2011年中考数学压轴题专题

2011年中考数学压轴题专题

‎2011年中考数学压轴题专题 中考日渐临近，在数学总复习的最后阶段，如何有效应对“容易题”和“综合题”，提高复习的质量和效率呢？针对当前中考复习中普遍存在的倾向性问题，再提出一些看法和建议，供初三毕业班师生参考。基础题要重理解 在数学考卷中，“容易题”占80％，一般分布在第一、二大题（除第18题）和第三大题第19～23题。在中考复习最后阶段，适当进行“容易题”的操练，对提高中考成绩是有益的。但绝不要陷入“多多益善，盲目傻练”的误区，而要精选一些针对自己薄弱环节的题目进行有目的地练习。‎ 据了解，不少学校在复习中存在忽视过程的倾向，解客观题，即使解其中较难的题时也都只要求写出结果，不要求写出过程，一些同学甚至错了也不去反思错在哪里，这样做，是非常有害的。笔者认为，即使是题解简单的填空题也应当注重理解，反思解题方法，掌握解题过程。解选择题也一样，不要只看选对还是选错，要反问自己选择的依据和理由是什么。‎ 当然，我们要求注重理解，并不意味着不要记忆，记忆水平的考查在历年中考命题中均占有一定的比重。所以必要的记忆是必须的，如代数中重要的法则、公式、特殊角的三角比的值以及几何中常见图形的定义、性质和常用的重要定理等都是应当记住的。‎ 在复习的最后阶段，笔者建议同学们适当多做一些考查基础的“容易题”，这样做，虽然花的时间不多，但能及时发现知识缺陷，有利于查漏补缺，亡羊补牢。如果你能真正把这些“容易题”做对、做好，使得分率达到0.9甚至达到0.95以上，那么在中考中取得高分并非难事。‎ 压轴题要重分析 中考要取得高分，攻克最后两道综合题是关键。很多年来，中考都是以函数和几何图形的综合作为压轴题的主要形式，用到三角形、四边形、和圆的有关知识。如果以为这是构造压轴题的唯一方式那就错了。方程式与图形的综合也是常见的综合方式。这类问题在外省市近年的中考试卷中也不乏其例。‎ 动态几何问题又是一种新题型，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起。在这类问题中，往往把锐角三角比作为几何计算的一种工具。它的重要作用有可能在压轴题中初露头角。总之，应对压轴题，决不能靠猜题、押题。‎ 解压轴题，要注意分析它的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“并列”的还是“递进”的，这一点非常重要。一般说来，如果综合题（1）、（2）、（3）小题是并列关系，它们分别以大题的已知为条件进行解题，（1）的结论与（2）的解题无关，同样（2）的结论与（3）的解题无关，整个大题由这三个小题“拼装”而成。如果是“递进”关系，（1）的结论又是解（2）所必要的条件之一，（3）与（2）也是同样的关系。在有些较难的综合题里，这两种关系经常是兼而有之。‎ 对一些在 “压轴题”面前打了“败仗”的同学，我劝大家一定要振奋起精神，不要因为这次统考的压轴题不会做或得分过低而垂头丧气，在临考前应当把提高信心和勇气放在首位。笔者建议在总复习最后阶段，不要花过多的精力做大量的综合题，只要精选二十道左右（至多不超过三十道），不同类型、不同结构的综合题进行分析和思考就足够了，如果没有思路，时间又不多，那么看一遍别人的解答也好。‎ 教师对不同的学生，不必强求一律，对有的学生可以只要求他做其中的第（1）题或第（2）题。盲目追“新”求“难”，忽视基础，用大量的复习时间去应付只占整卷10％的压轴题，其结果必然是得不偿失。事实证明：有相当一部分学生在压轴题的失分，并不是没有解题思路，而是错在非常基本的概念和简单的计算上，或是输在“审题”上。应当把功夫花在夯实基础、总结归纳、打通思路、总结规律、提高分析能力上。‎ 笔者建议，同学们可以试着把一些中考压轴题分解为若干个“合题”，进行剪裁和组合，或把一些较难的“填空题”，升格为“简答题”，把一些“熟题”变式为“陌生题”让学生进行练习。这样做，花的时间不多，却能取得比较理想的效果，并且还能使学生的思路“活”起来，逐步达到遇到问题会分析，碰到沟坎，会灵活运用已经学过的知识去解决这样的较高水平。‎ 总之，笔者以为在总复习阶段，对大部分学生而言，要有所为又要有所不为，有时放弃一些难题和大题，多做一些中档的变式题和小题，反而能使自己得益。当然，我们强调变式，不是乱变花样。其目的是促进对标准形式和基本图形的进一步认识和掌握。‎ 解答题在中考中占有相当大的比重，主要由综合性问题构成，就题型而言，包括计算题、证明题和应用题等．它的题型特点和考查功能决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性．一般地，解题设计要因题定法，无论是整体考虑还是局部联想，确定方法都必须遵循的原则是：熟悉化原则、具体化原则； 简单化原则、和谐化原则等.‎ ‎(一)解答综合、压轴题，要把握好以下各个环节：‎ ‎ 1.审题：这是解题的开始，也是解题的基础.一定要全面审视题目的所有条件和答题要求，以求正确、全面理解题意，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计.‎ 审题思考中，要把握“三性”，即明确目的性，提高准确性，注意隐含性．解题实践表明：条件暗示可知并启发解题手段，结论预告并诱导解题方向，只有细致地审题，才能从题目本身获得尽可能多的信息．这一步，不要怕慢，其实“慢”中有“快”，解题方向明确，解题手段合理得当，这是“快”的前提和保证．否则,欲速则不达.‎ ‎2.寻求合理的解题思路和方法：破除模式化、力求创新是近几年中考数学试题的显著特点，解答题体现得尤为突出，因此，切忌套用机械的模式寻求解题思路和方法，而应从各个不同的侧面、不同的角度，识别题目的条件和结论，认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，谨慎地确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃．‎ ‎（二）题型解析 类型1 直线型几何综合题 图1‎ 这类题常见考查形式为推理与计算.对于推理，基本思路为分析与综合，即从需要证明的结论出发逆推，寻找使其成立的条件，同时从已知条件出发来推导一些结论，再设法将它们联系起来.对于计算，基本思路是利用几何元素（比如边、角）之间的数量关系结合方程思想来处理. ‎ 例1如图1，在中，，，，动点（与点A、C不重合）在AC边上，交BC于点F．‎ ‎（1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长；‎ ‎（2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长；‎ ‎（3）试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出的长．‎ 分析：（1）中面积相等可以转化为“与△ACB的 面积比为1：‎2”‎，因为△ECF∽△ACB，从而要求 长，只要借助于相似比与面积比的关系即可得解.因为相似三角形对应边成比例，从而第(2)题可利用比例线段来找线段间关系，再根据周长相等来建立方程.第（3）题中假设存在符合条件的三角形，根据相似三角形中对应边成比例可建立方程.‎ 解：（1）因为△ECF的面积与四边形EABF的面积相等,所以S△ECF:S△ACB＝1:2，又因为EF∥AB　，所以△ECF∽△ACB.所以. 因为CA＝4，所以CE＝.‎ ‎（2）设CE的长为x，因为△ECF∽△ACB， 所以. 所以CF=. 根据周长相等可得：.解得.‎ ‎（3）△EFP为等腰直角三角形，有两种情况：‎ ‎①如图2，假设∠PEF＝90°，EP＝EF.由AB＝5，BC＝3，AC＝4，得∠C＝90°，‎ 所以Rt△ACB斜边AB上高CD＝.设EP＝EF＝x，由△ECF∽△ACB，得 图2‎ ‎，即.解得，即EF＝.‎ ‎_‎ ‎?‎ ‎2‎ ‎_‎ P ‎_‎ D ‎_‎ F ‎_‎ C ‎_‎ A ‎_‎ B ‎_‎ E 当∠EFP＝90°，EF＝FP时，同理可得EF＝.‎ ‎②如图3，假设∠EPF＝90°，PE＝PF时，点P到EF的距离为.‎ 设EF＝x，由△ECF∽△ACB，得 图3‎ ‎，即.解得，即EF＝.‎ 综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形，此时EF＝或EF＝. ‎ 特别提示：因为等腰直角三角形中哪条边为斜边没有指明，所以就可能的情形进行讨论.‎ 跟踪练习1 如图4，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．‎ ‎(1)试探索四边形EGFH的形状，并说明理由．‎ 图4‎ ‎(2)当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形?并加以证明．‎ ‎(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论．‎ 参考答案：1、（1）四边形EGFH是平行四边形.只要说明GF//EH， GF = EH即可.‎ ‎（2）点E是AD的中点时，四边形EGFH是菱形.利用全等可得BE=CE，从而得EG = EH.‎ 根据EGFH是正方形，可得EG =EH ，∠BEC = 90°.因为G、H分别是BE、CE的中点，所以EB = EC.‎ 因为F是BC的中点， ‎ 类型2 .圆的综合题 常见形式为推理与计算综合，解答的基本思路仍然是分析—综合，需要注意的是，因为综合性比较强，解答后面问题时往往需要充分利用前面的结论，这样才会简便.‎ 例2如图5，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧的中点，AC交BD于点E， AE＝2， EC＝1．‎ ‎（1）求证：∽.　　 ‎ ‎（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明 图5‎ 并求出它的面积；若不是，请说明理由． ‎ ‎（3）延长AB到H，使BH ＝OB．求证：CH是⊙O的切线． 　 ‎ 分析：（1）只要证即可，（2）要判断是梯形，只要说明DC∥AB即可，注意到已知条件中数量关系较多，考虑从边相等的角度来说明：先求DC，再说明OBCD是菱形（3）要证明“CH是⊙O的切线”，只要证明∠OCH=即可.‎ 解：（1）因为C是劣弧的中点，所以．因为∠DCE=∠ACD，‎ 所以∽．　 ‎ ‎（2）四边形ABCD是梯形.‎ 证明：连接，由⑴得.因为，所以　．由已知.因为是⊙O的直径， 所以　，所以．所以. 所以.　所以四边形OBCD是菱形．所以，　所以四边形ABCD是梯形．‎ 过C作CF垂直AB于点F，连接OC，则，所以．‎ 所以 CF=BC×sin60=1.5. ‎ 所以．‎ ‎（3）证明：连接OC交BD于点G，由（2）得四边形OBCD是菱形，‎ 所以且．又已知OB＝BH　，所以BH平行且等于CD.所以四边形BHCD是平行四边形.所以． 所以.　所以CH是⊙O的切线． ‎ ‎ 特别提示：在推理时，有时可能需要借助于计算来帮助证明，比如本题中证明DC∥AB.‎ 跟踪练习2.‎ 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC = 60°，‎ P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，‎ 过点C的切线CD交PQ于D，连结OC．‎ ‎（1）求证：△CDQ是等腰三角形；‎ ‎（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．‎ 参考答案：2（1）由已知得∠ACB = 90°，∠ABC = 30°，∴ ∠Q = 30°，∠BCO = ∠ABC = 30°．‎ ‎∵ CD是⊙O的切线，CO是半径，∴ CD⊥CO，∴ ∠DCQ =30°，∴ ∠DCQ =∠Q，‎ 故△CDQ是等腰三角形．‎ ‎（2）设⊙O的半径为1，则AB = 2，OC = 1，AC = AB∕2 = 1，BC =．‎ ‎∵△CDQ≌△COB，∴ CQ = BC =．于是 AQ = AC + CQ = 1 +，‎ 进而 AP = AQ∕2 =（1 +）∕2，∴ BP = AB－AP =（3－）∕2，‎ PO = AP－AO =（－1）∕2，∴ BP:PO =．‎ 类型3. 含统计（或概率）的代数（或几何）综合题 这类题通常为知识串联型试题，因此只要逐个击破即可.‎ 例3．在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：① ② ③ ④‎ A D E B C 小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：‎ ‎（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定 是等腰三角形吗？说说你的理由；‎ ‎（2）请你用树形图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有 可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片 上的等式为条件，使不能构成等腰三角形的概率．‎ 分析：（1）只要说明BE=CE即可，从而考虑证明.（2）如果不一定成立，那么未必是等腰三角形.再根据概率定义即可得解. ‎ 解：（1）能．理由：由，，，‎ 得．.是等腰三角形．‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎②‎ ‎①‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎③‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎④‎ ‎④‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ 开始 后抽取的纸片序号 ‎（2）树形图：‎ 先抽取的纸片序号 所有可能出现的结果（①②）（①③）（①④）（②①）（②③）（②④）（③①）（③②）（③④）（④①）（④②）（④③）.‎ 抽取的两张纸片上的等式有12种等可能性结果，其中不能构成等腰三角形的有4种（（①③），（③①），（②④），（④②）），所以使不能构成等腰三角形的概率为．‎ 提示：不能得到“”有两种情形，一是“边边角”不能得全等，二是只能得到相似.‎ 跟踪练习3.如图所给的A、B、C三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设A、B、C三个几何体的主视图分别是A1、B1、C1；左视图分别是A2、B2、C2；俯视图分别是A3、B3、C3．‎ ‎（1）请你分别写出A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3图形的名称；‎ ‎（2）小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上，并将画有A1、A2、A3的三张卡片放在甲口袋中，画有B1、B2、B3的三张卡片放在乙口袋中，画有C1、C2、C3的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片．‎ ‎① 通过补全下面的树状图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率；‎ ‎② 小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？‎ 解：（1） Ａ　　　　　　Ｂ　　　　　　Ｃ ‎（2）①树状图：‎ 参考答案：3（1）由已知可得A1、A2是矩形，A3是圆；B1、B2、B3都是矩形；‎ C1是三角形，C2、C3是矩形．　‎ ‎（2）①补全树状图如下：‎ 由树状图可知，共有27种等可能结果，其中三张卡片上的图形名称都相同的结果有12种，∴三张卡片上的图形名称都相同的概率是＝ ‎ ‎②游戏对双方不公平．由①可知， P（小刚获胜）＝。三张卡片上的图形名称完全不同的概率是，即P（小亮获胜）＝，这个游戏对双方不公平．　‎ 类型4. 图形中的函数(方程）‎ 这类题通常需要利用方程与函数的思想来处理，具体的说，往往通过线段成比例或者面积公式等来建立关系式，再通过解方程或者利用函数性质来得到解决.‎ 例4．如图，已知正方形与正方形的边长分别是和，它们的中心都在直线上，，在直线上，与相交于点，，当正方形沿直线 以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形也绕以每秒顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变．‎ A B C D E F G H l O2‎ O1‎ M ‎（1）在开始运动前， ；‎ ‎（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时 运动3秒时，正方形停止旋转，这时 ‎ ， ；‎ ‎（3）当正方形停止旋转后，正方形继续向左平移的时间为秒，两正方形重叠部分的面积为，求与之间的函数表达式．‎ 分析:（1）,,所以（2）运动3秒时，,此时A点落在上，所以AE==0,（3）重叠部分是正方形，只要用x表示出其边长即可，注意到不同情况下，边长的表示不一样，从而需要讨论.‎ 解：（1）9．（2）0， 6．‎ ‎（3）当正方形停止运动后，正方形继续向左平移时，与正方形重叠部分的形状也是正方形．重叠部分的面积与之间的函数关系应分四种情况：‎ ‎①如图1，当时，，与之间的函数关系式为．‎ ‎②如图2，当4≤x≤8时，与之间的函数关系式为y=8．‎ A B C D E F G H l O2‎ O1‎ A B C D E F G H l O2‎ O1‎ A B C D E F G H l O2‎ O1‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎③如图3，当80,－y表示点E到OA的距离．因为OA是的对角线，‎ 所以.‎ 因为抛物线与x轴焦点的横坐标分别为：x1=1，x2=6.又点E在第四象限，点E的纵坐标小于0，所以点E的横坐标1

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