中考数学压轴题四旋转问题

中考数学压轴题四旋转问题

旋转问题 考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。‎ 旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。‎ 一、 直线的旋转 C A B N M ‎（第1题）‎ ‎1、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．‎ ‎（1）求x的取值范围；‎ ‎（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；‎ ‎（3）探究：△ABC的最大面积？‎ ‎2、（2009年河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.‎ ‎(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；‎ ‎ ②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；‎ ‎(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．‎ ‎3、（2009年北京市）‎ 在中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)‎ ‎（1）在图1中画图探究：‎ ‎①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；‎ ‎②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.‎ ‎（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.‎ 分析：此题是综合开放题-------已知条件、问题结论、解题依据、解题方法这四个要素中缺少两个或两个以上，条件需要补充，结论需要探究，解题方法、思考方向有待搜寻。‎ ‎ 解决此类问题，一般要经过观察、实验、分析、比较、类比、归纳、推断等探究活动来寻找解题途径。可从简单、特殊的情况入手，由此获得启发和感悟，进而找到解决问题的正确途径，是我们研究数学问题，进行猜想和证明的思维方法。华罗庚说：善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，这是学好数学的一个诀窍。‎ 提示：（1）运用三角形全等，‎ ‎ （2）按CP=CE=4将x取值分为两段分类讨论；发现并利用好EC、EF相等且垂直。‎ ‎4、（2009 黑龙江大兴安岭）‎ 已知：在中，，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结．过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、．‎ ‎（1）如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论（不需证明）．‎ 图2‎ 图3‎ 图1‎ ‎(N)‎ ‎（2）当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．‎ 一、 角的旋转 ‎5、（2009年中山）（1）如图1，圆心接中，，、为的半径，于点，于点求证：阴影部分四边形的面积是的面积的．‎ ‎（2）如图2，若保持角度不变，‎ 求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是的面积的．‎ ‎6、（2009襄樊市）如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．‎ ‎（1）求证：梯形是等腰梯形；‎ ‎（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；‎ ‎（3）在（2）中：‎ ‎①当动点、运动到何处时，以点、和点、、、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；‎ ‎②当取最小值时，判断的形状，并说明理由．‎ A D C B P M Q ‎60°‎ 提示:第（3）①问，两种情形----‎ ‎ PM∥AB , PM∥CD 第（3）②问， 求出y最小值为3，此时x=PC=2,点P到BC中点，PM⊥BC .‎ ‎6、（2009年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．‎ ‎（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；‎ ‎（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎6题图 y x D B C A E E O 提示：第（3）问，△PGC为等腰三角形按哪两边相等分类讨论，求出点P坐标，再求点Q坐标。‎ 一、 三角形的旋转 ‎7、（2009年邵阳市）如图，将Rt△ABC(其中∠B＝34，∠C＝90）绕A点按顺时针方向旋转到△AB‎1 C1的位置，使得点C、A、B1　在同一条直线上，那么旋转角最小等于（　　）‎ A.56 B‎.68 ‎C.124 D.180‎ ‎34‎ B1‎ C B A C1‎ ‎8、（2009年包头）如图，已知与是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为‎10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点在同一条直线上，且点与点重合，将图（1）中的绕点顺时针方向旋转到图（2）的位置，点在边上，交于点，则线段的长为 cm（保留根号）．‎ C ‎(F)‎ D 图（2）‎ ‎9、（2009河池）如图9，的顶点坐标分别为．若将绕点顺时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为 ．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ O A B C y x 图9‎ ‎10、（2009年郴州市）如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，与的和总是保持不变，那么与的和是_______度．‎ ‎11、（2009年台州市）如图，三角板中，，，．‎ C A B 三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为 　 ．‎ ‎12、（2009年凉山州）将绕点逆时针旋转到使在同一直线上，若，，则图中阴影部分面积为 cm2．‎ ‎30°‎ C B A ‎30°‎ ‎（12题）‎ ‎13、（2009年郴州市）如图6，在下面的方格图中，将ABC先向右平移四个单位得到AB‎1C1，再将AB‎1C1绕点A1逆时针旋转得到AB‎2C2，请依次作出AB‎1C1和AB‎2C2。‎ 图6‎ ‎14、(2009年达州)如图7，在△ABC中，AB＝2BC，点D、点E分别为AB、AC的中点，连结DE，将△ADE绕点E旋转180得到△CFE.试判断四边形BCFD的形状，并说明理由.‎ ‎15、（2009襄樊市）如图所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接 ‎ ‎ （1）求证：四边形是菱形；‎ ‎ （2）连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？‎ A D F C E G B A D G E C B ‎16、（2009年株洲市）如图，在中，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到．‎ ‎（1）线段的长是 ，‎ 的度数是 ；‎ ‎（2）连结，求证：四边形是平行四边形；‎ ‎（3）求四边形的面积．‎ ‎17、（2009烟台市）如图，直角梯形ABCD中，，，且，过点D作，交的平分线于点E，连接BE．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）将绕点C，顺时针旋转得到，连接EG.．求证：CD垂直平分EG.‎ ‎（3）延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点．即．‎ ‎18、（2009年山西省）‎ A D B E C F A D B E C F 在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点．‎ ‎（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；‎ ‎（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的情况下，求的长．‎ 提示：（1）考查三角形旋转过程中的不变量再导出图形各线段间的各种关系；‎ ‎ （2）在特殊条件下，‎ 得到线段间的特殊关系。‎ A E C F B D 图1‎ 图3‎ A D F E C B A D B C E 图2‎ F ‎19、（2009年牡丹江）‎ 已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于 时（如图1），易证 当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．‎ 分析：此类题的特点是-----提供问题的一个特殊的情况（给出命题的题设、结论），让你探索使结论成立的证明过程，然后通过运动变换,使题设条件改变，图形随之发生变化产生新的问题情景，再去探究新情景中原来的结论是否成立，还是又有新的关系。‎ ‎ 解题方法思路一般是----先探究特殊情景下的解题方法，再内化感悟、类比、猜想与探究。（针对特殊情景解题方法需添加什么辅助线，用到什么定理，是什么方法思想，能否直接模仿，还是要创新）‎ 提示：图2、图3按退还到图1位置作辅助线，证明方法思路一样。‎ ‎20、（2009年常德市）‎ 图9 图10 图11‎ 图8‎ 如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．‎ ‎（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；‎ ‎（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．‎ 提示：（1）抓住不变量易解，‎ ‎ （2）能证得△ADC 与 △AEB是直角三角形，再用勾股定理和相似三角形的性质求解。‎ F B A D C E G 图②‎ ‎21、（2009东营）‎F B A D C E G 图①‎ 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．‎ ‎（1）求证：EG=CG；‎ ‎（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ‎ ‎（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）‎ 提示：考查三角形的中线、三角形全等、矩形的性质等。（2）作适当辅助线，构造全等三角形。也可连接GA,得GC=GA,过点G作AB的垂线，证GE=GA.‎ D F B A C E 图③‎ ‎22、（2009年甘肃庆阳）（8分）如图14，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB斜边OB在y轴上，且OB＝4．‎ ‎（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的三角形；‎ D O B A x y C y=kx+1‎ 图（9）-1‎ ‎（2）求线段OB在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后OB与点B轨迹所围成的封闭图形的面积）．‎ 图22‎ ‎23、（2009年广西梧州）如图（9）-1，抛物线经过A（，0），C（3，）两点，与轴交于点D，与轴交于另一点B．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若直线将四边形ABCD面积二等分，求的值；‎ E F M N G O B A x y 图（9）-2‎ Q ‎（3）如图（9）-2，过点E（1，1）作EF⊥轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，作MG⊥轴于点G，若线段MG︰AG＝1︰2，求点M，N的坐标．‎ 提示：第（3）问类似09武汉中考压轴题，利用好中心对称的性质-----对应边平行且相等。‎ 一、 四边形的旋转 ‎24、（2009年山东青岛市）如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．‎ A D C B E ‎25、（2009呼和浩特）如图所示，正方形的边在正方形的边上，连接．‎ ‎（1）求证：．‎ E F G D A B C ‎（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．‎ ‎26、（2009年济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.‎ ‎（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；‎ ‎（2）旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数；‎ O A B C M N ‎（3）设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.‎ 提示：延长BA交y轴于点E。第（3）问，‎ 证明△OAE≌△OCN , △OMN≌△OME,‎ 得MN=AM+CN.‎ ‎27、（2009年宁波市）‎ ‎（Q）‎ B A O x P ‎（图2）‎ y Q C B A O x P ‎（图1）‎ y C B A O y x ‎（备用图）‎ ‎（第27题）‎ 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q．‎ ‎（1）四边形OABC的形状是 ，‎ 当时，的值是 ；‎ ‎（2）①如图1，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；‎ ‎②如图，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积．‎ ‎（3）在四边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 提示:第（3）问，过点Q作QH⊥OA＇于H，连接OQ，则QH=OC＇=OC,易证PQ=OP,‎ 设BP=x，BQ=2x；按旋转时点P在点B左、右两种情况分类讨论。‎ ‎28、（2009年湖北荆州）‎ x y O Ｍ Ｈ Ｇ Ｆ Ｅ Ｄ Ｃ Ｂ A 图①‎ Ｈ Ｇ Ｆ Ｅ Ｄ Ｃ Ｂ A 图②‎ x y O Ｑ Ｐ 如图①，已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形（菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2︰1），∠BAD＝120°，对角线均在坐标轴上，抛物线经过AD的中点M．‎ ‎⑴填空：Ａ点坐标为 ，D点坐标为 ；‎ ‎⑵操作：如图②，固定菱形ABCD，将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转度角，并延长 OE交AD于P，延长OH交CD于Q．‎ 探究1：在旋转的过程中是否存在某一角度，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出的值；若不存在，说明理由；‎ 探究2：设AP＝，四边形OPDQ的面积为，求与之间的函数关系式，并指出的取值范围．‎ 一、 抛物线的旋转 ‎29、(2009年宁德市)如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．‎ ‎（1）求P点坐标及a的值；‎ ‎（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；‎ ‎（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．‎ y x A O B P M 图1‎ C1‎ C2‎ C3‎ 图（1）‎ y x A O B P N 图2‎ C1‎ C4‎ Q E F 图（2）‎ ‎30、（2009年四川凉山州）如图，已知抛物线经过，两点，顶点为．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）将绕点顺时针旋转90°后，点落到点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；‎ y x B A O D ‎（第30题）‎ ‎（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标．‎