湖州市2015年中考数学卷

湖州市2015年中考数学卷

浙江省湖州市 2015 年中考数学试卷 一、选择题(本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分) 1.−5 的绝对值是( ) A. −5 B. 5 C. − D. 【答案】B. 考点：绝对值的意义. 2.当 x=1 时，代数式 4−3x 的值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A. 【解析】 试题分析：把 x=1 代入代数式 4−3x 即可得原式=4-3=1.故答案选 A. 考点：代数式求值. 3.4 的算术平方根是( ) A. ±2 B. 2 C. −2 D. 【答案】B. 【解析】 试题分析：因 ，根据算术平方根的定义即可得 4 的算术平方根是 2.故答案选 B. 考点：算术平方根的定义. 4.若一个圆锥的侧面展开图是半径为 18cm，圆心角为 240°的扇形，则这个圆锥的底面半径 长是( ) A. 6cm B. 9cm C. 12cm D. 18cm 【答案】C. 考点：弧长公式；圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长. 5.已知一组数据的方差是 3，则这组数据的标准差是( ) A. 9 B. 3 C. D. 【答案】D. 【解析】 试题分析：根据标准差的平方就是方差可得这组数据的标准差是 .故答案选 D. 考点：标准差的定义. 6.如图，已知在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高线，BE 平分∠ABC，交 CD 于点 E，BC=5， DE=2，则△BCE 的面积等于( ) A. 10 B. 7 C. 5 D. 4 【答案】C. 考点：角平分线的性质；三角形的面积公式. 7.一个布袋内只装有 1 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后 放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D. 【解析】 试题分析：列表如下 黑 白 1 白 2 黑 （黑，黑） （白 1，黑） （白 2，黑） 白 1 （黑，白 1） （白 1，白 1） （白 2，白 1） 白 2 （黑，白 2） （白 1，白 2） （白 2，白 2） 由表格可知，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球所以的结果有 9 种，两次摸出 的球都是黑球的结果有 1 种，所以两次摸出的球都是黑球的概率是 .故答案选 D. 考点：用列表法求概率. 8.如图，以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C，OA 交小圆于点 D，若 OD=2， tan∠OAB= ，则 AB 的长是( ) A. 4 B. 2 C. 8 D. 4 【答案】C. 考点：切线的性质定理；锐角三角函数；垂径定理. 9.如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，⊙O 是△ABC 的内切圆，现将矩形 ABCD 按如图所示 的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG，点 F，G 分别在 AD，BC 上，连结 OG，DG， 若 OG⊥DG，且☉O 的半径长为 1，则下列结论不成立的是( ) A. CD+DF=4 B. CD−DF=2 −3 C. BC+AB=2 +4 D. BC−AB=2 【答案】A. 【解析】 试题分析：如图，设⊙O 与 BC 的切点为 M,连接 MO 并延长 MO 交 AD 于点 N,利用“AAS” 易证△OMG≌△GCD,所以 OM=GC=1, CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.又因 AB=CD,所以可得 BC−AB=2.设AB=a，BC=b,AC=c, ⊙O 的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r= （a+b-c）， 所以 c=a+b-2. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理可得 ，整理得 2ab-4a-4b+4=0，又因 BC−AB=2 即 b=2+a，代入可得 2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0，解得 ，所以 ，即可得 BC+AB=2 +4. 再 设 DF=x，在 Rt△ONF 中,FN= ，OF=x，ON= ,由勾股定理可得 ，解得 ，所以 CD−DF= ， CD+DF= .综上只有选项 A 错误，故答案选 A. 考点：矩形的性质；直角三角形内切圆的半径与三边的关系；折叠的性质；勾股定理； 10.如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，点 A 是函数 y= (x<0)图象上一 点，AO 的延长线交函数 y= (x>0，k 是不等于 0 的常数)的 图象于点 C，点 A 关于 y 轴的对称点为 A′，点 C 关于 x 轴的对 称点为 C′，连接 CC′，交 x 轴于点 B，连结 AB，AA′，A′C′，若 △ABC 的面积等于 6，则由线段 AC，CC′，C′A′，A′A 所围成的 图形的面积等于( ) A. 8 B. 10 C. 3 D. 4 【答案】B. 【解析】 试题分析：如图，连接 O A′,由点 A 和点 A′关于 y 轴的对称可得∠AOM=∠A′OM，又因 ∠AOM+∠BOC=90°, ∠A′OM +∠A′OB=90°,根据等角的余角相等可得∠BOC= A′OB；又因点 C 与点 C′关于 x 轴的对称，所以点 A、A′、C′三点在同一直线上.设点 A 的坐标为（m， ）， 直线 AC 经过点 A，可求的直线 AC 的表达式为 .直线 AC 与函数 y= 一个交点为 点 C,则可求得点 C 的坐标当 k＜0 时为（mk， ），当 k＞0 时为（-mk， ）,根据△ABC 的面积等于 6 可得 ，解得 .或 ，解得 ，所以 y= .根据反比例函 数比例系数 k 的几何意义和轴对称的性质可得△AO A′的面积为 1，△CO C′的面积为 9，所 以线段 AC，CC′，C′A′，A′A 所围成的图形的面积等于△AO A′的面积+△CO C′的面积，即线 段 AC，CC′，C′A′，A′A 所围成的图形的面积等于 10，故答案选 B. 考点：反比例函数与一次函数的综合题；反比例函数与一次函数的交点坐标；反比例函数比 例系数 k 的几何意义和轴对称的性质. 二、填空题(本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分) 11.计算：23×( )2=_______________________________ 【答案】2. 考点：有理数的运算. 12.放学后，小明骑车回家，他经过的路程 s(千米)与所用时间 t(分钟)的函数关系如图所示， 则小明的骑车速度是_________________________千米/分钟. 【答案】0.2 千米/分钟. 【解析】 试题分析：由图象可得，小明 10 分钟走了 2 千米路程，根据速度等于路程除以时间即可计 算出小明的骑车速度. 考点：函数图象. 12.在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中，10 位评委给某校的评分情况如下 表所示： 评分(分) 80 85 90 95 评委人数 1 2 5 2 则这 10 位评委评分的平均数是_________________________分 【答案】89. 考点：平均数的计算方法. 14.如图，已知 C，D 是以 AB 为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，半径 OA=2，∠COD=120°， 则图中阴影部分的面积等于_____________________. 【答案】 . 【解析】 试题分析：由题意可知，∠AOC+∠BOD=180°—120°=60°，图中阴影部分的面积等于 . 考点：扇形的面积公式. 15.如图，已知抛物线 C1：y=a1x2+b1x+c1 和 C2：y=a2x2+b2x+c2 都经过原点，顶点分别为 A，B， 与 x 轴的另一个交点分别为 M、N，如果点 A 与点 B，点 M 与点 N 都关于原点 O 成中心对 称，则抛物线 C1 和 C2 为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线 C1 和 C2，使四边形 ANBM 恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是_______________________和 _________________________ 【答案】 , (答案不唯一，只要符合条件即可). 【解析】 试题分析：因点 A 与点 B，点 M 与点 N 都关于原点 O 成中心对称，所以把抛物线 C2 看成 抛物线 C1 以点 O 为旋转中心旋转 180°得到的，由此即可知 a1，a2 互为相反数，抛物线 C1 和 C2 的对称轴直线关于 y 轴对称，由此可得出 b1=b2. 抛物线 C1 和 C2 都经过原点，可得 c1=c2， 设点 A(m，n)，由题意可知 B（-m，-n），由勾股定理可得 .由图象可知 MN=︱4m︱，又因四边形 ANBM 是矩形，所以 AB=MN,即 ，解得 ，设抛物线的表达式为 ，任意确定 m 的一个值， 根据 确定 n 的值，抛物线过原点代入即可求得表达式，然后在确定另一个表达式 即可.l 例如，当 m=1 时，n= ，抛物线的表达式为 ，把 x=0，y=0 代入 解得 a= ，即 ，所以另一条抛物线的表达式为 . 考点：旋转、矩形、二次函数综合题. 16.已知正方形 ABC1D1 的边长为 1，延长 C1D1 到 A1，以 A1C1 为边向右作正方形 A1C1C2D2， 延长 C2D2 到 A2，以 A2C2 为边向右作正方形 A2C2C3D3(如图所示)，以此类推…，若 A1C1=2， 且 点 A ， D2 ， D3 ， … ， D10 都 在 同 一 直 线 上 ， 则 正 方 形 A9C9C10D10 的 边 长 是 __________________________ 【答案】 . 考点：正方形的性质；相似三角形的判定及性质；规律探究题. 三、简答题(本题有 8 小题，共 66 分) 17.(6 分)计算： 【答案】a+b. 考点：分式的运算. 18. (6 分)解不等式组 【答案】 . 【解析】 试题分析：分别求出这两个不等式的解集，这两个不等式的解集的公共部分即为不等式组的 解集. 试题解析： 解不等式（1）得，x＜6， 解不等式（2）得，x＞1 ∴不等式组的解集是 . 考点：一元一次不等式组的解法. 19. (6 分)已知 y 是 x 的一次函数，当 x=3 时，y=1；当 x=−2 时，y=−4，求这个一次函数的解 析式. 【答案】y=x—2. 考点：用待定系数法求函数解析式. 20.(8 分)如图，已知 BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点 C，AB 交⊙O 于点 D，E 为 AC 的中 点，连结 DE. (1)若 AD=DB，OC=5，求切线 AC 的长. (2)求证：ED 是⊙O 的切线. 【答案】（1）AC=10；（2）详见解析. 试题解析： （1）连接 CD, ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BDC=90°,即 CD⊥AB, ∵AD=DB ∴AC=BC=2OC=10. (2)连接 OD, ∵∠ADC=90°,E 为 AC 的中点， ∴DE=EC= AC, ∴∠1=∠2, ∵OD=OC, ∠3=∠4, ∵AC 切⊙O 于点 C，∴AC⊥OC. ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即 DE⊥OD, ∴DE 是⊙O 的切线. 考点：圆周角定理的推论；切线的性质定理；切线的判定定理. 21.(8 分)为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、 “音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机 调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表(不完整)： 某校被调查学生选择社团意向统计表 选择意向 文学鉴赏 科学实验 音乐舞蹈 手工编织 其他 所占百分比 a 35% b 10% c 根据统计图表中的信息，解答下列问题： (1)求本次调查的学生总人数及 a，b，c 的值. (2)将条形统计图补充完整(温馨提示：请画在答题卷相对应的图上). (3)若该校共有 1200 名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数. 【答案】（1）200 人，a=30%，b=20%，c=5%；（2）图见解析；（3）420 人. (2)补全统计图如图所示； （3）全校选择“科学实验”社团的学生人数约为 1200×35%=420(人). 考点：条形统计图；用样本估计总体. 22.(10 分)某工厂计划在规定时间内生产 24000 个零件，若每天比原计划多生产 30 个零件， 则在规定时间内可以多生产 300 个零件. (1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数. (2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进 5 组机器 人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比 20 个 工人原计划每天生产的零件总数还多 20%，按此测算，恰好提前两天完成 24000 个零件的 生产任务，求原计划安排的工人人数. 【答案】(1) 原计划每天生产零件 2400 个，规定的天数是 10 天；(2)原计划安排的工人人数 为 480 人. 【解析】 试题分析：（1）设原计划每天生产零件 x 个，根据相等关系“原计划生产 24000 个零件所用 时间=实际生产（24000+300）个零件所用的时间”可列方程 ，解出 x 即为原计划每天生产的零件个数，再代入 即可求得规定天数；（2）设原计划安排的 工人人数为 y 人，根据“（5 组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生产的零 件个数）×（规定天数-2）=零件总数 24000 个”可列方程[5×20×（1+20%）× +2400] ×(10-2)=24000，解得 y 的值即为原计划安排的工人人数. 试题解析：(1)解：设原计划每天生产零件 x 个，由题意得， ， 解得 x=2400， 经检验，x=2400 是原方程的根，且符合题意. ∴规定的天数为 24000÷2400=10（天）. 答：原计划每天生产零件 2400 个，规定的天数是 10 天. 考点：分式方程的应用. 23 (10 分)问题背景：已知在△ABC 中，AB 边上的动点 D 由 A 向 B 运动(与 A，B 不重合)， 点 E 与点 D 同时出发，由点 C 沿 BC 的延长线方向运动(E 不与 C 重合)，连结 DE 交 AC 于 点 F，点 H 是线段 AF 上一点 (1)初步尝试：如图 1，若△ABC 是等边三角形，DH⊥AC，且点 D，E 的运动速度相等，求 证：HF=AH+CF 小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题： 思路一：过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G，先证 GH=AH，再证 GF=CF，从而证得结论成 立. 思路二：过点 E 作 EM⊥AC，交 AC 的延长线于点 M，先证 CM=AH，再证 HF=MF，从而 证得结论成立. 请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评 分) (2)类比探究：如图 2，若在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点 D，E 的运 动速度之比是 ：1，求 的值. (3)延伸拓展：如图 3，若在△ABC 中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记 =m，且点 D、 E 的运动速度相等，试用含 m 的代数式表示 (直接写出结果，不必写解答过程). 【答案】（1）详见解析；（2） =2 ；(3) . 【解析】 试题分析：（1）（选择思路一）：过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G，如图 1，易证△ADG 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得 GD=AD=CE，GH=AH,再由平行线的性质可得 ∠GDF=∠CEF, ∠DGF=∠ECF,又因 GD=AD=CE,根据“ASA”可证△GDF≌△CEF，由全等三 角形的对应边相等可得 GF=CF，所以 GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF. （选择思路二）： 过点 E 作 EM⊥AC，交 AC 的延长线于点 M，如图 1，先证△ADH≌△CEM，由全等三角形 的对应边相等可得 AH=CM,DH=EM, 又因∠DHF=∠EMF=90°, ∠DFH=∠EFM,所以 △DFH≌△EFM,即可得 HF=MF=CM+CF=AH+CF.（2）)过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G， 如图 2, 可证 AD= GD, 由题意可知，AD= CE,所以 GD=CE,再证△GDF≌△CEF，由 全等三角形的对应边相等可得 GF=CF,所以 GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF,即可得 =2. （3）过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G，如图 3,可得 AD=AG,DH=DG,AD=EC,所以 ，又因 DG∥BC，可得 ，所以 由比例的性质可得 ，即 ,所以 . 试题解析：(1)证明：方法一（选择思路一）， 过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G，如图 1， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ADG=∠B=60°, ∠A=60°, ∴△ADG 是等边三角形， ∴GD=AD=CE, ∵DH⊥AC,GH=AH, ∵DG∥BC, ∴∠GDF=∠CEF, ∠DGF=∠ECF, ∴△GDF≌△CEF, ∴GF=CF, ∴GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF. (2)过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G，如图 2, 则∠ADG=∠B=90°, ∵∠BAC=∠ADH=30°, ∴∠HGD=∠HDG=60°, ∴AH=GH=GD,AD= GD, 由题意可知，AD= CE, ∴GD=CE, ∵DG∥BC, ∴∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF, ∴△GDF≌△CEF, ∴GF=CF, ∴GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF, ∴ =2. (3) . 考点：等边三角形的判定及性质；全等三角形的判定及性质；平行线的性质；比例的性质. 24.面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，线段 AB 的两个端点 A(0，2)，B(1，0)分别在 y 轴 和 x 轴的正半轴上，点 C 为线段 AB 的中点，现将线段 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 90°得 到线段 BD，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 D. (1)如图 1，若该抛物线经过原点 O，且 a= . ①求点 D 的坐标及该抛物线的解析式. ②连结 CD，问：在抛物线上是否存在点 P，使得∠POB 与∠BCD 互余？若存在，请求出 所有满足条件的点 P 的坐标，若不存在，请说明理由. (2)如图 2，若该抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 E(1，1)，点 Q 在抛物线上，且满足∠QOB 与∠BCD 互余，若符合条件的 Q 点的个数是 4 个，请直接写出 a 的取值范围. 【答案】(1) ①D（3，1）， ；②在抛物线上存在点 , 使得∠POB 与∠BCD 互余.（2）a 的取值范围是 . 【解析】 试题分析：(1) ①过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F,可证△AOB≌△BFD，即可求得 D 点的坐标， 把 a= ，点 D 的坐标代入抛物线即可求抛物线的解析式. ②由 C、D 两点的纵坐标都为 1 可知 CD∥x 轴，所以∠BCD=∠ABO,又因∠BAO 与∠BCD 互余，若要使得∠POB 与∠BCD 互余，则需满足∠POB=∠BAO, 设点 P 的坐标为（x， ）.分两种情况：第一种 情况，当点 P 在 x 轴上方时，过点 P 作 PG⊥x 轴于点 G,由 tan∠POB=tan∠BAO= 可得 ，解得 x 的值后代入 求得 的值即可得点 P 的坐标. 第一种情况，当点 P 在 x 轴下 方时，利用同样的方法可求点 P 的坐标.（2）抛物线 y=ax2+bx+c 过点 E、D，代入可得 ，解得 ，所以 ，分两种情况： ①当抛物线 y=ax2+bx+c 开口向下时，满足∠QOB 与∠BCD 互余且符合条件的 Q 点的个数 是 4 个，点 Q 在 x 轴的上、下方各有两个，点 Q 在 x 轴的上方时，直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点必须在 x 轴的正半轴上，与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴，所以 3a+1＜0，解得 a＜ ，当 a＜ 符合条件的点 Q 有两个, 点 Q 在 x 轴的上方时，直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点，符合条件的点 Q 有两个.所以当 a ＜ ，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 E(1，1)，点 Q 在抛物线上，且满足∠QOB 与∠BCD 互余，若符合条件的 Q 点的个数是 4 个；②当抛物线 y=ax2+bx+c 开口向上时，满足∠QOB 与∠BCD 互余且符合条件的 Q 点的个数是 4 个，点 Q 在 x 轴的上、下方各有两个，当点 Q 在 x 轴的上方时，直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点，符合条件的点 Q 有两个. 当 点 Q 在 x 轴的下方时，直线 OQ 必须与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点，符合条件的点 Q 才 有两个.由题意可求的直线 OQ 的解析式为 ，直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 由两个 交点，所以 ，方程有两个不相等的实数根所以 △= ，即 ，画出二次函数 图 象并观察可得 的解集为 或 （不合题意舍去）， 所以当 ，在 x 轴的下方符合条件的点 Q 有两个.所以当 ，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 E(1，1)，点 Q 在抛物线上，且满足∠QOB 与∠BCD 互余，若符合 条件的 Q 点的个数是 4 个. 综上，当 a＜ 或 时，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 E(1，1)，点 Q 在抛物 线上，且满足∠QOB 与∠BCD 互余，符合条件的 Q 点的个数是 4 个. 试题解析：解：(1) ①过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F,如图所示. ∵∠DBF+∠ABO=90°, ∠BAO+∠ABO=90°, ∴∠DBF=∠BAO, 又∵∠AOB=∠BFD=90°,AB=BD, ∴△AOB≌△BFD, ∴DF=BO=1,BF=AO=2, ∴D 点的坐标是（3，1）， 根据题意得， ， ∴ ，∴该抛物线的解析式为 . （Ⅰ）当点 P 在 x 轴的上方时，过点 P 作 PG⊥x 轴于点 G, 则 tan∠POB=tan∠BAO，即 , ∴ ，解得 ， ∴ ， ∴点 P 的坐标是 . (2)a 的取值范围是 . 考点：二次函数综合题.