中考数学试题及答案分类汇编压轴题

中考数学试题及答案分类汇编压轴题

‎2012中考数学试题及答案分类汇编：压轴题 一、解答题 ‎1.（北京8分）如图，在平面直角坐标系O中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与轴的交点D在射线AE的反向延长线上．‎ ‎（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；‎ ‎（2）当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；‎ ‎（3）已知AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）连接AD、DB，则点D在直线AE上，如图1。‎ ‎ ∵点D在以AB为直径的半圆上，‎ ‎∴∠ADB=90°。∴BD⊥AD。‎ ‎ 在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=。∵AE∥BF，‎ ‎ ∴两条射线AE、BF所在直线的距离为。‎ ‎ （2）当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，‎ ‎ b的取值范围是b=或﹣1＜b＜1；‎ ‎ 当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜‎ ‎ （3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：‎ ‎ ①当点M在射线AE上时，如图2．‎ ‎ ∵AMPQ四点按顺时针方向排列，∴直线PQ必在直线AM的上方。‎ ‎ ∴PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合。 ∴0＜PQ＜。‎ ‎ ∵AM∥PQ且AM=PQ，∴0＜AM＜。∴﹣2＜＜﹣1。‎ ‎ ‎ ‎ ②当点M不在弧AD上时，如图3，‎ ‎ ∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，‎ ‎ ∴直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形。‎ ‎ ③当点M在弧BD上时，设弧DB的中点为R，则OR∥BF，‎ ‎ 当点M在弧DR上时，如图4，‎ 过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点．‎ ‎ ∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形。∴0≤＜。‎ ‎ 当点M在弧RB上时，如图5，‎ 直线PQ必在直线AM的下方，此时不存在满足题意的平行四边形。‎ ‎ ④当点M在射线BF上时，如图6，‎ 直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形。‎ ‎ 综上，点M的横坐标x的取值范围是﹣2＜＜﹣1或0≤＜。 ‎【考点】一次函数综合题，勾股定理，平行四边形的性质，圆周角定理。‎ ‎【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离。‎ ‎ （2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量的取值范围即可。‎ ‎ （3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可。‎ ‎2.（天津10分）已知抛物线：．点F(1，1)．‎ ‎ (Ⅰ) 求抛物线的顶点坐标；‎ ‎ (Ⅱ) ①若抛物线与轴的交点为A．连接AF，并延长交抛物线于点B，求证：‎ ‎ ②抛物线上任意一点P（）)（）．连接PF．并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立？请说明理由；‎ ‎ (Ⅲ) 将抛物线作适当的平移．得抛物线：，若时．恒成立，求m的最大值．‎ ‎【答案】解： (I)∵，∴抛物线的顶点坐标为()．‎ ‎(II)①根据题意，可得点A(0，1)，‎ ‎∵F(1，1)．∴AB∥轴．得 AF=BF=1，‎ ‎②成立．理由如下：‎ 如图，过点P作PM⊥AB于点M，则 ‎ FM=，PM=（）。‎ ‎∴Rt△PMF中，有勾股定理，得 又点P（）在抛物线上，得，即 ‎∴，即。‎ 过点Q（）作QN⊥AB，与AB的延长线交于点N，‎ ‎ 同理可得∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，∴△PMF∽△QNF。‎ ‎ ∴，这里，。‎ ‎ ∴，即。‎ ‎ (Ⅲ) 令，设其图象与抛物线交点的横坐标为，，且<，‎ ‎ ∵抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的，‎ ‎ 观察图象．随着抛物线向右不断平移，，的值不断增大，‎ ‎ ∴当满足，．恒成立时，m的最大值在处取得。‎ ‎ ∴当时．所对应的即为m的最大值。‎ ‎ ∴将带入，得。‎ 解得或（舍去）。‎ ‎∴。此时，，得 ‎。‎ 解得，。‎ ‎∴m的最大值为8。‎ ‎【考点】二次函数综合题，抛物线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，图象平移，解一元二次方程。‎ ‎【分析】(I) 只要把二次函数变形为的形式即可。‎ ‎ (II) ①求出AF和BF即可证明。②应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出PF和QF即可。(Ⅲ) 应用图象平移和抛物线的性质可以证明。‎ ‎3.（河北省12分）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为 A （1，0），B （1，﹣5），D （4，0）．‎ ‎（1）求， （用含t的代数式表示）：‎ ‎（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．‎ ‎①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；‎ ‎②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，；‎ ‎（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）把=0，=0代入，得=0。‎ 把=t，=0代入，得t2+t=0，‎ ‎∵t＞0，∴=﹣t。‎ ‎（2）①不变．‎ 如图，当=1时，=1﹣t，故M（1，1﹣t），‎ ‎∵tan∠AMP=1，∴∠AMP=45°。‎ ‎②S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM ‎=（t﹣4）（4t﹣16）+[（4t﹣16）+（t﹣1）]×3﹣（t﹣1）（t﹣1）=t2﹣t+6。‎ 解t2﹣t+6=，得：t1=，t2=。‎ ‎∵4＜t＜5，∴t1=舍去。‎ ‎∴t=。‎ ‎（3）＜t＜。‎ ‎【考点】二次函数综合题。‎ ‎【分析】（1）由抛物线经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得，。‎ ‎（2）①当=1时，=1﹣t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数。‎ ‎②由S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值。‎ ‎（3）当，经过（2，－3）时，“好点”（2，－2）和（2，－1）在抛物线上方，‎ 此时，，∴。‎ 当=3时，，在－1和－2之间，说明（3，－1）也在抛物线上方。‎ 因此，抛物线要将这些“好点”分成数量相等的两部分时，必须。‎ 当，经过（3，－2）时，“好点”（3，－1）在抛物线上方，‎ 此时，，∴。‎ 当=3时，，在－3和－4之间，说明“好点”（2，－3），（2，－2）和（2，－1）也在抛物线上方。‎ 因此，抛物线要将这些“好点”分成数量相等的两部分时，必须。‎ 综上所述，t的取值范围是＜t＜。‎ ‎4.（山西省14分）如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O－C－B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．△MPQ的面积为S．‎ ‎（1）点C的坐标为 ，直线l的解析式为 ．‎ ‎（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．‎ ‎（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．‎ ‎（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．‎ ‎【答案】解：（1）(3，4)；。‎ ‎ （2）根据题意，得OP=t，AQ=2t．分三种情况讨论：‎ ‎ ①当时，如图l，M点的坐标是（）。‎ 过点C作CD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥ x轴于E，‎ 可得△AEO∽△ODC。‎ ‎∴，即。‎ ‎∴，。‎ ‎∴Q点的坐标是（）。∴PE=。‎ ‎∴S=。‎ ‎②当时，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，‎ ‎∵，∴OF=。‎ ‎∴Q点的坐标是（），‎ ‎∴PF=。‎ ‎∴S=。‎ ‎③当点Q与点M相遇时，，解得。‎ ‎∴当时，如图3，MQ=，MP=4。‎ ‎∴S=。‎ 综上所述，S=。‎ ‎ (3)① 当时，，‎ ‎∵，抛物线开口向上，对称轴为直线，‎ ‎∴当时，S随t的增大而增大。 ∴当时，S有最大值，最大值为。‎ ‎②当时，。‎ ‎∵，抛物线开口向下，∴当时，S有最大值，最大值为。 ‎ ‎③当时，，∵．∴S随t的增大而减小。‎ 又∵当时，S=14．当时，S=0．∴。‎ 综上所述，当时，S有最大值，最大值为。‎ ‎（4）当时，△QMN为等腰三角形。‎ ‎【考点】动点问题，平行四边形的性质， 待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，一、二次函数的增减性和最值，等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）由点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得点C的坐标为（11－8，4），即（3，4）。‎ ‎ 由点C在直线l，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法可求直线l的解析式。‎ ‎ （2）分①点Q在AB上，点M在OC上，②点Q在BC上，点M在OC上，③点Q在BC上，点M在BC上三种情况讨论即可。‎ ‎ （3）按（2）的分段情况，根据一、二次函数的增减性和最值讨论即可。‎ ‎ （4）易知，∠NMQ为直角，故要△QMN为等腰三角形只有MQ=MN。‎ ‎ ∵M（），N（），Q（），‎ ‎ ∴。‎ ‎ 当点M在点Q的左边，，解得，。‎ ‎ 当点M在点Q的右边，，解得，。超过，舍去。‎ ‎ ∴当时，△QMN为等腰三角形。‎ ‎5.（内蒙古呼和浩特12分）已知抛物线的图象向上平移个单位（）得到的新抛物线过点（1，8）.‎ ‎（1）求的值，并将平移后的抛物线解析式写成的形式；‎ ‎（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻 折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在≤时对应的函数值的取值范围；‎ ‎（3）设一次函数，问是否存在正 整数使得（2）中函数的函数值时，对应的的值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）由题意可得 又点（1，8）在图象上，∴ 。∴。‎ ‎∴ 。‎ ‎（2）。‎ 画图如下：‎ 当时， 。‎ ‎（3）不存在。理由如下：‎ 当且对应的时，，解得 ，，‎ 且 得。‎ ‎∴不存在正整数满足条件。‎ ‎【考点】二次函数综合题，平移的性质，二次函数的顶点式，函数的图象特征，解一元二次方程和一元一次不等式组。‎ ‎【分析】（1）根据抛物线的图象向上平移个单位，可得，再利用又点（1，8）在图象上，求出即可。‎ ‎（2）根据函数解析式画出图象，即可得出函数大小分界点。‎ ‎（3）根据当且对应的时，，得出取值范围即可得出答案。‎ ‎6.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰14分）如图（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N，FN⊥BC．‎ ‎（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？‎ ‎（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y．‎ ‎①求y与x的函数关系式；‎ ‎②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎【答案】解：（1）在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE．‎ ‎∴AB﹣AG=BC﹣EC，即BG=BE。∴∠BGE=45°。‎ ‎∴∠AGE=135°。‎ ‎∵CP是外角平分线，‎ ‎∴∠DCF=45°。∴∠ECF=135°‎ ‎∴∠AGE=∠ECF。‎ ‎∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，‎ ‎∴∠BAE=∠CEF。‎ 在△AGE和△ECF中，，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF。‎ ‎（2）①与（1）同理可证，当E不是中点时，AE=EF，‎ ‎∴在△ABE和△ENF中，，∴△ABE≌△ENF（AAS）。∴FN=BE=x。‎ 又∵BE=x，BC=4，∴EC=4﹣x，∴y=·（4﹣x）x，‎ ‎∴y与x的函数关系式为y=﹣x2+2x （0＜x＜4）。‎ ‎②∵y=﹣x2+2x=﹣（x2﹣4x）=﹣（x﹣2）2+2，‎ ‎∴当x=2，y最大值=2。‎ ‎【考点】正方形的性质，二次函数的最值，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE，利用ASA，易证得：△AGE≌△ECF，则可证得AE=EF。‎ ‎（2）同（1）可证明AE=EF，利用AAS证明△ABE≌△ENF，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF的面积为y，然后整理再根据二次函数求解最值问题。‎ ‎7.（内蒙古包头12分）如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A（2，3），B（6，1），C（0，－2）．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；‎ ‎（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；‎ ‎（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S．当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？‎ ‎【答案】解：（1）将A，B，C三点坐标代入y=ax2＋bx＋c中，得 ，解得。∴y=－x2＋x－2=－（x－）2＋。‎ ‎（2）设点P（，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′。‎ ‎∵AP⊥CP，∴△AA′P∽△PC′C。‎ ‎∴，即，‎ 解得m1=，m2=。‎ ‎∴P（，）或（，）。‎ ‎（3）由B（6，1），C（0，－2），得直线BC的解析式为y=x－2，∴D（4，0）。‎ ‎∵四边形OEDC只能在x上方，∴n＞0。‎ 又S=S△CDO＋S△EDO=，∴。‎ ‎∵点E（t，n）在抛物线上，∴n =－t 2＋t－2，代入，得 关于t的方程t 2－7 t＋S=0，方程根的判别式△=49－4S。‎ 当△=0时，S=，，此时方程只有一解，满足条件的点E只有一个，位于抛物线顶点处（图1）。‎ 当△＞0时，S＜，由S＞4，所以4＜S＜。此时点E的情况如下：‎ 设B′是抛物线上点B关于对称轴的对称点，即n =1，S=6。由t 2－7 t＋6=0得 t=1或t=6。此时点E的坐标为（1，1）或（6，1），即满足条件的点E与点B′或B重合（图2）。‎ ‎①当6＜S＜时，方程有两个不相等的根，此时，1＜t＜6，1＜n＜，故满足 条件的点E位于直线B′B上方的抛物线上。。故此时满足条件的点E有两个（图3）。‎ ‎②当4＜S＜6时，方程有两个不相等的根，此时，0＜n＜1，而满足条件的点E只能在 点H与点B′之间的抛物线上。故此时满足条件的点E只有一个（图4）。‎ ‎ 综上所述，当4＜S＜6或S=时，满足条件的点E有一个；当6≤S＜时，满足条件的点E有两个。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称性，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求抛物线解析式，再用配方法求顶点式。‎ ‎（2）当AP⊥CP时，分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′，利用互余关系得角相等，证明△AA′P∽△PC′C，利用相似比求P点坐标。‎ ‎（3）分别求出点E为抛物线顶点，E，B重合时，图形的面积，当E点为抛物线顶点时，即S=满足条件的点E只有一个；当6＜S＜时，满足条件的点E有两个；当4＜S＜6时，满足条件的点E只有一个。‎ ‎8.（内蒙古乌兰察布16分）如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y轴分别交于C、D两点。‎ ‎ (1）求 m的值；‎ ‎( 2 ）求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式；‎ ‎( 3 ）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点 E ，使四边形 OECD 的面积S1 ，是四边形OACD 面积S的?若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）设反比例函数为，‎ 把A(3，3)代入，得，∴。‎ ‎∴反比例函数为。‎ ‎∵B(6，m)在反比例函数上，∴。‎ ‎（2）设正比例函数为，‎ 把A(3，3)代入，得，∴。‎ ‎∴正比例函数为。‎ 设直线BD的解析式为，‎ ‎∵直线BD过，∴，∴。‎ ‎∴直线BD的解析式为。‎ 在中，令，得，∴D()。‎ 在中，令，得，∴C()。‎ 设过 A、B、D 三点的抛物线的解析式为，得 ‎，解得：。‎ ‎∴抛物线的解析式为。‎ ‎（3）假设存在E（）满足条件，‎ ‎，[来源:Z&xx&k.Com]‎ 在中，令，解得，‎ ‎∴E的坐标应满足，。‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ 解得：。‎ ‎∴，即。∴。‎ ‎∵，∴。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，解一次方程组和一元一次方程。 ‎ ‎【分析】（1）由于反比例函数的图象都经过点A（3，3），由此可以确定函数的解析式，又把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），把B的坐标代入反比例函数的解析式即可确定m的值。‎ ‎ （2）由于直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与轴、轴分别交于C、D两点，由此首先确定直线BD的解析式，接着可以确定C，D的坐标，最后利用 待定系数法即可确定过A、B、D三点的抛物线的解析式。‎ ‎ （3）如图，利用（1）（2）知道四边形OACD是梯形，利用已知条件可以求出其面积，设E的横坐标为，那么利用可以表示其纵坐标，也可以表示△OEC的面积，而△OCD的面积可以求出，所以根据四边形OECD的面积S1是四边形OACD面积S的 即可列出关于的方 程，利用方程即可解决问题。‎ ‎9.（内蒙古呼伦贝尔13分）如图，已知二次函数的图象与轴相交于点A、‎ C，与轴相交于点B，A,△AOB∽△BOC.‎ ‎⑴求C点的坐标、∠ABC的度数；‎ ‎⑵求二次函数的解析式；‎ ‎⑶在线段AC上是否存在点M，使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）由，令＝0，得B（0，3）。‎ ‎ 又 A，∴OA＝，OB＝3。‎ ‎ ∵△AOB∽△BOC，∴，即，∴OC＝4。∴C（4，0）。‎ ‎ ∵△AOB∽△BOC，∴∠OAB＝∠OBC。‎ ‎ 又∵∠OAB＋∠OBA＝900，∴∠OBC＋∠OBA＝900，即∠ABC＝900。‎ ‎（2）∵的图象经过A，C（4，0），‎ ‎∴ ，解得。 ‎ ‎∴二次函数的解析式为。‎ ‎(3) 过点P作PM⊥BC交AC于点M，‎ 则根据直径所对圆周角是直角的性质，知点P在以BM为直径的圆上 又∵∠ABC＝900，∴PM∥BA。∴△CPM∽△CBA。‎ ‎∴。‎ 由A，B（0，3），C（4，0），可得OA＝，OB＝3，OC＝4。‎ 则CA＝＋4＝，CB＝。‎ 由M，得CM＝4－。‎ 分三种情况：‎ ‎①当PC=PO时，点P为BC的中点，得CP=2.5。‎ ‎ ∴ ，解得。‎ ‎②当CP=CO时，CP＝4。‎ ‎∴ ，解得。‎ ‎ ③当OC=OP时，由于OP（＝4）＞OB（＝3），从而点P在CB的延长线上，这样点M点不在线段AC上。‎ 综上所述，的值为。 ‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解二元一次方程组，圆周角定理。勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由△AOB∽△BOC，得对应边成比例，对应角相等，可得C（4，0）和∠ABC＝900。‎ ‎ （2）由点A，C在二次函数的图象上，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系可求解析式。‎ ‎ （3）根据圆周角定理和相似三角形的性质可得。分PC=PO，CP=CO，OC=OP三种情况讨论即可。‎