中考数学分类汇编考点21全等三角形

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中考数学分类汇编考点21全等三角形

‎2018中考数学试题分类汇编:考点21 全等三角形 一.选择题(共9小题)‎ ‎1.(2018•安顺)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(  )‎ A.∠B=∠C B.AD=AE C.BD=CE D.BE=CD ‎【分析】欲使△ABE≌△ACD,已知AB=AC,可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件,逐一证明即可.‎ ‎【解答】解:∵AB=AC,∠A为公共角,‎ A、如添加∠B=∠C,利用ASA即可证明△ABE≌△ACD;‎ B、如添AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD;‎ C、如添BD=CE,等量关系可得AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD;‎ D、如添BE=CD,因为SSA,不能证明△ABE≌△ACD,所以此选项不能作为添加的条件.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.(2018•黔南州)下列各图中a、b、c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是(  )‎ A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.只有丙 ‎【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等,甲与△ABC不全等.‎ ‎【解答】解:乙和△ABC全等;理由如下:‎ 在△ABC和图乙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:SAS,‎ 所以乙和△ABC全等;‎ 在△ABC和图丙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:AAS,‎ 所以丙和△ABC全等;‎ 不能判定甲与△ABC全等;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.(2018•河北)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB,求证:点P在线段AB的垂直平分线上,在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是(  )‎ A.作∠APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PC⊥AB,垂足为C ‎【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论.‎ ‎【解答】解:A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB,∴CA=CB,∠PCA=∠PCB=90°,∴点P在线段AB的垂直平分线上,符合题意;‎ C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB,∴CA=CB,∠PCA=∠PCB=90°,∴点P在线段AB的垂直平分线上,符合题意;‎ D、利用HL判断出△PCA≌△PCB,∴CA=CB,∴点P在线段AB的垂直平分线上,符合题意,‎ B、过线段外一点作已知线段的垂线,不能保证也平分此条线段,不符合题意;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.(2018•南京)如图,AB⊥CD,且AB=CD.E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为(  )‎ A.a+c B.b+c C.a﹣b+c D.a+b﹣c ‎【分析】只要证明△ABF≌△CDE,可得AF=CE=a,BF=DE=b,推出AD=AF+DF=a+(b﹣c)=a+b﹣c;‎ ‎【解答】解:∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,‎ ‎∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,‎ ‎∴∠A=∠C,∵AB=CD,‎ ‎∴△ABF≌△CDE,‎ ‎∴AF=CE=a,BF=DE=b,‎ ‎∵EF=c,‎ ‎∴AD=AF+DF=a+(b﹣c)=a+b﹣c,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.(2018•临沂)如图,∠ACB=90°,AC=BC.AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D、E,AD=3,BE=1,则DE的长是(  )‎ A. B.2 C.2 D.‎ ‎【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°,进而得出△CEB≌△ADC,就可以得出BE=DC,就可以求出DE的值.‎ ‎【解答】解:∵BE⊥CE,AD⊥CE,‎ ‎∴∠E=∠ADC=90°,‎ ‎∴∠EBC+∠BCE=90°.‎ ‎∵∠BCE+∠ACD=90°,‎ ‎∴∠EBC=∠DCA.‎ 在△CEB和△ADC中,‎ ‎,‎ ‎∴△CEB≌△ADC(AAS),‎ ‎∴BE=DC=1,CE=AD=3.‎ ‎∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.(2018•台湾)如图,五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE,∠E=115°,则∠BAE的度数为何?(  )‎ A.115 B.120 C.125 D.130‎ ‎【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等,进而得出∠B=∠E,利用多边形的内角和解答即可.‎ ‎【解答】解:∵正三角形ACD,‎ ‎∴AC=AD,∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°,‎ ‎∵AB=DE,BC=AE,‎ ‎∴△ABC≌△AED,‎ ‎∴∠B=∠E=115°,∠ACB=∠EAD,∠BAC=∠ADE,‎ ‎∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°,‎ ‎∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.(2018•成都)如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是(  )‎ A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DBC C.AC=DB D.AB=DC ‎【分析】全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS,根据定理逐个判断即可.‎ ‎【解答】解:A、∠A=∠D,∠ABC=∠DCB,BC=BC,符合AAS,即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误;‎ B、∠ABC=∠DCB,BC=CB,∠ACB=∠DBC,符合ASA,即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误;‎ C、∠ABC=∠DCB,AC=BD,BC=BC,不符合全等三角形的判定定理,即不能推出△ABC≌△DCB,故本选项正确;‎ D、AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=BC,符合SAS,即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误;‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.(2018•黑龙江)如图,四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为(  )‎ A.15 B.12.5 C.14.5 D.17‎ ‎【分析】过A作AE⊥AC,交CB的延长线于E,判定△ACD≌△AEB,即可得到△‎ ACE是等腰直角三角形,四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等,根据S△ACE=×5×5=12.5,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:如图,过A作AE⊥AC,交CB的延长线于E,‎ ‎∵∠DAB=∠DCB=90°,‎ ‎∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC,‎ ‎∴∠D=∠ABE,‎ 又∵∠DAB=∠CAE=90°,‎ ‎∴∠CAD=∠EAB,‎ 又∵AD=AB,‎ ‎∴△ACD≌△AEB,‎ ‎∴AC=AE,即△ACE是等腰直角三角形,‎ ‎∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等,‎ ‎∵S△ACE=×5×5=12.5,‎ ‎∴四边形ABCD的面积为12.5,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.(2018•绵阳)如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上,若AE=,AD=,则两个三角形重叠部分的面积为(  )‎ A. B.3 C. D.3‎ ‎【分析】如图设AB交CD于O,连接BD,作OM⊥DE于M,ON⊥BD于N.想办法求出△AOB的面积.再求出OA与OB的比值即可解决问题;‎ ‎【解答】解:如图设AB交CD于O,连接BD,作OM⊥DE于M,ON⊥BD于N.‎ ‎∵∠ECD=∠ACB=90°,‎ ‎∴∠ECA=∠DCB,‎ ‎∵CE=CD,CA=CB,‎ ‎∴△ECA≌△DCB,‎ ‎∴∠E=∠CDB=45°,AE=BD=,‎ ‎∵∠EDC=45°,‎ ‎∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°,‎ 在Rt△ADB中,AB==2,‎ ‎∴AC=BC=2,‎ ‎∴S△ABC=×2×2=2,‎ ‎∵OD平分∠ADB,OM⊥DE于M,ON⊥BD于N,‎ ‎∴OM=ON,‎ ‎∵====,‎ ‎∴S△AOC=2×=3﹣,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共4小题)‎ ‎10.(2018•金华)如图,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是 AC=BC .‎ ‎【分析】添加AC=BC,根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°,再证明∠EBC=∠DAC,然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC.‎ ‎【解答】解:添加AC=BC,‎ ‎∵△ABC的两条高AD,BE,‎ ‎∴∠ADC=∠BEC=90°,‎ ‎∴∠DAC+∠C=90°,∠EBC+∠C=90°,‎ ‎∴∠EBC=∠DAC,‎ 在△ADC和△BEC中,‎ ‎∴△ADC≌△BEC(AAS),‎ 故答案为:AC=BC.‎ ‎ ‎ ‎11.(2018•衢州)如图,在△ABC和△DEF中,点B,F,C,E在同一直线上,BF=CE,AB∥DE,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是 AB=ED (只需写一个,不添加辅助线).‎ ‎【分析】根据等式的性质可得BC=EF,根据平行线的性质可得∠B=∠E,再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF.‎ ‎【解答】解:添加AB=ED,‎ ‎∵BF=CE,‎ ‎∴BF+FC=CE+FC,‎ 即BC=EF,‎ ‎∵AB∥DE,‎ ‎∴∠B=∠E,‎ 在△ABC和△DEF中,‎ ‎∴△ABC≌△DEF(SAS),‎ 故答案为:AB=ED.‎ ‎ ‎ ‎12.(2018•绍兴)等腰三角形ABC中,顶角A为40°,点P在以A为圆心,BC长为半径的圆上,且BP=BA,则∠PBC的度数为 30°或110° .‎ ‎【分析】分两种情形,利用全等三角形的性质即可解决问题;‎ ‎【解答】解:如图,当点P在直线AB的右侧时.连接AP.‎ ‎∵AB=AC,∠BAC=40°,‎ ‎∴∠ABC=∠C=70°,‎ ‎∵AB=AB,AC=PB,BC=PA,‎ ‎∴△ABC≌△BAP,‎ ‎∴∠ABP=∠BAC=40°,‎ ‎∴∠PBC=∠ABC﹣∠ABP=30°,‎ 当点P′在AB的左侧时,同法可得∠ABP′=40°,‎ ‎∴∠P′BC=40°+70°=110°,‎ 故答案为30°或110°.‎ ‎ ‎ ‎13.(2018•随州)如图,在四边形ABCD中,AB=AD=5,BC=CD且BC>AB,BD=8.给出以下判断:‎ ‎①AC垂直平分BD;‎ ‎②四边形ABCD的面积S=AC•BD;‎ ‎③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形;‎ ‎④当A,B,C,D四点在同一个圆上时,该圆的半径为;‎ ‎⑤将△ABD沿直线BD对折,点A落在点E处,连接BE并延长交CD于点F,当BF⊥CD时,点F到直线AB的距离为.‎ 其中正确的是 ①③④ .(写出所有正确判断的序号)‎ ‎【分析】依据AB=AD=5,BC=CD,可得AC是线段BD的垂直平分线,故①正确;依据四边形ABCD的面积S=,故②错误;依据AC=BD,可得顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形,故③正确;当A,B,C,D四点在同一个圆上时,设该圆的半径为r,则r2=(r﹣3)2+42,得r=,故④正确;连接AF,设点F到直线AB的距离为h,由折叠可得,四边形ABED是菱形,AB=BE=5=AD=GD,BO=DO=4,依据S△BDE=×BD×OE=×BE×DF,可得DF=,进而得出EF=,再根据S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF,即可得到h=,故⑤错误.‎ ‎【解答】解:∵在四边形ABCD中,AB=AD=5,BC=CD,‎ ‎∴AC是线段BD的垂直平分线,故①正确;‎ 四边形ABCD的面积S=,故②错误;‎ 当AC=BD时,顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形,故③正确;‎ 当A,B,C,D四点在同一个圆上时,设该圆的半径为r,则 r2=(r﹣3)2+42,‎ 得r=,故④正确;‎ 将△ABD沿直线BD对折,点A落在点E处,连接BE并延长交CD于点F,如图所示,‎ 连接AF,设点F到直线AB的距离为h,‎ 由折叠可得,四边形ABED是菱形,AB=BE=5=AD=GD,BO=DO=4,‎ ‎∴AO=EO=3,‎ ‎∵S△BDE=×BD×OE=×BE×DF,‎ ‎∴DF==,‎ ‎∵BF⊥CD,BF∥AD,‎ ‎∴AD⊥CD,EF==,‎ ‎∵S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF,‎ ‎∴×5h=(5+5+)×﹣×5×,‎ 解得h=,故⑤错误;‎ 故答案为:①③④.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共23小题)‎ ‎14.(2018•柳州)如图,AE和BD相交于点C,∠A=∠E,AC=EC.求证:△ABC≌△EDC.‎ ‎【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断.‎ ‎【解答】证明:∵在△ABC和△EDC中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABC≌△EDC(ASA).‎ ‎ ‎ ‎15.(2018•云南)如图,已知AC平分∠BAD,AB=AD.求证:△ABC≌△ADC.‎ ‎【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC,利用SAS定理判断即可.‎ ‎【解答】证明:∵AC平分∠BAD,‎ ‎∴∠BAC=∠DAC,‎ 在△ABC和△ADC中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABC≌△ADC.‎ ‎ ‎ ‎16.(2018•泸州)如图,EF=BC,DF=AC,DA=EB.求证:∠F=∠C.‎ ‎【分析】欲证明∠F=∠C,只要证明△ABC≌△DEF(SSS)即可;‎ ‎【解答】证明:∵DA=BE,‎ ‎∴DE=AB,‎ 在△ABC和△DEF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABC≌△DEF(SSS),‎ ‎∴∠C=∠F.‎ ‎ ‎ ‎17.(2018•衡阳)如图,已知线段AC,BD相交于点E,AE=DE,BE=CE.‎ ‎(1)求证:△ABE≌△DCE;‎ ‎(2)当AB=5时,求CD的长.‎ ‎【分析】(1)根据AE=DE,BE=CE,∠AEB和∠DEC是对顶角,利用SAS证明△AEB≌△DEC即可.‎ ‎(2)根据全等三角形的性质即可解决问题.‎ ‎【解答】(1)证明:在△AEB和△DEC中,‎ ‎,‎ ‎∴△AEB≌△DEC(SAS).‎ ‎(2)解:∵△AEB≌△DEC,‎ ‎∴AB=CD,‎ ‎∵AB=5,‎ ‎∴CD=5.‎ ‎ ‎ ‎18.(2018•通辽)如图,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF=CD,连接CF.‎ ‎(1)求证:△AEF≌△DEB;‎ ‎(2)若AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.‎ ‎【分析】(1)由AF∥BC得∠AFE=∠EBD,继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等;‎ ‎(2)根据AB=AC,且AD是BC边上的中线可得∠ADC=90°,由四边形ADCF是矩形可得答案.‎ ‎【解答】证明:(1)∵E是AD的中点,‎ ‎∴AE=DE,‎ ‎∵AF∥BC,‎ ‎∴∠AFE=∠DBE,∠EAF=∠EDB,‎ ‎∴△AEF≌△DEB(AAS);‎ ‎(2)连接DF,‎ ‎∵AF∥CD,AF=CD,‎ ‎∴四边形ADCF是平行四边形,‎ ‎∵△AEF≌△DEB,‎ ‎∴BE=FE,‎ ‎∵AE=DE,‎ ‎∴四边形ABDF是平行四边形,‎ ‎∴DF=AB,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴DF=AC,‎ ‎∴四边形ADCF是矩形.‎ ‎ ‎ ‎19.(2018•泰州)如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,AC、DB相交于点O.求证:OB=OC.‎ ‎【分析】因为∠A=∠D=90°,AC=BD,BC=BC,知Rt△BAC≌Rt△CDB(HL),所以AB=CD,证明△ABO与△CDO全等,所以有OB=OC.‎ ‎【解答】证明:在Rt△ABC和Rt△DCB中 ‎,‎ ‎∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),‎ ‎∴∠OBC=∠OCB,‎ ‎∴BO=CO.‎ ‎ ‎ ‎20.(2018•南充)如图,已知AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.‎ 求证:∠C=∠E.‎ ‎【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE,再根据“SAS”可判断△BAC≌△DAE,根据全等的性质即可得到∠C=∠E.‎ ‎【解答】解:∵∠BAE=∠DAC,‎ ‎∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE,即∠BAC=∠DAE,‎ 在△ABC和△ADE中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△ABC≌△ADE(SAS),‎ ‎∴∠C=∠E.‎ ‎ ‎ ‎21.(2018•恩施州)如图,点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,AD交BE于O.‎ 求证:AD与BE互相平分.‎ ‎【分析】连接BD,AE,判定△ABC≌△DEF(ASA),可得AB=DE,依据AB∥DE,即可得出四边形ABDE是平行四边形,进而得到AD与BE互相平分.‎ ‎【解答】证明:如图,连接BD,AE,‎ ‎∵FB=CE,‎ ‎∴BC=EF,‎ 又∵AB∥ED,AC∥FD,‎ ‎∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE,‎ 在△ABC和△DEF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABC≌△DEF(ASA),‎ ‎∴AB=DE,‎ 又∵AB∥DE,‎ ‎∴四边形ABDE是平行四边形,‎ ‎∴AD与BE互相平分.‎ ‎ ‎ ‎22.(2018•哈尔滨)已知:在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,且AC⊥BD,作BF⊥CD,垂足为点F,BF与AC交于点C,∠BGE=∠ADE.‎ ‎(1)如图1,求证:AD=CD;‎ ‎(2)如图2,BH是△ABE的中线,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍.‎ ‎【分析】(1)由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF,根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得;‎ ‎(2)设DE=a,先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a,据此知S△ADC=2a2=2S△ADE,证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a,再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG,从而得出答案.‎ ‎【解答】解:(1)∵∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF,‎ ‎∴∠ADE=∠CGF,‎ ‎∵AC⊥BD、BF⊥CD,‎ ‎∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF,‎ ‎∴∠DAE=∠GCF,‎ ‎∴AD=CD;‎ ‎(2)设DE=a,‎ 则AE=2DE=2a,EG=DE=a,‎ ‎∴S△ADE=AE•DE=•2a•a=a2,‎ ‎∵BH是△ABE的中线,‎ ‎∴AH=HE=a,‎ ‎∵AD=CD、AC⊥BD,‎ ‎∴CE=AE=2a,‎ 则S△ADC=AC•DE=•(2a+2a)•a=2a2=2S△ADE;‎ 在△ADE和△BGE中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△ADE≌△BGE(ASA),‎ ‎∴BE=AE=2a,‎ ‎∴S△ABE=AE•BE=•(2a)•2a=2a2,‎ S△ACE=CE•BE=•(2a)•2a=2a2,‎ S△BHG=HG•BE=•(a+a)•2a=2a2,‎ 综上,面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG.‎ ‎ ‎ ‎23.(2018•武汉)如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF与DE交于点G,求证:GE=GF.‎ ‎【分析】求出BF=CE,根据SAS推出△ABF≌△DCE,得对应角相等,由等腰三角形的判定可得结论.‎ ‎【解答】证明:∵BE=CF,‎ ‎∴BE+EF=CF+EF,‎ ‎∴BF=CE,‎ 在△ABF和△DCE中 ‎∴△ABF≌△DCE(SAS),‎ ‎∴∠GEF=∠GFE,‎ ‎∴EG=FG.‎ ‎ ‎ ‎24.(2018•咸宁)已知:∠AOB.‎ 求作:∠A'O'B',使∠A'O′B'=∠AOB ‎(1)如图1,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C、D;‎ ‎(2)如图2,画一条射线O′A′,以点O′为圆心,OC长为半径间弧,交O′A′于点C′;‎ ‎(3)以点C′为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所而的弧交于点D′;‎ ‎(4)过点D′画射线O′B',则∠A'O'B'=∠AOB.‎ 根据以上作图步骤,请你证明∠A'O'B′=∠AOB.‎ ‎【分析】由基本作图得到OD=OC=O′D′=O′C′,CD=C′D′,则根据“SSS“可证明△OCD≌△O′C′D′,然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB.‎ ‎【解答】证明:由作法得OD=OC=O′D′=O′C′,CD=C′D′,‎ 在△OCD和△O′C′D′中 ‎,‎ ‎∴△OCD≌△O′C′D′,‎ ‎∴∠COD=∠C′O′D′,‎ 即∠A'O'B′=∠AOB.‎ ‎ ‎ ‎25.(2018•安顺)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.‎ ‎(1)求证:AF=DC;‎ ‎(2)若AC⊥AB,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.‎ ‎【分析】(1)连接DF,由AAS证明△AFE≌△DBE,得出AF=BD,即可得出答案;‎ ‎(2)根据平行四边形的判定得出平行四边形ADCF,求出AD=CD,根据菱形的判定得出即可;‎ ‎【解答】(1)证明:连接DF,‎ ‎∵E为AD的中点,‎ ‎∴AE=DE,‎ ‎∵AF∥BC,‎ ‎∴∠AFE=∠DBE,‎ 在△AFE和△DBE中,‎ ‎,‎ ‎∴△AFE≌△DBE(AAS),‎ ‎∴EF=BE,‎ ‎∵AE=DE,‎ ‎∴四边形AFDB是平行四边形,‎ ‎∴BD=AF,‎ ‎∵AD为中线,‎ ‎∴DC=BD,‎ ‎∴AF=DC;‎ ‎(2)四边形ADCF的形状是菱形,理由如下:‎ ‎∵AF=DC,AF∥BC,‎ ‎∴四边形ADCF是平行四边形,‎ ‎∵AC⊥AB,‎ ‎∴∠CAB=90°,‎ ‎∵AD为中线,‎ ‎∴AD=BC=DC,‎ ‎∴平行四边形ADCF是菱形;‎ ‎ ‎ ‎26.(2018•广州)如图,AB与CD相交于点E,AE=CE,DE=BE.求证:∠A=∠C.‎ ‎【分析】根据AE=EC,DE=BE,∠AED和∠CEB是对顶角,利用SAS证明△ADE≌△CBE即可.‎ ‎【解答】证明:在△AED和△CEB中,‎ ‎,‎ ‎∴△AED≌△CEB(SAS),‎ ‎∴∠A=∠C(全等三角形对应角相等).‎ ‎ ‎ ‎27.(2018•宜宾)如图,已知∠1=∠2,∠B=∠D,求证:CB=CD.‎ ‎【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABC≌△ADC,则其对应边相等.‎ ‎【解答】证明:如图,∵∠1=∠2,‎ ‎∴∠ACB=∠ACD.‎ 在△ABC与△ADC中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABC≌△ADC(AAS),‎ ‎∴CB=CD.‎ ‎ ‎ ‎28.(2018•铜仁市)已知:如图,点A、D、C、B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF,求证:AE∥BF.‎ ‎【分析】可证明△ACE≌△BDF,得出∠A=∠B,即可得出AE∥BF;‎ ‎【解答】证明:∵AD=BC,∴AC=BD,‎ 在△ACE和△BDF中,,‎ ‎∴△ACE≌△BDF(SSS)‎ ‎∴∠A=∠B,‎ ‎∴AE∥BF;‎ ‎ ‎ ‎29.(2018•温州)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,AD∥EC,∠AED=∠B.‎ ‎(1)求证:△AED≌△EBC.‎ ‎(2)当AB=6时,求CD的长.‎ ‎【分析】(1)利用ASA即可证明;‎ ‎(2)首先证明四边形AECD是平行四边形,推出CD=AE=AB即可解决问题;‎ ‎【解答】(1)证明:∵AD∥EC,‎ ‎∴∠A=∠BEC,‎ ‎∵E是AB中点,‎ ‎∴AE=EB,‎ ‎∵∠AED=∠B,‎ ‎∴△AED≌△EBC.‎ ‎(2)解:∵△AED≌△EBC,‎ ‎∴AD=EC,‎ ‎∵AD∥EC,‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形,‎ ‎∴CD=AE,‎ ‎∵AB=6,‎ ‎∴CD=AB=3.‎ ‎ ‎ ‎30.(2018•菏泽)如图,AB∥CD,AB=CD,CE=BF.请写出DF与AE的数量关系,并证明你的结论.‎ ‎【分析】结论:DF=AE.只要证明△CDF≌△BAE即可;‎ ‎【解答】解:结论:DF=AE.‎ 理由:∵AB∥CD,‎ ‎∴∠C=∠B,‎ ‎∵CE=BF,‎ ‎∴CF=BE,∵CD=AB,‎ ‎∴△CDF≌△BAE,‎ ‎∴DF=AE.‎ ‎ ‎ ‎31.(2018•苏州)如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求证:BC∥EF.‎ ‎【分析】由全等三角形的性质SAS判定△ABC≌△DEF,则对应角∠ACB=∠DFE,故证得结论.‎ ‎【解答】证明:∵AB∥DE,‎ ‎∴∠A=∠D,‎ ‎∵AF=DC,‎ ‎∴AC=DF.‎ ‎∴在△ABC与△DEF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABC≌△DEF(SAS),‎ ‎∴∠ACB=∠DFE,‎ ‎∴BC∥EF.‎ ‎ ‎ ‎32.(2018•嘉兴)已知:在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.‎ ‎【分析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF,推出∠A=∠C,推出BA=BC,又AB=AC,即可推出AB=BC=AC;‎ ‎【解答】证明:∵DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,‎ ‎∴∠AED=∠CFD=90°,‎ ‎∵D为AC的中点,‎ ‎∴AD=DC,‎ 在Rt△ADE和Rt△CDF中,‎ ‎,‎ ‎∴Rt△ADE≌Rt△CDF,‎ ‎∴∠A=∠C,‎ ‎∴BA=BC,∵AB=AC,‎ ‎∴AB=BC=AC,‎ ‎∴△ABC是等边三角形.‎ ‎ ‎ ‎33.(2018•滨州)已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.‎ ‎(1)如图①,若点E、F分别为AB、AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF;‎ ‎(2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图②说明理由.‎ ‎【分析】(1)连接AD,根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD,根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF,由此即可证出△BDE≌△ADF(ASA),再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF;‎ ‎(2)连接AD,根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠‎ FAD、BD=AD,根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF,由此即可证出△EDB≌△FDA(ASA),再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF.‎ ‎【解答】(1)证明:连接AD,如图①所示.‎ ‎∵∠A=90°,AB=AC,‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形,∠EBD=45°.‎ ‎∵点D为BC的中点,‎ ‎∴AD=BC=BD,∠FAD=45°.‎ ‎∵∠BDE+∠EDA=90°,∠EDA+∠ADF=90°,‎ ‎∴∠BDE=∠ADF.‎ 在△BDE和△ADF中,,‎ ‎∴△BDE≌△ADF(ASA),‎ ‎∴BE=AF;‎ ‎(2)BE=AF,证明如下:‎ 连接AD,如图②所示.‎ ‎∵∠ABD=∠BAD=45°,‎ ‎∴∠EBD=∠FAD=135°.‎ ‎∵∠EDB+∠BDF=90°,∠BDF+∠FDA=90°,‎ ‎∴∠EDB=∠FDA.‎ 在△EDB和△FDA中,,‎ ‎∴△EDB≌△FDA(ASA),‎ ‎∴BE=AF.‎ ‎ ‎ ‎34.(2018•怀化)已知:如图,点A.F,E.C在同一直线上,AB∥DC,AB=CD,∠B=∠D.‎ ‎(1)求证:△ABE≌△CDF;‎ ‎(2)若点E,G分别为线段FC,FD的中点,连接EG,且EG=5,求AB的长.‎ ‎【分析】(1)根据平行线的性质得出∠A=∠C,进而利用全等三角形的判定证明即可;‎ ‎(2)利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可.‎ ‎【解答】证明:(1)∵AB∥DC,‎ ‎∴∠A=∠C,‎ 在△ABE与△CDF中,‎ ‎∴△ABE≌△CDF(ASA);‎ ‎(2)∵点E,G分别为线段FC,FD的中点,‎ ‎∴ED=CD,‎ ‎∵EG=5,‎ ‎∴CD=10,‎ ‎∵△ABE≌△CDF,‎ ‎∴AB=CD=10.‎ ‎ ‎ ‎35.(2018•娄底)如图,已知四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD,过O点作EF⊥BD,分别交AD、BC于点E、F.‎ ‎(1)求证:△AOE≌△COF;‎ ‎(2)判断四边形BEDF的形状,并说明理由.‎ ‎【分析】(1)首先证明四边形ABCD是平行四边形,再利用ASA证明△AOE≌△COF;‎ ‎(2)结论:四边形BEDF是菱形.根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明;‎ ‎【解答】(1)证明:∵OA=OC,OB=OD,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC,‎ ‎∴∠EAO=∠FCO,‎ 在△AOE和△COF中,‎ ‎,‎ ‎∴△AOE≌△COF.‎ ‎(2)解:结论:四边形BEDF是菱形,‎ ‎∵△AOE≌△COF,‎ ‎∴AE=CF,‎ ‎∵AD=BC,‎ ‎∴DE=BF,∵DE∥BF,‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形,‎ ‎∵OB=OD,EF⊥BD,‎ ‎∴EB=ED,‎ ‎∴四边形BEDF是菱形.‎ ‎ ‎ ‎36.(2018•桂林)如图,点A、D、C、F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.‎ ‎(1)求证:△ABC≌DEF;‎ ‎(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.‎ ‎【分析】(1)求出AC=DF,根据SSS推出△ABC≌△DEF.‎ ‎(2)由(1)中全等三角形的性质得到:∠A=∠EDF,进而得出结论即可.‎ ‎【解答】证明:(1)∵AC=AD+DC,DF=DC+CF,且AD=CF ‎∴AC=DF 在△ABC和△DEF中,‎ ‎∴△ABC≌△DEF(SSS)‎ ‎(2)由(1)可知,∠F=∠ACB ‎∵∠A=55°,∠B=88°‎ ‎∴∠ACB=180°﹣(∠A+∠B)=180°﹣(55°+88°)=37°‎ ‎∴∠F=∠ACB=37°‎ ‎ ‎
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