2014湖南省益阳市中考数学

2014湖南省益阳市中考数学

益阳市2014年普通初中毕业学业考试试卷 数 学 ‎（90分钟，卷面满分为120分）‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．(2014年湖南省益阳市，1， 4分)四个实数，，，中，最大的实数是 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎2．(2014年湖南省益阳市，2， 4分)下列式子化简后的结果为的是 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎3．(2014年湖南省益阳市，3， 4分)小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎4．(2014年湖南省益阳市，4， 4分)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ‎ A B C D ‎ ‎【答案】C ‎5．(2014年湖南省益阳市，5， 4分)一元二次方程总有实数根，则应满足的条件是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎6．(2014年湖南省益阳市，6， 4分)正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点位于 ‎ A．第一象限 B．第二象限 ‎ ‎ C．第三象限 D．第一、三象限 ‎【答案】D ‎7．(2014年湖南省益阳市，7， 4分)如图，平行四边形中，是对角线上的两点，如果添加一个条件使≌，则添加的条件不能是 ‎ A． B． C． D． ‎ 图2‎ P O ‎-1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎【答案】A 图1‎ ‎1‎ ‎2‎ A B C D E F ‎8．(2014年湖南省益阳市，8， 4分)如图，在平面直角坐标系中，半径为的⊙的圆心的坐标为，将⊙沿轴正方向平移，使⊙与轴相切，则平移的距离为 ‎ A．1 B．1或5 C．3 D．5 ‎ ‎【答案】B 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）‎ ‎9．(2014年湖南省益阳市，9， 4分)若，则 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎10．(2014年湖南省益阳市，10， 4分)分式方程的解为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎11．(2014年湖南省益阳市，11， 4分)小斌所在的课外活动小组在大课间活动中练习立定跳远，成绩如下（单位：米）：1.96，2.16，2.04，2.20，1.98，2.22，2.32，则这组数据的中位数是 米．‎ ‎【答案】2.16‎ ‎12．(2014年湖南省益阳市，12， 4分)小明放学后步行回家，他离家的路程米与步行时间分钟的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是 米/分钟．‎ B C A F E D ‎1600‎ ‎20‎ O 图3‎ ‎（分钟）‎ ‎（米）‎ ‎【答案】80‎ 图4‎ ‎13．(2014年湖南省益阳市，13， 4分)如图4，将等边绕顶点顺时针方向旋转，使边与重合得，的中点的对应点为，则的度数是 ．‎ ‎【答案】‎ 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）‎ ‎14．(2014年湖南省益阳市，14，6分)计算：．‎ ‎【答案】解：原式.…‎ ‎15．(2014年湖南省益阳市，15， 6分)如图5，∥，平分，．求的度数．‎ A ‎80°‎ E B C F 图5‎ ‎【答案】解：∵∥,‎ ‎∴‎ ‎ ∵平分,‎ ‎ ∴‎ ‎ ∵∥，‎ ‎ ∴.‎ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）‎ ‎16．(2014年湖南省益阳市，16， 8分)先化简，再求值：，其中．‎ ‎【答案】解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，原式 ‎17．(2014年湖南省益阳市，17， 8分)某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等 四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（图6），请你结合图中的信息解答下列问题：‎ ‎（1）求被调查的学生人数；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ 图6‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ 类别 人数 文学 艺体 科普 其他 ‎16‎ O ‎20‎ ‎24‎ 文学类 艺体类 科普类 ‎20%‎ 其他 最喜爱的各类图书的人数 最喜爱的各类图书的人数占总人数的百分比 ‎（3）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？‎ ‎【答案】解：（1）被调查的学生人数为：人；‎ 第17题解图 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ 类别 人数 文学 艺体 科普 其他 ‎16‎ O ‎20‎ ‎24‎ ‎（2）如图 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎ （3）全校最喜爱文学类图书的学生约有人.………………８分 A D C 图7‎ C B ‎18．(2014年湖南省益阳市，18， 8分) “中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图7，新大桥的两端位于两点，小张为了测量之间的河宽，在垂直于新大桥的直线型道路上测得如下数据：，,米．求的长（精确到米）．‎ 参考数据：‎ ‎，，‎ ‎； ，，．‎ ‎【答案】解：设米，则米.‎ 在Rt中，，∴.…………２分 在Rt中，,∴.……………………４分 ‎∴，∴.………………………………………………………６分 ‎∴.‎ 答：的长约为米. …………………………………………………………８分 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）‎ ‎19．(2014年湖南省益阳市，19， 10分)某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：‎ 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 ‎3台 ‎5台 ‎1800元 第二周 ‎4台 ‎10台 ‎3100元 ‎（进价、售价均保持不变，利润=销售收入－进货成本）‎ ‎（1）求、两种型号的电风扇的销售单价；‎ ‎（2）若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？‎ ‎（3）在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润为元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．‎ ‎【答案】解：(1)设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元.依题意得:‎ ‎ 解得 答：、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元.……………4分 ‎（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台.‎ 依题意得：≤,‎ 解得：.‎ 答：超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元.………7分 ‎（3）依题意有：,‎ 解得:此时，.‎ 所以在（２）的条件下超市不能实现利润元的目标. …………………10分 ‎20．(2014年湖南省益阳市，20， 10分)如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，并与轴交于另一点，其顶点为．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）抛物线的对称轴上有一点，使是以 为底边的等腰三角形，求点的坐标．‎ ‎（3）在抛物线及其对称轴上分别取点、，使以 为顶点的四边形为正方形，求此正方形 的边长．‎ ‎【答案】解：(1)∵直线与轴、轴分别交于点、， ‎ ‎ ∴，.‎ 又抛物线经过点，，‎ ‎∴解得 即，的值分别为，.………………………………………………3分 ‎（2）设点的坐标为，对称轴交轴于点，过点作垂直于直线 于点.‎ 在Rt中，，‎ 在Rt中，.‎ ‎∵，∴，∴.‎ ‎∴点的坐标为.………………………………………………………6分 ‎（3）当点在对称轴上时，与不垂直.所以应为正方形的对角线.‎ 又对称轴是的中垂线，所以，点与顶点重合，点为点关于轴的对称点，其坐标为.‎ 此时，，且，‎ ‎∴ 四边形为正方形.‎ Q E 第20题解图 N ‎(M）‎ F B O A ‎1‎ ‎-1‎ C P 在Rt中，，即正方形的边长为.……10分 六、解答题（本题满分12分）‎ ‎21．(2014年湖南省益阳市，21， 12分)如图9，在直角梯形中，∥,⊥,,,，‎ 点沿线段从点向点运动，设．‎ D C B A 图9‎ P ‎60°‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）点在运动过程中，是否存在以 为顶点的三角形与以为顶点的三 角形相似？若存在，求出的值；若不存 在，请说明理由；‎ ‎（3）设与的外接圆的面积分别为 ‎、，若，求的最小值．‎ 解：(1)过点作于.在Rt中，，.‎ ‎∴,‎ ‎∴. ………………………………………………………………2分 ‎(2)存在.若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，‎ 则必有一个角是直角. ……………………………………………………3分 ‎①当时，在Rt中，，，‎ ‎∴.‎ 又由(1)知，在Rt中 ,，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴∽. ………………………………………………………………5分 ‎②当时，在Rt中，，，‎ ‎∴，，∴.‎ 则且，此时与不相似.‎ ‎∴存在与相似，此时.………………………………………7分 ‎（3）如图，因为Rt外接圆的直径为斜边，‎ ‎∴.‎ ‎①当时，作的垂直平分线交于，交于；作的垂 直平分线交于，交于，连结.则为外接圆的半径.‎ 在Rt中，，，∴,‎ 又，∴.‎ 在Rt中，∴.‎ 在Rt中，，‎ ‎∴.‎ ‎②当时，也成立. …………………………10分 ‎∴.‎ ‎∴当时,取得最小值. ………………………………12分 D C B A 第21题解图2‎ P ‎60°‎ N G M H D C B A 第21题解图1‎ P ‎60°‎ E(P)‎ P