江苏省南京市中考数学试题解析版

江苏省南京市中考数学试题解析版

南京市2011年初中毕业生学业考试 数学 ‎1.的值等于（　　）‎ A.3 B.﹣3 C.±3 D.‎ 答案：A．‎ 解析过程：表示9的算术平方根，为非负数，所以=3.故选A.‎ 知识点：算术平方根.‎ 题型区分：选择题.‎ 专题区分：数与式.‎ 难度系数：★‎ 分值：2分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎2.下列运算正确的是（　　）‎ A.a2+a3=a5 B.a2•a3=a6 C.a3÷a2=a D.（a2）3=a8‎ 答案：C．‎ 解析过程：A选项中a2与a3不是同类项，不能合并， B选项中a2•a3=a2+3=a5≠a6，C选项中a3÷a2=a，D选项中（a2）3=a2×3=a6．故选C.‎ 知识点：幂的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法.‎ 题型区分：选择题.‎ 专题区分：数与式.‎ 难度系数：★‎ 分值：2分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎3.在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为800万人，其中65岁及以上人口占9.2%，则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为（　　）‎ A.0.736×106人 B.7.36×104人 C.7.36×105人 D.7.36×106人 答案：C．‎ 解析过程：800万×9.2%=8 000 000×9.2%=736 000=7.36×105．故选C.‎ 知识点：科学记数法表示较大的数.‎ 题型区分：选择题.‎ 专题区分：数与式.‎ 难度系数：★‎ 分值：2分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎4.为了了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查．下列抽取学生的方法最合适的是（　　）‎ A.随机抽取该校一个班级的学生 B.随机抽取该校一个年级的学生 C.随机抽取该校一部分男生 D.分别从该校初一、初二、初三年级中各随机抽取10%的学生 答案：D.‎ 解析过程：抽取样本应具有广泛性、代表性，且容量适当，所以应选D．‎ 知识点：全面调查与抽样调查.‎ 题型区分：选择题.‎ 专题区分：抽样与数据分析.‎ 难度系数：★‎ 分值：2分.‎ 第5题图 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎5.如图是一个三棱柱．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（　　）‎ ‎ A B C D 答案：B．‎ 解析过程：三棱柱侧面展开图应为矩形，且两底面三角形在矩形的两侧.故选B.‎ 知识点：立体图形的展开与折叠.‎ 题型区分：选择题.‎ 专题区分：图形的变化.‎ 难度系数：★‎ 分值：2分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ 第6题图 ‎6.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）‎ A. B.2+ C. D.2+‎ 答案：B.‎ 解析过程：如图，过P点作PE⊥AB于E，作PC⊥x轴于C，交AB于D，‎ 连接PA．‎ E 第6题图 E D C ‎∵AE=AB=，PA=2，‎ ‎∴PE==1.‎ 由函数y=x易得∠PDE=45º, ∠DOC=45º,‎ ‎∴PD=，DC=OC.‎ ‎∵⊙P的圆心是（2，a），‎ ‎∴DC=2.‎ ‎∴a=PD+DC=2+．故选B.‎ 知识点：一次函数；垂径定理；勾股定理；等腰直角三角形的性质．‎ 题型区分：选择题.‎ 专题区分：图形的性质.‎ 难度系数：★★‎ 分值：2分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎7.﹣2的相反数是　 　．‎ 答案：2．‎ 解析过程：﹣2的相反数是﹣（﹣2）=2．‎ 知识点：相反数.‎ 题型区分：填空题.‎ 专题区分：数与式.‎ 难度系数：★‎ 分值：2分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎8.如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD，则∠1=　 　°．‎ 答案：36．‎ 第8题图 解析过程：由题意，知∠BAE==108°.‎ ‎∴∠1==（180°﹣108°）=36°．‎ 知识点：平行线的性质；正多边形的性质.‎ 题型区分：填空题.‎ 专题区分：图形的性质.‎ 难度系数：★‎ 分值：2分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎9.计算（+1）（2﹣）=　 　．‎ 答案：．‎ 解析过程：（+1）（2﹣）=2﹣×+1×2﹣1×‎ ‎ =2﹣2+2﹣=．‎ 知识点：二次根式的混合运算.‎ 题型区分：填空题.‎ 专题区分：数与式.‎ 难度系数：★‎ 分值：2分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎10.等腰梯形的腰长为5 cm，它的周长是22 cm，则它的中位线长为　 　cm．‎ 答案：6．‎ 解析过程：因为等腰梯形的腰长为5，它的周长是22，所以等腰梯形的两底边长之和为 ‎ 22﹣5﹣5=12.所以梯形的中位线长为×12=6（cm)．‎ 知识点：梯形中位线定理；等腰梯形的性质.‎ 题型区分：填空题.‎ 专题区分：图形的性质.‎ 难度系数：★‎ 分值：2分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ 第11题图 ‎11.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于　 　．‎ 答案：．‎ 解析过程：如图，连接AB.‎ ‎∵OA=OB=AB，‎ ‎∴△OAB是等边三角形.‎ 第11题答案图 ‎∴∠AOB=60°.‎ ‎∴cos∠AOB=cos60°=．‎ 知识点：特殊角的三角函数值；等边三角形的判定与性质.‎ 题型区分：填空题.‎ 专题区分：图形的变化.‎ 难度系数：★‎ 分值：2分.‎ 第12题图 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎12. 如图，菱形ABCD的边长是2 cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为　 cm2．‎ 答案：．‎ 解析过程：∵E是AB的中点，菱形ABCD的边长是2，‎ ‎∴AE=1，‎ ‎∵DE丄AB，‎ ‎∴DE=．‎ ‎∴菱形的面积为：．‎ 知识点：菱形的性质；勾股定理.‎ 题型区分：填空题.‎ 专题区分：图形的性质.‎ 难度系数：★‎ 分值：2分.‎ 第13题图 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎13.如图，海边立有两座灯塔A,B，暗礁分布在经过A,B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°．为了避免触礁，轮船P与A,B的张角∠APB的最大值为　 　．‎ 答案：40°．‎ 解析过程：∵海边立有两座灯塔A,B，暗礁分布在经过A,B两点的弓形区域内，∠AOB=80°，‎ ‎∴当P点在优弧AB上时，轮船P与A,B的张角∠APB的最大，此时2∠APB=∠AOB=80°，即∠APB=40°．‎ 知识点：圆周角定理.‎ 题型区分：填空题.‎ 专题区分：图形的性质.‎ 难度系数：★‎ 分值：2分.‎ 第14题图 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎14.如图，E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD上的点，BE=CF，连接AE,BF．‎ 将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α（0°＜α＜180°），‎ 则∠α=　 　°．‎ 答案：90．‎ 解析过程：如图，连接AC,BD交于点O，则∠AOB即为旋转角.‎ 第14题答案图 ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠AOB=90°.故∠α=90°．‎ 知识点：旋转；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.‎ 题型区分：填空题.‎ 专题区分：图形的变化;图形的性质.‎ 难度系数：★★‎ 分值：2分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎15.设函数y=与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则﹣的值为　 ．‎ 答案：﹣．‎ 解析过程：∵函数y=与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），‎ ‎∴b=，b=a﹣1.‎ ‎∴=a﹣1.‎ ‎∴a2﹣a﹣2=0.解得a=2或a=﹣1.‎ ‎∴b=1或b=﹣2.‎ 当a=2，b=1时，；当a=﹣1，b=﹣2时，.‎ ‎ 综上所述，的值为﹣.‎ 知识点：反比例函数与一次函数的图象与性质.‎ 题型区分：填空题.‎ 专题区分：函数.‎ 难度系数：★‎ 分值：2分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎16、甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：‎ ‎①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6，…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束；‎ ‎②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需拍手的次数为　 　．‎ 答案：4‎ 解析过程：∵甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6，…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束，‎ ‎∴50÷4=12余2.‎ ‎∴甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49.‎ 其中9，21，33，45为3的倍数，所以甲同学需拍手4次．‎ 知识点：数字的变化规律.‎ 题型区分：填空题.‎ 专题区分：数与式.‎ 难度系数：★★‎ 分值：2分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎17.解不等式组：并写出不等式组的整数解．‎ 答案：原不等式组的解集为﹣1≤x＜2，整数解为﹣1，0，1.‎ 解析过程：由第一个不等式，得x≥﹣1；由第二个不等式，得x＜2.‎ ‎∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜2．其整数解是：﹣1，0，1．‎ 知识点：解一元一次不等式组.‎ 题型区分：解答题（简）.‎ 专题区分：方程与不等式.‎ 难度系数：★‎ 分值：6分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎18.计算：．‎ 答案：.‎ 解析过程：原式 ‎ ．‎ 知识点：分式的混合运算.‎ 题型区分：解答题（简）.‎ 专题区分：数与式.‎ 难度系数：★★‎ 分值：6分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎19.解方程：x2﹣4x+1=0．‎ 答案：，.‎ 解析过程：解法一：移项，得．配方，得.‎ ‎ 两边开平方，得.解得，.‎ 解法二：∵，‎ ‎∴.‎ 代入公式，得，即，．‎ 知识点：一元二次方程的解法.‎ 题型区分：解答题（简）.‎ 专题区分：方程与不等式.‎ 难度系数：★★‎ 分值：6分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ 20. 某校部分男生分3组进行引体向上训练．对训练前后的成绩进行统计分析，相应数据的统计图如下．‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎0‎ 第一组 第二组 第三组 组别 ‎6‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎11‎ 训练前 训练后 ‎①‎ 训练前后各组平均成绩统计图 训练后第二组男生引体 向上增加个数分布统计图 ‎10%‎ ‎50%‎ ‎20%‎ ‎20%‎ 增加8个 增加6个 增加5个 个数没有变化 ‎②‎ 第20题图 平均成绩（个）‎ ‎（1）求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数．‎ ‎（2）小明在分析了图表后，声称他发现了一个错误：“训练后第二组男生引体向上个数没有变化的人数占该组人数的50%，所以第二组的平均成绩不可能提高3个这么多．”你同意小明的观点吗？请说明理由．‎ ‎（3）你认为哪一组的训练效果最好？请提供一个解释来支持你的观点．‎ 答案：（1）67%；‎ ‎ （2）不同意小明的观点；‎ ‎ （3）不唯一，合理即可.‎ 解析过程：（1）训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数是×100%≈67%.‎ ‎ (2)我不同意小明的观点，因为第二组的平均成绩增加 ‎8×10%+6×20%+5×20%+0×50%=3(个).‎ ‎（3）本题答案不唯一，下列解法供参考．‎ ‎ 我认为第一组的训练效果最好，因为训练后第一组的平均成绩比训练前增长的百分数最大．‎ 知识点：条形统计图；扇形统计图.‎ 题型区分：解答题.‎ 专题区分：抽样与数据分析.‎ 难度系数：★★‎ 分值：7分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎21.如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．‎ 第21题图 ‎（1）求证：△ABF≌△ECF；‎ ‎（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE，求证：四边形ABEC是矩形．‎ 答案：（1）由AAS证即可；‎ ‎ （2）由对角线相等的平行四边形是矩形证明.‎ 解析过程：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥DC，AB=DC.‎ ‎∴∠ABF=∠ECF.‎ ‎∵EC=DC，‎ ‎∴AB=EC.‎ 在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，‎ ‎∴△ABF≌△ECF．‎ （2） ‎∵AB=EC，AB∥EC，‎ ‎∴四边形ABEC是平行四边形.‎ ‎∴FA=FE，FB=FC.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠ABC=∠D.‎ 又∵∠AFC=2∠D，‎ ‎∴∠AFC=2∠ABC.‎ ‎∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，‎ ‎∴∠ABF=∠BAF.‎ ‎∴FA=FB.‎ ‎∴FA=FE=FB=FC.即AE=BC.‎ ‎∴四边形ABEC是矩形．‎ 知识点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定.‎ 题型区分：解答题.‎ 专题区分：图形的性质.‎ 难度系数：★★‎ 分值：7分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎22.小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍．小颖在小亮出发后50 min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min．设小亮出发x min后行走的路程为y m，图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．‎ ‎（1）小亮行走的总路程是　 　m，他途中休息了　 　min；‎ ‎（2）①当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式；②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？‎ 答案：（1）3600，20；‎‎30‎ ‎50‎ ‎1950‎ ‎3600‎ ‎80‎ x/min y/m O 第22题图 ‎ （2）①y=55x﹣800,②1100 m.‎ 解析过程：（1）3600，20；‎ ‎（2）①当50≤x≤80时，设y与x的函数关系式为y=kx+b.‎ 根据题意，得解得 ‎∴y与x的函数关系式为y=55x﹣800．‎ ‎②缆车到山顶的线路长为3600÷2=1800（m），缆车到达终点所需时间为1800÷180=10（min）.‎ 小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60(min)，‎ 把x=60代入y=55x﹣800，得y=55×60﹣800=2500.‎ ‎∴当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600﹣2500=1100(m)．‎ 知识点：一次函数的应用.‎ 题型区分：解答题.‎ 专题区分：函数.‎ 难度系数：★★‎ 分值：7分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎23.从3名男生和2名女生中随机抽取2014年南京青奧会志愿者．求下列事件的概率：‎ ‎（1）抽取1名，恰好是女生；‎ ‎（2）抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．‎ 答案：（1）；‎ ‎ （2）.‎ 解析过程：⑴抽取1名，恰好是女生的概率是．‎ ‎⑵分别用男1、男2、男3、女1、女2表示这五位同学，从中任意抽取2名，所有可能出现的结果有：（男1，男2），（男1，男3），（男1，女1），（男1，女2），（男2，男3），（男2，女1），（男2，女2），（男3，女1），（男3，女2），（女1，女2），共10种，它们出现的可能性相同，所有结果中，满足抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的结果共6种，所以其概率为．‎ 知识点：概率计算.‎ 题型区分：解答题.‎ 专题区分：事件的概率.‎ 难度系数：★★‎ 分值：7分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎24.已知函数y=mx2﹣6x+1（m是常数）．‎ ‎（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；‎ ‎（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．‎ 答案：（1）经过y轴上一个定点（0，1）；‎ ‎ （2）m的值为0或9.‎ 解析过程：：（1）当x=0时，y=1．‎ 所以不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；‎ ‎（2）①当m=0时，函数y=﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点；‎ ‎②当m≠0时，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2﹣6x+1=0有两个相等的实数根，所以b2-4ac=（﹣6）2﹣4m=0.解得m=9．‎ ‎ 综上，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．‎ 知识点：一次函数的性质；二次函数的性质.‎ 题型区分：解答题.‎ 专题区分：函数.‎ 难度系数：★★‎ 分值：7分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎25.如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度．他们借助一个高度为30 m的建筑物CD进行测量，在点C处测得塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°（B，D，E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．‎ 答案：120 m.‎ 第25题图 解析过程：在Rt△ECD中，tan∠DEC=，‎ ‎∴EC=≈（m）.‎ 在Rt△BAC中，∠BCA=45º,‎ ‎∴CA=BA=h.‎ 在Rt△BAE中，tan∠BEA=，‎ ‎∴‎ ‎∴h=120（m），‎ ‎∴电视塔的高度h约为120 m．‎ 知识点：解直角三角形的应用.‎ 题型区分：解答题（简）‎ 专题区分：图形的变化.‎ 难度系数：★‎ 分值：7分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2 cm/s的速度运动，以P为圆心、PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．‎ ‎（1）当t=1.2 s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．‎ 答案：（1）直线AB与⊙P相切.理由：圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径；‎ 第26题图 ‎ （2）t的值为1或4．‎ 解析过程：（1）直线AB与⊙P相切.理由如下：‎ 如图，过P作PD⊥AB，垂足为D.‎ ‎∵AB=6 cm，BC=8 cm， ‎ ‎∴由勾股定理，得AB=10 cm.‎ ‎∵P为BC的中点，‎ ‎∴PB=4 cm.‎ ‎∵∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC，‎ 第26题答案图 D ‎∴△PBD∽△ABC.‎ ‎∴，即.‎ ‎∴PD=2.4（cm）.‎ 当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm）.‎ ‎∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径.‎ ‎∴直线AB与⊙P相切.‎ ‎（2）∵∠ACB=90°，‎ ‎∴AB为△ABC的外接圆直径.‎ ‎∴BO=AB=5 cm.‎ 连接OP.‎ ‎∵P为BC的中点，‎ ‎∴PO=AC=3 cm.‎ ‎∵点P在⊙O内部，‎ ‎∴⊙P与⊙O只能内切.‎ ‎∴5﹣2t=3，或2t﹣5=3.‎ ‎∴t=1或t=4.‎ ‎∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．‎ 知识点：圆与圆的位置关系；勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质.‎ 题型区分：解答题.‎ 专题区分：图形的性质.‎ 难度系数：★★‎ 分值：8分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎27.如图①，P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．‎ ‎（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB边上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；‎ ‎（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．‎ ‎①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；‎ ‎②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．‎ 第27题图 答案：（1）证出△BCE∽△ABC即可；‎ ‎ （2）由题意作图即可；‎ ‎ （3）该三角形三个内角的度数分别为．‎ 解析过程：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，‎ 第27题答案图 ‎∴CD=AB.‎ ‎∴CD=BD.‎ ‎∴∠BCE=∠ABC.‎ ‎∵BE⊥CD，‎ ‎∴∠BEC=90°.‎ ‎∴∠BEC=∠ACB.‎ ‎∴△BCE∽△ABC.‎ ‎∴E是△ABC的自相似点.‎ ‎（2）①如图所示.‎ 作法：在∠ABC内，作∠CBP=∠A；在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P，‎ 则P为△ABC的自相似点；‎ ‎②∵P是△ABC的内心，‎ ‎∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB.‎ ‎∵P为△ABC的自相似点，‎ ‎∴△BCP∽△ABC.‎ ‎∵∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，‎ 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，‎ ‎∴∠A+2∠A+4∠A=180°.‎ ‎∴.‎ ‎∴该三角形三个内角的度数分别为．‎ 知识点：相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；内心的性质；作一个角等于已知角.‎ 题型区分：解答题.‎ 专题区分：图形的性质与变化.‎ 难度系数：★★★ ‎ 分值：9分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎ ‎28.问题情境 已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？‎ 数学模型 设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．‎ ‎1‎ x y O ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎ 第28题图 ‎-1‎ ‎-1 ‎ 探索研究（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象和性质．‎ ‎①填写下表，画出函数的图象；‎ x ‎…‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎…‎ ‎②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；‎ ‎③在求二次函数y=ax2‎ ‎+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数的最小值．‎ 解决问题 ‎（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．‎ 答案：（1)①，，，2，，，，②图形和性质见解析过程，③函数的最小值是2；‎ ‎ （2）当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为．‎ 解析过程：⑴①，，，2，，，．‎ 函数的图象如图．‎ 第28题答案图 ‎②答：函数两条不同类型的性质是：当0＜x＜1时，y 随x的增大而减小，当x＞1时，y 随x的增大而增大；当x=1时，函数的最小值是2．‎ ‎③‎ 当=0，即时，函数的最小值为2． ‎ ‎⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为．‎ 知识点：描点法画函数图象；分析函数图象；用配方法求最值.‎ 题型区分：解答题.‎ 专题区分：函数.‎ 难度系数：★★★ ‎ 分值：11分.‎ 试题来源：江苏省南京市.‎ 试题年代：2011年.‎