ‎∴DF=AH,故③正确;‎ ‎∵∠AFG=∠CBG=60°,∠AGF=∠CGB,‎ ‎∴△AFG∽△CBG,故④正确;‎ 在Rt△APF中,设PF=x,则AF=2x、AP==x,‎ 设EF=a,‎ ‎∵△ADF≌△BAH,‎ ‎∴BH=AF=2x,‎ ‎△ABE中,∵∠AEB=90°、∠ABE=45°,‎ ‎∴BE=AE=AF+EF=a+2x,‎ ‎∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a,‎ ‎∵∠APF=∠AEH=90°,∠FAP=∠HAE,‎ ‎∴△PAF∽△EAH,‎ ‎∴=,即=,‎ 整理,得:2x2=(﹣1)ax,‎ 由x≠0得2x=(﹣1)a,即AF=(﹣1)EF,故⑤正确;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、细心填一填,试试自己的身手!(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎11.(3分)(2018•孝感)一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化,1个天文单位是地球与太阳的平均距离,即149600000千米,用科学记数法表示1个天文单位是 1.496×108 千米.‎ ‎【解答】解:149600000=1.496×108,‎ 故答案为:1.496×108.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2018•孝感)如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位:cm),根据图中数据计算,这个几何体的表面积为 16π cm2.‎ ‎【解答】解:由主视图和左视图为三角形判断出是锥体,由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥;‎ 根据三视图知:该圆锥的母线长为6cm,底面半径为2cm,‎ 故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π(cm2).‎ 故答案为:16π.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2018•孝感)如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是 x1=﹣2,x2=1 .‎ ‎【解答】解:∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2,4),B(1,1),‎ ‎∴方程组的解为,,‎ 即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2,x2=1.‎ 所以方程ax2=bx+c的解是x1=﹣2,x2=1‎ 故答案为x1=﹣2,x2=1.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2018•孝感)已知⊙O的半径为10cm,AB,CD是⊙O的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是 2或14 cm.‎ ‎【解答】解:①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图,‎ ‎∵AB=16cm,CD=12cm,‎ ‎∴AE=8cm,CF=6cm,‎ ‎∵OA=OC=10cm,‎ ‎∴EO=6cm,OF=8cm,‎ ‎∴EF=OF﹣OE=2cm;‎ ‎②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图,‎ ‎∵AB=16cm,CD=12cm,‎ ‎∴AF=8cm,CE=6cm,‎ ‎∵OA=OC=10cm,‎ ‎∴OF=6cm,OE=8cm,‎ ‎∴EF=OF+OE=14cm.‎ ‎∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm.‎ 故答案为:2或14.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2018•孝感)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形,我们称之为“杨辉三角”从图中取一列数:1,3,6,10,…,记a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…,那么a4+a11﹣2a10+10的值是 ﹣24 .‎ ‎【解答】解:由a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…,知an=1+2+3+…+n=,‎ ‎∴a10==55、a11==66,‎ 则a4+a11﹣2a10+10=10+66﹣2×55+10=﹣24,‎ 故答案为:﹣24.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2018•孝感)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A的坐标为(﹣l,1),点B在x轴正半轴上,点D在第三象限的双曲线y=上,过点C作CE∥x轴交双曲线于点E,连接BE,则△BCE的面积为 7 .‎ ‎【解答】解:过D作GH⊥x轴,过A作AG⊥GH,过B作BM⊥HC于M,‎ 设D(x,),‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AD=CD=BC,∠ADC=∠DCB=90°,‎ 易得△AGD≌△DHC≌△CMB,‎ ‎∴AG=DH=﹣x﹣1,‎ ‎∴DG=BM,‎ ‎∴1﹣=﹣1﹣x﹣,‎ x=﹣2,‎ ‎∴D(﹣2,﹣3),CH=DG=BM=1﹣=4,‎ ‎∵AG=DH=﹣1﹣x=1,‎ ‎∴点E的纵坐标为﹣4,‎ 当y=﹣4时,x=﹣,‎ ‎∴E(﹣,﹣4),‎ ‎∴EH=2﹣=,‎ ‎∴CE=CH﹣HE=4﹣=,‎ ‎∴S△CEB=CE•BM=××4=7;‎ 故答案为:7.‎ ‎ ‎ 三、用心做一做做,显显自己的能力!(本大题共8小题,满分72分)‎ ‎17.(6分)(2018•孝感)计算:(﹣3)2+|﹣4|+﹣4cos30°.‎ ‎【解答】解:原式=9+4+2﹣4×‎ ‎=13+2﹣2‎ ‎=13.‎ ‎ ‎ ‎18.(8分)(2018•孝感)如图,B,E,C,F在一条直线上,已知AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,连接AD.求证:四边形ABED是平行四边形.‎ ‎【解答】证明:∵AB∥DE,AC∥DF,‎ ‎∴∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.‎ ‎∵BE=CF,‎ ‎∴BE+CE=CF+CE,‎ ‎∴BC=EF.‎ 在△ABC和△DEF中,,‎ ‎∴△ABC≌△DEF(ASA),‎ ‎∴AB=DE.‎ 又∵AB∥DE,‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形.‎ ‎ ‎ ‎19.(9分)(2018•孝感)在孝感市关工委组织的“五好小公民”主题教育活动中,我市蓝天学校组织全校学生参加了“红旗队飘,引我成长”知识竞赛,赛后机抽取了部分参赛学生的成绩,按从高分到低分将成绩分成A,B,C,D,E五类,绘制成下面两个不完整的统计图:‎ 根据上面提供的信息解答下列问题:‎ ‎(1)D类所对应的圆心角是 72 度,样本中成绩的中位数落在 C 类中,并补全条形统计图;‎ ‎(2)若A类含有2名男生和2名女生,随机选择2名学生担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人,请用列表法或画树状图法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.‎ ‎【解答】解:(1)∵被调查的总人数为30÷30%=100人,‎ 则B类别人数为100×40%=40人,‎ 所以D类别人数为100﹣(4+40+30+6)=20人,‎ 则D类所对应的圆心角是360°×=72°,中位数是第50、51个数据的平均数,而第50、51个数据均落在C类,‎ 所以中位数落在C类,‎ 补全条形图如下:‎ ‎(2)列表为:‎ 男1‎ 男2‎ 女1‎ 女2‎ 男1‎ ‎﹣﹣‎ 男2男1‎ 女1男1‎ 女2男1‎ 男2‎ 男1男2‎ ‎﹣﹣‎ 女1男2‎ 女2男2‎ 女1‎ 男1女1‎ 男2女1‎ ‎﹣﹣‎ 女2女1‎ 女2‎ 男1女2‎ 男2女2‎ 女1女2‎ ‎﹣﹣‎ 由上表可知,从4名学生中任意选取2名学生共有12种等可能结果,其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有8种,‎ ‎∴恰好选到1名男生和1名女生的概率为=.‎ ‎ ‎ ‎20.(7分)(2018•孝感)如图,△ABC中,AB=AC,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:‎ ‎①作∠BAC的平分线AM交BC于点D;‎ ‎②作边AB的垂直平分线EF,EF与AM相交于点P;‎ ‎③连接PB,PC.‎ 请你观察图形解答下列问题:‎ ‎(1)线段PA,PB,PC之间的数量关系是 PA=PB=PC ;‎ ‎(2)若∠ABC=70°,求∠BPC的度数.‎ ‎【解答】解:(1)如图,PA=PB=PC,理由是:‎ ‎∵AB=AC,AM平分∠BAC,‎ ‎∴AD是BC的垂直平分线,‎ ‎∴PB=PC,‎ ‎∵EP是AB的垂直平分线,‎ ‎∴PA=PB,‎ ‎∴PA=PB=PC;‎ 故答案为:PA=PB=PC;‎ ‎(2)∵AB=AC,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=70°,‎ ‎∴∠BAC=180°﹣2×70°=40°,‎ ‎∵AM平分∠BAC,‎ ‎∴∠BAD=∠CAD=20°,‎ ‎∵PA=PB=PC,‎ ‎∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°,‎ ‎∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°.‎ ‎ ‎ ‎21.(9分)(2018•孝感)已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=p(p+1).‎ ‎(1)试证明:无论p取何值此方程总有两个实数根;‎ ‎(2)若原方程的两根x1,x2,满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1,求p的值.‎ ‎【解答】解:(1)证明:原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p=0.‎ ‎∵△=(﹣5)2﹣4(6﹣p2﹣p)=25﹣24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+1)2≥0,‎ ‎∴无论p取何值此方程总有两个实数根;‎ ‎(2)∵原方程的两根为x1、x2,‎ ‎∴x1+x2=5,x1x2=6﹣p2﹣p.‎ 又∵x12+x22﹣x1x2=3p2+1,‎ ‎∴(x1+x2)2﹣3x1x2=3p2+1,‎ ‎∴52﹣3(6﹣p2﹣p)=3p2+1,‎ ‎∴25﹣18+3p2+3p=3p2+1,‎ ‎∴3p=﹣6,‎ ‎∴p=﹣2.‎ ‎ ‎ ‎22.(10分)(2018•孝感)“绿水青山就是金山银山”,随着生活水平的提高,人们对饮水品质的需求越来越高,孝感市槐荫公司根据市场需求代理A,B两种型号的净水器,每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元,用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等.‎ ‎(1)求每台A型、B型净水器的进价各是多少元?‎ ‎(2)槐荫公司计划购进A,B两种型号的净水器共50台进行试销,其中A型净水器为x台,购买资金不超过9.8万元.试销时A型净水器每台售价2500元,B型净水器每台售价2180元,槐荫公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a(70<a<80)元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金,设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W,求W的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)设A型净水器每台的进价为m元,则B型净水器每台的进价为(m﹣200)元,‎ 根据题意得:=,‎ 解得:m=2000,‎ 经检验,m=2000是分式方程的解,‎ ‎∴m﹣200=1800.‎ 答:A型净水器每台的进价为2000元,B型净水器每台的进价为1800元.‎ ‎(2)根据题意得:2000x+180(50﹣x)≤98000,‎ 解得:x≤40.‎ W=(2500﹣2000)x+(2180﹣1800)(50﹣x)﹣ax=(120﹣a)x+19000,‎ ‎∵当70<a<80时,120﹣a>0,‎ ‎∴W随x增大而增大,‎ ‎∴当x=40时,W取最大值,最大值为(120﹣a)×40+19000=23800﹣40a,‎ ‎∴W的最大值是(23800﹣40a)元.‎ ‎ ‎ ‎23.(10分)(2018•孝感)如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,过点D作DF⊥AC于点F,交AB的延长线于点G.‎ ‎(1)求证:DF是⊙O的切线;‎ ‎(2)已知BD=2,CF=2,求AE和BG的长.‎ ‎【解答】解:(1)连接OD,AD,‎ ‎∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴BD=CD,‎ 又∵OA=OB,‎ ‎∴OD∥AC,‎ ‎∵DG⊥AC,‎ ‎∴OD⊥FG,‎ ‎∴直线FG与⊙O相切;‎ ‎(2)连接BE.∵BD=2,‎ ‎∴,‎ ‎∵CF=2,‎ ‎∴DF==4,‎ ‎∴BE=2DF=8,‎ ‎∵cos∠C=cos∠ABC,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AB=10,‎ ‎∴AE==6,‎ ‎∵BE⊥AC,DF⊥AC,‎ ‎∴BE∥GF,‎ ‎∴△AEB∽△AFG,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BG=.‎ ‎ ‎ ‎24.(13分)(2018•孝感)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知点A和点B的坐标分别为A(﹣2,0),B(0,﹣6),将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°,180°得到Rt△A1OC,Rt△EOF.抛物线C1经过点C,A,B;抛物线C2经过点C,E,F.‎ ‎(1)点C的坐标为 (﹣6,0) ,点E的坐标为 (2,0) ;抛物线C1的解析式为 y=﹣ .抛物线C2的解析式为 y=﹣ ;‎ ‎(2)如果点P(x,y)是直线BC上方抛物线C1上的一个动点.‎ ‎①若∠PCA=∠ABO时,求P点的坐标;‎ ‎②如图2,过点P作x轴的垂线交直线BC于点M,交抛物线C2于点N,记h=PM+NM+BM,求h与x的函数关系式,当﹣5≤x≤﹣2时,求h的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)由旋转可知,OC=6,OE=2,‎ 则点C坐标为(﹣6,0),E点坐标为(2,0),‎ 分别利用待定系数法求C1解析式为:y=﹣,‎ C2解析式为:y=﹣‎ 故答案为:(﹣6,0),(2,0),y=﹣,y=﹣‎ ‎(2)①若点P在x轴上方,∠PCA=∠ABO时,则CA1与抛物线C1的交点即为点P 设直线CA1的解析式为:y=k1x+b1‎ ‎∴‎ 解得 ‎∴直线CA1的解析式为:y=x+2‎ 联立:‎ 解得或 根据题意,P点坐标为(﹣);‎ 若点P在x轴下方,∠PCA=∠ABO时,则CA1关于x轴对称的直线CA2与抛物线C1的交点即为点P 设直线CA2解析式为y=k2x+b2‎ ‎∴‎ 解得 ‎∴直线CA2的解析式为:y=﹣x﹣2‎ 联立 解得或 由题意,点P坐标为(﹣)‎ ‎∴符合条件的点P为(﹣)或(﹣)‎ ‎②设直线BC的解析式为:y=kx+b ‎∴‎ 解得 ‎∴设直线BC的解析式为:y=﹣x﹣6‎ 过点B做BD⊥MN于点D,如图,‎ 则BM=‎ ‎∴BM=2BD=2|x|=﹣2x.‎ h=PM+NM+=(yP﹣yM)+(yN﹣yM)+2|x|=yP﹣yM+yN﹣yM﹣2x ‎=[﹣x2﹣4x﹣6﹣(﹣x﹣6)]+[﹣x2+6﹣(﹣x﹣6)]+(﹣2x)‎ ‎=﹣x2﹣6x+12‎ ‎∴h=﹣(x+3)2+21‎ 当x=﹣3时,h的最大值为21‎ ‎∵﹣5≤x≤﹣2‎ ‎∴当x=﹣5时,h=﹣(﹣5+3)2+21=17‎ 当x=﹣2时,h=﹣(﹣2+3)2+21=20‎ ‎∴h的取值范围是:17≤h≤21‎ ‎ ‎
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