连云港市2015年中考数学卷

连云港市2015年中考数学卷

‎2015年江苏省连云港市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共24分）‎ ．（3分）（2015•衢州）﹣3的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎﹣3‎ C．‎ D．‎ ‎﹣‎ 考点：‎ 相反数．12999数学网 专题：‎ 常规题型．‎ 分析：‎ 根据相反数的概念解答即可．‎ 解答：‎ 解：﹣3的相反数是3，‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．‎ ‎　‎ ．（3分）（2015•连云港）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2a+3b=5ab B．‎ ‎5a﹣2a=3a C．‎ a2•a3=a6‎ D．‎ ‎（a+b）2=a2+b2‎ 考点：‎ 同底数幂的乘法；合并同类项；完全平方公式．12999数学网 分析：‎ 根据同类项、同底数幂的乘法和完全平方公式计算即可．‎ 解答：‎ 解：A、2a与3b不能合并，错误；‎ B．5a﹣2a=3a，正确；‎ C．a2•a3=a5，错误；‎ D．（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查同类项、同底数幂的乘法和完全平方公式，关键是根据法则进行计算．‎ ‎　‎ ．（3分）（2015•连云港）2014年连云港高票当选全国“十大幸福城市”，在江苏十三个省辖市中居第一位，居民人均可支配收入约18000元，其中“18000”用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0.18×105‎ B．‎ ‎1.8×103‎ C．‎ ‎1.8×104‎ D．‎ ‎18×103‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．12999数学网 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将18000用科学记数法表示为1.8×104．‎ 故选C．‎ ‎2015年江苏省连云港市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共24分）‎ ．（3分）（2015•衢州）﹣3的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎﹣3‎ C．‎ D．‎ ‎﹣‎ 考点：‎ 相反数．12999数学网 专题：‎ 常规题型．‎ 分析：‎ 根据相反数的概念解答即可．‎ 解答：‎ 解：﹣3的相反数是3，‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．‎ ‎　‎ ．（3分）（2015•连云港）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2a+3b=5ab B．‎ ‎5a﹣2a=3a C．‎ a2•a3=a6‎ D．‎ ‎（a+b）2=a2+b2‎ 考点：‎ 同底数幂的乘法；合并同类项；完全平方公式．12999数学网 分析：‎ 根据同类项、同底数幂的乘法和完全平方公式计算即可．‎ 解答：‎ 解：A、2a与3b不能合并，错误；‎ B．5a﹣2a=3a，正确；‎ C．a2•a3=a5，错误；‎ D．（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查同类项、同底数幂的乘法和完全平方公式，关键是根据法则进行计算．‎ ‎　‎ ．（3分）（2015•连云港）2014年连云港高票当选全国“十大幸福城市”，在江苏十三个省辖市中居第一位，居民人均可支配收入约18000元，其中“18000”用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0.18×105‎ B．‎ ‎1.8×103‎ C．‎ ‎1.8×104‎ D．‎ ‎18×103‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．12999数学网 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将18000用科学记数法表示为1.8×104．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ．（3分）（2015•连云港）某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩及其方差s2如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（　　）‎ 甲 乙 丙 丁 ‎8‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎8‎ s2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1.2‎ ‎1.3‎ ‎　‎ A．‎ 甲 B．‎ 乙 C．‎ 丙 D．‎ 丁 考点：‎ 方差；算术平均数．12999数学网 分析：‎ 从平均成绩分析乙和丙要比甲和丁好，从方差分析甲和乙的成绩比丙和丁稳定，综合两个方面可选出乙．‎ 解答：‎ 解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳定，‎ 因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，因选择乙，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．‎ ‎　‎ ．（3分）（2015•连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形 ‎　‎ B．‎ 当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形 ‎　‎ C．‎ 当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形 ‎　‎ D．‎ 当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形 考点：‎ 平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．12999数学网 分析：‎ 由平行四边形的判定方法得出A不正确、B正确；由矩形和正方形的判定方法得出C、D不正确．‎ 解答：‎ 解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，‎ ‎∴A不正确；‎ ‎∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，‎ ‎∴B正确；‎ ‎∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，‎ ‎∴C不正确；‎ ‎∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，‎ ‎∴D不正确；‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ．（3分）（2015•连云港）已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ k＜‎ B．‎ k＞‎ C．‎ k＜且k≠0‎ D．‎ k＞且k≠0‎ 考点：‎ 根的判别式．12999数学网 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可求出k的范围．‎ 解答：‎ 解：∵方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=4﹣12k＞0，‎ 解得：k＜．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ．（3分）（2015•连云港）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣12‎ B．‎ ‎﹣27‎ C．‎ ‎﹣32‎ D．‎ ‎﹣36‎ 考点：‎ 菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．12999数学网 分析：‎ 根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可．‎ 解答：‎ 解：∵C（﹣3，4），‎ ‎∴OC==5，‎ ‎∴CB=OC=5，‎ 则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，‎ 故B的坐标为：（﹣8，4），‎ 将点B的坐标代入y=得，4=，‎ 解得：k=﹣32．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．‎ ‎　‎ ．（3分）（2015•连云港）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 第24天的销售量为200件 ‎　‎ B．‎ 第10天销售一件产品的利润是15元 ‎　‎ C．‎ 第12天与第30天这两天的日销售利润相等 ‎　‎ D．‎ 第30天的日销售利润是750元 考点：‎ 一次函数的应用．12999数学网 分析：‎ 根据函数图象分别求出设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=﹣x+25，当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=，根据日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．‎ 解答：‎ 解：A、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确；‎ B．设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=kx+b，‎ 把（0，25），（20，5）代入得：，‎ 解得：，‎ ‎∴z=﹣x+25，‎ 当x=10时，y=﹣10+25=15，‎ 故正确；‎ C．当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=k1t+b1，‎ 把（0，100），（24，200）代入得：，‎ 解得：，‎ ‎∴y=，‎ 当t=12时，y=150，z=﹣12+25=13，‎ ‎∴第12天的日销售利润为；150×13=1950（元），第30天的日销售利润为；150×5=750（元），‎ ‎750≠1950，故C错误；‎ D．第30天的日销售利润为；150×5=750（元），故正确．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ．（3分）（2015•连云港）在数轴上，表示﹣2的点与原点的距离是　2　．‎ 考点：‎ 数轴．12999数学网 分析：‎ 在数轴上，表示﹣2的点与原点的距离即是﹣2的绝对值，是2．‎ 解答：‎ 解：﹣2与原点的距离为：|﹣2|=2．‎ 点评：‎ 注意：距离是一个非负数，求一个数对应的点到原点的距离就是求这个数的绝对值．‎ ‎　‎ ．（3分）（2015•连云港）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≠3　．‎ 考点：‎ 分式有意义的条件．12999数学网 分析：‎ 根据分母不等于0进行解答即可．‎ 解答：‎ 解：要使代数式在实数范围内有意义，‎ 可得：x﹣3≠0，‎ 解得：x≠3，‎ 故答案为：x≠3‎ 点评：‎ 此题考查分式有意义，关键是分母不等于0．‎ ‎　‎ ．（3分）（2015•连云港）已知m+n=mn，则（m﹣1）（n﹣1）=　1　．‎ 考点：‎ 整式的混合运算—化简求值．12999数学网 分析：‎ 先根据多项式乘以多项式的运算法则去掉括号，然后整体代值计算．‎ 解答：‎ 解：（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1，‎ ‎∵m+n=mn，‎ ‎∴（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=1，‎ 故答案为1．‎ 点评：‎ 本题主要考查了整式的化简求值的知识，解答本题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则，此题难度不大．‎ ‎　‎ ．（3分）（2015•连云港）如图，一个零件的横截面是六边形，这个六边形的内角和为　720°　．‎ 考点：‎ 多边形内角与外角．12999数学网 分析：‎ 根据多边形内角和公式进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°．‎ 故答案为：720°．‎ 点评：‎ 此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）．180°（n≥3）且n为整数）．‎ ‎　‎ ．（3分）（2015•连云港）已知一个函数，当x＞0时，函数值y随着x的增大而减小，请写出这个函数关系式　y=﹣x+2　(写出一个即可）．‎ 考点：‎ 一次函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质．12999数学网 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 写出符合条件的函数关系式即可．‎ 解答：‎ 解：函数关系式为：y=﹣x+2，y=，y=﹣x2+1等；‎ 故答案为：y=﹣x+2‎ 点评：‎ 本题考查的是函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一．‎ ‎　‎ ．（3分）（2015•连云港）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为　8π　．‎ 考点：‎ 由三视图判断几何体；几何体的展开图．12999数学网 分析：‎ 根据三视图得到这个几何体为圆锥，且圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．‎ 解答：‎ 解：这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，‎ 所以这个几何体的侧面展开图的面积=×4π×4=8π．‎ 故答案为：8π．‎ 点评：‎ 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．‎ ‎　‎ ．（3分）（2015•连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是　4：3　．‎ 考点：‎ 角平分线的性质．12999数学网 分析：‎ 估计角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．‎ 解答：‎ 解：∵AD是△ABC的角平分线，‎ ‎∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，‎ ‎∴h1=h2，‎ ‎∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，‎ 故答案为4：3．‎ 点评：‎ 本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ．（3分）（2015•连云港）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为　　．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理．12999数学网 分析：‎ 过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，在Rt△ABC中运用三角函数可得=，易证△AEB∽△BFC，运用相似三角形的性质可求出FC，然后在Rt△BFC中运用勾股定理可求出BC，再在Rt△ABC中运用三角函数就可求出AC的值．‎ 解答：‎ 解：如图，过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如图．‎ ‎∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，‎ ‎∴tan∠BAC==．‎ ‎∵直线l1∥l2∥l3，‎ ‎∴EF⊥l1，EF⊥l3，‎ ‎∴∠AEB=∠BFC=90°．‎ ‎∵∠ABC=90°，‎ ‎∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC，‎ ‎∴△BFC∽△AEB，‎ ‎∴==．‎ ‎∵EB=1，∴FC=．‎ 在Rt△BFC中，‎ BC===．‎ 在Rt△ABC中，sin∠BAC==，‎ AC===．‎ 故答案为．‎ 点评：‎ 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定理、平行线的判定与性质、同角的余角相等等知识，构造K型相似是解决本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题 ．（6分）（2015•连云港）计算：+（）﹣1﹣20150．‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．12999数学网 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原式第一项利用二次根式的性质计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：原式=3+2﹣1=4．‎ 点评：‎ 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ．（6分）（2015•连云港）化简：（1+）．‎ 考点：‎ 分式的混合运算．12999数学网 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：原式=•‎ ‎=．‎ 点评：‎ 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ．（6分）（2015•连云港）解不等式组：．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组．12999数学网 分析：‎ 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．‎ 解答：‎ 解：‎ 解不等式①得：x＞2，‎ 解不等式②得：x＜3，‎ 所以不等式组的解集是2＜x＜3．‎ 点评：‎ 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ．（8分）（2015•连云港）随着我市社会经济的发展和交通状况的改善，我市的旅游业得到了高速发展，某旅游公司对我市一企业旅游年消费情况进行了问卷调查，随机抽取部分员工，记录每个人消费金额，并将调查数据适当调整，绘制成如图两幅尚不完整的表和图．‎ 组别 个人年消费金额x（元）‎ 频数（人数）‎ 频率 A x≤2000‎ ‎18‎ ‎0.15‎ B ‎2000＜x≤4000‎ a b C ‎4000＜x≤6000‎ D ‎6000＜x≤8000‎ ‎24‎ ‎0.20‎ E x＞8000‎ ‎12‎ ‎0.10‎ 合计 c ‎1.00‎ 根据以上信息回答下列问题：‎ ‎(1）a=　36　，b=　0.30　，c=　120　．并将条形统计图补充完整；‎ ‎(2）这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在　C　组；‎ ‎(3）若这个企业有3000多名员工，请你估计个人旅游年消费金额在6000元以上的人数．‎ 考点：‎ 频数（率）分布表；用样本估计总体；条形统计图；中位数．12999数学网 分析：‎ ‎（1）首先根据A组的人数和所占的百分比确定c的值，然后确定a和b的值；‎ ‎(2）根据样本容量和中位数的定义确定中位数的位置即可；‎ ‎(3）利用样本估计总体即可得到正确的答案．‎ 解答：‎ 解：（1）观察频数分布表知：A组有18人，频率为0.15，‎ ‎∴c=18÷0.15=120，‎ ‎∵a=36，‎ ‎∴b=36÷120=0.30；‎ ‎∴C组的频数为120﹣18﹣36﹣24﹣12=30，‎ 补全统计图为：‎ 故答案为：36，0.30，120；‎ ‎(2）∵共120人，‎ ‎∴中位数为第60和第61人的平均数，‎ ‎∴中位数应该落在C小组内；‎ ‎(3）个人旅游年消费金额在6000元以上的人数3000×（0.10+0.20）=900人．‎ 点评：‎ 本题考查了统计图的知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．理解平均数、中位数和众数的概念，并能根据它们的意义解决问题．‎ ‎　‎ ．（10分）（2015•连云港）九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为x，按表格要求确定奖项．‎ 奖项 一等奖 二等奖 三等奖 ‎|x|‎ ‎|x|=4‎ ‎|x|=3‎ ‎1≤|x|＜3‎ ‎（1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率；‎ ‎(2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？‎ 考点：‎ 列表法与树状图法．12999数学网 分析：‎ ‎（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲同学获得一等奖的情况，再利用概率公式即可求得答案；‎ ‎(2）由树状图可得：当两张牌都是2时，|x|=0，不会有奖．‎ 解答：‎ 解：（1）画树状图得：‎ ‎∵共有20种等可能的结果，甲同学获得一等奖的有2种情况，‎ ‎∴甲同学获得一等奖的概率为：=；‎ ‎(2）不一定，当两张牌都是2时，|x|=0，不会有奖．‎ 点评：‎ 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ．（10分）（2015•连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．‎ ‎(1）求证；∠EDB=∠EBD；‎ ‎(2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．12999数学网 分析：‎ ‎（1）由折叠和平行线的性质易证∠EDB=∠EBD；‎ ‎(2）AF∥DB；首先证明AE=EF，得出∠AFE=∠EAF，然后根据三角形内角和与等式性质可证明∠BDE=∠AFE，所以AF∥BD．‎ 解答：‎ 解：（1）由折叠可知：∠CDB=∠EDB，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴DC∥AB，‎ ‎∴∠CDB=∠EBD，‎ ‎∴∠EDB=∠EBD；‎ ‎(2）AF∥DB；‎ ‎∵∠EDB=∠EBD，‎ ‎∴DE=BE，‎ 由折叠可知：DC=DF，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴DC=AB，‎ ‎∴DF=AB，‎ ‎∴AE=EF，‎ ‎∴∠EAF=∠EFA，‎ 在△BED中，∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°，‎ ‎∴2∠EDB+∠DEB=180°，‎ 同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°，‎ ‎∵∠DEB=∠AEF，‎ ‎∴∠EDB=∠EFA，‎ ‎∴AF∥DB．‎ 点评：‎ 本题主要考查了折叠变换、平行四边形的性质、等腰三角形的性质的综合应用，运用三角形内角和定理和等式性质得出内错角相等是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ．（10分）（2015•连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．‎ ‎(1）求每张门票的原定票价；‎ ‎(2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．‎ 考点：‎ 一元二次方程的应用；分式方程的应用．12999数学网 分析：‎ ‎（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可；‎ ‎(2）设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根据题意得 ‎=，‎ 解得x=400．‎ 经检验，x=400是原方程的根．‎ 答：每张门票的原定票价为400元；‎ ‎(2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得 ‎400（1﹣y）2=324，‎ 解得：y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）．‎ 答：平均每次降价10%．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程与分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．‎ ‎　‎ ．（10分）（2015•连云港）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1．‎ ‎(1）判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2）当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；‎ ‎(3）当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．‎ 考点：‎ 圆的综合题．12999数学网 分析：‎ ‎（1）由直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于A，B两点，可求得点A与点B的坐标，继而求得∠OBA=30°，然后过点O作OH⊥AB于点H，利用三角函数可求得OH的长，继而求得答案；‎ ‎(2）当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，易得⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°﹣30°﹣30°=120°，则可求得弧长；同理可求得当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长；‎ ‎(3）首先求得当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，点D的坐标，然后利用对称性可以求得当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，点D的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）原点O在⊙P外．‎ 理由：∵直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于A，B两点，‎ ‎∴点A（2，0），点B（0，﹣2），‎ 在Rt△OAB中，tan∠OBA===，‎ ‎∴∠OBA=30°，‎ 如图1，过点O作OH⊥AB于点H，‎ 在Rt△OBH中，OH=OB•sin∠OBA=，‎ ‎∵＞1，‎ ‎∴原点O在⊙P外；‎ ‎(2）如图2，当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，‎ ‎∵PB=PC，‎ ‎∴∠PCB=∠OBA=30°，‎ ‎∴⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°﹣30°﹣30°=120°，‎ ‎∴弧长为：=；‎ 同理：当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为：；‎ ‎∴当⊙P过点B时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长为：；‎ ‎(3）如图3，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，‎ 在PD⊥x轴，‎ ‎∴PD∥y轴，‎ ‎∴∠APD=∠ABO=30°，‎ ‎∴在Rt△DAP中，AD=DP•tan∠DPA=1×tan30°=，‎ ‎∴OD=OA﹣AD=2﹣，‎ ‎∴此时点D的坐标为：（2﹣，0）；‎ 当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（2+，0）；‎ 综上可得：当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为：（2﹣，0）或（2+，0）．‎ 点评：‎ 此题属于一次函数的综合题，考查了直线上点的坐标的性质、切线的性质、弧长公式以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线，注意分类讨论思想的应用．‎ ‎　‎ ．（10分）（2015•连云港）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．‎ ‎(1）求BD•cos∠HBD的值；‎ ‎(2）若∠CBD=∠A，求AB的长．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；解直角三角形．12999数学网 分析：‎ ‎（1）首先根据DH∥AB，判断出△ABC∽△DHC，即可判断出=3；然后求出BH的值是多少，再根据在Rt△BHD中，cos∠HBD=，求出BD•cos∠HBD的值是多少即可．‎ ‎(2）首先判断出△ABC∽△BHD，推得；然后根据△ABC∽△DHC，推得，所以AB=3DH；最后根据，求出DH的值是多少，进而求出AB的值是多少即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵DH∥AB，‎ ‎∴∠BHD=∠ABC=90°，‎ ‎∴△ABC∽△DHC，‎ ‎∴=3，‎ ‎∴CH=1，BH=BC+CH，‎ 在Rt△BHD中，‎ cos∠HBD=，‎ ‎∴BD•cos∠HBD=BH=4．‎ ‎(2）∵∠CBD=∠A，∠ABC=∠BHD，‎ ‎∴△ABC∽△BHD，‎ ‎∴，‎ ‎∵△ABC∽△DHC，‎ ‎∴，‎ ‎∴AB=3DH，‎ ‎∴，‎ 解得DH=2，‎ ‎∴AB=3DH=3×2=6，‎ 即AB的长是6．‎ 点评：‎ ‎（1）此题主要考查了相似三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．‎ ‎(2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．‎ ‎　‎ ．（12分）（2015•连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．‎ ‎(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．‎ ‎(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．‎ ‎(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．‎ 考点：‎ 几何变换综合题．12999数学网 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应角相等得∠AGD=∠AEB，如图1所示，延长EB交DG于点H，利用等角的余角相等得到∠DHE=90°，利用垂直的定义即可得DG⊥BE；‎ ‎(2）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应边相等得到DG=BE，如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=90°，在直角三角形AMD中，求出AM的长，即为DM的长，根据勾股定理求出GM的长，进而确定出DG的长，即为BE的长；‎ ‎(3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△EGH的高最大；对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△BDH的高最大，即可确定出面积的最大值．‎ 解答：‎ 解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，‎ ‎∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，‎ 在△ADG和△ABE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADG≌△ABE（SAS），‎ ‎∴∠AGD=∠AEB，‎ 如图1所示，延长EB交DG于点H，‎ 在△ADG中，∠AGD+∠ADG=90°，‎ ‎∴∠AEB+∠ADG=90°，‎ 在△EDH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，‎ ‎∴∠DHE=90°，‎ 则DG⊥BE；‎ ‎(2）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，‎ ‎∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，‎ ‎∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，即∠DAG=∠BAE，‎ 在△ADG和△ABE中，‎ ‎∴△ADG≌△ABE（SAS），‎ ‎∴DG=BE，‎ 如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=90°，‎ ‎∵BD为正方形ABCD的对角线，‎ ‎∴∠MDA=45°，‎ 在Rt△AMD中，∠MDA=45°，‎ ‎∴cos45°=，‎ ‎∵AD=2，‎ ‎∴DM=AM=，‎ 在Rt△AMG中，根据勾股定理得：GM==，‎ ‎∵DG=DM+GM=+，‎ ‎∴BE=DG=+；‎ ‎(3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：‎ 对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，‎ ‎∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大；‎ 对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，‎ ‎∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大，‎ 则△GHE和△BHD面积之和的最大值为2+4=6．‎ 点评：‎ 此题属于几何变换综合题，涉及的知识有：正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ．（14分）（2015•连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．‎ ‎(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．‎ ‎(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？‎ 考点：‎ 二次函数综合题．12999数学网 分析：‎ ‎（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；‎ ‎(2）如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，然后分若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标；‎ ‎(3）设M（a，a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，首先在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=a2+1，然后根据点P与点M纵坐标相同得到x=，从而得到MN+3PM=﹣a2+3a+9，确定二次函数的最值即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，‎ ‎∴y=×（﹣2）2=1，A点的坐标为（2，﹣1），‎ 设直线的函数关系式为y=kx+b，‎ 将（0，4），（﹣2，1）代入得，‎ 解得，‎ ‎∴直线y=x+4，‎ ‎∵直线与抛物线相交，‎ ‎∴x+4=x2，‎ 解得：x=﹣2或x=8，‎ 当x=8时，y=16，‎ ‎∴点B的坐标为（8，16）；‎ ‎(2）如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，‎ ‎∴AG2+BG2=AB2，‎ ‎∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB2=325．‎ 设点C（m，0），同理可得AC2=（m+2）2+12=m2+4m+5，‎ BC2=（m﹣8）2+162=m2﹣16m+320，‎ ‎①若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2，即325+m2+4m+5=m2﹣16m+320，‎ 解得：m=﹣；‎ ‎②若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2，即325=m2+4m++=m2﹣16m+320，‎ 解得：m=0或m=6；‎ ‎③若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2，即m2+4m+5=m2﹣16m+320+325，‎ 解得：m=32；‎ ‎∴点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）‎ ‎(3）设M（a，a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，‎ 在Rt△MQN中，由勾股定理得MN==a2+1，‎ 又∵点P与点M纵坐标相同，‎ ‎∴+4=a2，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴点P的纵坐标为，‎ ‎∴MP=a﹣，‎ ‎∴MN+3PM=+1+3（a﹣）=﹣a2+3a+9，‎ ‎∴当a=﹣=6，‎ 又∵2≤6≤8，‎ ‎∴取到最小值18，‎ ‎∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18．‎ 点评：‎ 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．‎ ‎　‎