山西省中考数学真题试卷和答案

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山西省中考数学真题试卷和答案

山西省2017年中考数学真题试卷和答案 ‎ ‎ 一、选择题(每小题3分,共30分)。‎ ‎1.计算﹣1+2的结果是(  )‎ A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3‎ ‎2.如图,直线a,b被直线c所截,下列条件不能判定直线a与b平行的是(  )‎ A.∠1=∠3 B.∠2+∠4=180° C.∠1=∠4 D.∠3=∠4‎ ‎3.在体育课上,甲、乙两名同学分别进行了5次跳远测试,经计算他们的平均成绩相同.若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定,通常需要比较他们成绩的(  )‎ A.众数 B.平均数 C.中位数 D.方差 ‎4.将不等式组‎&2x-6≤0‎‎&x+4>0‎的解集表示在数轴上,下面表示正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.下列运算错误的是(  )‎ A.(‎3‎﹣1)0=1 B.(﹣3)2÷‎9‎‎4‎=‎1‎‎4‎ C.5x2﹣6x2=﹣x2 D.(2m3)2÷(2m)2=m4‎ 第23页(共23页)‎ ‎6.如图,将矩形纸片ABCD沿BD折叠,得到△BC′D,C′D与AB交于点E.若∠1=35°,则∠2的度数为(  )‎ A.20° B.30° C.35° D.55°‎ ‎7.化简‎4xx‎2‎‎-4‎﹣xx-2‎的结果是(  )‎ A.﹣x2+2x B.﹣x2+6x C.﹣xx+2‎ D.‎xx-2‎ ‎8.2017年5月18日,我国宣布在南海神狐海域成功试采可燃冰,成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家.据粗略估计,仅南海北部陆坡的可燃冰资源就达到186亿吨油当量,达到我国陆上石油资源总量的50%.数据186亿吨用科学记数法可表示为(  )‎ A.186×108吨 B.18.6×109吨 C.1.86×1010吨 D.0.186×1011吨 ‎9.公元前5世纪,毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数‎2‎,导致了第一次数学危机,‎2‎是无理数的证明如下:‎ ‎ 假设‎2‎是有理数,那么它可以表示成qp(p与q是互质的两个正整数).于是(qp)2=(‎2‎)2=2,所以,q2=2p2.于是q2‎ 第23页(共23页)‎ 是偶数,进而q是偶数,从而可设q=2m,所以(2m)2=2p2,p2=2m2,于是可得p也是偶数.这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾.从而可知“‎2‎是有理数”的假设不成立,所以,‎2‎是无理数.‎ 这种证明“‎2‎是无理数”的方法是(  )‎ A.综合法 B.反证法 C.举反例法 D.数学归纳法 ‎10.如图是某商品的标志图案,AC与BD是⊙O的两条直径,首尾顺次连接点A,B,C,D,得到四边形ABCD.若AC=10cm,∠BAC=36°,则图中阴影部分的面积为(  )‎ A.5πcm2 B.10πcm2 C.15πcm2 D.20πcm2‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题3分,共15分)。‎ ‎11.计算:4‎18‎﹣9‎2‎=   .‎ ‎12.某商店经销一种品牌的洗衣机,其中某一型号的洗衣机每台进价为a元,商店将进价提高20%后作为零售价进行销售,一段时间后,商店又以9折优惠价促销,这时该型号洗衣机的零售价为   元.‎ ‎13.如图,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,4),B(﹣1,1),C(﹣2,2),将△ABC向右平移4个单位,得到△‎ 第23页(共23页)‎ A′B′C′,点A,B,C的对应点分别为A′、B′、C′,再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°,得到△A″B″C″,点A′、B′、C′的对应点分别为A″、B″、C″,则点A″的坐标为   .‎ ‎14.如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距离树10米的点E处,测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高度为   米.(结果保留一位小数.参考数据:sin54°=0.8090,cos54°=0.5878,tan54°=1.3764)‎ ‎15.一副三角板按如图方式摆放,得到△ABD和△BCD,其中∠ADB=∠BCD=90°,∠A=60°,∠CBD=45°,E为AB的中点,过点E作EF⊥CD于点F.若AD=4cm,则EF的长为   cm.‎ ‎ ‎ 三、解答题:‎ 第23页(共23页)‎ ‎16.(10分)(1)计算:(﹣2)3+(‎1‎‎3‎)﹣2﹣‎8‎•sin45°‎ ‎(2)分解因式:(y+2x)2﹣(x+2y)2.‎ ‎17.(6分)已知:如图,在▱ABCD中,延长AB至点E,延长CD至点F,使得BE=DF.连接EF,与对角线AC交于点O.‎ 求证:OE=OF.‎ ‎18.(7分)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,其边长为2,点A,点C分别在x轴,y轴的正半轴上,函数y=2x的图象与CB交于点D,函数y=kx(k为常数,k≠0)的图象经过点D,与AB交于点E,与函数y=2x的图象在第三象限内交于点F,连接AF、EF.‎ ‎(1)求函数y=kx的表达式,并直接写出E、F两点的坐标;‎ ‎(2)求△AEF的面积.‎ 第23页(共23页)‎ ‎19.(7分)“春种一粒粟,秋收万颗子”,唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子(去皮后则称为“小米”),被誉为中华民族的哺育作物.我省有着“小杂粮王国”的美誉,谷子作为我省杂粮谷物中的大类,其种植面积已连续三年全国第一.2016年全国谷子种植面积为2000万亩,年总产量为150万吨,我省谷子平均亩产量为160kg,国内其他地区谷子的平均亩产量为60kg,请解答下列问题:‎ ‎(1)求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩.‎ 第23页(共23页)‎ ‎(2)2017年,若我省谷子的平均亩产量仍保持160kg不变,要使我省谷子的年总产量不低于52万吨,那么,今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子?‎ ‎20.(12分)从共享单车,共享汽车等共享出行到共享充电宝,共享雨伞等共享物品,各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用,越来越多的企业与个人成为参与者与受益者.根据国家信息中心发布的《中国分享经济发展报告2017》显示,2016年我国共享经济市场交易额约为34520亿元,比上年增长103%;超6亿人参与共享经济活动,比上年增加约1亿人.‎ 如图是源于该报告中的中国共享经济重点领域市场规模统计图:‎ 第23页(共23页)‎ ‎(1)请根据统计图解答下列问题:‎ ‎①图中涉及的七个重点领域中,2016年交易额的中位数是   亿元.‎ ‎②请分别计算图中的“知识技能”和“资金”两个重点领域从2015年到2016年交易额的增长率(精确到1%),并就这两个重点领域中的一个分别从交易额和增长率两个方面,谈谈你的认识.‎ ‎(2)小宇和小强分别对共享经济中的“共享出行”和“共享知识”最感兴趣,他们上网查阅了相关资料,顺便收集到四个共享经济领域的图标,并将其制成编号为A,B,C,D的四张卡片(除编号和内容外,其余完全相同)他们将这四张卡片背面朝上,洗匀放好,从中随机抽取一张(不放回),再从中随机抽取一张,请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率(这四张卡片分别用它们的编号A,B,C,D表示)‎ 第23页(共23页)‎ ‎21.(7分)如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,OD⊥AB,与AC交于点E,与过点C的⊙O的切线交于点D.‎ ‎(1)若AC=4,BC=2,求OE的长.‎ ‎(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系,并说明理由.‎ ‎22.(12分)综合与实践 背景阅读 早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出:将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三、股四、弦五”.它被记载与我国古代著名数学著作《周髀算经》中,为了方便,在本题中,我们把三边的比为3:4:5的三角形称为(3,4,5)型三角形,例如:三边长分别为9,12,15或3‎2‎,4‎2‎,5‎2‎的三角形就是(3,4,5)型三角形,用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形.‎ 实践操作 如图1,在矩形纸片ABCD中,AD=8cm,AB=12cm.‎ 第一步:如图2,将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,再沿EF折叠,然后把纸片展平.‎ 第23页(共23页)‎ 第二步:如图3,将图2中的矩形纸片再次折叠,使点D与点F重合,折痕为GH,然后展平,隐去AF.‎ 第三步:如图4,将图3中的矩形纸片沿AH折叠,得到△AD′H,再沿AD′折叠,折痕为AM,AM与折痕EF交于点N,然后展平.‎ 问题解决 ‎(1)请在图2中证明四边形AEFD是正方形.‎ ‎(2)请在图4中判断NF与ND′的数量关系,并加以证明;‎ ‎(3)请在图4中证明△AEN(3,4,5)型三角形;‎ 探索发现 ‎(4)在不添加字母的情况下,图4中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?请找出并直接写出它们的名称.‎ ‎23.(14分)如图,抛物线y=﹣‎3‎‎9‎x2+‎2‎‎3‎‎3‎x+3‎3‎与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC、BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动,同时,点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动,当一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动,连接PQ.过点Q作QD⊥‎ 第23页(共23页)‎ x轴,与抛物线交于点D,与BC交于点E,连接PD,与BC交于点F.设点P的运动时间为t秒(t>0).‎ ‎(1)求直线BC的函数表达式;‎ ‎(2)①直接写出P,D两点的坐标(用含t的代数式表示,结果需化简)‎ ‎②在点P、Q运动的过程中,当PQ=PD时,求t的值;‎ ‎(3)试探究在点P,Q运动的过程中,是否存在某一时刻,使得点F为PD的中点?若存在,请直接写出此时t的值与点F的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 第23页(共23页)‎ 答案 一、选择题(每小题3分,共30分)。‎ ‎1.C.‎ ‎2.D.‎ ‎3.D.‎ ‎4.A.‎ ‎5.B. ‎ ‎6.A.‎ ‎7.C ‎8.C.‎ ‎9.B.‎ ‎10.解:∵AC与BD是⊙O的两条直径,‎ ‎∴∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°,‎ ‎∴四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴△ABO于△CDO的面积=△AOD与△BOD 的面积,‎ ‎∴图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD,‎ ‎∵OA=OB,‎ ‎∴∠BAC=∠ABO=36°,‎ ‎∴∠AOD=72°,‎ ‎∴图中阴影部分的面积=2×‎72⋅π×‎‎5‎‎2‎‎360‎=10π,‎ 二、填空题(每题3分,共15分)。‎ 第23页(共23页)‎ ‎11.3‎2‎.‎ ‎12.解:由题意可得,‎ 该型号洗衣机的零售价为:a(1+20%)×0.9=1.08a(元),‎ ‎13.解:如图所示:‎ ‎∵A(0,4),B(﹣1,1),C(﹣2,2),将△ABC向右平移4个单位,得到△A′B′C′,‎ ‎∴A′、B′、C′的坐标分别为(4,4),B(3,1),C(2,2),‎ 再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°,得到△A″B″C″,‎ 则点A″的坐标为 (6,0);‎ 故答案为:(6,0).‎ ‎14.解:解:如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D.则四边形CEBD是矩形,BD=CE=1.5m,‎ 在Rt△ACD中,CD=EB=10m,∠ACD=54°,‎ ‎∵tan∠ACE=ADCD,‎ ‎∴AD=CD•tan∠ACD≈10×1.38=13.8m. ‎ ‎∴AB=AD+BD=13.8+1.5=15.3m.‎ 答:树的高度AB约为15.3m. ‎ 第23页(共23页)‎ 故答案为15.3‎ ‎15.解:过点A作AG⊥DC与G.‎ ‎∵∠DCB=∠CBD=45°,∠ADB=90°,‎ ‎∴解ADG=45°.‎ ‎∴AG=AD‎2‎=2‎2‎.‎ ‎∵∠ABD=30°,‎ ‎∴BD=‎3‎AD=4‎3‎.‎ ‎∵∠CBD=45°,‎ ‎∴CB=BD‎2‎=2‎6‎.‎ ‎∵AG⊥CG,EF⊥CG,CB⊥CG,‎ ‎∴AG∥EF∥BC.‎ 又∵E是AB的中点,‎ ‎∴F为CG的中点,‎ 第23页(共23页)‎ ‎∴EF=‎1‎‎2‎(AG+BC)=‎1‎‎2‎(2‎2‎+2‎6‎)=‎2‎+‎6‎.‎ 三、 解答题 ‎16.(10分)(2017•山西)(1)计算:(﹣2)3+(‎1‎‎3‎)﹣2﹣‎8‎•sin45°‎ ‎(2)分解因式:(y+2x)2﹣(x+2y)2.‎ 解:(1)原式=﹣8+9﹣2=﹣1;‎ ‎(2)原式=[(y+2x)+(x+2y)][(y+2x)﹣(x+2y)]‎ ‎=3(x+y)(x﹣y).‎ ‎17.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB∥CD,AB=CD,‎ ‎∵BE=DF,‎ ‎∴AB+BE=CD+DF,即AE=CF,‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴AE∥CF,‎ ‎∴∠E=∠F,∠OAE=∠OCF,‎ 在△AOE和△COF中,‎&∠E=∠F‎&AE=CF‎&∠OAE=∠OCF,‎ ‎∴△AOE≌△COF(ASA),‎ ‎∴OE=OF.‎ ‎18.解:(1)∵正方形OABC的边长为2,‎ 第23页(共23页)‎ ‎∴点D的纵坐标为2,即y=2,‎ 将y=2代入y=2x,得x=1,‎ ‎∴点D的坐标为(1,2),‎ ‎∵函数y=kx的图象经过点D,‎ ‎∴2=k‎1‎,‎ 解得k=2,‎ ‎∴函数y=kx的表达式为y=‎2‎x,‎ ‎∴E(2,1),F(﹣1,﹣2);‎ ‎(2)过点F作FG⊥AB,与AB的延长线交于点G,‎ ‎∵E(2,1),F(﹣1,﹣2),‎ ‎∴AE=1,‎ FG=2﹣(﹣1)=3,‎ ‎∴△AEF的面积为:‎1‎‎2‎AE•FG=‎1‎‎2‎×1×3=‎3‎‎2‎.‎ 第23页(共23页)‎ ‎19.解:(1)设我省2016年谷子的种植面积是x万亩,其他地区谷子的种植面积是y万亩,依题意有 ‎&x+y=2000‎‎&‎160‎‎1000‎x+‎60‎‎1000‎y=150‎‎,‎ 解得‎&x=300‎‎&y=1700‎.‎ 答:我省2016年谷子的种植面积是300万亩.‎ ‎(2)设我省应种植z万亩的谷子,依题意有 ‎160‎‎1000‎z≥52‎‎,‎ 解得z≥325,‎ ‎325﹣300=25(万亩).‎ 答:今年我省至少应再多种植25万亩的谷子.‎ ‎20.解:(1)由图可知,2016年七个重点领域的交易额分别为70、245、610、2038、3300、7233、20863,‎ ‎2016年交易额的中位数是2038亿元,‎ 故答案为:2038;‎ ‎(2)“知识技能”的增长率为:‎610-200‎‎200‎×100%=205%,‎ ‎“资金”的增长率为:‎20863-10000‎‎10000‎≈109%,‎ 由此可知,“知识技能”领域交易额较小,当增长率最高,达到200%以上,其发展速度惊人.‎ 第23页(共23页)‎ ‎(3)画树状图为:‎ 共有12种等可能的结果数,其中抽到“共享出行”和“共享知识”的结果数为2,‎ 所以抽到“共享出行”和“共享知识”的概率=‎2‎‎12‎=‎1‎‎6‎.‎ ‎21.解:(1)∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ 在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB=AC‎2‎+BC‎2‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=2‎5‎,‎ ‎∴OA=‎1‎‎2‎AB=‎5‎,‎ ‎∵OD⊥AB,‎ ‎∴∠AOE=∠ACB=90°,‎ 又∵∠A=∠A,‎ ‎∴△AOE∽△ACB,‎ ‎∴OEBC‎=‎OAAC,即OE‎2‎‎=‎‎5‎‎4‎,‎ 解得:OE=‎5‎‎2‎;‎ ‎(2)∠CDE=2∠A,理由如下:‎ 连接OC,如图所示:‎ ‎∵OA=OC,‎ ‎∴∠1=∠A,‎ ‎∵CD是⊙O的切线,‎ ‎∴OC⊥CD,‎ 第23页(共23页)‎ ‎∴∠OCD=90°,‎ ‎∴∠2+∠CDE=90°,‎ ‎∵OD⊥AB,‎ ‎∴∠2+∠3=90°,‎ ‎∴∠3=∠CDE,‎ ‎∵∠3=∠A+∠1=2∠A,‎ ‎∴∠CDE=2∠A.‎ ‎22.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠D=∠DAE=90°,‎ 由折叠的性质得,AE=AD,∠AEF=∠D=90°,‎ ‎∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°,‎ ‎∴四边形AEFD是矩形,‎ ‎∵AE=AD,‎ ‎∴矩形AEFD是正方形;‎ ‎(2)解:NF=ND′,‎ 理由:连接HN,由折叠得,∠AD′H=∠D=90°,HF=HD=HD′,‎ ‎∵四边形AEFD是正方形,‎ 第23页(共23页)‎ ‎∴∠EFD=90°,‎ ‎∵∠AD′H=90°,‎ ‎∴∠HD′N=90°,‎ 在Rt△HNF与Rt△HND′中,‎&HN=HN‎&HF=HD'‎,‎ ‎∴Rt△HNF≌Rt△HND′,‎ ‎∴NF=ND′;‎ ‎(3)解:∵四边形AEFD是正方形,‎ ‎∴AE=EF=AD=8cm,‎ 由折叠得,AD′=AD=8cm,‎ 设NF=xcm,则ND′=xcm,‎ 在Rt△AEN中,‎ ‎∵AN2=AE2+EN2,‎ ‎∴(8+x)2=82+(8﹣x)2,‎ 解得:x=2,‎ ‎∴AN=8+x=10cm,EN=6cm,‎ ‎∴EN:AE:AN=3:4:5,‎ ‎∴△AEN是(3,4,5)型三角形;‎ ‎(4)解:图4中还有△MFN,△MD′H,△MDA是(3,4,5)型三角形,‎ ‎∵CF∥AE,‎ 第23页(共23页)‎ ‎∴△CFN∽△AEN,‎ ‎∵EN:AE:AN=3:4:5,‎ ‎∴FN:CF:CN=3:4:5,‎ ‎∴△MFN是(3,4,5)型三角形;‎ 同理,△MD′H,△MDA是(3,4,5)型三角形.‎ ‎23.解:(1)由y=0得﹣‎3‎‎9‎x2+‎2‎‎3‎‎3‎x+3‎3‎=0,‎ 解得:x1=﹣3,x2=9,‎ ‎∴B(9,0),‎ 由x=0得y=3‎3‎,‎ ‎∴C(0,3‎3‎),‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b,∴‎&9k+b=0‎‎&b=3‎‎3‎,‎ ‎∴‎&k=-‎‎3‎‎3‎‎&b=3‎‎3‎,‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣‎3‎‎3‎x+3‎3‎;‎ ‎(2)①过p作PG⊥x轴于G,‎ ‎∵A(﹣3,0),C(0,3‎3‎),‎ 第23页(共23页)‎ ‎∴OA=3.OC=3‎3‎,‎ ‎∴tan∠CAO=‎3‎,‎ ‎∴∠CAO=60°,‎ ‎∵AP=t,‎ ‎∴PG=‎3‎‎2‎t,AG=‎1‎‎2‎t,‎ ‎∴OG=3﹣‎1‎‎2‎t,‎ ‎∴P(‎1‎‎2‎t﹣3,‎3‎‎2‎t),‎ ‎∵DQ⊥x轴,BQ=2t,‎ ‎∴OQ=9﹣2t,‎ ‎∴D(9﹣2t,﹣‎4‎‎3‎‎9‎t2+‎8‎‎3‎‎3‎t),‎ ‎②过P作PH⊥QD于H,‎ 则四边形PGQH是矩形,‎ ‎∴HQ=PG,∵PQ=PD,PH⊥QD,∴DQ=2HQ=2PG,∵P(‎1‎‎2‎t﹣3,‎3‎‎2‎t),D(9﹣2t,﹣‎4‎‎3‎‎9‎t2+‎8‎‎3‎‎3‎t),‎ ‎∴﹣‎4‎‎3‎‎9‎t2+‎8‎‎3‎‎3‎t=2×‎3‎‎2‎t,‎ 解得:t1=0(舍去),t2=‎15‎‎4‎,∴当PQ=PD时,t的值是‎15‎‎4‎;‎ ‎(3)∵点F为PD的中点,‎ ‎∴F的横坐标为:‎1‎‎2‎(‎1‎‎2‎t﹣3+9﹣2t)=﹣‎3‎‎4‎t+3,F的纵坐标为‎1‎‎2‎(‎3‎‎2‎t﹣‎4‎‎3‎‎9‎t2+‎8‎‎3‎‎3‎t)=﹣‎2‎‎3‎‎9‎t2+‎19‎‎12‎‎3‎t,‎ 第23页(共23页)‎ ‎∴F(﹣‎3‎‎4‎t+3,﹣‎2‎‎3‎‎9‎t2+‎19‎‎12‎‎3‎t),‎ ‎∵点F在直线BC上,‎ ‎∴﹣‎2‎‎3‎‎9‎t2+‎19‎‎12‎‎3‎t=﹣‎3‎‎3‎(﹣‎3‎‎4‎t+3)+3‎3‎,‎ ‎∴t=3,‎ ‎∴F(‎3‎‎4‎,‎11‎‎3‎‎4‎).‎ 第23页(共23页)‎
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