2020届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第九单元 圆 第30课时 直线与圆的位置关系

2020届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第九单元 圆 第30课时 直线与圆的位置关系

第30课时　直线与圆的位置关系 ‎(60分)‎ 一、选择题(每题5分，共25分)‎ ‎1．⊙O的半径为‎7 cm，圆心O到直线l的距离为‎8 cm，则直线l与⊙O的位置关系是 (D)‎ A．相交 B．内含 C．相切 D．相离 ‎2．[2016·重庆]如图30－1，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O与点D，连结OD，若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为 (A)‎ A．70° B．60°‎ C．55° D．35°‎ ‎【解析】　∵AC是⊙O的切线，∴∠ACB＝90°.‎ ‎∵∠BAC＝55°，∴∠B＝35°，∴∠COD＝70°.故选A.‎ ‎ ‎ 图30－1 　　　　图30－2‎ ‎3．[2016·嘉兴]如图30－2，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为 (B)‎ A．2.3 B．2.4‎ C．2.5 D．2.6‎ ‎4．[2016·梅州]如图30－3，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝20°，则∠C的大小等于 (D)‎ A．20° B．25°‎ C．40° D．50°‎ 9‎ 图30－3‎ 第4题答图 ‎【解析】　如答图，连结OA，‎ ‎∵AC是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OAC＝90°，‎ ‎∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝20°，‎ ‎∴∠AOC＝40°，∴∠C＝50°.‎ ‎5．[2017·无锡]如图30－4，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，给出下面3个结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC，其中正确结论的个数是 (A)‎ A．3 B．2‎ C．1 D．0‎ 图30－4‎ 第5题答图 ‎【解析】　连结OD，CD是⊙O的切线，可得CD⊥OD，由∠A＝30°，可以得出∠ABD＝60°，△ODB是等边三角形，∠C＝∠BDC＝30°，再结合在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，继而得到结论①②③成立．‎ 二、填空题(每题5分，共25分)‎ 图30－5‎ ‎6．[2016·黔西南]如图30－5，点P在⊙O外，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝50°，则∠AOB等于__130°__．‎ ‎【解析】　∵PA，PB是⊙O的切线，‎ ‎∴PA⊥OA，PB⊥OB，‎ ‎∴∠PAO＝∠PBO＝90°，‎ ‎∵∠P＝50°，∴∠AOB＝130°.‎ 9‎ ‎7．如图30－6，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°.则∠B＝__60__度．‎ ‎ ‎ 图30－6 　　　第7题答图 ‎【解析】　连结OA，‎ ‎∵MN与⊙O相切，∠MAB＝30°，∴∠OAB＝60°，‎ ‎∵OA＝OB，∴∠B＝60°.‎ ‎8．[2016·宁波]如图30－7，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为__6.25__．‎ ‎ ‎ 图30－7 　　　第8题答图 ‎【解析】　连结OE，并反向延长交AD于点F，连结OA，‎ ‎∵BC是切线，‎ ‎∴OE⊥BC，‎ ‎∴∠OEC＝90°，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠C＝∠D＝90°，‎ ‎∴四边形CDFE是矩形，‎ ‎∴EF＝CD＝AB＝8，OF⊥AD，‎ ‎∴AF＝AD＝×12＝6，‎ 设⊙O的半径为r，则OF＝EF－OE＝8－r，‎ 在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2，‎ 则(8－r)2＋36＝r2，‎ 9‎ 解得r＝6.25，‎ ‎∴⊙O的半径为6.25.‎ ‎9．[2017·台州]如图30－8是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A，B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆与点C，测得CD＝‎10 cm，AB＝‎60 cm，则这个外圆半径为__50__cm.‎ ‎ ‎ 图30－8 　　　第9题答图 ‎【解析】　如答图，设点O为外圆的圆心，连结OA和OC，‎ ‎∵CD＝‎10 cm，AB＝‎60 cm，‎ ‎∴设外圆的半径为r，则OD＝(r－10)cm，AD＝‎‎30 cm 根据题意，得r2＝(r－10)2＋302，‎ 解得r＝‎50 cm.‎ ‎10．[2016·宜宾]如图30－9，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E，若⊙O的半径为2，则CF＝__2__．‎ ‎ ‎ 图30－9 　　　　第10题答图 ‎【解析】　连结OC，BC，‎ ‎∵DC切⊙O于点C，‎ ‎∴∠OCD＝90°，‎ ‎∵BD＝OB，⊙O的半径为2，‎ ‎∴BC＝BD＝OB＝OC＝2，即△BOC是等边三角形，‎ ‎∴∠BOC＝60°，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，点B是的中点，‎ ‎∴CE＝EF，‎ 9‎ AB⊥CF，即△OEC为直角三角形，‎ ‎∵在Rt△OEC中，OC＝2，∠BOC＝60°，∠OEC＝90°，‎ ‎∴CF＝2CE＝2OC·sin∠BOC＝2.‎ 三、解答题(共20分)‎ ‎11．(10分)如图30－10，直尺、三角尺都和⊙O相切，其中B，C是切点，且AB＝‎8 cm.求⊙O的直径．‎ ‎ ‎ 图30－10 　　　第11题答图 解：如答图，连结OC，OA，OB.‎ ‎∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是C，B，‎ ‎∴∠OBA＝∠OCA＝90°，‎ ‎∠OAC＝∠OAB＝∠BAC.‎ ‎∵∠CAD＝60°，‎ ‎∴∠BAC＝120°，‎ ‎∴∠OAB＝×120°＝60°，‎ ‎∴∠BOA＝30°，‎ ‎∴OA＝2AB＝‎16 cm.‎ 由勾股定理得OB＝＝＝‎8 cm，即⊙O的半径是‎8 cm，‎ ‎∴⊙O的直径是‎16 cm.‎ ‎12．(10分)[2016·湖州]如图30－11，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE.‎ ‎(1)若AD＝DB，OC＝5，求切线AC的长；‎ ‎(2)求证：ED是⊙O的切线．‎ 9‎ ‎ ‎ 图30－11 　　　　第12题答图 解：(1)如答图，连结CD，‎ ‎∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，‎ ‎∵AD＝DB，∴AC＝BC＝2OC＝10；‎ ‎(2)证明：连结OD.‎ ‎∵∠ADC＝90°，E为AC的中点，‎ ‎∴DE＝EC＝AC，∴∠1＝∠2，‎ ‎∵OD＝OC，∴∠3＝∠4，‎ ‎∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC，‎ ‎∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE⊥OD，‎ ‎∴DE是⊙O的切线．‎ ‎(20分)‎ ‎13．(10分)如图30－12，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连结BC，PB.‎ ‎(1)求BC的长；‎ ‎(2)求证：PB是⊙O的切线．‎ ‎ ‎ 图30－12 　　　第13题答图 解：(1)连结OA，OB，‎ ‎∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，‎ ‎∴＝，∠AOB＝120°，‎ 9‎ ‎∴∠COB＝∠COA＝60°.‎ 又∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形，‎ ‎∴BC＝OC＝2；‎ ‎(2)证明：∵BC＝OC＝CP，‎ ‎∴∠CBP＝∠CPB.‎ ‎∵△OBC是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°.‎ 又∵∠OCB＝∠CBP＋∠CPB＝2∠CBP，‎ ‎∴∠CBP＝30°，‎ ‎∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°，‎ ‎∴OB⊥BP.‎ 又∵点B在⊙O上，‎ ‎∴PB是⊙O的切线．‎ ‎14．(10分)[2016·潍坊]如图30－13，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E.过点D作DF⊥AB，垂足为F，连结DE.‎ ‎(1)求证：直线DF与⊙O相切；‎ ‎(2)若AE＝7，BC＝6，求AC的长．‎ ‎ ‎ 图30－13 　　　第14题答图 解：(1)证明：如答图，连结OD.‎ ‎∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.‎ ‎∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠C，‎ ‎∴∠ODC＝∠B，∴OD∥AB.‎ ‎∵DF⊥AB，∴OD⊥DF.‎ ‎∵点D在⊙O上，∴直线DF与⊙O相切；‎ ‎(2)∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠AED＋∠ACD＝180°.‎ 9‎ ‎∵∠AED＋∠BED＝180°，‎ ‎∴∠BED＝∠ACD.‎ 又∵∠B＝∠B，‎ ‎∴△BED∽△BCA.‎ ‎∴＝.‎ ‎∵OD∥AB，AO＝CO，∴BD＝CD＝BC＝3，‎ 又∵AE＝7，∴＝，解得BE＝2.‎ ‎∴AC＝AB＝AE＋BE＝7＋2＝9.‎ ‎(10分)‎ ‎15．(10分)[2016·衡阳]如图30－14，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.‎ ‎(1)求证：CE为⊙O的切线；‎ ‎(2)判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．‎ ‎ ‎ 图30－14 　　　第15题答图 解：(1)证明：如答图，连结OD，‎ ‎∵点C，D为半圆O的三等分点，‎ ‎∴∠AOD＝∠COD＝∠COB＝60°.‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴△AOD为等边三角形，‎ ‎∴∠DAO＝60°，‎ ‎∴AE∥OC.‎ ‎∵CE⊥AD，‎ ‎∴CE⊥OC，‎ ‎∴CE为⊙O的切线；‎ 9‎ ‎(2)四边形AOCD为菱形．‎ 理由∵OD＝OC，∠COD＝60°，‎ ‎∴△OCD为等边三角形，‎ ‎∴CD＝CO.‎ 同理AD＝AO.‎ ‎∵AO＝CO，‎ ‎∴AD＝AO＝CO＝DC，‎ ‎∴四边形AOCD为菱形．‎ 9‎