2012中考数学专题几何图形证明与计算题分析

2012中考数学专题几何图形证明与计算题分析

‎2012中考数学专题复习：几何图形证明与计算题分析 几何计算问题常见的有：求线段的长、求角的度数， 求图形的面积等。研究几何图形及其和相关的问题时，“几何计算”具有广泛的意义：‎ 一、几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系，在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示，无疑地就会涉及到几何量的计算；‎ 二、当我们注重研究图形的动点问题，图形的变换及运动问题，在坐标系里研究图形的一些问题时，就愈是不可避免地要借助几何量的计算；‎ 三、那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题，更是必须依靠几何量的计算来解决。‎ 几何计算是深入研究图形性质和图形间关系的重要手段，是用代数形式刻划变动中图形性质的主要凭借。也就是说，许多以图形为基础的研究性问题，许多几何与代数相结合的问题，许多图形的变换及其它形式运动的问题，都是以计算为基础，为依据，为桥梁。因此几何计算问题就成了中考中不得不考的一类问题，在填空选择各类题型中都可以体现，且往往会多处出现。‎ 几何图形线段长度计算三大方法： “勾股定理” “相似比例计算” “直角三角形中的三角函数计算”‎ ‎【2011中考真题回顾与思考】‎ ‎（2011深圳20题）如图9，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE。 ‎ ‎（1）求证：AE是⊙O的直径；‎ O A E C B D 图10‎ O A E C B D 图9‎ ‎（2）如图10，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和。（结果保留π与根号）‎ ‎（1）证明：如图2，连接AB、BC，‎ ‎∵点C是劣弧AB上的中点 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴CA＝CB ‎ 又∵CD＝CA ‎ ∴CB＝CD＝CA O A E C B D 图2‎ ‎ ∴在△ABD中， ‎ ‎∴∠ABD＝90° ‎ ‎∴∠ABE＝90° ‎ ‎∴AE是⊙O的直径 ‎ ‎（2）解：如图3，由（1）可知，AE是⊙O的直径 ‎ O A E C B D 图3‎ ‎∴∠ACE＝90° ‎ ‎∵⊙O的半径为5，AC＝4 ‎ ‎∴AE＝10，⊙O的面积为25π ‎ 在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得： ‎ ‎ ‎ ‎∴S△ACE＝‎ ‎∴S阴影＝S⊙O－S△ACE＝ ‎ ‎（2011深圳中考21题）如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝‎8cm，AB＝‎6cm，先沿对角线BD对折，[来源:学科网]点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G。‎ ‎（1）求证：AG＝C′G；‎ ‎（2）如图12，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长。‎ 图4‎ A B D C C′‎ G 图11‎ A B D C C′‎ G G 图12‎ A B D C E C′‎ N M ‎（1）证明：如图4，由对折和图形的对称性可知，‎ CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90° ‎ 在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90° ‎ ‎∴AB＝ C′D，∠A＝∠C′ ‎ 在△ABG和△C′DG中，‎ ‎∵AB＝ C′D，∠A＝∠C′，∠AGB＝∠C′GD ‎ ‎∴△ABG≌△C′DG（AAS） ‎ G 图5‎ A B D C E C′‎ N M ‎∴AG＝C′G ‎ ‎ （2）解：如图5，设EM＝x，AG＝y，则有：‎ C′G＝y，DG＝8－y，，‎ 在Rt△C′DG中，∠DC′G＝90°，C′D＝CD＝6，‎ ‎∴ C′G2＋C′D2＝DG2 即：y2＋62＝（8－y）2 ‎ 解得： ∴C′G＝cm，DG＝cm ‎ 又∵△DME∽△DC′G ∴ ， 即：‎ 解得：， 即：EM＝（cm） ∴所求的EM长为cm。 ‎ ‎【典型例题分析】‎ ‎1. （2011四川凉山 ）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是 .‎ ‎ ‎ 解答：解：∵菱形ABCD的边长是8，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，如图1：当E在线段AD上时，∴AE＝AD ‎－DE＝8－3＝5，∴△MAE∽△MCB，∴； 如图2，当E在AD的延长线上时，∴AE＝AD＋DE＝8＋3＝11， ∴△MAE∽△MCB，∴ ． ∴ 的值是或．故答案为：或．‎ ‎2. （2011重庆江津区 ）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是 ．‎ 解答：解：连接BE，与AC交于G，作EF⊥AB，‎ ‎∵AB＝AE，∠BAC＝∠EAC，∴△AEB是等腰三角形，AG是BE边上的高，∴EG＝GB，EB＝2EG， BG＝＝＝，‎ 设D（x，y），则有：OD﹣OF＝AD﹣AF，AE﹣AF＝‎ BE﹣BF即：8﹣x＝（2BG）﹣（8﹣x），解得：x＝， ‎ y＝EF＝， ∴E点的坐标为：． 故答案为：．‎ A B C D F P E Q G A B C D F P E Q ‎3. 如图，在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且BP的垂直平分线分别交正方形的边于点E，F，Q为垂足，‎ 则EQ：EF的值是（ ）‎ A、 B、 ‎ C、 D、 ‎ ‎ ‎ 解答：分析：容易看出∽得 即。而根据正方形的性质，易知，如图，把FE平移至CG的位置，‎ 由有， 解：选C。‎ ‎4. （2011•泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（　　）‎ ‎ A、 B、 C、 D、6‎ 解答：解：∵△CED是△CEB翻折而成，∴BC=CD，BE=DE，∵O是矩形ABCD的中心，∴OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，∴AE=CE，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，解得AB=3，在Rt△AOE中，设OE=x，则AE=3﹣x，AE2=AO2+OE2，即 ‎（3﹣x）2=（3）2+32，解得x=，∴AE=EC=3﹣=2．故选A．‎ ‎5. （2011•潍坊）已知长方形ABCD，AB=‎3cm，AD=‎4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为 　．‎ 解答：解：连接EB， ∵BD垂直平分EF，‎ ‎∴ED=EB， 设AE=xcm，则DE=EB=（4﹣x）cm，‎ 在Rt△AEB中， AE2+AB2=BE2， 即：x2+32=（4﹣x）2，‎ 解得：x= 故答案为：cm．‎ ‎6.如图，在中，。将绕点C逆时针旋转30°得到， 与AB相交于点D。求BD的长。‎ 解：如图（2），作于点G，设BD=，‎ 中，‎ 在中，， ‎ ‎。‎ 即解得。‎ 的长为。‎ ‎7.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结CE，若于点F，且AF平分求的值。‎ A B E D C F G 解答：首先，在中，‎ 剩下的任务就是去求CF和AC之间的数量关系，如去求出CF用AC表示的代数式。‎ 为此，去研究相应的条件：①由ABCD为等腰梯形，BECD为平行四边形（BE//CD，BE=CD），可知：AC=BD=EC；②由知 且AF平分得是等腰三角形，‎ 设AF交BD于点G，则 ③由BG//EC，知∽,‎ ‎ ‎ 如此一来， 当然就有。‎ ‎8.如图，把一副三角板如图（1）放置，其中，，斜边把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到如图（2）， 这时AB与相交于点，与AB相交于点F。‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）求线段的长；‎ ‎（3）若把三角形绕着点C顺时针再旋转30°得到，这时点B在的内部，外部，还是边上？证明你的判断。‎ ‎ ‎ 解答：分析：对于（1），如图（3），设CB与相交于点G，则可通过与内角的关系，求得的值；对于（2），可先推出，并导出的长；‎ 对于（3），设直线CB交于，应在中计算出的长，为此为基础进行判断。‎ 解：（1）设CB与相交于点G，如图（3），则：‎ ‎ ‎ A C B F O G ‎ 。‎ ‎（2）连结，‎ ‎ ‎ 又 ‎。‎ 在 （3）‎ ‎。‎ ‎（3）点B在内部，理由如下：‎ 设BC（或延长线）交于点，‎ 在，‎ 又，即点B在内部。‎ ‎9.（2009年清远）如图，已知是的直径，过点作弦的平行线，交过点的切线于点，连结．‎ ‎（1）求证：；（2）若，，求的长．‎ ‎【答案】（1）证明：‎ 是直径 是的切线，切点为 ‎ ‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ A E D B C F G ‎10．（2010河南） （1）操作发现 ：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；‎ ‎（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．‎ ‎【答案】⑴同意，连接EF，则∠EGF＝∠D＝90°，EG＝AE＝ED，EF＝EF．‎ ‎∴ Rt△EGF≌Rt△EDF． ∴ GF＝DF．‎ ‎⑵ 由⑴知，GF＝DF．设DF＝x，BC＝y，则有GF＝x，AD＝y.‎ ‎∵DC＝2DF，∴CF＝x，DC＝AB＝BG＝2x． ∴BF＝BG＋GF＝3x．‎ 在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2，即y2＋x2＝(3x)2． ∴y＝2x，∴．‎ ‎⑶由⑴知，GF=DF，设DF＝x，BC＝y，则有GF＝x，AD＝y．‎ ‎∵DC＝n·DF，∴DC＝AB＝BG＝nx．‎ ‎∴CF＝(n－1)x，BF＝BG＋GF＝(n＋1)x．‎ 在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2，即y2＋[(n－1)x]2＝[(n＋1)x]2．‎ ‎∴y＝2x．∴（或）‎ ‎11.如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G. ‎（1）求证：点F是BD中点；‎ ‎（2）求证：CG是⊙O的切线；‎ ‎（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．‎ ‎[解析] (1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，‎ ‎∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF ‎∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD ‎ ‎(2)方法一：连接CB、OC，‎ ‎∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ‎∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线 ‎ ‎(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC 可证得：FA＝FG，且AB＝BG 由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2 在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2　 由、得：FG2-4FG-12=0‎ 解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去） ∴AB＝BG＝ ∴⊙O半径为2‎ ‎12 . .如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为弧CF的中点，连接交于点，为△ABC的角平分线，且，B DA OA HA CA EA MA FA A 垂足为点.‎ ‎（1）求证：是半圆的切线；‎ ‎（2）若，，求的长.‎ 解答：（1）证明：连接EC，∵AD⊥BE于H，∠1＝∠2， ‎ ‎∴∠3＝∠4 ∴∠4＝∠5＝∠3， 又∵E为弧CF中点， ∴∠6＝∠7，‎ ‎∵BC是直径， ∴∠E＝90°， ∴∠5＋∠6＝90°， 又∵∠AHM＝∠E＝90°， ∴AD∥CE， ‎ ‎∴∠2＝∠6＝∠1， ∴∠3＋∠7＝90°， 又∵BC是直径，‎ ‎ ∴AB是半圆O的切线； （2）∵，。‎ 由（1）知，，∴.‎ 在中，于，平分， ∴，∴.‎ 由∽，得. ∴， ∴‎ ‎13．（2011成都）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB．⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．‎ ‎（1）求证：AE＝CK；‎ ‎（2）如果AB＝a，AD＝（a为大于零的常数），求BK的长：‎ ‎（3）若F是EG的中点，且DE＝6，求⊙O的半径和GH的长．‎ 解答：（1）证明：∵四边形据ABCD是矩形，‎ ‎∴AD＝BC，∵BK⊥AC，DH∥KB，‎ ‎∴∠BKC＝∠AED＝90°，∴△BKC≌△ADE，∴AE＝CK；‎ ‎（2）∵AB＝a，AD＝＝BC，∴‎ ‎∵BK⊥AC，∴△BKC∽△ABC，∴， ∴， ∴BK＝a，∴BK＝a．‎ ‎（3）连接OF，∵ABCD为矩形， ∴， ‎ ‎∴EF＝ED＝×6＝3，∵F是EG的中点，‎ ‎∴GF＝EF＝3，∵△AFD≌△HBF，∴HF＝FE＝3＋6＝9，‎ ‎∴GH＝6，∵DH∥KB，ABCD为矩形，∴AE2＝EF•ED＝3×6＝18，∴AE＝3，‎ ‎∵△AED∽△HEC，∴，∴AE＝AC，∴AC＝ 则AO＝．‎ ‎14.（2011•綦江县）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．‎ ‎（1）求证：△ACD≌△BCE；‎ ‎（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．‎ 解答：解：（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形，‎ ‎∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，‎ ‎∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，‎ ‎∴∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）；‎ ‎（2）过点C作CH⊥BQ于H，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，‎ ‎∴∠DAC=30°， ∵△ACD≌△BCE，‎ ‎∴∠QBC=∠DAC=30°， ∴CH=BC=×8=4，‎ ‎∵PC=CQ=5，CH=4， ∴PH=QH=3， ∴PQ=6．‎ ‎15. (2010湖北省荆门 ) 如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点 (1)求证：AC·CD＝PC·BC；‎ 第15题图 ‎(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；‎ ‎(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．‎ 答案23．解：(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．‎ 而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴．‎ ‎∴AC·CD＝PC·BC； ‎ ‎(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．‎ ‎∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝BC＝2．‎ 又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝．∴PE＝＝＝．‎ 从而PC＝PE＋EC＝．由(1)得CD＝PC＝ ‎ ‎(3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝PC·CD．由(1)可知，CD＝PC．‎ ‎∴S△PCD＝PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值； 而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝×52＝． ‎ ‎16．（2010 安徽芜湖）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB,M是劣弧上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于点N。‎ ‎（1）求证：PM=PN；‎ ‎（2）若BD=4,PA=AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．‎ ‎【答案】（1）证明：连结OM,∵ MP是⊙O的切线，∴OM⊥MP ‎ ‎∴∠OMD +∠DMP=90° ∵OA⊥OB，∠OND +∠ODM=90°‎ ‎∵∠MNP=∠OND, ∠ODN=∠OMD ∴∠DMP=∠MNP ‎∴PM=PN ‎（2）解：设BC交OM于E, ∵BD=4, ∴OA=OB=2, ∴PA=OA=3‎ ‎∴PO=5 ∵BC∥MP, OM⊥MP, ∴OM⊥BC, ∴BE=BC ‎∵∠BOM +∠MOP=90°,在Rt△OMP中，∠MPO +∠MOP=90°‎ ‎∴∠BOM=∠MPO.又∵∠BEO=∠OMP=90°‎ ‎∴△OMP∽△BEO ∴ ∴,∴BE= ∴BC=‎ E A D B C N M ‎17．（2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.‎ ‎⑴ 求证：△AMB≌△ENB；‎ ‎⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；‎ ‎②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；‎ ‎⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.‎ ‎【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，‎ ‎∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°， ∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.‎ 即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）. ‎ ‎⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ‎ F E A D B C N M ‎②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，‎ AM＋BM＋CM的值最小. ‎ 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，‎ ‎∴AM＝EN.‎ ‎∵∠MBN＝60°，MB＝NB，‎ ‎∴△BMN是等边三角形.‎ ‎∴BM＝MN. ∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. ‎ 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短 ‎∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.‎ ‎⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，‎ ‎∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.‎ 在Rt△EFC中，‎ ‎∵EF2＋FC2＝EC2，∴（）2＋（x＋x）2＝. 解得，x＝（舍去负值）.‎ ‎∴正方形的边长为.‎