中考数学专题复习与圆有关的动点问题含答案

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中考数学专题复习与圆有关的动点问题含答案

‎2014年中考数学专题复习:与圆有关的动点问题 ‎1、如图,⊙O的直径AB=4,C为圆周上一点,AC=2,过点C作⊙O的切线DC,P点为优弧CBA上一动点(不与A.C重合).‎ ‎(1)求∠APC与∠ACD的度数;‎ ‎(2)当点P移动到CB弧的中点时,求证:四边形OBPC是菱形.‎ ‎(3)P点移动到什么位置时,△APC与△ABC全等,请说明理由.‎ ‎2、如图,在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,AC=AB,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合),过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点.‎ ‎(1)如图1,求证:△PCD∽△ABC;‎ ‎(2)当点P运动到什么位置时,△PCD≌△ABC?请在图2中画出△PCD并说明理由;‎ ‎(3)如图3,当点P运动到CP⊥AB时,求∠BCD的度数.‎ ‎3、如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.‎ ‎(1)当BC=1时,求线段OD的长;‎ ‎(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由;‎ ‎(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.‎ ‎4、如图,菱形ABCD的边长为‎2cm,∠DAB=60°.点P从A点出发,以cm/s的速度,沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从A点出发,以‎1cm/s的速度,沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时,P、Q都停止运动.设点P运动的时间为ts.‎ ‎(1)当P异于A.C时,请说明PQ∥BC;‎ ‎(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点?‎ ‎5、如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=60º,以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E.‎ ‎(1)求证:⊙D与边BC也相切;‎ ‎(2)设⊙D与BD相交于点H,与边CD相交于点F,连接HF,求图中阴影部分的面积(结果保留);‎ ‎(3)⊙D上一动点M从点F出发,按逆时针方向运动半周,当S△HDF=S△MDF时,求动点M经过的弧长(结果保留).‎ ‎6、半径为‎2cm的与⊙O边长为‎2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧,⊙O与l相切于点F,DC在l上. (1)过点B作的一条切线BE,E为切点. ①填空:如图1,当点A在⊙O上时,∠EBA的度数是 30°‎ ‎; ②如图2,当E,A,D三点在同一直线上时,求线段OA的长; (2)以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置,向左移动正方形(图3),至边BC与OF重合时结束移动,M,N分别是边BC,AD与⊙O的公共点,求扇形MON的面积的范围. ‎ ‎7、如图,Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,且∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点P在射线AC上运动,过点P作PH⊥AB,垂足为H.‎ ‎(1)直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长;‎ ‎(2)设PH=x,PC=y,求y关于x的函数关系式;‎ ‎(3)当PH与⊙O相切时,求相应的y值.‎ ‎8、如图1,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点(不与M、C重合),以AB为直径作⊙O,过点P作⊙O的切线,交AD于点F,切点为E.‎ ‎(1)求证:OF∥BE;‎ ‎(2)设BP=x,AF=y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(3)延长DC、FP交于点G,连接OE并延长交直线DC与H(图2),问是否存在点P,使△EFO∽△EHG(E、F、O与E、H、G为对应点)?如果存在,试求(2)中x和y的值;如果不存在,请说明理由.‎ ‎9、如图,⊙O的半径为1,直线CD经过圆心O,交⊙O于C、D两点,直径AB⊥CD,点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点,AM所在的直线交于⊙O于点N,点P是直线CD上另一点,且PM=PN.‎ ‎(1)当点M在⊙O内部,如图一,试判断PN与⊙O的关系,并写出证明过程;‎ ‎(2)当点M在⊙O外部,如图二,其它条件不变时,(1)的结论是否还成立?请说明理由;‎ ‎(3)当点M在⊙O外部,如图三,∠AMO=15°,求图中阴影部分的面积.‎ ‎10、如图,在⊙O中,直径AB⊥CD,垂足为E,点M为OC上动点,AM的延长线交⊙O于点G,交过C的直线于F,∠1=∠2,连结CB与DG交于点N.‎ ‎(1)求证:CF是⊙O的切线;‎ ‎(2)点M在OC上移动时(点M不与O、C点重合),探究△ACM与△DCN之间关系,并证明 ‎(3)若点M移动到CO的中点时,⊙O的半径为4,cos∠BOC=,求BN的长.‎ ‎11、如图,已知AB是圆O的直径,BC是圆O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC 于点G,过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P.‎ ‎ (1)求证:PC=PG;‎ ‎ (2)点C在劣弧AD上运动时,其他条件不变,若点G是BC的中点,试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系,并写出证明过程;‎ ‎ (3)在满足(2)的条件下,已知圆为O的半径为5,若点O到BC的距离为时,求弦ED的长.‎ ‎12、如图1,已知⊙O的半径长为3,点A是⊙O上一定点,点P为⊙O上不同于点A的动点.‎ ‎(1)当时,求AP的长;‎ ‎(2)如果⊙Q过点P、O,且点Q在直线AP上(如图2),设AP=x,QP=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;‎ ‎(3)在(2)的条件下,当时(如图3),存在⊙M与⊙O相内切,同时与⊙Q相外切,且OM⊥OQ,试求⊙M的半径的长.‎ 图1 图2 图3 ‎ 答案:‎ ‎1、解:(1)连接AC,如图所示:‎ ‎∵AB=4,∴OA=OB=OC=AB=2。‎ 又∵AC=2,∴AC=OA=OC。∴△ACO为等边三角形。‎ ‎∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°,‎ ‎∴∠APC=∠AOC=30°。‎ 又DC与圆O相切于点C,∴OC⊥DC。∴∠DCO=90°。‎ ‎∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°。‎ ‎ (2)连接PB,OP,‎ ‎∵AB为直径,∠AOC=60°,∴∠COB=120°。‎ 当点P移动到弧CB的中点时,∠COP=∠POB=60°。‎ ‎∴△COP和△BOP都为等边三角形。∴AC=CP=OA=OP。‎ ‎∴四边形AOPC为菱形。‎ ‎(3)当点P与B重合时,△ABC与△APC重合,显然△ABC≌△APC。‎ 当点P继续运动到CP经过圆心时,△ABC≌△CPA,理由为:‎ ‎∵CP与AB都为圆O的直径,∴∠CAP=∠ACB=90°。‎ 在Rt△ABC与Rt△CPA中,AB=CP,AC=AC ‎∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL)。‎ 综上所述,当点P与B重合时和点P运动到CP经过圆心时,△ABC≌△CPA。‎ ‎2、解:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°。‎ ‎∵PD⊥CD,∴∠D=90°。∴∠D=∠ACB。‎ ‎∵∠A与∠P是所对的圆周角,∴∠A=∠P,∴△PCD∽△ABC。‎ ‎(2)当PC是⊙O的直径时,△PCD≌△ABC。理由如下:‎ ‎∵AB,PC是⊙O的半径,∴AB=PC。‎ ‎∵△PCD∽△ABC,∴△PCD≌△ABC。‎ 画图如下:‎ ‎(3)∵∠ACB=90°,AC=AB,∴∠ABC=30°。‎ ‎∵△PCD∽△ABC,∴∠PCD=∠ABC=30°。‎ ‎∵CP⊥AB,AB是⊙O的直径,∴。∴∠ACP=∠ABC=30°。‎ ‎∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°。‎ ‎3、解:(1)∵点O是圆心,OD⊥BC,BC=1,∴BD=BC=。‎ ‎ 又∵OB=2,∴。‎ ‎(2)存在,DE是不变的。‎ 如图,连接AB,则。‎ ‎∵D和E是中点,∴DE=。‎ ‎(3)∵BD=x,∴。‎ ‎∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠AOB=900。‎ ‎∴∠2+∠3=45°。‎ 过D作DF⊥OE,垂足为点F。∴DF=OF=。‎ 由△BOD∽△EDF,得,即 ‎,解得EF=x。‎ ‎∴OE=。‎ ‎∴。‎ ‎4、解:(1)∵四边形ABCD是菱形,且菱形ABCD的边长为2,‎ ‎∴AB=BC=2,∠BAC=∠DAB。‎ 又∵∠DAB=60°,∴∠BAC=∠BCA=30°。‎ 如图1,连接BD交AC于O。‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AC⊥BD,OA=AC。‎ ‎∴OB=AB=1。∴OA=,AC=2OA=2。‎ 运动ts后,AP=t,AO=t,∴。‎ 又∵∠PAQ=∠CAB,∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.‎ ‎∴PQ∥BC.‎ ‎(2)如图2,⊙P与BC切于点M,连接PM,则PM⊥BC。‎ 在Rt△CPM中,∵∠PCM=30°,∴PM=。‎ 由PM=PQ=AQ=t,即=t,解得t=,‎ 此时⊙P与边BC有一个公共点。‎ 如图3,⊙P过点B,此时PQ=PB,‎ ‎∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°‎ ‎∴△PQB为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。‎ ‎∴当时,⊙P与边BC有2个公共点。‎ 如图4,⊙P过点C,此时PC=PQ,即 =t ‎∴t=。‎ ‎∴当1≤t≤时,⊙P与边BC有一个公共点。‎ 当点P运动到点C,即t=2时,Q、B重合,⊙P过点B,‎ 此时,⊙P与边BC有一个公共点。‎ 综上所述,当t=或1≤t≤或t=2时,⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点;当时,⊙P与边BC有2个公共点。‎ ‎5、解:(1)证明:连接DE,过点D作DN⊥BC,垂足为点N。‎ ‎ ∵四边形ABCD是菱形,∴BD平分∠ABC。‎ ‎ ∵⊙D与边AB相切于点E,∴DE⊥AB。∴DN=DE。‎ ‎ ∴⊙D与边BC也相切。‎ ‎(2)∵四边形ABCD是菱形,AB=2,∴AD=AB=2。‎ 又∵∠A=60º,∴DE=ADsin600=3,即⊙D的半径是3。‎ 又∵∠HDF=∠HADC=60º,DH=DF,∴△HDF是等边三角形。‎ 过点H作HG⊥DF,垂足为点G,则HG=3sin600=。‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎(3)假设点M运动到点M1时,满足S△HDF=S△MDF,过点M1作M1P⊥DF,垂足为点P,则,解得。‎ ‎ ∴。∴∠M1DF=30º。‎ 此时动点M经过的弧长为:。‎ 过点M1作M‎1M2‎∥DF交⊙D于点M2,‎ 则满足,‎ 此时∠M2DF=150º,动点M经过的弧长为:。‎ ‎6、7.解:(1)①∵半径为‎2cm的与⊙O边长为‎2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧,当点A在⊙O上时,过点B作的一条切线BE,E为切点, ∴OB=4,EO=2,∠OEB=90°, ∴∠EBA的度数是:30°; ②如图2, ∵直线l与⊙O相切于点F, ∴∠OFD=90°, ∵正方形ADCB中,∠ADC=90°, ∴OF∥AD, ∵OF=AD=2, ∴四边形OFDA为平行四边形, ∵∠OFD=90°, ∴平行四边形OFDA为矩形, ∴DA⊥AO, ∵正方形ABCD中,DA⊥AB, ∴O,A,B三点在同一条直线上; ∴EA⊥OB, ∵∠OEB=∠AOE, ∴△EOA∽△BOE, ∴, ∴OE2=OA•OB, ∴OA(2+OA)=4, 解得:OA=-1±, ∵OA>0,∴OA=-1; 方法二: 在Rt△OAE中,cos∠EOA=, 在Rt△EOB中,cos∠EOB=, ∴, 解得:OA=-1±, ∵OA>0,∴OA=-1; 方法三: ∵OE⊥EB,EA⊥OB, ∴由射影定理,得OE2=OA•OB, ∴OA(2+OA)=4, 解得:OA=-1±, ‎ ‎∵OA>0, ∴OA=-1; (2)如图3,设∠MON=n°,S扇形MON=×22=n(cm2), S随n的增大而增大,∠MON取最大值时,S扇形MON最大, 当∠MON取最小值时,S扇形MON最小, 如图,过O点作OK⊥MN于K,‎ ‎ ∴∠MON=2∠NOK,MN=2NK, 在Rt△ONK中,sin∠NOK=, ∴∠NOK随NK的增大而增大,∴∠MON随MN的增大而增大, ∴当MN最大时∠MON最大,当MN最小时∠MON最小, ①当N,M,A分别与D,B,O重合时,MN最大,MN=BD, ∠MON=∠BOD=90°,S扇形MON最大=π(cm2), ②当MN=DC=2时,MN最小, ∴ON=MN=OM, ∴∠NOM=60°, S扇形MON最小=π(cm2), ∴π≤S扇形MON≤π. 7、(1)连接AO、DO.设⊙O的半径为r.‎ 在Rt△ABC中,由勾股定理得AC==4,则⊙O的半径r=(AC+BC﹣AB)=(4+3﹣5)=1;‎ ‎∵CE、CF是⊙O的切线,∠ACB=90°,‎ ‎∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°,CF=CE,‎ ‎∴四边形CEOF是正方形,‎ ‎∴CF=OF=1;‎ 又∵AD、AF是⊙O的切线,‎ ‎∴AF=AD;‎ ‎∴AF=AC﹣CF=AC﹣OF=4﹣1=3,即AD=3;‎ ‎(2)在Rt△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,‎ ‎∵∠C=90°,PH⊥AB,‎ ‎∴∠C=∠PHA=90°,‎ ‎∵∠A=∠A,‎ ‎∴△AHP∽△ACB,‎ ‎∴==,‎ 即=,‎ ‎∴y=﹣x+4,即y与x的函数关系式是y=﹣x+4;‎ ‎(3)如图,P′H′与⊙O相切.‎ ‎∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°,OM=OD,‎ ‎∴四边形OMH′D是正方形,‎ ‎∴MH′=OM=1;‎ 由(1)知,四边形CFOE是正方形,‎ CF=OF=1,‎ ‎∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C,即x=y;‎ 又由(2)知,y=﹣x+4,‎ ‎∴y=﹣y+4,解得,y=.‎ ‎8、(1)证明:连接OE FE、FA是⊙O的两条切线 ‎∴∠FAO=∠FEO=90°‎ 在Rt△OAF和Rt△OEF中,‎ ‎ ‎ ‎∴Rt△FAO≌Rt△FEO(HL),‎ ‎∴∠AOF=∠EOF=∠AOE,‎ ‎∴∠AOF=∠ABE,‎ ‎∴OF∥BE,‎ ‎(2)解:过F作FQ⊥BC于Q ‎∴PQ=BP﹣BQ=x﹣y PF=EF+EP=FA+BP=x+y ‎∵在Rt△PFQ中 ‎∴FQ2+QP2=PF2‎ ‎∴22+(x﹣y)2=(x+y)2‎ 化简得:,(1<x<2);‎ ‎(3)存在这样的P点,‎ 理由:∵∠EOF=∠AOF,‎ ‎∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF,‎ 当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时,‎ 即∠EOF=30°时,Rt△EFO∽Rt△EHG,‎ 此时Rt△AFO中,‎ y=AF=OA•tan30°=,‎ ‎∴‎ ‎∴当时,△EFO∽△EHG.‎ ‎9、(1)PN与⊙O相切.‎ 证明:连接ON,‎ 则∠ONA=∠OAN,‎ ‎∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN.‎ ‎∵∠AMO=∠PMN,∴∠PNM=∠AMO.‎ ‎∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°.‎ 即PN与⊙O相切.‎ ‎(2)成立.‎ 证明:连接ON,‎ 则∠ONA=∠OAN,‎ ‎∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN.‎ 在Rt△AOM中,‎ ‎∴∠OMA+∠OAM=90°,‎ ‎∴∠PNM+∠ONA=90°.‎ ‎∴∠PNO=180°﹣90°=90°.‎ 即PN与⊙O相切.‎ ‎(3)解:连接ON,由(2)可知∠ONP=90°.‎ ‎∵∠AMO=15°,PM=PN,∴∠PNM=15°,∠OPN=30°,‎ ‎∵∠PON=60°,∠AON=30°.‎ 作NE⊥OD,垂足为点E,‎ 则NE=ON•sin60°=1×=.‎ S阴影=S△AOC+S扇形AON﹣S△CON=OC•OA+CO•NE ‎=×1×1+π﹣×1×‎ ‎=+π﹣.‎ ‎10、(1)证明:∵△BCO中,BO=CO,‎ ‎∴∠B=∠BCO,‎ 在Rt△BCE中,∠2+∠B=90°,‎ 又∵∠1=∠2,∴∠1+∠BCO=90°,即∠FCO=90°,‎ ‎∴CF是⊙O的切线;‎ ‎(2)证明:∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=∠FCO=90°,‎ ‎∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO,‎ 即∠3=∠1,∴∠3=∠2,‎ ‎∵∠4=∠D,∴△ACM∽△DCN;‎ ‎(3)解:∵⊙O的半径为4,即AO=CO=BO=4,‎ 在Rt△COE中,cos∠BOC=,‎ ‎∴OE=CO•cos∠BOC=4×=1,‎ 由此可得:BE=3,AE=5,由勾股定理可得:‎ CE===,‎ AC===2,‎ BC===2,‎ ‎∵AB是⊙O直径,AB⊥CD,‎ ‎∴由垂径定理得:CD=2CE=2,‎ ‎∵△ACM∽△DCN,‎ ‎∴=,‎ ‎∵点M是CO的中点,CM=AO=×4=2,‎ ‎∴CN===,‎ ‎∴BN=BC﹣CN=2﹣=.‎ ‎11、‎ ‎12、(1)如图4,过点O作OH⊥AP,那么AP=2AH.‎ 在Rt△OAH中,OA=3,,设OH=m,AH=2m,那么m2+(2m)2=32.‎ 解得.所以.‎ ‎(2)如图5,联结OQ、OP,那么△QPO、△OAP是等腰三角形.‎ 又因为底角∠P公用,所以△QPO∽△OAP.‎ 因此,即.‎ 由此得到.定义域是0<x≤6.‎ 图4 图5‎ ‎(3)如图6,联结OP,作OP的垂直平分线交AP于Q,垂足为D,那么QP、QO是⊙Q的半径.‎ 在Rt△QPD中,,,因此.‎ 如图7,设⊙M的半径为r.‎ 由⊙M与⊙O内切,,可得圆心距OM=3-r.‎ 由⊙M与⊙Q外切,,可得圆心距.‎ 在Rt△QOM中,,OM=3-r,,由勾股定理,得 ‎.解得.‎ 图6 图7 图8‎
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