函数安徽中考真题

函数安徽中考真题

‎2006-2015年安徽中考数学二次函数 ‎10．（4分）（2015•安徽）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎21．（12分）（2015•安徽）如图，已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．‎ ‎（1）求k1、k2、b的值；‎ ‎（2）求△AOB的面积；‎ ‎（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是比例函数y=图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由．‎ 解：（1）∵反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m），‎ ‎∴k1=8，B（﹣4，﹣2），‎ 解，解得；‎ ‎（2）由（1）知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为C（0，6），‎ ‎∴S△AOB=S△COB+S△AOC=×6×4+×6×1=15；‎ ‎（3）∵比例函数y=的图象位于一、三象限，‎ ‎∴在每个象限内，y随x的增大而减小，‎ ‎∵x1＜x2，y1＜y2，‎ ‎∴M，N在不同的象限，‎ ‎∴M（x1，y1）在第三象限，N（x2，y2）在第一象限．‎ ‎22．（12分）（2015•安徽）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；‎ ‎（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？‎ 解（1）∵三块矩形区域的面积相等，‎ ‎∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，‎ ‎∴AE=2BE，‎ 设BE=a，则AE=2a，‎ ‎∴8a+2x=80，‎ ‎∴a=﹣x+10，2a=﹣x+20，‎ ‎∴y=（﹣x+20）x+（﹣x+10）x=﹣x2+30x，‎ ‎∵a=﹣x+10＞0，‎ ‎∴x＜40，‎ 则y=﹣x2+30x（0＜x＜40）；‎ ‎（2）∵y=﹣x2+30x=﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，‎ ‎∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米 ‎9．（4分）（2014•安徽）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）‎ ‎　‎ A． ‎ B．‎ C．‎ ‎ ‎ ‎12．（5分）（2014•安徽）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=　_________　．‎ ‎22．（12分）（2014•安徽）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．‎ ‎（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；‎ ‎（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．‎ 解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，‎ 当a=2，h=3，k=4时，‎ 二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．‎ ‎∵2＞0，‎ ‎∴该二次函数图象的开口向上．‎ 当a=3，h=3，k=4时，‎ 二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．‎ ‎∵3＞0，‎ ‎∴该二次函数图象的开口向上．‎ ‎∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，‎ ‎∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．‎ ‎∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．‎ ‎（2）∵y1的图象经过点A（1，1），‎ ‎∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．‎ 整理得：m2﹣2m+1=0．‎ 解得：m1=m2=1．‎ ‎∴y1=2x2﹣4x+3‎ ‎=2（x﹣1）2+1．‎ ‎∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5‎ ‎=（a+2）x2+（b﹣4）x+8‎ ‎∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，‎ ‎∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1‎ ‎=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．‎ 其中a+2＞0，即a＞﹣2．‎ ‎∴．‎ 解得：．‎ ‎∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．‎ ‎∴y2=5x2﹣10x+5‎ ‎=5（x﹣1）2．‎ ‎∴函数y2的图象的对称轴为x=1．‎ ‎∵5＞0，‎ ‎∴函数y2的图象开口向上．‎ ‎①当0≤x≤1时，‎ ‎∵函数y2的图象开口向上，‎ ‎∴y2随x的增大而减小．‎ ‎∴当x=0时，y2取最大值，‎ 最大值为5（0﹣1）2=5．‎ ‎②当1＜x≤3时，‎ ‎∵函数y2的图象开口向上，‎ ‎∴y2随x的增大而增大．‎ ‎∴当x=3时，y2取最大值，‎ 最大值为5（3﹣1）2=20．‎ 综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．‎ ‎9.（2013·安徽）图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足反比例函数关系式如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（ ）‎ A.当x=3时，ECEM C.当x增大时，的值增大 D.当y增大时，的值不变 ‎16.（2013·安徽）已知二次函数的顶点坐标为，且经过原点，求该函数的解析式。‎ ‎22．（12分）（2013•安徽）某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在x天销售的相关信息如表所示．‎ 销售量p（件）‎ p=50﹣x 销售单价q（元/件）‎ 当1≤x≤20时，q=30+x 当21≤x≤40时，q=20+‎ ‎（!）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？‎ ‎（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；‎ ‎（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？‎ 解：（1）当1≤x≤20时，令30+x=35，得x=10，‎ 当21≤x≤40时，令20+=35，得x=35，‎ 即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．‎ ‎（2）当1≤x≤20时，y=（30+x﹣20）（50﹣x）=﹣x2+15x+500，‎ 当21≤x≤40时，y=（20+﹣20）（50﹣x）=﹣525，‎ 即y=，‎ ‎（3）当1≤x≤20时，y=﹣x2+15x+500=﹣（x﹣15）2+612.5，‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴当x=15时，y有最大值y1，且y1=612.5，‎ 当21≤x≤40时，∵26250＞0，‎ ‎∴随x的增大而减小，‎ 当x=21时，最大，‎ 于是，x=21时，y=﹣525有最大值y2，且y2=﹣525=725，‎ ‎∵y1＜y2，‎ ‎∴这40天中第21天时该网站获得利润最大，最大利润为725元．‎ 9． ‎（2012•安徽）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线ℓ，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（　　）‎ ‎　‎ A． ‎ B．‎ C．‎ ‎ ‎ ‎　　‎ ‎21．（2012•安徽）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“买200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；…，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．‎ ‎（1）若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？‎ ‎（2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优惠率为p（p=），写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；‎ ‎（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x（200≤x＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由．‎ 解：：（1）根据题意得：‎ ‎510﹣200=310（元）‎ 答：顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付310元．‎ ‎（2）p与x之间的函数关系式为p=，p随x的增大而减小；‎ ‎（3）设购买商品的总金额为x元，（200≤x＜400），‎ 则甲商场需花x﹣100元，乙商场需花0.6x元，‎ 由x﹣100＞0.6x，得：250＜x＜400，乙商场花钱较少，‎ 由x﹣100＜0.6x，得：200≤x＜250，甲商场花钱较少，‎ 由x﹣100=0.6x，得：x=250，两家商场花钱一样多．‎ ‎23．（2012•安徽）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．‎ ‎（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）‎ ‎（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；‎ ‎（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．‎ 解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，‎ ‎∴y=a（x﹣6）2+h过（0，2）点，‎ ‎∴2=a（0﹣6）2+2.6，‎ 解得：a=﹣，‎ 故y与x的关系式为：y=﹣（x﹣6）2+2.6，‎ ‎（2）当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，‎ 所以球能过球网；‎ 当y=0时，，‎ 解得：x1=6+2＞18，x2=6﹣2（舍去）‎ 故会出界；‎ ‎（3）当球正好过点（18，0）时，y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2）点，代入解析式得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 此时二次函数解析式为：y=﹣（x﹣6）2+，‎ 此时球若不出边界h≥，‎ 当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2）点，代入解析式得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 此时球要过网h≥，‎ ‎∵＞，‎ ‎∴h≥，‎ 故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．‎ ‎10.（2011·安徽）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是【 】‎ ‎21.（2011·安徽） 如图函数的图象与函数（x＞0）的图象交于A、B两点，与y轴交于C点.已知A点的坐标为(2，1)，C点坐标为(0，3).‎ ‎（1）求函数的表达式和B点坐标；‎ （2） 观察图象，比较当x＞0时，和的大小.‎ ‎21. (1)由题意，得 解得 ∴ …………3分 ‎ 又A点在函数上，所以 ，解得 所以…………5分 解方程组 得 …………………………………………7分 所以点B的坐标为（1, 2）‎ ‎（2）当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2;‎ 当1＜x＜2时，y1＞y2; ‎ 当x=1或x=2时，y1=y2.………………………………………………………………12分 ‎23.（2011·安徽）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）. ‎ ‎(1)求证h1=h3； ‎ ‎(2) 设正方形ABCD的面积为S.求证S=（h1+h2）2＋h12；‎ (3) 若,当h1变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况.‎ ‎23.（1）过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，‎ 证△ABE≌△CDG即可.……………………………………………………………………………………4分 ‎（2）易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF,且两直角边长分别为h1、h1+h2,四边形EFGH是边长为h2的正方形，‎ 所以.………………………………7分 ‎(3)由题意，得 所以 又 解得0＜h1＜……………………………………12分 ‎∴当0＜h1＜时，S随h1的增大而减小；‎ ‎ 当h1=时，S取得最小值；当＜h1＜时，S随h1的增大而增大.………………………………14分 ‎7．（2010•安徽）若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（　　）‎ ‎ A．0，5 B．0，1 C．﹣4，5 D．﹣4，1‎ 10． ‎（2010•安徽）甲、乙两个准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离y（m）与时间t（s）的函数图象是（　　）‎ ‎　‎ A.‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎ ‎ ‎17．（2010•安徽）点P（1，a）在反比例函数y=的图象上，它关于y轴的对称点在一次函数y=2x+4的图象上，求此反比例函数的解析式．‎ ‎22．（2010•安徽）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1≤x≤20且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：‎ 鲜鱼销售单价（元/kg）‎ ‎20‎ 单位捕捞成本（元/kg）‎ ‎5﹣‎ 捕捞量（kg）‎ ‎950﹣10x ‎（1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？‎ ‎（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之间的函数关系式？（当天收入=日销售额﹣日捕捞成本）‎ ‎（3）试说明（2）中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？‎ ‎（1）该养殖场每天的捕捞量与前一天减少10kg；‎ ‎（2）由题意，得 y=20（950﹣10x）﹣（5﹣）（950﹣10x）‎ ‎=﹣2x2+40x+14250；‎ ‎（3）∵﹣2＜0，y=﹣2x2+40x+14250=﹣2（x﹣10）2+14450，‎ 又∵1≤x≤20且x为整数，‎ ‎∴当1≤x≤10时，y随x的增大而增大；‎ 当10≤x≤20时，y随x的增大而减小；‎ 当x=10时即在第10天，y取得最大值，最大值为14450．‎ ‎8．（2009·安徽）已知函数的图象如图，则的图象可能是………………………【 】‎ ‎14．（2009·安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 ．‎ ‎23．（2009·安徽）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．‎ ‎（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．‎ ‎（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系 式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资 金可以批发到较多数量的该种水果．‎ ‎（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当 日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获 得的利润最大．‎ ‎23．（1）解：图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，‎ 可按5元/kg批发；……3分 图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发．‎ ‎………………………………………………………………3分 ‎（2）解：由题意得：，函数图象如图所示．‎ ‎………………………………………………………………7分 由图可知资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果．……………………………8分 ‎（3）解法一：‎ 设当日零售价为x元，由图可得日最高销量 当m＞60时，x＜6.5‎ 由题意，销售利润为 ‎………………………………12分 当x＝6时，，此时m＝80‎ 即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，‎ 当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分 解法二：‎ 设日最高销售量为xkg（x＞60）‎ 则由图②日零售价p满足：，于是 销售利润………………………12分 当x＝80时，，此时p＝6‎ 即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，‎ 当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分 ‎7.（2008·安徽）函数的图象经过点（1，－2），则k的值为 【 】‎ A. B. C. 2 D. －2‎ ‎14.（2008·安徽）如图为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：‎ ‎①ac＜0； ②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1= －1, x2= 3 ‎ ‎③a＋b＋c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大。‎ 正确的说法有_____________。(把正确的答案的序号都填在横线上)‎ ‎21.（2008·安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)‎ 的路线是抛物线的一部分，如图。‎ ‎（1）求演员弹跳离地面的最大高度；‎ ‎（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。‎ 解：（1）=……5分 ‎ ‎∵，∴函数的最大值是。‎ 答：演员弹跳的最大高度是米。……7分 ‎（2）当x＝4时，＝3.4＝BC，所以这次表演成功。……12分 ‎.‎ ‎23．（2008·安徽）刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4＋a）千米/时。‎ ‎⑴若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？‎ ‎⑵若二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？‎ ‎⑶下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间x(小时)的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并说明它们的实际意义。‎ ‎23.解：（1）若二分队在营地不休息，则a＝0，速度为4千米/时，行至塌方处需（小时）‎ 因为一分队到塌方处并打通道路需要（小时），故二分队在塌方处需停留0.5小时，所以二分队在营地不休息赶到A镇需2.5+0.5+＝8（小时）　　　　　　　　　　　　　……3分 ‎（2）一分队赶到A镇共需+1＝7（小时）‎ ‎（Ⅰ）若二分队在塌方处需停留，则后20千米需与一分队同行，故4+a＝5，即a=1，这与二分队在塌方处停留矛盾，舍去；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……5分 ‎（Ⅱ）若二分队在塌方处不停留，则（4+a）(7－a)=30，即a2－3a+2＝0,,解得a1=1，a2=2均符合题意。‎ 答：二分队应在营地休息1小时或2小时。（其他解法只要合理即给分）　　　　……8分 ‎(3)合理的图像为（b）、（d）. ……12分 ‎ 图像（b）表明二分队在营地休息时间过长（2＜a≤3），后于一分队赶到A镇；‎ 图像（d）表明二分队在营地休息时间恰当（1＜a≤2），先于一分队赶到A镇。　……14分 ‎9.（2007·安徽）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是…【 】‎ ‎23．（2007·安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：‎ ‎（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；‎ ‎（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。‎ ‎（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；‎ ‎（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k　(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）‎ 解：（1）当P=时，y=x＋,即y=。‎ ‎∴y随着x的增大而增大，即P=时，满足条件（Ⅱ）……3分 又当x=20时，y==100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=时，这种变换满足要求；……6分 ‎（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤‎ ‎20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。‎ 如取h=20,y=,……8分 ‎∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分 令x=20,y=60，得k=60 　 ①‎ 令x=100,y=100，得a×802＋k=100 ②‎ 由①②解得， ∴。………14分