2012中考数学精选例题解析一元二次方程的解法

2012中考数学精选例题解析一元二次方程的解法

‎2012中考数学精选例题解析：一元二次方程的解法 知识考点：‎ 理解一元二次方程的概念及根的意义，掌握一元二次方程的基本解法，重点是配方法和公式法，并能根据方程特点，熟练地解一元二次方程。‎ 精典例题：‎ ‎【例1】分别用公式法和配方法解方程：‎ 分析：用公式法的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。用配方法的关键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方。‎ 用公式法解：‎ 解：化方程为标准形式得：‎ ‎∵＝2，＝－3，＝－2‎ ‎∴＝＝‎ ‎∴＝2，＝。‎ 用配方法解：‎ 解：化二次项系数为1得：‎ ‎ 两边同时加上一次项系数一半的平方得：‎ 配方得：‎ 开方得：‎ 移项得：‎ ‎∴＝2，＝。‎ ‎【例2】选择适当的方法解下列方程：‎ ‎（1）； （2）‎ ‎（3）； （4）‎ ‎ 分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。‎ 解：（1）∵‎ ‎ ∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴＝，＝。‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴＝21，＝－19。‎ ‎（3）∵‎ ‎∴‎ ‎ ∵＝2，＝，＝1‎ ‎∴＝＝‎ ‎∴＝，＝。‎ ‎ （4）∵‎ ‎∴‎ 即 ‎ 或 ‎∴＝－1，＝。‎ ‎【例3】已知，求的值。‎ ‎ 分析：已知等式可以看作是以为未知数的一元二次方程，并注意的值应为非负数。‎ 解：把看作一个整体，分解因式得：‎ ‎∴或 ‎∴＝3或＝－2‎ 但是＝－2不符合题意，应舍去。‎ ‎∴＝3‎ 探索与创新：‎ ‎【问题一】解关于的方程：‎ 分析：学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当＝1时，是一元一次方程；当≠1时，是一元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有无实数解作进一步讨论。‎ 解：（1）当＝1时，原方程可化为：，是一元一次方程，此时方程的根为；‎ ‎（2）当≠1时，原方程是一元二次方程。‎ ‎ ∵判别式△＝＝‎ ‎∴①当＜0时，原方程没有实数根；‎ ‎②当＝0时，原方程有两个相等的实数根＝＝0；‎ ‎③当＞0且≠1时，原方程有两个不相等的实数根＝；‎ ‎【问题二】在一个‎50米长，‎30米宽的矩形荒地上，要设计一全花坛，并要使花坛所占的面积恰好为荒地面积的一半，试给出你的设计。‎ 略解：设计方案各取所好，若按左图设计，则有：‎ ‎ ‎ ‎ 解得：＝6.05，＝56.95（舍去）‎ ‎ 同学们可放开思路，大胆设计。‎ 跟踪训练：‎ 一、填空题：‎ ‎1、方程的根是 ；方程的解是 。‎ ‎2、设的两根为、，且＞，则＝ 。‎ ‎3、已知关于的方程的一个根是－2，那么＝ 。‎ ‎4、 ＝‎ 二、选择题：‎ ‎1、用直接开平方法解方程，得方程的根为（ ）‎ A、 B、‎ C、， D、，‎ ‎2、在实数范围内把分解因式得（ ）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎3、方程的实数根有（ ）个 A、4 B、‎3 C、2 D、1‎ ‎4、若关于的方程有无穷多个解，则（ ）‎ A、≠－3且≠5 B、＝3或＝5‎ C、＝5 D、为任意实数 ‎5、如果是方程的一个根，是方程的一个根，那么的值等于（ ）‎ ‎ A、1或2 B、0或－‎3 C、－1或－2 D、0或3‎ 三、解下列方程：‎ ‎ 1、；‎ ‎ 2、‎ ‎3、；‎ ‎4、‎ 四、已知、是方程的两个正根，是方程的正根，试判断以、、为边的三角形是否存在？并说明理由。‎ 五、已知三角形的两边长分别是方程的两根，第三边的长是方程的根，求这个三角形的周长。‎ 六、已知△ABC的两边AB、AC的长是关于的一元二次方程 的两个实数根，第三边BC的长是5。‎ ‎（1）为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；‎ ‎（2）为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。‎ 参考答案 一、填空题：‎ ‎ 1、＝0，＝5；＝－2，＝1；2、0；3、＝4；4、，‎ 二、选择题：CCACD 三、解下列方程：‎ ‎1、＝，＝2；2、＝，＝；3、＝，＝2‎ ‎4、＝，＝，＝1，＝‎ 四、不存在，因为 五、这个三角形的周长是。‎ 六、（1）；（2）时周长为14；时周长为16。‎