中考垂径定理专题知识点

中考垂径定理专题知识点

圆的垂径定理 1、（2013 年潍坊市）如图，⊙O 的直径 AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂足为 P， 且 BP：AP=1:5,则 CD 的长为（ ）. A. B. C. D. 3、(2013 河南省)如图，CD 是 的直径，弦 于点 G，直线 与 相切与 点 D，则下列结论中不一定正确的是【】 （A） （B） ∥ （C）AD∥BC （D） 【解析】由垂径定理可知：（A）一定正确。由题可知： ，又因为 ， 所以 ∥ ，即（B）一定正确。因为 所对的弧是劣弧 ，根据同 弧所对的圆周角相等可知（D）一定正确。 4、（2013•泸州）已知⊙O 的直径 CD=10cm，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为 M，且 AB=8cm，则 AC 的长为（　　） 　A． cm B． cm C． cm 或 cm D ． cm 或 cm 分析：先根据题意画出图形，由于点 C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论． 解答：解：连接 AC，AO， ∵⊙O 的直径 CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm， ∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm， 当 C 点位置如图 1 所示时， ∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB， ∴OM= = =3cm， ∴CM=OC+OM=5+3=8cm， 24 28 52 54 O AB CD⊥ EF O AG BG= AB EF ABC ADC∠ = ∠ EF CD⊥ AB CD⊥ AB EF ABC ADC∠ ∠和 AC ∴AC= = =4 cm； 当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm， ∵OC=5cm， ∴MC=5﹣3=2cm， 在 Rt△AMC 中，AC= = =2 cm． 故选 C． 5、（2013•广安）如图，已知半径 OD 与弦 AB 互相垂直，垂足为点 C，若 AB=8cm， CD=3cm，则圆 O 的半径为（　　） 　A． cm B．5cm C．4cm D ． cm 解答：解：连接 AO， ∵半径 OD 与弦 AB 互相垂直，∴AC= AB=4cm， 设半径为 x，则 OC=x﹣3， 在 Rt△ACO 中，AO2=AC2+OC2， 即 x2=42+（x﹣3）2， 解得：x= ， 故半径为 cm． 故选 A． 　 8、（2013•嘉兴）如图，⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交⊙O 于点 E，连 结 EC．若 AB=8，CD=2，则 EC 的长为（　　） 　A．2 B．8 C．2 D ． 2 解答：解：∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，AB=8，∴AC=AB=4， 设⊙O 的半径为 r，则 OC=r﹣2， 在 Rt△AOC 中， ∵AC=4，OC=r﹣2，∴OA2=AC2+OC2，即 r2=42+（r﹣2）2，解得 r=5， ∴AE=2r=10， 连接 BE， ∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE=90°， 在 Rt△ABE 中， ∵AE=10，AB=8，∴BE= = =6， 在 Rt△BCE 中， ∵BE=6，BC=4， ∴CE= = =2 ． 故选 D． 点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答 此题的关键． 12、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O 直径，弦 AB⊥CD 于 F，连接 BC，DB，则下列结论错 误的是（　　） 　A． B．AF=BF C．OF=CF D ． ∠DBC=90° 解答：解：∵DC 是⊙O 直径，弦 AB⊥CD 于 F， ∴点 D 是优弧 AB 的中点，点 C 是劣弧 AB 的中点， A、 = ，正确，故本选项错误； B、AF=BF，正确，故本选项错误； C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项错误；X Kb1. Co m D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误； 故选 C． 点评：本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定 理的内容，难度一般． 14、（2013•南宁）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，且 AE=CD=8，∠BAC= ∠BOD，则⊙O 的半径为（　　） 　A．4 B．5 C．4 D ． 3 解答： 解：∵∠BAC= ∠BOD， ∴ = ，∴AB⊥CD， ∵AE=CD=8，∴DE= CD=4， 设 OD=r，则 OE=AE﹣r=8﹣r， 在 RtODE 中，OD=r，DE=4，OE=8﹣r， ∵OD2=DE2+OE2，即 r2=42+（8﹣r）2，解得 r=5． 故选 B． 17、（2013•内江）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0），直线 y=kx﹣3k+4 与⊙O 交于 B、C 两点，则弦 BC 的长的最小值为　 　． 解答：解：∵直线 y=kx﹣3k+4 必过点 D（3，4）， ∴最短的弦 CD 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦， ∵点 D 的坐标是（3，4）， ∴OD=5， ∵以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0）， ∴圆的半径为 13， ∴OB=13， ∴BD=12， ∴BC 的长的最小值为 24； 故答案为：24． 20、（2013•宁夏）如图，将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为　 　cm． 解答：解：过点 O 作 OD⊥AB 交 AB 于点 D， ∵OA=2OD=2cm， ∴AD= = = cm， ∵OD⊥AB， ∴AB=2AD= cm． 点评：本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用． 21、（2013•包头）如图，点 A、B、C、D 在⊙O 上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=　 　 度． 解答：解：∵OB⊥AC， ∴ = ， ∴∠ADB= ∠BOC=28°． 故答案为：28． 点评：此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这 条弧所对的圆心角的一半． 22、（2013•株洲）如图 AB 是⊙O 的直径，∠BAC=42°，点 D 是弦 AC 的中点，则∠DOC 的 度数是　48　度． 解答：解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴OA=OC ∵∠A=42° ∴∠ACO=∠A=42° ∵D 为 AC 的中点， ∴OD⊥AC， ∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°． 故答案为：48． 点评：本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线． 23、（2013•黄冈）如图，M 是 CD 的中点，EM⊥CD，若 CD=4，EM=8，则 所在圆的半 径为　 　． 解答：解：连接 OC， ∵M 是 CD 的中点，EM⊥CD，∴EM 过⊙O 的圆心点 O， 设半径为 x， ∵CD=4，EM=8，∴CM= CD=2，OM=8﹣OE=8﹣x， 在 Rt△OEM 中，OM2+CM2=OC2， 即（8﹣x）2+22=x2， 解得：x= ． ∴ 所在圆的半径为： ． 故答案为： ． 28、（2013 陕西）如图，AB 是⊙O 的一条弦，点 C 是⊙O 上一动点， C A B CG HE F 第 16 题图 且∠ACB=30°，点 E、F 分别是 AC、BC 的中点， 直线 EF 与⊙O 交于 G、H 两点，若⊙O 的半径为 7， 则 GE+FH 的最大值为 ． 解析：本题考查圆心角与圆周角的关系应用，中位线及最值问题。连接 OA，OB， 因为∠ACB=30°，所以∠AOB=60°，所以 OA=OB=AB=7，因为 E、F 中 AC、BC 的中点， 所以 EF= =3.5，因为 GE+FH=GH－EF，要使 GE+FH 最大，而 EF 为定值，所以 GH 取最 大值时 GE+FH 有最大值，所以当 GH 为直径时，GE+FH 的最大值为 14-3.5=10.5 33、（2013•资阳）在⊙O 中，AB 为直径，点 C 为圆上一点，将劣弧沿弦 AC 翻折交 AB 于 点 D，连结 CD． （1）如图 1，若点 D 与圆心 O 重合，AC=2，求⊙O 的半径 r； （2）如图 2，若点 D 与圆心 O 不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA 的度数． 分析：（1）过点 O 作 OE⊥AC 于 E，根据垂径定理可得 AE= AC，再根据翻折的性质可得 OE= r，然后在 Rt△AOE 中，利用勾股定理列式计算即可得解； （2）连接 BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互 余求出∠B，再根据翻折的性质得到 所对的圆周角，然后根据∠ACD 等于 所对 的圆周角减去 所对的圆周角，计算即可得解． 解答：解：（1）如图，过点 O 作 OE⊥AC 于 E， 则 AE= AC= ×2=1， ∵翻折后点 D 与圆心 O 重合， ∴OE= r， 在 Rt△AOE 中，AO2=AE2+OE2， 即 r2=12+（ r）2， 解得 r= ； AB2 1 （2）连接 BC， ∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=25°， ∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°， 根据翻折的性质， 所对的圆周角等于 所对的圆周角， ∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°． 点评：本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1） 作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，（2）根据同弧 所对的圆周角相等求解是解题的关键．