九年级2018数学中考模拟试题及答案

九年级2018数学中考模拟试题及答案

绝密★启用前 ‎2018年九年级中考模拟试题 试卷副标题 考试范围： ；考试时间：120分钟；命题人：林永章 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 ‎　‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）‎ ‎1．（3分）下列实数中，无理数是（　　）‎ A．0 B． C．﹣2 D．‎ ‎2．（3分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）‎ A．菱形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．等腰梯形 ‎3．（3分）图中立体图形的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（　　）‎ A．10%x=330 B．（1﹣10%）x=330 C．（1﹣10%）2x=330 D．（1+10%）x=330‎ ‎5．（3分）某共享单车前a公里1元，超过a公里的，每公里2元，若要使使用该共享单车50%的人只花1元钱，a应该要取什么数（　　）‎ A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 ‎6．（3分）用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（　　）之间．‎ A．B与C B．C与D C．E与F D．A与B ‎7．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）‎ A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2‎ ‎8．（3分）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（3分）某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（　　）‎ A．﹣=4 B．﹣=4‎ C．﹣=4 D．﹣=4‎ ‎10．（3分）用棋子摆出下列一组图形：‎ 按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为（　　）‎ A．3n B．6n C．3n+6 D．3n+3‎ ‎　‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）‎ ‎11．（3分）2016年南京实现GDP约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是　 　．‎ ‎12．（3分）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是　 　．‎ ‎13．（3分）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是　 　．‎ ‎14．（3分）已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p=　 　，q=　 　．‎ ‎15．（3分）如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：　 　，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）‎ ‎16．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是　 　．‎ ‎17．（3分）函数y1=x与y2=的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是　 　．‎ ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三．解答题（共8小题，满分69分）‎ ‎18．（4分）（1）计算：+（﹣1）2﹣+（）﹣1．‎ ‎（7分）（2）先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣1．‎ ‎19．（8分）解下列方程：‎ ‎（1）x（x+5）=14； （2）x2﹣2x﹣2=0‎ ‎20．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．‎ ‎21．（8分）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．‎ 月收入/元 ‎45000‎ ‎18000‎ ‎10000‎ ‎5500‎ ‎4800‎ ‎3400‎ ‎3000‎ ‎2200‎ 数是　 　元．‎ ‎（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元．你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．‎ ‎22．（10分）小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强7：30从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每个站点停留2分钟，校车行驶途中始终保持匀速，当天早上，小刚7：39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早1分钟到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行使路程y（千米）与校车行驶时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．‎ ‎（1）求点A的纵坐标m的值；‎ ‎（2）小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程．‎ 23． ‎（12分）综合实践：‎ 折纸的思考．【操作体验】‎ 用一张矩形纸片折等边三角形．‎ 第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．‎ 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB、PC，得到△PBC．‎ ‎（1）说明△PBC是等边三角形．‎ ‎【数学思考】‎ ‎（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．‎ ‎（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．‎ ‎【问题解决】‎ ‎（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为　 　cm．‎ ‎24．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；‎ ‎（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；‎ ‎（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；‎ ‎（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．‎ ‎　‎ ‎2018年03月20日123lyz的初中数学组卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）‎ ‎1．（3分）下列实数中，无理数是（　B　）‎ A．0 B． C．﹣2 D．‎ ‎【解答】解：0，﹣2，是有理数，‎ 是无理数，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（A　　）‎ A．菱形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．等腰梯形 ‎【分析】根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：A、菱形既是轴对称又是中心对称图形，故本选项正确；‎ B、等边三角形是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误；‎ C、平行四边形不是轴对称，是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、等腰梯形是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）图中立体图形的主视图是（　A　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据主视图是从正面看的图形解答．‎ ‎【解答】解：从正面看，共有两层，下面三个小正方体，上面有一个小正方体，在中间．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（　D　）‎ A．10%x=330 B．（1﹣10%）x=330 C．（1﹣10%）2x=330 D．（1+10%）x=330‎ ‎【分析】设上个月卖出x双，等量关系是：上个月卖出的双数×（1+10%）=现在卖出的双数，依此列出方程即可．‎ ‎【解答】解：设上个月卖出x双，根据题意得 ‎（1+10%）x=330．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）某共享单车前a公里1元，超过a公里的，每公里2元，若要使使用该共享单车50%的人只花1元钱，a应该要取什么数（　B　）‎ A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 ‎【分析】由于要使使用该共享单车50%的人只花1元钱，根据中位数的意义分析即可 ‎【解答】解：根据中位数的意义，‎ 故只要知道中位数就可以了．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（　A　）之间．‎ A．B与C B．C与D C．E与F D．A与B ‎【分析】此题实际是求﹣的值．‎ ‎【解答】解：在计算器上依次按键转化为算式为﹣=；‎ 计算可得结果介于﹣2与﹣1之间．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（B　　）‎ A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2‎ ‎【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围；‎ ‎【解答】解：由题意可知：‎ ‎∴解得：x≥2‎ 故选（B）‎ ‎　‎ ‎8．（3分）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　C　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x 是自变量．由此即可判断．‎ ‎【解答】解：当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．‎ 选项C中的曲线，不满足对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．故C中曲线不能表示y是x的函数，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（　D　）‎ A．﹣=4 B．﹣=4‎ C．﹣=4 D．﹣=4‎ ‎【分析】由设第一次买了x本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．‎ ‎【解答】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+20）本，‎ 根据题意得：﹣=4．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）用棋子摆出下列一组图形：‎ 按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为（　D　）‎ A．3n B．6n C．3n+6 D．3n+3‎ ‎【分析】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．‎ ‎【解答】解：∵第一个图需棋子3+3=6；‎ 第二个图需棋子3×2+3=9；‎ 第三个图需棋子3×3+3=12；‎ ‎…‎ ‎∴第n个图需棋子3n+3枚．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）‎ ‎11．（3分）2016年南京实现GDP约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是　1.05×104　．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于10500有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．‎ ‎【解答】解：10500=1.05×104．‎ 故答案为：1.05×104．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是　　．‎ ‎【分析】由在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一球恰好为红球的概率．‎ ‎【解答】解：∵在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，‎ ‎∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是：=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是　45　．‎ ‎【分析】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．‎ ‎【解答】解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE=∠A=45°，‎ ‎∴旋转角n=45时，EF∥AB．‎ ‎②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A=180°，‎ ‎∴∠ACE=135°‎ ‎∴旋转角n=360﹣135=225，‎ ‎∵0＜n＜180，‎ ‎∴此种情形不合题意，‎ 故答案为45‎ ‎　‎ ‎14．（3分）已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p=　4　，q=　3　．‎ ‎【分析】由根与系数的关系可得出关于p或q 的一元一次方程，解之即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，‎ ‎∴﹣3+（﹣1）=﹣p，（﹣3）×（﹣1）=q，‎ ‎∴p=4，q=3．‎ 故答案为：4；3．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：　DF∥AC，或∠BFD=∠A　，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）‎ ‎【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD=∠A．根据相似三角形的判定方法一一证明即可．‎ ‎【解答】解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．‎ 理由：∵∠A=∠A，==，‎ ‎∴△ADE∽△ACB，‎ ‎∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，‎ ‎∴△BDF∽△EAD．‎ ‎②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，‎ ‎∴△FBD∽△AED．‎ 故答案为DF∥AC，或∠BFD=∠A．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是　k≤1且k≠0　．‎ ‎【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，‎ ‎∴△=b2﹣4ac≥0，‎ 即：4﹣4k≥0，‎ 解得：k≤1，‎ ‎∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0，‎ 故答案为：k≤1且k≠0．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）函数y1=x与y2=的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是　①③　．‎ ‎【分析】结合图形判断各个选项是否正确即可．‎ ‎【解答】解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；‎ ‎②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；‎ ‎③y=x+=（﹣）2+4≥4，当且仅当x=2时取“=”．即在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确；‎ ‎∴正确的有①③．‎ 故答案为：①③．‎ ‎　三．解答题（共8小题，满分69分）‎ ‎18．（4分）计算：+（﹣1）2﹣+（）﹣1．‎ ‎【分析】根据负整数指数幂和分数指数幂的意义计算．‎ ‎【解答】解：原式=3+2﹣2+1﹣3+2‎ ‎=+2．‎ ‎　‎ ‎19．（7分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣1．‎ ‎【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．‎ ‎【解答】解：当x=﹣1时，‎ 原式=×‎ ‎=3x+2‎ ‎=﹣1‎ ‎　‎ ‎20．（8分）解下列方程：‎ ‎（1）x（x+5）=14；‎ ‎（2）x2﹣2x﹣2=0‎ ‎【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；‎ ‎（2）利用配方法得到（x﹣1）2=3，然后利用直接开平方法解方程．‎ ‎【解答】解：（1）x2+5x﹣14=0，‎ ‎（x+7）（x﹣2）=0，‎ x+7=0或x﹣2=0，‎ 所以x1=﹣7，x2=2；‎ ‎（2）x2﹣2x=2，‎ x2﹣2x+1=3，‎ ‎（x﹣1）2=3，‎ x ‎﹣1=±，‎ 所以x1=1+，x2=1﹣．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．‎ ‎【分析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE=180×=45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形．‎ ‎【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△CDE，‎ ‎∴∠ADE=∠CDE，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADE=∠CBD，‎ ‎∴∠CDE=∠CBD，‎ ‎∴BC=CD，‎ ‎∵AD=CD，‎ ‎∴BC=AD，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∵AD=CD，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）∵BE=BC ‎∴∠BCE=∠BEC，‎ ‎∵∠CBE：∠BCE=2：3，‎ ‎∴∠CBE=180×=45°，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠ABE=45°，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∴四边形ABCD是正方形．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．‎ 月收入/元 ‎45000‎ ‎18000‎ ‎10000‎ ‎5500‎ ‎4800‎ ‎3400‎ ‎3000‎ ‎2200‎ 人数 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎11‎ ‎1‎ ‎（1）该公司员工月收入的中位数是　3400　元，众数是　3000　元．‎ ‎（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元．你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．‎ ‎【分析】（1‎ ‎）根据中位数的定义把这组数据从小到大排列起来，找出最中间一个数即可；根据众数的定义找出现次数最多的数据即可；‎ ‎（2）根据平均数、中位数和众数的意义回答．‎ ‎【解答】解：（1）共有25个员工，中位数是第13个数，‎ 则中位数是3400元；‎ ‎3000出现了11次，出现的次数最多，则众数是3000．‎ 故答案为3400；3000；‎ ‎（2）用中位数或众数来描述更为恰当．理由：‎ 平均数受极端值45000元的影响，只有3个人的工资达到了6276元，不恰当；‎ ‎　‎ ‎23．（10分）小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强7：30从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每个站点停留2分钟，校车行驶途中始终保持匀速，当天早上，小刚7：39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早1分钟到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行使路程y（千米）与校车行驶时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．‎ ‎（1）求点A的纵坐标m的值；‎ ‎（2）小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程．‎ ‎【分析】（1）根据速度=路程÷时间，可求出校车的速度，再根据m=3+校车速度×（8﹣6），即可求出m的值；‎ ‎（2）（方法一）根据时间=路程÷速度+4，可求出校车到达学校站点所需时间，进而可求出出租车到达学校站点所需时间，由速度=路程÷时间，可求出出租车的速度，再根据相遇时间=校车先出发时间×速度÷两车速度差，可求出小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车，结合出租车的速度及安康小区到学校站点的路程，可得出相遇时他们距学校站点的路程．‎ ‎（方法二）观察函数图象结合数量之间的关系，可 分别找出点B、C、E、F的坐标，利用待定系数法可分别求出线段BC、EF的解析式，联立两函数解析式成方程组可求出交点的坐标，再结合出租车出发的时间及全程的长度即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）校车的速度为3÷4=0.75（千米/分钟），‎ 点A的纵坐标m的值为3+0.75×（8﹣6）=4.5．‎ 答：点A的纵坐标m的值为4.5．‎ ‎（2）（方法一）校车到达学校站点所需时间为9÷0.75+4=16（分钟），‎ 出租车到达学校站点所需时间为16﹣9﹣1=6（分钟），‎ 出租车的速度为9÷6=1.5（千米/分钟），‎ 两车相遇时出租车出发时间为0.75×（9﹣4）÷（1.5﹣0.75）=5（分钟），‎ 相遇地点离学校站点的路程为9﹣1.5×5=1.5（千米）．‎ 答：小刚乘坐出租车出发后经过5分钟追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校站点的路程为1.5千米．‎ ‎（方法二）∵9÷0.75+4=16（分钟），‎ ‎∴点C的坐标为（16，9）．‎ ‎∵点B的坐标为（10，4.5），‎ ‎∴线段BC的解析式为y=0.75x﹣3（10≤x≤16）．‎ ‎∵点E的坐标为（15，9），点F的坐标为（9，0），‎ ‎∴线段EF的解析式为y=1.5x﹣13.5（9≤x≤15）．‎ 联立两线段解析式成方程组，‎ ‎，解得：，‎ ‎∴x﹣9=5，9﹣y=1.5．‎ 答：小刚乘坐出租车出发后经过5分钟追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校站点的路程为1.5千米．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）折纸的思考．‎ ‎【操作体验】‎ 用一张矩形纸片折等边三角形．‎ 第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．‎ 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB、PC，得到△PBC．‎ ‎（1）说明△PBC是等边三角形．‎ ‎【数学思考】‎ ‎（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．‎ ‎（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．‎ ‎【问题解决】‎ ‎（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为　　cm．‎ ‎【分析】（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；‎ ‎（2）由旋转的性质和位似的性质即可得出答案；‎ ‎（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可；‎ ‎（4）证明△AEF∽△DCE，得出=，设AE=x，则AD=CD=4x，DE=AD﹣AE=3x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．‎ ‎【解答】（1）证明：由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，‎ ‎∴PB=PC，PB=CB，‎ ‎∴PB=PC=CB，‎ ‎∴△PBC是等边三角形．‎ ‎（2）解：以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1；‎ 再以点B为位似中心，将△P1BC1放大，使点C1的对应点C2落在CD上，得到△P2BC2；‎ 如图⑤所示；‎ ‎（3）解：本题答案不唯一，举例如图6所示，‎ ‎（4）解：如图7所示：‎ ‎△CEF是直角三角形，∠CEF=90°，CE=4，EF=1，‎ ‎∴∠AEF+∠CED=90°，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠A=∠D=90°，AD=CD，‎ ‎∴∠DCE+∠CED=90°，‎ ‎∴∠AEF=∠DCE，‎ ‎∴△AEF∽△DCE，‎ ‎∴=，‎ 设AE=x，则AD=CD=4x，‎ ‎∴DE=AD﹣AE=3x，‎ 在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2=42，‎ 解得：x=，‎ ‎∴AD=4×=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；‎ ‎（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；‎ ‎（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；‎ ‎（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．‎ ‎【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；‎ ‎（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE 交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），‎ ‎∴AB=5，OC=2，‎ ‎∴S△ABC=AB•OC=×5×2=5，‎ ‎∵S△ABC=S△ABD，‎ ‎∴S△ABD=×5=，‎ 设D（x，y），‎ ‎∴AB•|y|=×5|y|=，解得|y|=3，‎ 当y=3时，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；‎ 当y=﹣3时，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；‎ 综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；‎ ‎（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，‎ ‎∴AC==，BC==2，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，‎ 如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，‎ 由题意可知∠FBC=45°，‎ ‎∴∠CFB=45°，‎ ‎∴CF=BC=2，‎ ‎∴=，即=，解得OM=2，=，即=，解得FM=6，‎ ‎∴F（2，6），且B（4，0），‎ 设直线BE解析式为y=kx+m，则可得，解得，‎ ‎∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，‎ 联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，‎ ‎∴E（5，﹣3），‎ ‎∴BE==．‎ ‎　‎