上海市静安区中考数学一模试卷

上海市静安区中考数学一模试卷

‎2017年上海市静安区中考数学一模试卷 ‎　一、选择题（每小题4分，共24分）‎ ‎1．a（a＞0）等于（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎2．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（　　）‎ A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4‎ ‎3．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上， =，要使DE∥BC，还需满足下列条件中的（　　）‎ A． = B． = C． = D． =‎ ‎4．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=m，∠A=α，那么AC的长为（　　）‎ A．m•sinα B．m•cosα C．m•tanα D．m•cotα ‎5．如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（　　）‎ A．α=30° B．α=45° C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°‎ ‎6．将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（　　）‎ A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）‎ 二．填空题（每个小题4分，共48分）‎ ‎7．16的平方根是　　．‎ ‎8．如果代数式有意义，那么x的取值范围为　　．‎ ‎9．方程+=1的根为　　．‎ ‎10．如果一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m的取值范围为　　．‎ ‎11．二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是　　．‎ ‎12．如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，那么m的值为　　．‎ ‎13．如果△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，那么△ABC与△DEF的面积比为　　．‎ ‎14．在△ABC中，如果AB=AC=10，cosB=，那么△ABC的重心到底边的距离为　　．‎ ‎15．已知平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点F，设=， =，那么=　　 （用，的式子表示）‎ ‎ ‎ 第15题图 第17题图 第18题图 ‎16．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，△ADE∽△ABC，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE的周长为　　．‎ ‎17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，∠BDC=∠CED，如果DE=4，CD=6，那么AD：AE等于　　．‎ ‎18．一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=24，tanB=（如图），将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为　_____　．‎ 三、解答题（共78分）‎ ‎19．计算：．‎ ‎20．解方程组：．‎ ‎21．已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=‎ 求：（1）反比例函数的解析式；（2）点C的坐标；（3）∠ABC的余弦值．‎ ‎22．将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC后，电脑转到AO′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，B′O′⊥OA，垂足为C．‎ ‎（1）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）‎ ‎（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）‎ ‎（3）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？‎ 参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.146．cot65°=0.446）‎ ‎23．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE ‎（1）求证：DE•AB=AC•BE；（2）如果AC2=AD•AB，求证：AE=AC．‎ ‎24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．‎ ‎（1）求证：△BDE∽△CAE；‎ ‎（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．‎ ‎25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AC=BC，点E在DC的延长线上，∠BEC=∠ACB，已知BC=9，cos∠ABC=．‎ ‎（1）求证：BC2=CD•BE；‎ ‎（2）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；‎ ‎（3）如果△DBC∽△DEB，求CE的长．‎ ‎2017年上海市静安区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题4分，共24分）‎ ‎1．a（a＞0）等于（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ 故选：C．‎ ‎2．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（　　）‎ A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4‎ 故选A ‎3．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上， =，要使DE∥BC，还需满足下列条件中的（　　）‎ A． = B． = C． = D． =‎ 故选D．‎ ‎4．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=m，∠A=α，那么AC的长为（　　）‎ A．m•sinα B．m•cosα C．m•tanα D．m•cotα 故选：B．‎ ‎5．如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（　　）‎ A．α=30° B．α=45° C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°‎ 故选：C．‎ ‎6．将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（　　）‎ A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）‎ 故选：A．‎ 二．填空题（每个小题4分，共48分）‎ ‎7．16的平方根是　±4　．‎ ‎8．如果代数式有意义，那么x的取值范围为　x＞﹣2　．‎ ‎9．方程+=1的根为　x=2　．‎ ‎10．如果一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m的取值范围为　m＜2　．‎ ‎11．二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是　（4，﹣6）　．‎ ‎12．如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，那么m的值为　3　．‎ ‎13．如果△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，那么△ABC与△DEF的面积比为　1：16　．‎ ‎14．在△ABC中，如果AB=AC=10，cosB=，那么△ABC的重心到底边的距离为　2　．‎ ‎15．已知平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点F，设=， =，那么=　﹣　 （用，的式子表示）‎ ‎16．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，△ADE∽△ABC，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE的周长为　　．‎ ‎17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，∠BDC=∠CED，如果DE=4，CD=6，那么AD：AE等于　3：2　．‎ ‎18．一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=24，tanB=（如图），将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为　13　．‎ 三、解答题（共78分）‎ ‎19．计算：．‎ 解：原式===．‎ ‎20．解方程组：．‎ 解：‎ 由②得：（x﹣3y）2=4，x﹣3y=±2，由①得：x（x﹣y+2）=0，x=0，x﹣y+2=0，‎ 原方程组可以化为：，，，，‎ 解得，原方程组的解为：，，，．‎ ‎21．已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=‎ 求：（1）反比例函数的解析式；‎ ‎（2）点C的坐标；‎ ‎（3）∠ABC的余弦值．‎ 解：（1）设反比例函数解析式为y=，‎ 将点A（2，4）代入，得：k=8，∴反比例函数的解析式y=；‎ ‎（2）过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，‎ ‎∵cot∠ACB==，∴AF=3，∴EF=1，∴点C的坐标为（0，1）；‎ ‎（3）当y=1时，由1=可得x=8，∴点B的坐标为（1，8），∴BF=BC﹣CF=6，‎ ‎∴AB==3，∴cos∠ABC===．‎ ‎22．将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC后，电脑转到AO′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，B′O′⊥OA，垂足为C．‎ ‎（1）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）‎ ‎（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）‎ ‎（3）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？‎ 参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.146．cot65°=0.446）‎ 解：（1）∵B′O′⊥OA，垂足为C，∠AO′B=115°，‎ ‎∴∠AO′C=65°，∵cos∠CO′A=，‎ ‎∴O′C=O′A•cos∠CO′A=20•cos65°=8.46≈8.5（cm）；‎ ‎（2）如图2，过B作BD⊥AO交AO的延长线于D，‎ ‎∵∠AOB=115°，∴∠BOD=65°，∵sin∠BOD=，‎ ‎∴BD=OB•sin∠BOD=20×sin65°=18.12，‎ ‎∴O′B′+O′C﹣BD=20+8.46﹣18.12=10.34≈10.3（cm），‎ ‎∴显示屏的顶部B′比原来升高了10.3cm；‎ ‎（3）如图4，过O′作EF∥OB交AC于E，‎ ‎∴∠FEA=∠BOA=115°，∠FOB′=∠EO′C=∠FEA﹣∠O′CA=115°﹣90°=25°，‎ ‎∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转25度．‎ ‎23．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE ‎（1）求证：DE•AB=AC•BE；‎ ‎（2）如果AC2=AD•AB，求证：AE=AC．‎ 证明：（1）∵BA•BD=BC•BE，∴，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△EBD，‎ ‎∴，∴DE•AB=AC•BE；‎ ‎（2）∵AC2=AD•AB，∴，∵∠DAC=∠CAB，∴△ADC∽△ACB，‎ ‎∴∠ACD=∠B，∵，∠B=∠B，∴△BAE∽△BCD，∴∠BAE=∠BCD，‎ ‎∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC．‎ ‎24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．‎ ‎（1）求证：△BDE∽△CAE；‎ ‎（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．‎ ‎（1）证明：∵∠DCB=∠DAB，∠BEC=∠DEA，‎ ‎∴△BEC∽△DEA，∴=，又∠BED=∠CEA，∴△BDE∽△CAE；‎ ‎（2）解：∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴相交于点B，‎ ‎∴点B的坐标为（0，4），即OB=4，∵tan∠DAC=3，∴=3，‎ 设AC=m，则DC=3m，OA=m+2，则点A的坐标为（m+2，0），‎ 点D的坐标为（2，3m），∵△BDE∽△CAE，∴∠DBA=∠DCA=90°，‎ ‎∴BD2+BC2=AD2，即22+（3m﹣4）2+（m+2）2+42=m2+（3m）2，解得，m=2，‎ 则点A的坐标为（4，0），点D的坐标为（2，6），‎ ‎∴，解得，，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4．‎ ‎25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AC=BC，点E在DC的延长线上，∠BEC=∠ACB，已知BC=9，cos∠ABC=．‎ ‎（1）求证：BC2=CD•BE；‎ ‎（2）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；‎ ‎（3）如果△DBC∽△DEB，求CE的长．‎ 解：（1）∵∠DCB=∠ACD+∠ACB，∠DCB=∠EBC+∠BEC，∠ACB=∠BEC，‎ ‎∴∠ACD=∠EBC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=∠CEB，∴△DAC∽△CEB，‎ ‎∴=，∴BC•AC=CD•BE，∵AC=BC，∴BC2=CD•BF．‎ ‎（2）过点C作CF⊥AB于F，AG⊥BC于G，DH⊥BC于H．‎ 在Rt△CBF中，BF=BC•cos∠ABC=9×=3，∴AB=6，‎ 在Rt△ABG中，BG=AB•cos∠ABC=6×=2，∵AD∥BC，DH=AG，‎ ‎∴DH2=AG2=AB2﹣BG2=62﹣22=32，∵AG∥DH，∴GH=AD=x，‎ ‎∴CH=BC﹣BG﹣GH=7﹣x，∴CD===，‎ ‎∵△CEB∽△DAC，∴=，∴=，∴y=，‎ ‎∴y=（x＞0且x≠9）．‎ ‎（3）∵△DBC∽△DEB，∠CDB=∠BDE，∠CBD＜∠DBC，‎ ‎∴∠DBC=∠DEB=∠ACB，∴OB=OC，∵AD∥BC，∴=，∴AC=BD，‎ ‎∴四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB，∵∠AGB=∠DHC=90°，‎ ‎∴△ABG≌△DCH，∴CH=BG=2，∴x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5．∴CE=y=．‎