2020年内蒙古通辽市中考数学试卷(含解析）

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷(含解析）

‎2020年内蒙古通辽市中考数学试卷 一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）‎ ‎1．（3分）（2020•通辽）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（　　）‎ A．0.3×105 B．3×104 C．30×103 D．3万 ‎2．（3分）（2020•通辽）下列说法不正确的是（　　）‎ A．2a是2个数a的和 B．2a是2和数a的积 ‎ C．2a是单项式 D．2a是偶数 ‎3．（3分）（2020•通辽）下列事件中是不可能事件的是（　　）‎ A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．百步穿杨 ‎4．（3分）（2020•通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎5．（3分）（2020•通辽）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（　　）‎ A．k＜1且k≠0 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k≤1‎ ‎6．（3分）（2020•通辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（　　）‎ 第24页（共24页）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．（3分）（2020•通辽）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（　　）‎ A．108° B．72° C．54° D．36°‎ ‎8．（3分）（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（　　）‎ A．∠BAC＝90° B．∠DAE＝90° C．AB＝AC D．AB＝AE ‎9．（3分）（2020•通辽）如图，OC交双曲线y‎=‎kx于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（　　）‎ 第24页（共24页）‎ A．18 B．50 C．12 D．‎‎200‎‎9‎ ‎10．（3分）（2020•通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（　　）‎ ‎（1）无理数都是无限小数；‎ ‎（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；‎ ‎（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；‎ ‎（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°．‎ A．‎1‎‎4‎ B．‎1‎‎2‎ C．‎3‎‎4‎ D．1‎ 二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）‎ ‎11．（3分）（2020•通辽）计算：‎ ‎（1）（3.14﹣π）0＝　 　；‎ ‎（2）2cos45°＝　 　；‎ ‎（3）﹣12＝　 　．‎ ‎12．（3分）（2020•通辽）若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中 ‎（1）众数是　 　；‎ ‎（2）a的值是　 　；‎ ‎（3）方差是　 　．‎ ‎13．（3分）（2020•通辽）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58°17′28″．则∠BOC的度数是　 　．‎ ‎14．（3分）（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4‎ 第24页（共24页）‎ 个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多　 　个小正方形．‎ ‎15．（3分）（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　 　个人．‎ ‎16．（3分）（2020•通辽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是　 　．‎ ‎17．（3分）（2020•通辽）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为　 　．‎ 三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）‎ ‎18．（5分）（2020•通辽）解方程：‎2‎x-2‎‎=‎‎3‎x．‎ ‎19．（6分）（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．‎ 第24页（共24页）‎ ‎20．（6分）（2020•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．‎ ‎（1）求（﹣2）※‎3‎；‎ ‎（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．‎ ‎21．（7分）（2020•通辽）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：‎ ‎（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；‎ ‎（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．‎ ‎22．（7分）（2020•通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB•PA，求证：AB⊥CD．‎ ‎23．（8分）（2020•通辽）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：‎ 第24页（共24页）‎ ‎（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．‎ ‎24．（9分）（2020•通辽）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．‎ ‎（1）求A，B型服装的单价；‎ ‎（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？‎ ‎25．（9分）（2020•通辽）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．‎ ‎（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；‎ ‎（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．‎ ‎26．（12分）（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式；‎ 第24页（共24页）‎ ‎（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．‎ 第24页（共24页）‎ ‎2020年内蒙古通辽市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）‎ ‎1．（3分）（2020•通辽）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（　　）‎ A．0.3×105 B．3×104 C．30×103 D．3万 ‎【解答】解：30000用科学记数法表示为：3×104．‎ 故选：B．‎ ‎2．（3分）（2020•通辽）下列说法不正确的是（　　）‎ A．2a是2个数a的和 B．2a是2和数a的积 ‎ C．2a是单项式 D．2a是偶数 ‎【解答】解：A.2a＝a+a，即2a是2个数a的和，说法正确；‎ B.2a是2和数a的积，说法正确；‎ C.2a是单项式，说法正确；‎ D.2a不一定是偶数，故原说法错误．‎ 故选：D．‎ ‎3．（3分）（2020•通辽）下列事件中是不可能事件的是（　　）‎ A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．百步穿杨 ‎【解答】解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；‎ B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；‎ C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；‎ D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；‎ 故选：C．‎ ‎4．（3分）（2020•通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（　　）‎ 第24页（共24页）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【解答】解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；‎ B．∠α＝∠β，故本选项错误；‎ C．∠α＝∠β，故本选项错误；‎ D．∠α与∠β互补，故本选项错误，‎ 故选：A．‎ ‎5．（3分）（2020•通辽）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（　　）‎ A．k＜1且k≠0 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k≤1‎ ‎【解答】解：k＝0时，是一元一次方程，有实数根；‎ k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△≥0，‎ ‎∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，‎ 解得k≤1，‎ 故选：D．‎ ‎6．（3分）（2020•通辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（　　）‎ 第24页（共24页）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个交的平分线．‎ 故选：B．‎ ‎7．（3分）（2020•通辽）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（　　）‎ A．108° B．72° C．54° D．36°‎ ‎【解答】解：连接OA、OB，‎ ‎∵PA，PB分别为⊙O的切线，‎ ‎∴OA⊥PA，OB⊥PB，‎ ‎∴∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，‎ ‎∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°，‎ 由圆周角定理得，∠C‎=‎‎1‎‎2‎∠AOB＝54°，‎ 故选：C．‎ 第24页（共24页）‎ ‎8．（3分）（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（　　）‎ A．∠BAC＝90° B．∠DAE＝90° C．AB＝AC D．AB＝AE ‎【解答】解：添加∠BAC＝90°时，‎ ‎∵AD是△ABC的中线，‎ ‎∴AD‎=‎‎1‎‎2‎BC＝CD，‎ ‎∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；‎ 添加∠DAE＝90°，‎ ‎∵四边形ADCE是平行四边形 ‎∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；‎ 添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADC＝90°，‎ ‎∴四边形ADCE是平行四边形是矩形，选项C错误；‎ 添加AB＝AE，‎ ‎∵四边形ADCE是平行四边形，‎ ‎∴AE＝CD，‎ ‎∵AD是△ABC的中线，‎ ‎∴BD＝CD＝AE，‎ ‎∴AB＝BD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；‎ 故选：A．‎ ‎9．（3分）（2020•通辽）如图，OC交双曲线y‎=‎kx于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（　　）‎ 第24页（共24页）‎ A．18 B．50 C．12 D．‎‎200‎‎9‎ ‎【解答】解：延长DA、交x轴于E，‎ ‎∵四边形ABCD矩形，且AB∥x轴，‎ ‎∴∠CAB＝∠AOE，‎ ‎∴DE⊥x轴，CF⊥x轴，‎ ‎∴∠AEO＝∠ABC ‎∴△AOE∽△CAB，‎ ‎∴S‎△ABCS‎△AOE‎=‎（ACOA）2，‎ ‎∵矩形ABCD的面积是8，OC：OA＝5：3，‎ ‎∴△ABC的面积为4，AC：OA＝2：3，‎ ‎∴S‎△ABCS‎△AOE‎=‎（ACOA）2‎=‎‎9‎‎4‎，‎ ‎∴S△AOE＝9，‎ ‎∵双曲线y‎=‎kx经过点A，‎ ‎∴S△AOE‎=‎‎1‎‎2‎|k|＝9，‎ ‎∵k＞0，‎ ‎∴k＝18，‎ 故选：A．‎ 第24页（共24页）‎ ‎10．（3分）（2020•通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（　　）‎ ‎（1）无理数都是无限小数；‎ ‎（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；‎ ‎（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；‎ ‎（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°．‎ A．‎1‎‎4‎ B．‎1‎‎2‎ C．‎3‎‎4‎ D．1‎ ‎【解答】解：（1）无理数都是无限小数是真命题，‎ ‎（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）是真命题；‎ ‎（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm是真命题；‎ ‎（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的半径是240π×2÷20π＝24cm，圆心角为：‎180°×20π‎24π‎=‎150°，故弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°是假命题；‎ 故随机抽取一个是真命题的概率是‎3‎‎4‎，‎ 故选：C．‎ 二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）‎ ‎11．（3分）（2020•通辽）计算：‎ ‎（1）（3.14﹣π）0＝　1　；‎ ‎（2）2cos45°＝　‎2‎　；‎ ‎（3）﹣12＝　﹣1　．‎ ‎【解答】解：（1）（3.14﹣π）0＝1；‎ 第24页（共24页）‎ ‎（2）2cos45°‎=2×‎2‎‎2‎=‎‎2‎；‎ ‎（3）﹣12＝﹣1×1＝﹣1．‎ 故答案为：（1）1；（2）‎2‎；（3）﹣1．‎ ‎12．（3分）（2020•通辽）若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中 ‎（1）众数是　3　；‎ ‎（2）a的值是　1　；‎ ‎（3）方差是　‎8‎‎5‎　．‎ ‎【解答】解：（1）不论a取何值，出现次数最多的是3，出现3次，因此众数是3；‎ ‎（2）（3×3+a+5）＝3×5，‎ 解得，a＝1，‎ ‎（3）S2‎=‎‎1‎‎5‎[（1﹣3）2+（5﹣3）2]‎=‎‎8‎‎5‎，‎ 故答案为：3，1，‎8‎‎5‎．‎ ‎13．（3分）（2020•通辽）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58°17′28″．则∠BOC的度数是　121°42′32″　．‎ ‎【解答】解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝58°17′28″，‎ ‎∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣58°17′28″＝121°42′32″，‎ 故答案为：121°42′32″．‎ ‎14．（3分）（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多　2n+3　个小正方形．‎ 第24页（共24页）‎ ‎【解答】解：∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，‎ 第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，‎ 第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，‎ ‎…，‎ ‎∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，‎ 第n个正方形有（n+1）2个小正方形，‎ 故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．‎ 故答案为：2n+3．‎ ‎15．（3分）（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　12　个人．‎ ‎【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得 ‎（1+x）2＝169‎ ‎1+x＝±13‎ x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．‎ 答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．‎ 故答案为：12．‎ ‎16．（3分）（2020•通辽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是　PB2+AP2＝2CP2　．‎ ‎【解答】解：如图，连接BQ，‎ ‎∵∠ACB＝90°，AC＝BC，‎ ‎∴∠CAB＝∠CBA＝45°，‎ ‎∵△PCQ是等腰直角三角形，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°＝∠ACB，PQ2＝2CP2，‎ ‎∴∠ACP＝∠BCQ，‎ 又∵AC＝BC，‎ ‎∴△ACP≌△BCQ（SAS），‎ ‎∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，‎ ‎∴∠ABQ＝90°，‎ ‎∴PB2+BQ2＝PQ2，‎ ‎∴PB2+AP2＝2CP2，‎ 故答案为：PB2+AP2＝2CP2．‎ ‎17．（3分）（2020•通辽）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为　7　．‎ ‎【解答】解：如图，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC，则四边形ABA′C为菱形，菱形的对角线交于点O，‎ 由图②知，当点P与点B重合时，‎ y＝PA+PE＝AB+BE＝AB‎+‎‎1‎‎2‎AB＝3‎3‎，解得：AB＝2‎3‎，即：菱形的边长为2‎3‎，‎ 则该菱形的高为‎3‎‎2‎AB＝3，‎ 点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，‎ ‎∵AB＝AC，∠BAC＝120°，‎ 则∠BAA′＝60°，故AA′B为等边三角形，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，‎ 而AB∥A′C，故∠PA′C为直角，A′C＝AB＝2‎3‎，‎ 则PC‎=A'Ccos∠BCA'‎=‎2‎‎3‎‎3‎‎2‎=‎4，‎ 此时b＝PC，a＝A′E＝3（菱形的高），‎ 则a+b＝3+4＝7．‎ 故答案为7．‎ 三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）‎ ‎18．（5分）（2020•通辽）解方程：‎2‎x-2‎‎=‎‎3‎x．‎ ‎【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣2）得，‎ ‎2x＝3x﹣6，‎ 解得x＝6，‎ 检验：当x＝6时，x（x﹣2）＝6×4＝24≠0，‎ 所以x＝6是分式方程的解．‎ 因此，原分式方程的解是x＝6．‎ ‎19．（6分）（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米），‎ 在Rt△ACD中，CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米），‎ ‎∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），‎ 答：这栋楼高BC约为270米．‎ ‎20．（6分）（2020•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn 第24页（共24页）‎ ‎﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．‎ ‎（1）求（﹣2）※‎3‎；‎ ‎（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．‎ ‎【解答】解：（1）（﹣2）※‎3‎‎=‎（﹣2）2‎×‎3‎-‎（﹣2）‎×‎3‎-‎3‎3‎‎=‎4‎3‎‎+‎2‎3‎‎-‎3‎3‎‎=‎3‎3‎；‎ ‎（2）3※m≥﹣6，‎ 则32m﹣3m﹣3m≥﹣6，‎ 解得：m≥﹣2，‎ 将解集表示在数轴上如下：‎ ‎21．（7分）（2020•通辽）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：‎ ‎（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；‎ ‎（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．‎ ‎【解答】解：（1）画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，‎ 所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率‎=‎‎5‎‎12‎；‎ ‎（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，‎ 所以取出的3个小球上全是奇数的概率‎=‎2‎‎12‎=‎‎1‎‎6‎．‎ ‎22．（7分）（2020•通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB•PA，求证：AB⊥CD．‎ 第24页（共24页）‎ ‎【解答】证明：连接AC、BC，如图，‎ ‎∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，‎ ‎∴△APC∽△BPD，‎ ‎∴PC：PB＝PA：PD，‎ ‎∴PC•PD＝PA•PB，‎ ‎∵PC2＝PB•PA，‎ ‎∴PC＝PD，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴AB⊥CD．‎ ‎23．（8分）（2020•通辽）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ 第24页（共24页）‎ ‎（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．‎ ‎【解答】解：（1）40÷40%＝100（名），‎ 即在这次调查中，共调查了100名学生；‎ ‎（2）爱好上网的学生有：100×10%＝10（名），‎ 爱好阅读的学生有：100﹣40﹣20﹣10＝30（名），‎ 补全的条形统计图如右图所示；‎ ‎（3）800÷40%＝2000（名），‎ 答：该校学生总数大约有2000名．‎ ‎24．（9分）（2020•通辽）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．‎ ‎（1）求A，B型服装的单价；‎ ‎（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？‎ ‎【解答】解：（1）设A型服装的单价为x元，B型服装的单价为y元，‎ 依题意，得：‎2x+3y=4600‎x+2y=2800‎，‎ 解得：x=800‎y=1000‎．‎ 答：A型服装的单价为800元，B型服装的单价为1000元．‎ ‎（2）设购进B型服装m件，则购进A型服装（60﹣m）件，‎ 依题意，得：60﹣m≥2m，‎ 解得：m≤20．‎ 设该专卖店需要准备w元的货款，则w＝800（60﹣m）+1000×0.75m＝﹣50m+48000，‎ ‎∵k＝﹣50，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∴w随m的增大而减小，‎ ‎∴当m＝20时，w取得最小值，最小值＝﹣50×20+48000＝47000．‎ 答：该专卖店至少需要准备47000元货款．‎ ‎25．（9分）（2020•通辽）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．‎ ‎（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；‎ ‎（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．‎ ‎【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，‎ ‎∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，‎ ‎∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，‎ ‎∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，‎ 在△ABP和△DEQ中，AB=DE‎∠A=∠DAP=DQ，‎ ‎∴△ABP≌△DEQ（SAS），‎ ‎∴BP＝EQ，‎ 同理可证PE＝QB，‎ ‎∴四边形PEQB为平行四边形．‎ ‎（2）解：连接BE、OA，则∠AOB‎=‎360°‎‎6‎=‎60°，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴△AOB是等边三角形，‎ ‎∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，‎ 当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：‎ 则∠EAF＝∠AEF＝30°，‎ ‎∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．‎ 当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：‎ 同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．‎ 综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，‎ ‎∴AE‎=‎1‎2‎‎2‎-‎‎6‎‎2‎=‎6‎3‎，‎ ‎∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6‎3‎‎=‎36‎3‎；‎ ‎∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6‎×‎‎1‎‎4‎矩形ABDE的面积＝6‎×‎1‎‎4‎×‎36‎3‎‎=‎54‎3‎，‎ ‎∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比‎=‎‎2‎‎3‎．‎ ‎26．（12分）（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．‎ 第24页（共24页）‎ ‎【解答】解：（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，‎ 解得x＝6，‎ ‎∴B（6，0），‎ 令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，‎ ‎∴D（0，﹣6），‎ ‎∵点C与点D关于x轴对称，‎ ‎∴C（0，6），‎ 把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得 ‎-36+6b+c=0‎c=6‎‎，‎ 解得，b=5‎c=6‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；‎ ‎（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），‎ 则MN＝﹣m2+4m+12，‎ ‎∴△MDB的面积‎=‎1‎‎2‎MN⋅OB=-‎3m2+12m+36═﹣3（m﹣2）2+48，‎ ‎∴当m＝2时，△MDB的面积最大，‎ 此时，P点的坐标为（2，0）；‎ 第24页（共24页）‎ ‎（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），‎ 当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；‎ 当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；‎ 当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，‎ 即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，‎ 解得，n＝4±2‎15‎，‎ ‎∴Q（0，4+2‎15‎）或（0，4﹣2‎15‎）．‎ 综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+2‎15‎）或（0，4﹣2‎15‎）．‎ 第24页（共24页）‎