2012年长沙 (2)中考数学试卷

2012年长沙 (2)中考数学试卷

‎2012年长沙中考数学试卷解析 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．‎ ‎1.﹣3相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎﹣3‎ C．‎ ‎﹣‎ D．‎ ‎3‎ 解答：‎ 解：﹣3相反数是3．‎ 故选D．‎ ‎2．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 解答：‎ 解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；‎ C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．‎ 故选A．‎ ‎3．甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎＜‎ B．‎ ‎＞‎ C．‎ ‎=‎ D．‎ 不能确定 解答：‎ 解：根据方差的意义知，射击成绩比较稳定，则方差较小，‎ ‎∵甲的成绩比乙的成绩稳定，‎ ‎∴有：S甲2＜S乙2．‎ 故选A．‎ ‎4．一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示，则下列符合条件的不等式组为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 解答：‎ 解：由图示可看出，从﹣1出发向右画出的折线且表示﹣1的点是实心圆，表示x≥﹣1；‎ 从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示x＜2，所以这个不等式组的解集为﹣1≤x＜2，即：．‎ 故选：C．‎ ‎5．下列四边形中，两条对角线一定不相等的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 正方形 B．‎ 矩形 C．‎ 等腰梯形 D．‎ 直角梯形 解答：‎ 解：根据正方形、矩形、等腰梯形的性质，它们的两条对角线一定相等，只有直角梯形的对角线一定不相等．‎ 故选D．‎ ‎6．下列四个角中，最有可能与70°角互补的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 解答：‎ 解：70°角的补角=180°﹣70°=110°，是钝角，‎ 结合各选项，只有D选项是钝角，‎ 所以，最有可能与70°角互补的是D选项的角．‎ 故选D．‎ ‎7．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 解答：‎ 解：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，正常匀速行驶的路程、时间图象是一条过原点O的斜线，‎ 修车时自行车没有运动，所以修车时的路程保持不变是一条平行于横坐标的水平线，‎ 修车后为了赶时间，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，此时的路程、时间图象仍是一条斜线，只是斜线的倾角变大．‎ 因此选项A、B、D都不符合要求．‎ 故选C．‎ ‎8．已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD=6cm，则OE的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎6cm B．‎ ‎4cm C．‎ ‎3cm D．‎ ‎2cm 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴OB=OD，CD=AD=6cm，‎ ‎∵OE∥DC，‎ ‎∴BE=CE，‎ ‎∴OE=CD=3cm．‎ 故选C．‎ ‎9．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 解答：‎ 解：设I=，那么点（3，2）适合这个函数解析式，则k=3×2=6，‎ ‎∴I=．‎ 故选C．‎ ‎10．现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1个 B．‎ ‎2个 C．‎ ‎3个 D．‎ ‎4个 解答：‎ 解：四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；‎ 只有3，7，9和4，7，9能组成三角形．‎ 故选B．‎ 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）‎ ‎11．已知函数关系式：y=，则自变量x的取值范围是　x≥1　．‎ 解答：‎ 解：根据题意得，x﹣1≥0，‎ 解得x≥1．‎ 故答案为：x≥1．‎ ‎12．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则外角∠ACD=　105　度．‎ 解答：‎ 解：∵∠A=45°，∠B=60°，‎ ‎∴∠ACD=∠A+∠B=45°+60°=105°．‎ 故答案为：105．‎ ‎13．若实数a、b满足|3a﹣1|+b2=0，则ab的值为　1　．‎ 解答：‎ 解：根据题意得，3a﹣1=0，b=0，‎ 解得a=，b=0，‎ ab=（）0=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎14．如果一次函数y=mx+3的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是　m＜0　．‎ 解答：‎ 解：∵一次函数y=mx+3的图象经过第一、二、四象限，‎ ‎∴m＜0．‎ 故答案为：m＜0．‎ ‎15．任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是　随机　事件．‎ 解答：‎ 解：抛掷1枚均匀硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，‎ 故抛掷1枚均匀硬币正面朝上是随机事件．‎ 故答案为：随机．‎ ‎16．在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是　　cm．‎ 解答：‎ 解：扇形的弧长L==πcm．‎ 故答案为：πcm．‎ ‎17．如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=　360　度．‎ 解答：‎ 解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BAC+∠ACD=180°…①，‎ ‎∵CD∥EF，‎ ‎∴∠CEF+∠ECD=180°…②，‎ ‎①+②得，‎ ‎∠BAC+∠ACD+∠CEF+∠ECD=180°+180°=360°，‎ 即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°．‎ ‎18．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠B=60°，则BC的长为　4　．‎ 解答：‎ 解：过点A作AE∥CD交BC于点E，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形，‎ ‎∴AE=CD=2，AD=EC=2，‎ ‎∵∠B=60°，‎ ‎∴BE=AB=AE=2，‎ ‎∴BC=BE+CE=2+2=4．‎ 三、解答题：（本题共2个小题，每小题6分，共12分）‎ ‎19．计算：．‎ 解答：‎ 解：原式=2+2×﹣3=0．‎ ‎20．先化简，再求值：，其中a=﹣2，b=1．‎ 解答：‎ 解：原式=+‎ ‎=+‎ ‎=，‎ 把 a=﹣2，b=1代入得：原式==2．‎ 四．解答题：（本题共2个小题，每小题8分，共16分）‎ ‎21．某班数学科代表小华对本班上期期末考试数学成绩作了统计分析，绘制成如下频数、频率统计表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信息，解答下列问题：‎ 分组 ‎49.5～59.5‎ ‎59.5～69.5‎ ‎69.5～79.5‎ ‎79.5～89.5‎ ‎89.5～100.5‎ 合计 频数 ‎2‎ a ‎20‎ ‎16‎ ‎4‎ ‎50‎ 频率 ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.40‎ ‎0.32‎ b ‎1‎ ‎（1）频数、频率统计表中，a=　8　；b=　0.08　；‎ ‎（2）请将频数分布直方图补充完整；‎ ‎（3）小华在班上任选一名同学，该同学成绩不低于80分的概率是多少？‎ 解答：‎ 解：（1）a=50﹣2﹣20﹣16﹣4=50﹣42=8，‎ b=1﹣0.04﹣0.16﹣0.40﹣0.32=1﹣0.92=0.08；‎ 故答案为：8，0.08．‎ ‎（2）如图所示；‎ ‎（3）该同学成绩不低于80分的概率是：0.32+0.08=0.40=40%．‎ ‎22．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，‎ ‎（1）求证：△ABC是等边三角形；‎ ‎（2）求圆心O到BC的距离OD．‎ 解答：‎ 解：（1）在△ABC中，‎ ‎∵∠BAC=∠APC=60°，‎ 又∵∠APC=∠ABC，‎ ‎∴∠ABC=60°，‎ ‎∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形；‎ ‎（2）∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，‎ ‎∴O为△ABC的外心，‎ ‎∴BO平分∠ABC，‎ ‎∴∠OBD=30°，‎ ‎∴OD=8×=4．‎ 五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）‎ ‎23．以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于‎2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个．‎ ‎（1）求湖南省签订的境外，省外境内的投资合作项目分别有多少个？‎ ‎（2）若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道湖南省共引进资金多少亿元？‎ 解答：‎ 解：（1）设境外投资合作项目个数为x个，‎ 根据题意得出：2x﹣（348﹣x）=51，‎ 解得：x=133，‎ 故省外境内投资合作项目为：348﹣133=215个．‎ 答：境外投资合作项目为133个，省外境内投资合作项目为215个．‎ ‎（2）∵境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，‎ ‎∴湖南省共引进资金：133×6+215×7.5=2410.5亿元．‎ 答：东道湖南省共引进资金2410.5亿元．‎ ‎24．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．‎ ‎（1）求证：△BDG∽△DEG；‎ ‎（2）若EG•BG=4，求BE的长．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，‎ ‎∴△BCE≌△DCF，‎ ‎∴∠FDC=∠EBC，‎ ‎∵BE平分∠DBC，‎ ‎∴∠DBE=∠EBC，‎ ‎∴∠FDC=∠EBE，‎ ‎∵∠DGE=∠DGE，‎ ‎∴△BDG∽△DEG．‎ ‎（2）解：∵△BCE≌△DCF，‎ ‎∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°，‎ ‎∵BE平分∠DBC，‎ ‎∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC，‎ ‎∴∠BDF=45°+22.5°=67.5°，‎ ‎∠F=90°﹣22.5°=67.5°=∠BDF，‎ ‎∴BD=BF，‎ ‎∵△BCE≌△DCF，‎ ‎∴∠F=∠BEC=67.5°=∠DEG，‎ ‎∴∠DGB=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°，‎ 即BG⊥DF，‎ ‎∵BD=BF，‎ ‎∴DF=2DG，‎ ‎∵△BDG∽△DEG，BG×EG=4，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BG×EG=DG×DG=4，‎ ‎∴DG=2，‎ ‎∴BE=DF=2DG=4．‎ 六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）‎ ‎25．在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：‎ ‎（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）‎ ‎（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？‎ ‎（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？‎ ‎（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．‎ 解答：‎ 解：（1）∵25≤28≤30，，‎ ‎∴把28代入y=40﹣x得，‎ ‎∴y=12（万件），‎ 答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件；‎ ‎（2）①当 25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x2+60x﹣925=﹣（x﹣30）2﹣25，‎ 故当x=30时，W最大为﹣25，及公司最少亏损25万；‎ ‎②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20）﹣25﹣100‎ ‎=﹣x2+35x﹣625=﹣（x﹣35）2﹣12.5‎ 故当x=35时，W最大为﹣12.5，及公司最少亏损12.5万；‎ 对比1°，2°得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；‎ 答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；‎ ‎（3）①当 25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x2+59x﹣782.5‎ 令W=67.5，则﹣x2+59x﹣782.5=67.5‎ 化简得：x2﹣59x+850=0 x1=25；x2=34，‎ 此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，25≤x≤30；‎ ‎②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x2+35.5x﹣547.5，‎ 令W=67.5，则﹣x2+35.5x﹣547.5=67.5，‎ 化简得：x2﹣71x+1230=0 x1=30；x2=41，‎ 此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30＜x≤35，‎ 答：到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是25≤x≤30或30＜x≤35．‎ ‎26．如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H．‎ ‎（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；‎ ‎（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；‎ ‎（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2．‎ 试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意可知O1（m，m），O2（n，n），‎ 设过点O1，O2的直线解析式为y=kx+b，则有：‎ ‎（0＜m＜n），解得，‎ ‎∴所求直线的解析式为：y=x．‎ ‎（2）由相交两圆的性质，可知P、Q点关于O1O2对称．‎ ‎∵P（4，1），直线O1O2解析式为y=x，∴Q（1，4）．‎ 如解答图1，连接O1Q．‎ ‎∵Q（1，4），O1（m，m），根据两点间距离公式得到：‎ O1Q==‎ 又O1Q为小圆半径，即QO1=m，‎ ‎∴=m，化简得：m2﹣10m+17=0 ①‎ 如解答图1，连接O2Q，同理可得：n2﹣10n+17=0 ②‎ 由①，②式可知，m、n是一元二次方程x2﹣10x+17=0 ③的两个根，‎ 解③得：x=5±，∵0＜m＜n，∴m=5﹣，n=5+．‎ ‎∵O1（m，m），O2（n，n），‎ ‎∴d=O1O2==8．‎ ‎（3）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+bx+c，因为开口向下，所以a＜0．‎ 如解答图2，连接PQ．‎ 由相交两圆性质可知，PQ⊥O1O2．‎ ‎∵P（4，1），Q（1，4），‎ ‎∴PQ==，又O1O2=8，‎ ‎∴S1=PQ•O1O2=××8=；‎ 又S2=（O2R+O1M）•MR=（n+m）（n﹣m）=；‎ ‎∴==1，即抛物线在x轴上截得的线段长为1．‎ ‎∵抛物线过点P（4，1），Q（1，4），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为：y=ax2﹣（5a+1）x+5+4a，‎ 令y=0，则有：ax2﹣（5a+1）x+5+4a=0，‎ 设两根为x1，x2，则有：x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∵在x轴上截得的线段长为1，即|x1﹣x2|=1，‎ ‎∴（x1﹣x2）2=1，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1，‎ 即（）2﹣4（）=1，化简得：8a2﹣10a+1=0，‎ 解得a=，可见a的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即a＜0）矛盾，‎ ‎∴不存在这样的抛物线．‎