三年中考全国各地中考数学试题分类汇编 汇编 多边形与平行四边形

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‎2012年全国各地中考数学真题分类汇编 第25章 多边形与平行四边形 一.选择题 ‎1．（2012•杭州）已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=（　　）‎ ‎　　A．18°　　B．36°　　C．72°　　D．144°‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；平行线的性质。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 关键平行四边形性质求出∠C=∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度数，即可求出∠C．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠C=∠A，BC∥AD，‎ ‎∴∠A+∠B=180°，‎ ‎∵∠B=4∠A，‎ ‎∴∠A=36°，‎ ‎∴∠C=∠A=36°，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形性质和平行线的性质的应用，主要考查学生运用平行四边形性质进行推理的能力，题目比较好，难度也不大．‎ ‎2．（2012•中考）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（　　）‎ ‎　　A．平行四边形　　B．矩形　　C．菱形　　D．梯形 解答：‎ 解：∵别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，‎ ‎∴AD=BC AB=CD ‎∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟记平行四边形的判定方法．‎ ‎3．（2012泰安）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（　　）‎ ‎　　A．53°　　B．37°　　C．47°　　D．123°‎ 考点：平行四边形的性质。‎ 解答：解：∵在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，‎ ‎∴∠E=90°，‎ ‎∵∠EAD=53°，‎ ‎∴∠EFA=90°﹣53°=37°，‎ ‎∴∠DFC=37‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠BCE=∠DFC=37°．‎ 故选B．‎ ‎4．（2012•聊城）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是（　　）‎ ‎　　A．DF=BE　　B．AF=CE　　C．CF=AE　　D．CF∥AE 考点：‎ 平行四边形的性质；全等三角形的判定。‎ 分析：‎ 根据平行四边形的性质和全等三角形的判定方法逐项分析即可．‎ 解答：‎ 解：A、当DF=BE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；‎ B、当AF=CE时，有平行四边形的性质可得：BE=DF，AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；‎ C、当CF=AE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利用SSA不能可判定△CDF≌△ABE；‎ D、当CF∥AE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，∠AEB=∠CFD，利用AAS可判定△CDF≌△ABE．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形的性质和重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．‎ ‎5．（2012•广州）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是（　　）‎ ‎　　A．26　　B．25　　C．21　　D．20‎ 考点：‎ 等腰梯形的性质；平行四边形的判定与性质。‎ 分析：‎ 由BC∥AD，DE∥AB，即可得四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可求得BE的长，继而求得BC的长，由等腰梯形ABCD，可求得AB的长，继而求得梯形ABCD的周长．‎ 解答：‎ 解：∵BC∥AD，DE∥AB，‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形，‎ ‎∴BE=AD=5，‎ ‎∵EC=3，‎ ‎∴BC=BE+EC=8，‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形，‎ ‎∴AB=DC=4，‎ ‎∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查了等腰梯形的性质与平行四边形的判定与性质．此题比较简单，注意判定出四边形ABED是平行四边形是解此题的关键，同时注意数形结合思想的应用．‎ ‎6．（2012•德阳）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD=AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 平行四边形的判定与性质。‎ 分析：‎ 首先过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，易得四边形APEB，BFPH是平行四边形，又由四边形BDEF是平行四边形，设BD=a，则AB=4a，可求得BH=PF=3a，又由S△HBC=S△PBC，S△HBC：S△ABC=BH：AB，即可求得△PBC的面积与△ABC面积之比．‎ 解答：‎ 解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，‎ ‎∵APBE，‎ ‎∴四边形APEB是平行四边形，‎ ‎∴PE∥AB，PE=AB，‎ ‎∵四边形BDEF是平行四边形，‎ ‎∴EF∥BD，EF=BD，‎ 即EF∥AB，‎ ‎∴P，E，F共线，‎ 设BD=a，‎ ‎∵BD=AB，‎ ‎∴PE=AB=4a，‎ 则PF=PE﹣EF=3a，‎ ‎∵PH∥BC，‎ ‎∴S△HBC=S△PBC，‎ ‎∵PF∥AB，‎ ‎∴四边形BFPH是平行四边形，‎ ‎∴BH=PF=3a，‎ ‎∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4，‎ ‎∴S△PBC：S△ABC=3：4．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．‎ ‎7．（2012安顺）一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（　　）‎ ‎　 A． 6 B． 7 C． 8 D． 9‎ 考点：多边形内角与外角。‎ 解答：解：设这个多边形的边数为n，‎ 则有（n﹣2）180°=900°，‎ 解得：n=7，‎ ‎∴这个多边形的边数为7．‎ 故选B．‎ ‎8.（2012肇庆）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是 A．四边形 B．五边形 ‎ C．六边形 D．八边形 ‎【解析】多边形的内角和为（n－2）×180°，外角和为360°，列方程很容易求出边数为4．‎ ‎【答案】A ‎【点评】本题考查了多边形内角和定理及外角和的应用.对多边形考查，其内角和公式是基础，公式的应用通常有已知边数求内角和或已知内角和求边数.学习的关键是对公式意义的理解.‎ ‎9．（2012无锡）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　）‎ ‎　 A． 6 B． 7 C． 8 D． 9‎ 考点：多边形内角与外角。‎ 分析：首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）=1080，解此方程即可求得答案．‎ 解答：解：设这个多边形的边数为n，‎ 根据题意得：180（n﹣2）=1080，‎ 解得：n=8．‎ 故选C．‎ 点评：此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．‎ ‎10.（2012北京）正十边形的每个外角等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】多边形外角和为360°，因为是正十边形，360°÷10=36°‎ ‎【答案】B ‎【点评】本题考查了多边形问题，多边形的外角和为360°，正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，设每个外角为x°，10x=360，x=10°‎ ‎11. （2012湛江）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ 解析：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，‎ ‎∴（n﹣2）×180°=720°，‎ 解得n=6，‎ ‎∴这个多边形的边数是6．‎ 故选C．‎ ‎12.（2012玉林）正六边形的每个内角都是（ ）‎ A.60° B.80° C.100° D.120°‎ 分析：先利用多边形的内角和公式（n-2）•180°求出正六边形的内角和，然后除以6即可；‎ 或：先利用多边形的外角和除以正多边形的边数，求出每一个外角的度数，再根据相邻的内角与外角是邻补角列式计算．‎ 解答：（6-2）•180°=720°，所以，正六边形的每个内角都是720°÷6=120°， 或：360°÷6=60°，180°-60°=120°．故选D．‎ 点评：本题考查了多边形的内角与外角，利用正多边形的外角度数、边数、外角和三者之间的关系求解是此类题目常用的方法，而且求解比较简便．‎ ‎13．（2012柳州）如图，小红做了一个实验，将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达A′B′C′D′E′F′的位置，所转过的度数是（　Ａ　）‎ A．60° 　　B．72°　　 C．108°　　 D．120° ‎ ‎【考点】旋转的性质；正多边形和圆．‎ ‎【分析】由六边形ABCDEF是正六边形，即可求得∠AFE的度数，又由邻补角的定义，求得∠E′FE的度数，由将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达A′B′C′D′E′F′的位置，可得∠EFE′是旋转角，继而求得答案．‎ ‎【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，‎ ‎∴∠AFE=180°×(6-2) =120°，‎ ‎∴∠EFE′=180°-∠AFE=180°-120°=60°，‎ ‎∵将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达A′B′C′D′E′F′的位置，‎ ‎∴∠EFE′是旋转角，‎ ‎∴所转过的度数是60°．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查了正六边形的性质、旋转的性质以及旋转角的定义．此题难度不大，注意找到旋转角是解此题的关键．‎ 二.填空题 ‎14．（2012义乌市）正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为　6　．‎ 考点：多边形内角与外角。‎ 解答：解：∵正n边形的一个外角的度数为60°，‎ ‎∴其内角的度数为：180°﹣60°=120°，‎ ‎∴=120°，解得n=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎15．（2012•烟台）▱ABCD中，已知点A（﹣1，0），B（2，0），D（0，1）．则点C的坐标为　 　．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；坐标与图形性质。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 画出图形，根据平行四边形性质求出DC∥AB，DC=AB=3，根据D的纵坐标和CD=3即可求出答案．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎∵平行四边形ABCD中，已知点A（﹣1，0），B（2，0），D（0，1），‎ ‎∴AB=CD=2﹣（﹣1）=3，DC∥AB，‎ ‎∴C的横坐标是3，纵坐标和D的纵坐标相等，是1，‎ ‎∴C的坐标是（3，1），‎ 故答案为：（3，1）．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，能根据图形进行推理和求值是解此题的关键，本题主要考查学生的观察能力，用了数形结合思想．‎ ‎16．（2012•烟台）如图为2012年伦敦奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为　　度（不取近似值）‎ 考点：‎ 多边形内角与外角。‎ 分析：‎ 根据正多边形的定义可得：正多边形的每一个内角都相等，则每一个外角也都相等，首先由多边形外角和为360°可以计算出正七边形的每一个外角度数，再用180°﹣一个外角的度数=一个内角的度数．‎ 解答：‎ 解：正七边形的每一个外角度数为：360°÷7=（）°‎ 则内角度数是：180°﹣（）°=（）°，‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 此题主要考查了正多边形的内角与外角，关键是掌握正多边形的每一个内角都相等．‎ ‎17.（2012北海）16．一个多边形的每一个外角都等于18°，它是___________边形。‎ ‎【解析】根据多边形外角和为360°，而多边形的每一个外角都等于18°，所以它的边数为 ‎【答案】二十 ‎【点评】本题考查的是多边形的外角和为360°，外角个数和边数相同。难度较小。‎ ‎18．（2012铜仁）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 ．‎ ‎【考点】：多边形内角与外角。‎ ‎【答案】：9‎ ‎【解析】：解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．‎ ‎19．（2012•梅州）正六边形的内角和为　720　度．‎ 考点：‎ 多边形内角与外角 分析：‎ 由多边形的内角和公式：180°（n﹣2），即可求得正六边形的内角和．‎ 解答：‎ 解：正六边形的内角和为：180°×（6﹣2）=180°×4=720°．‎ 故答案为：720．‎ 点评：‎ 此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，解题的关键是熟记公式．‎ ‎20.（2012•佛山）一个多边形的内角和为540°，则这个多边形的边数是 ；‎ 解析：5 根据多边形的内角和公式得:,解得 考查知识：多边形的内角和公式的运用 ‎21．（2012•德阳）已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是　5　．‎ 考点：‎ 多边形内角与外角。‎ 分析：‎ 根据内角和等于外角和之间的关系列出有关边数n的方程求解即可．‎ 解答：‎ 解：设该多边形的边数为n 则（n﹣2）×180=×360‎ 解得：n=5‎ 故答案为5．‎ 点评：‎ 本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是牢记多边形的内角和与外角和．‎ ‎22．（2012•广安）如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2=　240　度．‎ 考点：‎ 多边形内角与外角。‎ 专题：‎ 数形结合。‎ 分析：‎ 利用四边形的内角和得到∠B+∠C+∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B+∠C+∠D的度数即为所求的度数．‎ 解答：‎ 解：∵四边形的内角和为（4﹣2）×180°=360°，‎ ‎∴∠B+∠C+∠D=360°﹣60°=300°，‎ ‎∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，‎ ‎∴∠1+∠2=540°﹣300°=240°，‎ 故答案为240．‎ 点评：‎ 考查多边形的内角和知识；求得∠B+∠C+∠D的度数是解决本题的突破点．‎ ‎23.（2012南京）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A=1200，则∠1+∠2+∠3+∠4= . ‎ 解析：由于多边形的外角和均为3600，因而∠1、∠2、∠3、∠4 及 ‎ 其∠A的领补角这五个角的和为3600，∠A的领补角为600，所 ‎ 以∠1+∠2+∠3+∠4=3600-600=3000.‎ 答案：3000.‎ 点评：多边形的外角和均为3600，常用这一结论求多边形的边数、外 ‎ 角的度数等问题.‎ ‎24. （2012安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边 形与其内部小正方形的边长都为，则阴影部分的面积为（ ）‎ A.2 B. 3 ‎ C. 4 D.5‎ 解析：图案中间的阴影部分是正方形，面积是a2，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为a的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算．‎ 解答：解： 故选A．‎ 点评：本题考查了正多边形的性质，关键要找出正八边形和原来正方形的关系，尽量用所给数据来计算.‎ ‎26.（2012河北）18、用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图9-1，用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图9-2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为_____________________.‎ ‎【解析】根据两个图形可以断定，所围成的图形肯定是正多边形，由观察的内角120°，可以断定n的值。‎ ‎【答案】6‎ ‎【点评】作本题，需要一定的观察能力，判断能力和猜测的能力，是一个拔高题，但题目本身不太难。‎ ‎27．（2012成都）如图，将ABCD的一边BC延长至E，若∠A=110°，则∠1=________．‎ 考点：平行四边形的性质。‎ 解答：解：∵平行四边形ABCD的∠A=110°，‎ ‎∴∠BCD=∠A=110°，‎ ‎∴∠1=180°﹣∠BCD=180°﹣110°=70°．‎ 故答案为：70°．‎ ‎28．（2012•衢州）如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若△DEF的面积为a，则平行四边形ABCD的面积为　‎12a　（用a的代数式表示）．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质。‎ 分析：‎ 由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，然后由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可判定△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，‎ ‎∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，‎ ‎∴，，‎ ‎∵CD=2DE，‎ ‎∴DE：CE=1：3，DE：AB=1：2，‎ ‎∵S△DEF=a，‎ ‎∴S△CBE=‎9a，S△ABF=‎4a，‎ ‎∴S四边形BCDF=S△CEB﹣S△DEF=‎8a，‎ ‎∴S▱ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=‎8a+‎4a=‎12a．‎ 故答案为：‎12a．‎ 点评：‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．‎ ‎29．（2012•湘潭）如图，在▱ABCD中，点E在DC上，若EC：AB=2：3，EF=4，则BF=　6　．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质。‎ 分析：‎ 先根据平行四边形的性质得出∠CAB=∠ACD，∠ABE=∠BEC，故可得出△ABF∽△CEF，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠CAB=∠ACD，∠ABE=∠BEC，‎ ‎∴△ABF∽△CEF，‎ ‎∴=，即=，解得BF=6．‎ 故答案为：6．‎ 点评：‎ 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．‎ 三.解答题 ‎30. （2012黄石）如图（8），已知在平行四边形中，. ‎ A B C D E F 图（8）‎ 求证：.‎ ‎【考点】平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形 ‎ ∴AD∥BC,且AD=BC ‎ ∴∠ADE=∠BCF ……………………………………………………2分 ‎ 又∵BE=DF, ∴BF=DE ………………………………………………1分 ‎ ∴△ADE≌△CBF ……………………………………………………2分 ‎ ∴∠DAE=∠BCF ……………………………………………………2分 ‎【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出△ADE和△CBF全等的三个条件，主要考查学生的推理能力．‎ ‎31．（2012广安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，AF=AB，求证：△AEF≌△DFC．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；全等三角形的判定。‎ 专题：‎ 证明题。‎ 分析：‎ 由四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质，即可得AB=CD，AB∥CD，又由平行线的性质，即可得∠D=∠EAF，然后由BE=AD，AF=AB，求得AF=CD，DF=AE，继而利用SAS证得：△AEF≌△DFC．‎ 解答：‎ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，AB∥CD，‎ ‎∴∠D=∠EAF，‎ ‎∵AF=AB，BE=AD，‎ ‎∴AF=CD，AD﹣AF=BE﹣AB，‎ 即DF=AE，‎ 在△AEF和△DFC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AEF≌△DFC（SAS）．‎ 点评：‎ 此题考查了平行四边形的性质与全等三角的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．‎ ‎32．（2012济南）（1）如图1，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE=CF．求证：DE=BF．‎ ‎【考点】平行四边形的性质；全等三　　角形的判定与性质；‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到一对边和一对角的对应相等，在加上已知的一对边的相等，利用“SAS”，证得△ADE≌△CBF，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证；‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，∠A=∠C，‎ 在△ADE和△CBF中，‎ ‎ AD=CB ，∠A=∠C ，AE=CF，‎ ‎∴△ADE≌△CBF（SAS），‎ ‎∴DE=BF；‎ ‎【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握定理与性质是解本题的关键．‎ ‎33.（2012泰州)如图，四边形ABCD中，AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎（第23题图）‎ ‎【解析】要证四边形ABCD是平行四边形．只要证AD=CB，需证△AED≌△FCB，结合易知证明就较为简单．‎ ‎【答案】∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF，又∠DAE=∠BCF=900，∴△AED≌△FCB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎【点评】本题是一个简单的考查平行四边形的判定的证明题，平行四边形的相关知识是初中阶段必须掌握的．这类中考题目一般并不难，侧重考查对课本知识的掌握和理解运用．‎ ‎34．（2012广东）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO．‎ 求证：四边形ABCD是平行四边形．‎ 考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质。‎ 解答：证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠ABO=∠CDO，‎ 在△ABO与△CDO中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABO≌△CDO，‎ ‎∴AB=CD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎35．（2012临沂）如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．‎ ‎（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，‎ ‎（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定。‎ 解答：（1）证明：∵AF=DC，‎ ‎∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌DEF（SAS），‎ ‎∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，‎ ‎∴BC∥EF，‎ ‎∴四边形BCEF是平行四边形．‎ ‎（2）解：连接BE，交CF与点G，‎ ‎∵四边形BCEF是平行四边形，‎ ‎∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，‎ ‎∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，‎ ‎∴AC==5，‎ ‎∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，‎ ‎∴△ABC∽△BGC，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ ‎∴CG=，‎ ‎∵FG=CG，‎ ‎∴FC=2CG=，‎ ‎∴AF=AC﹣FC=5﹣=，‎ ‎∴当AF=时，四边形BCEF是菱形．‎ ‎36．（2012•衢州）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ 由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB∥CD，AB=CD，然后利用平行线的性质，求得∠ABE=∠CDF，又由BE=DF，即可证得△ABE≌△CDF，继而可得AE=CF．‎ 解答：‎ 解：猜想：AE=CF．‎ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，AB=CD，‎ ‎∴∠ABE=∠CDF，‎ 在△ABE和△CDF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（SAS），‎ ‎∴AE=CF．‎ 点评：‎ 此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对边平行且相等，注意数形结合思想的应用．‎ ‎37．（2012上海）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．‎ ‎（1）求证：BE=DF；‎ ‎（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．‎ 考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质。‎ 解答：证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，‎ ‎∵∠BAF=∠DAE，‎ ‎∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，‎ 即：∠BAE=∠DAF，‎ ‎∴△BAE≌△DAF ‎∴BE=DF；‎ ‎（2）∵=，‎ ‎∴‎ ‎∴FG∥BC ‎∴∠DGF=∠DBC=∠BDC ‎∴DF=GF ‎∴BE=GF ‎∴四边形BEFG是平行四边形．‎ ‎38. （2012湛江）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．‎ 求证：（1）△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）四边形BFDE是平行四边形．‎ 解：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠A=∠C，AB=CD，‎ 在△ABE和△CDF中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（SAS）；‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AD=BC，‎ ‎∵AE=CF，‎ ‎∴AD﹣AE=BC﹣CF，‎ 即DE=BF，‎ ‎∴四边形BFDE是平行四边形．‎ ‎39．（2012无锡）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．‎ 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。‎ 专题：证明题。‎ 分析：首先根据平行四边形的性质可得AB=DC，AB∥DC，再根据平行线的性质可得∠B=∠DCF，即可证明△ABE≌△DCF，再根据全等三角形性质可得到结论．‎ 解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=DC，AB∥DC，‎ ‎∴∠B=∠DCF，‎ 在△ABE和△DCF中，，‎ ‎∴△ABE≌△DCF（SAS），‎ ‎∴∠BAE=∠CDF．‎ 点评：此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是找到证明△ABE≌△DCF的条件．‎ ‎2011年全国各地中考数学真题分类汇编 第25章 多边形与平行四边形 一、选择题 ‎1. （2011安徽，6，4分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）‎ A．7 B．‎9 ‎ C．10 D．11‎ ‎【答案】D ‎ ‎2. （2011广东广州市，2，3分）已知□ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（ ）.‎ A.4 B‎.12 ‎ C.24 D.28‎ ‎【答案】B ‎3. （2011山东威海，3，3分）在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝（ ） ‎ A．1：2 B．1：‎3 ‎ C．2：3 D．2：5 ‎ ‎【答案】A ‎4. （2011四川重庆，9，4分）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为( )‎ ‎……‎ 图① 图② 图③ 图④‎ A．55 B．‎42 ‎ C．41 D．29‎ ‎【答案】C ‎5. （2011江苏泰州，7，3分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有 ‎ A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 ‎ ‎【答案】C ‎6. （2011湖南邵阳，7，3分）如图（二）所示，中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（）‎ A.AC⊥BD B.AB＝CD ‎ C. BO=OD D.∠BAD=∠BCD ‎【答案】A.‎ ‎7. （2011重庆市潼南,9,4分）如图，在平行四边形 ABCD中(AB≠BC)，直线EF 经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、‎ N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：‎ ‎①AO=BO；②OE=OF； ③△EAM∽△EBN；‎ ‎④△EAO≌△CNO，其中正确的是 A. ①② B. ②③ C. ②④ D.③④‎ ‎【答案】B ‎8. （2011广东东莞,5,3分）正八边形的每个内角为（ ）‎ A．120° B．135° C．140° D．144°‎ ‎【答案】Ｂ ‎9. （2011浙江省，8，3分）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分别找一点M,N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）‎ A. 100° B．110° C. 120° D. 130°‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎10. （2011台湾台北，33）图(十五)为一个四边形，其中与交于E点，且两灰色区域的面积相等。若＝11，＝10，则下列关系何者正确？‎ A． B． C．＞ D．＜‎ ‎【答案】A ‎11. （2011宁波市，7，3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 ‎ A． 4 B． ‎5 C． 6 D． 7‎ ‎【答案】C ‎12. （2011广东汕头,5,3分）正八边形的每个内角为（ ）‎ A．120° B．135° C．140° D．144°‎ ‎【答案】Ｂ ‎13. （2011内蒙古乌兰察布，10，3分）如图，已知矩形ABCD ，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为 M 和 N ，则 M + N 不可能是（ ）‎ A . 360 B . 540 C. 720 D . 630‎ A C B D 第10题图 ‎【答案】D ‎14. （2011广东湛江2,3分）四边形的内角和为 A B C D ‎ ‎【答案】B ‎15. （2011广东省,5,3分）正八边形的每个内角为（ ）‎ A．120° B．135° C．140° D．144°‎ ‎【答案】Ｂ 二、填空题 ‎1. （2011浙江金华，15，4分）如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是 .‎ ‎【答案】2 ‎2. （2011山东德州10,4分）如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，‎ 则图中平行四边形的个数为___________．‎ A B C D E F 第10题图 ‎【答案】3‎ ‎3. （2011浙江丽水，15，4分）如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是 .‎ ‎【答案】2 ‎4. （2011江苏苏州，12,3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O.若AC=6，则线段AO的长度等于___________.‎ ‎【答案】3‎ ‎5. （2011山东聊城，14，3分）如图，在□ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝‎3cm，则AD的长是__________cm．‎ ‎【答案】6‎ ‎6. （2011山东临沂，18，3分）如图，□ ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为 ．‎ ‎【答案】6‎ ‎7. （2011湖南常德，4，3分）四边形的外角和为__________.‎ ‎【答案】360°‎ ‎8. （2011四川广安，16，3分）若凸边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是____‎ ‎【答案】6‎ 三、解答题 ‎1. （2011浙江义乌，18，6分）如图，已知E、F是□ABCD对角线AC上的两点，‎ 且BE⊥AC，DF⊥AC.‎ F E A B C D ‎（1）求证：△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等 三角形（不再添加辅助线）．‎ ‎【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴AB=CD AB∥CD ‎ ‎∴∠BAE=∠FCD 又∵BE⊥AC DF⊥AC ‎ ∴∠AEB=∠CFD=90°‎ ‎∴△ABE≌△CDF （AAS）‎ ‎ （2）①△ABC≌△CDA ②△BCE≌△DAF ‎2. （2011湖南常德，21，7分）如图5，已知四边形ABCD是平行四边形.‎ ‎ （1）求证：△MEF ∽△MBA；‎ ‎ （2）若AF，BE分别，∠CBA的平分线，求证DF=EC A 图5‎ B C D E F M ‎【答案】‎ （1） 证明：在□ABCD中，CD∥AB ‎ ∴∠MEF=∠MBA，∠MFE=∠MAB ‎ ∴△MEF ∽△MBA （2） 证明：∵在□ABCD中，CD∥AB ‎∠DFA=∠FAB 又∵AF是∠DAB的平分线 ‎∴∠DAF=∠FAB ‎∴∠DAF=∠DFA ‎∴AD=DF 同理可得EC=BC ‎∵在□ABCD中，AD=BC ‎∴DF=EC ‎3. （2011四川成都，20,10分） 如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点.‎ ‎ (1)若BK=KC，求的值；‎ ‎ (2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD ()，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．‎ ‎【答案】解：（1）∵AB∥CD，BK=KC，∴==.‎ ‎（2）如图所示，分别过C、D作BE∥CF∥DG分别交于AB的延长线于F、G三点，‎ ‎∵BE∥DG，点E是AD的点，∴AB=BG；∵CD∥FG，CD∥AG，∴四边形CDGF是平行四边形，∴CD=FG；‎ ‎∵∠ABE=∠EBC ，BE∥CF，∴∠EBC=∠BCF，∠ABE=∠BFC，∴BC=BF，‎ ‎∴AB-CD=BG-FG=BF=BC，∴AB=BC+CD.‎ 当AE=AD ()时，（）AB=BC+CD.‎ ‎4. （2011四川宜宾,17⑶,5分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF=CE，BH=DG．‎ 求证：GF∥HE． ‎ H A ‎（17（3）题图）‎ C B D O E G F ‎【答案】证明：∵平行四边形ABCD中，OA=OC，‎ 由已知：AF=CE AF－OA=CE－OC ∴OF=OE 同理得：OG=OH ‎∴四边形EGFH是平行四边形 ‎∴GF∥HE ‎5. （2011江苏淮安，20，8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，EF分别是BC、AD上的点，∠1=∠2.‎ 求证：△ABE≌△CDF.‎ ‎【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠B=∠D，AB=DC，‎ 又∵∠1=∠2，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（ASA）.‎ ‎6. （2011四川凉山州，20，7分）如图，是平行四边形的对角线上的点，，请你猜想：线段与线段有怎样的关系？并对你的猜想加以证明。‎ B C D E F A ‎20题图 ‎【答案】猜想：。‎ ‎ 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ‎ ∴，∥ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 在和 ‎ ‎ ‎ ∴≌ ‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴∥‎ 即 。‎ ‎7. （2011江苏无锡，21，8分）(本题满分8分)如图，在□ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF．‎ ‎ 求证：BE = DF．‎ B C D A E F ‎【答案】证明：∵□ABCD中，AB = CD，AB // CD，…………………………………………(2分)‎ ‎ ∴∠ABE = ∠CDF，……………………………………………………………(4分)‎ ‎ 又∵∠BAE = ∠DCF，∴△ABE≌△CDF，………………………………(6分)‎ ‎ ∴BE = DF．…………………………………………………………………(8分)‎ ‎8. （2011湖南永州，21，8分）如图，BD是□ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．‎ 求证：△ABE≌△CDF．‎ ‎（第21题）‎ ‎【答案】证明：□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C， AB∥CD ∴∠ABD=∠CDB ‎∵∠ABE=∠ABD,∠CDF=∠CDB ∴∠ABE=∠CDF 在△ABE与△CDF中 ‎ ‎∴△ABE≌△CDF．‎ ‎2010年全国各地中考数学真题分类汇编 ‎ 第25章 多边形与平行四边形 一、选择题 ‎1．(2010江苏苏州)如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，‎ ‎ 则平行四边形ABCD的周长是 ▲ ．‎ ‎【答案】12‎ ‎2．（2010台湾）图(十)为一个平行四边形ABCD，其中H、G两点分别在、‎ ‎ 上，^，^，且、、将ÐBAD分成 ‎ Ð1、Ð2、Ð3、Ð4四个角。若=5，=6，则下列关系何者 ‎ 正确？ (A) Ð1=Ð2 (B) Ð3=Ð4 (C) = (D) = 。‎ A B C D G H ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 图(十)‎ ‎【答案】A ‎ ‎3．（2010重庆綦江县）如图，在中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连结CG、CF，则以下四个结论一定正确的是（ ）‎ ‎①△CDF≌△EBC ②∠CDF＝∠EAF ③△ECF是等边三角形 ④CG⊥AE A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④‎ ‎【答案】B ‎ ‎4．（2010山东临沂）如图，在中，与相交于点，点是边的中点，，则的长是 ‎（第7题图）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎5．（2010湖南衡阳）如图，在□ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则ΔCEF的周长为（ ）‎ A.8 B.‎9.5 C.10 D.11.5‎ ‎【答案】A ‎ ‎6．（2010 河北）如图2，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB = 3， ‎ 则□ABCD的周长为 A B C D 图2‎ A．6 B．9 ‎ C．12 D．15‎ ‎【答案】C ‎ ‎7．（2010浙江湖州）如图在ABCD中，AD＝‎3cm，AB＝‎2cm，则ABCD的周长等于（ ）‎ A．‎10cm B．‎6cm C．‎5cm D．‎‎4cm A D C B ‎【答案】A．‎ ‎8．（2010 四川成都）已知四边形，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中任选两个，能使四边形成为平行四边形的选法种数共有（ ）‎ ‎（A）6种 （B）5种 （C）4种 （D）3种 ‎【答案】C ‎ ‎9．（2010山东泰安）如图，E是□ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（ ）‎ A、AD=CF B、BF=CF C、AF=CD D、DE=EF ‎【答案】C ‎ ‎10．（2010 内蒙古包头）已知下列命题：‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，则；‎ ‎③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；‎ ‎④平行四边形的对角线互相平分．‎ 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎ ‎11．（2010 重庆江津）如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，‎ 那么需要添加的条件是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎12．（2010宁夏回族自治区）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有 （ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C ‎ ‎13．（2010鄂尔多斯）如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是 A.S△ADF=2S△EBF B.BF=DF C.四边形AECD是等腰梯形 D. ∠AEC=∠ADC ‎【答案】A ‎ ‎14．（2010广东清远）如图2，在ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝‎10cm，BD＝‎6cm，则AD的长为( )‎ A．‎4cm B．‎5cm C．‎6cm D．‎‎8cm ‎【答案】A ‎ ‎15．（2010台湾） 如图(十六)，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为 ‎ 10，则正八边形ABCDEFGH的面积为何？‎ ‎ (A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 80 。‎ B A C D E F G H 图(十六)‎ ‎【答案】A ‎ ‎16．（2010 山东济南） 如图，正六边形螺帽的边长是‎2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　）‎ ‎　 　A． cm　　 　 　　B．cm ‎　　 C． cm　　 　D．1cm ‎【答案】A ‎ ‎17．（2010 河北）如图4，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是 图4‎ A．7 B．8 ‎ C．9 D．10‎ ‎【答案】B ‎ ‎18．（2010 广西玉林、防城港）如图3，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影面积占圆面积： （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎19．（2010 广西钦州市）某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，‎2 m长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是 ‎（A）m2 （B）m2 （C）m2 （D）m2‎ 第17题 ‎【答案】A ‎ ‎20．（2010新疆乌鲁木齐）将边长为3cm的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎21．（2010广西柳州）一个正多边形的一个内角为120度，则这个正多边形的边数为 ‎ A．9 B．‎8 C．7 D．6 ‎ ‎【答案】D ‎ 二、填空题 ‎1．（2010福建福州）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为_______．‎ ‎(第14题)‎ ‎【答案】21‎ ‎2．（2010福建宁德）如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．‎ 第16题图 F A E B C D ‎【答案】4‎ ‎3．（2010 山东滨州）如图,平行四边形ABCD中, ∠ABC=60°,E、F分别在CD、BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,DF=2,则EF的长为 .‎ ‎【答案】2‎ ‎4．（2010山东潍坊）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB＝‎12cm，F是AB边上的一点，过点F作FE∥BC交CA于点E，过点E作ED∥AB交于BC于点D，则四边形BDEF的周长是 ．‎ ‎【答案】24cm ‎ ‎5．（2010湖南常德）如图2，四边形ABCD中，AB//CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为 .（填一个即可）.‎ D B ‎ C A 图2‎ ‎【答案】∥BC等 ‎6．（2010湖南郴州）如图，已知平行四边形，是延长线上一点，连结交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使，这个条件是 ．（只要填一个）‎ A B E F D C 第13题 ‎【答案】或或 或F为DE的中点或F为BC的中点或或B为AE的中点 ‎7．（2010湖北荆州）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=130°，在AD上取DE=DC，‎ 则∠ECB的度数是 .‎ ‎【答案】65°‎ ‎8．（2010湖北恩施自治州）如图，在ABCD中，已知AB=9㎝，AD=6㎝，BE平分∠ABC交DC边于点E，则DE等 于 ㎝.‎ ‎【答案】3‎ ‎9．（2010云南红河哈尼族彝族自治州） 如图4，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B‎1C1的边B‎1C1、C‎1 A1、 A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 个.‎ ‎…‎ 图4‎ ‎【答案】3n ‎ ‎10．（2010 江苏镇江）如图，在平行四边形ABCD中，CD=10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且= ，BF= .‎ ‎【答案】‎ ‎11．（2010 广西钦州市）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，‎ 若AD＝4cm，则OE的长为 ▲ cm．‎ 第5题 ‎【答案】2‎ ‎12．（2010青海西宁）如图1，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=14，BD=8，AB= ，那么的取值范围是 .‎ ‎ ‎ ‎ 图1 ‎ ‎【答案】3﹤x﹤11.‎ ‎13．（2010广西梧州）如图2，在□ABCD中，E是对角线BD上的点，且EF∥AB，DE：EB=2：3，EF=4，则CD=的长为________‎ ‎ ‎ 图2‎ A B C D F E ‎ ‎ ‎【答案】10‎ ‎14．（2010广东深圳）如图3，在□ABCD中，AB=5，AD=8，DE平分∠ADC，则BE= ‎ ‎【答案】3‎ ‎15．（2010辽宁本溪）过□ABCD对角线交点O作直线m，分别交直线AB于点E，交直线CD于点F，若AB=4，AE=6，则DF的长是 .‎ ‎【答案】2或10‎ ‎16．（2010广西河池）如图1，在□ABCD中，∠A＝120°，则∠D＝ °．‎ 图1‎ ‎【答案】60‎ ‎17．（2010 福建晋江）将一块正五边形纸片（图①）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图②‎ ‎），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形，则的大小是_______度.‎ ‎①‎ ‎②‎ 第16题图 ‎【答案】72‎ ‎18．（2010江苏宿迁）如图,平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边， ‎ 则等于 ▲ °.‎ ‎(第13题)‎ α ‎【答案】72‎ ‎19．（2010四川乐山）正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为这个正六边形内部的一个动点，则点P到这个正六边形各边的距离之和为__________cm．‎ ‎【答案】 ‎20．（2010广西桂林）正五边形的内角和等于______度．‎ ‎【答案】540‎ ‎21．（2010青海西宁）要使正六边形旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转 °.‎ ‎【答案】60°‎ 三、解答题 ‎1． （2010浙江嘉兴）如图，在□ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）连结BD，并写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）‎ ‎ ‎ ‎（第19题）‎ ‎【答案】（1）在□ABCD中，AB//CD，AB=CD．‎ ‎∵AE=CF，∴BE=DF，且BE//DF．‎ ‎∴四边形BFDE是平行四边形．‎ ‎∴． …5分 ‎（第19题）‎ ‎（2）连结BD，如图，‎ 图中有三对全等三角形：‎ ‎△ADE≌△CBF，‎ ‎△BDE≌△DBF，‎ ‎△ABD≌△CDB． …3分 ‎2．（2010 嵊州市）（10分）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。‎ ‎（1）如图1，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系是什么；‎ ‎（2）如图2，若AB＝BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；‎ ‎（3）如图3，若AB＝kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明。‎ ‎【答案】（1）AE＝EF ‎ （2）猜想：（1）中结论没有发生变化，即仍然为AE＝EF（过点E作EH∥AB，可证 ‎△AEH≌△FEC）‎ ‎ （3）猜想：（1）中的结论发生变化，为AE＝kEF ‎ ‎3．（2010 福建晋江）（8分）如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）‎ 关系：①∥，②，③，④．‎ 已知：在四边形中，　　　　　，　　　　　；‎ A B C D 求证：四边形是平行四边形．‎ ‎【答案】已知：①③，①④，②④，③④均可,其余均不可以.‎ 已知：在四边形中，①∥，③.‎ 求证：四边形是平行四边形．‎ 证明：∵ ∥‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴四边形是平行四边形 ‎4．（2010江苏宿迁）（本题满分8分）如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．‎ 求证：∠EBF=∠FDE．‎ ‎【答案】证明：连接BD交AC于O点 ‎ C A B D E F O ‎∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴OA=OC，OB=OD ‎ 又∵AE=CF ‎∴OE=OF ‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形 ‎ ‎∴∠EBF=∠EDF ‎ ‎5．（2010 浙江衢州）(本题6分)‎ 已知：如图，E，F分别是ABCD的边AD，BC的中点．‎ 求证：AF=CE．‎ A D E F B C ‎【答案】证明：方法1：‎ A D E F B C ‎(第19题)‎ ‎∵　四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，∴　AE = CF． ‎ 又 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，　‎ ‎∴　AD∥BC，即AE∥CF．‎ ‎∴　四边形AFCE是平行四边形． ‎ ‎∴　AF=CE． ‎ 方法2：‎ ‎∵　四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，‎ ‎∴ BF=DE． ‎ 又 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴　∠B=∠D，AB=CD．‎ ‎∴　△ABF≌△CDE． ‎ ‎∴　AF=CE． ‎ ‎6．（2010年贵州毕节）如图，已知：平行四边形 ABCD中，的平分线交边于，的平分线 交于，交于．求证：．‎ A B C D E F G ‎【答案】证明：∵ 四边形是平行四边形（已知），‎ ‎，（平行四边形的对边平行，对边相等） ‎ ‎，（两直线平行，内错角相等） ‎ 又∵ BG平分，平分（已知）‎ ‎，（角平分线定义） ‎ ‎，． ‎ ‎，（在同一个三角形中，等角对等边） ‎ ‎ ‎ ‎，即．‎ ‎7．（2010 湖南株洲）（本题满分6分）如图，已知平行四边形，是的角平分线，交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求的度数．‎ ‎【答案】（1）如图，在中，得，‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 又，∴，∴ ‎ ‎（2）由得，‎ 又，‎ ‎∴ ∴‎ ‎∵，∴，‎ 得：．‎ ‎8．（2010广东中山）如图，分别以RtΔABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ΔACD、等边ΔABE．已知∠BAC=，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．‎ ‎（1）试说明AC=EF；‎ ‎（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．‎ ‎【答案】（1）解：在RtΔABC，∠BAC=，‎ ‎∴∠ABC=‎ 等边ΔABE中，∠ABE=，且AB=BE ‎∵EF⊥AB ‎∴∠EFB=‎ ‎∴RtΔABC≌RtΔEBF ‎∴AC=EF ‎（2）证明：等边ΔACD中，∠DAC=，AD=AC 又∵∠BAC=‎ ‎∴∠DAF=‎ ‎∴AD∥EF 又∵AC=EF ‎∴AD=EF ‎∴四边形ADFE是平行四边形．‎ ‎9．（2010湖南郴州）已知：如图，把绕边BC的中点O旋转得到.‎ 求证：四边形ABDC是平行四边形.‎ 第23题 ‎【答案】 .证明：因为 是由旋转所得 ‎ 所以点A、D，B、C关于点O中心对称 ‎ 所以OB=OC OA=OD ‎ 所以四边形ABCD是平行四边形 ‎ ‎ （注：还可以利用旋转变换得到AB=CD ，AC=BD相等；或证明证ABCD是平行四边形）‎ ‎10．2010湖南怀化） 如图7，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.‎ 求证：四边形AECF是平行四边形.‎ 图7‎ ‎【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB,OA=OC ‎ ‎∴∠DFO=∠BEO, ∠FDO=∠EBO ‎∴△FDO≌△EBO ‎∴OF=OE ‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形 ‎ ‎11．（2010湖北省咸宁）问题背景 ‎（1）如图1，‎B C D F E 图1‎ A ‎3‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，‎ 过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：‎ 四边形DBFE的面积 ，‎ ‎△EFC的面积 ，‎ ‎△ADE的面积 ．‎ 探究发现 ‎（2）在（1）中，若，，DE与BC间的距离为．请证明．‎ 拓展迁移 ‎（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若 ‎△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）‎ 中的结论求△ABC的面积．‎ B C D G F E 图2‎ A ‎【答案】（1），，．‎ ‎（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，‎ ‎∴四边形DBFE为平行四边形，，．‎ ‎∴△ADE∽△EFC．‎ ‎∴．‎ ‎∵， ∴．‎ ‎∴．‎ 而， ∴‎ ‎（3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形．‎ B C D G F E 图2‎ A H ‎∴，，．‎ ‎∵四边形DEFG为平行四边形，‎ ‎∴． ∴．‎ ‎∴． ∴△DBE≌△GHF．‎ ‎∴△GHC的面积为．‎ 由（2）得，□DBHG的面积为．‎ ‎∴△ABC的面积为．‎ ‎12．（2010湖北恩施自治州）如图，已知，在ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点.‎ 求证：四边形MFNE是平行四边形 .‎ ‎【答案】证明：由平行四边形可知，AB=CD，∠BAE=∠DFC，‎ ‎∴BE=DF，∠AEB=∠CDF ‎ 又∵M、N分别是BE、DF的中点，∴ME=NF 又由AD∥BC，得∠ADF=∠DFC ‎ ‎∴∠ADF=∠BEA ∴ME∥NF ‎∴四边形MFNE为平行四边形。‎ ‎13．（2010河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC 关于AC所在的直线对称，AD和B’C相交于点O．连结BB’.‎ （1） 请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；‎ （2） 求证：△A B’O≌△CDO.‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）△ABB′, △AOC和△BB′C. ‎ ‎ （2）在平行四边形ABCD中，AB = DC,∠ABC = ∠D ‎ 由轴对称知AB′= AB，∠ABC = ∠AB′C ‎ ∴AB′= CD, ∠AB′O = ∠D ‎ ‎ 在△AB′O 和△CDO中，‎ ‎ ‎ ‎ ∴△AB′O ≌△CDO ‎ ‎14．（2010四川乐山）如图（7），在平行四边形ABCD的对角线上AC 上取两点E和F，若AE=CF.‎ 求证：∠AFD=∠CEB.‎ ‎【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∵AD∥BC,AD=BC,‎ ‎∴∠DAF=∠BCE ‎∵AE=CF ‎ ‎∴AE+EF=CF+EF 即AF=CE ‎ ‎∴△ADF≌△CBE ‎∴∠AFD=∠CEB ‎ ‎15．（2010广东东莞）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，边结DF．‎ ‎⑴试说明AC＝EF；‎ ‎⑵求证：四边形ADFE是平行四边形．‎ A B C D E F ‎ ‎ ‎【答案】⑴∵等边△ABE ‎∴∠ABE＝60°，AB＝BE ‎ ‎∵EF⊥AB ∴∠BFE＝∠AFE＝90°‎ ‎∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°‎ ‎∴∠ABC＝60°‎ ‎∴∠ABC＝∠ABE，∠ACB＝∠BFE＝90°‎ ‎∴△ABC≌△EFB，‎ ‎∴AC＝EF ‎⑵∵等边△ACD ‎∴AD＝AC，∠CAD＝60°‎ ‎∴∠BAD＝90°，∴AD∥EF ‎∵AC＝EF ‎∴AD＝EF ‎∴四边形ADFE是平行四边形． ‎ ‎16．（2010 山东东营） 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点.‎ 求证：（1）△ABE≌△CDF；‎ ‎　　 （2）四边形BFDE是平行四边形.‎ A E D C F B ‎（第19题图）‎ ‎17．（2010 广东汕头）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．‎ ‎（1）试说明AC＝EF；‎ ‎（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．‎ ‎【答案】证明：（1）∵△ACD和△ABE都是等边三角形 ‎∴∠EAB＝∠DAC＝60º，AB＝AE，AC＝AD ‎∵EF⊥AB ‎∴∠EFA＝∠ACB＝90º，∠AEF＝30º ‎∵∠BAC＝30º ‎∴∠BAC＝∠AEF ‎∴△ABC≌△EAF（AAS）‎ ‎∴AC＝EF．‎ ‎（2）∵∠DAC＋∠CAB＝90º ‎ ‎∴DA⊥AB ‎∵EF⊥AB ‎∴AD∥EF ‎∵AC＝EF，AC＝AD ‎∴AD＝EF ‎∴四边形ADFE是平行四边形．‎ ‎18．（2010 山东淄博）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．‎ ‎（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；‎ ‎（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；‎ ‎ （3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积．‎ D A C B ‎(第23题)‎ ‎【答案】解：在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，∴BC＝，AC＝3．‎ ‎（1）如图（1），作DF⊥AC，∵Rt△ACD中，AD＝CD，∴DF＝AF＝CF＝．‎ ‎∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝30°，∴CP＝BC·tan30°＝1，∴PF＝，∴DP＝＝． ‎ ‎ (第23题)‎ D A C B ‎(2)‎ P F D A C B P F ‎(1)‎ ‎（2）当P点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF＝，∠ADF＝45°，又PD＝BC＝，∴cos∠PDF＝＝，∴∠PDF＝30°．‎ ‎∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°．‎ 当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF＝30°．‎ ‎∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75°．‎ D A C B ‎(3)‎ P F D A C B P Q ‎(4)‎ ‎ (第23题)‎ ‎（3）CP＝．‎ 在□DPBQ中，BC∥DP，∵∠ACB＝90°，∴DP⊥AC．根据（1）中结论可知，DP＝CP＝，∴S□DPBQ＝＝．‎ ‎19．（2010 云南玉溪）如图9，在ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．‎ 图9‎ ‎【答案】解：添加的条件是连结B、E,过D作DF∥BE交BC于 点F,构造的全等三角形是△ABE与△CDF. …………4分 ‎ 理由： ∵平行四边形ABCD，AE=ED, …………5分 ‎ ‎∴在△ABE与△CDF中，‎ AB=CD, …………6分 ‎∠EAB=∠FCD, …………7分 AE=CF ， …………8分 ‎ ∴△ABE≌△CDF. …………9分 ‎20．（2010 贵州贵阳）已知，如图9，E、F是四边形ABCD的对角线AC上 的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．‎ ‎（1）求证：△AFD≌△CEB（5分）‎ ‎（2）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．（5分）‎ ‎（图9）‎ ‎【答案】（1）∵DF∥BE ‎∴∠DFA＝∠BEC………………………………………………………………………………1分 在△AFD和△CEB中 ‎∵DF＝BE ∠DFA＝∠BEC AF＝CE……………………………………………………4分 ‎△AFD≌△CEB（SAS）……………………………………………………………………5分 ‎（2）是平行四边形。………………………………………………………………………6分 ‎∵△AFD≌△CEB ‎∴AD＝CB ∠DAF＝∠BCE…………………………………………………………8分 ‎∴AD∥CB………………………………………………………………………………9分 ‎∴四边形ABCD是平行四边形………………………………………………………10分 ‎21．（2010 湖北咸宁）问题背景 ‎（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，‎ 过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：‎ 四边形DBFE的面积 ，‎ ‎△EFC的面积 ，‎ ‎△ADE的面积 ．‎ B C D F E 图1‎ A ‎3‎ ‎6‎ ‎2‎ 探究发现 ‎（2）在（1）中，若，，DE与BC间的距离为．请证明．‎ 拓展迁移 ‎（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若 ‎△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）‎ 中的结论求△ABC的面积．‎ B C D G F E 图2‎ A ‎【答案】（1），，．……3分 ‎（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，‎ ‎∴四边形DBFE为平行四边形，，．‎ ‎∴△ADE∽△EFC．……4分 ‎∴．‎ ‎∵， ∴．……5分 ‎∴．‎ 而， ∴……6分 ‎（3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形．‎ B C D G F E 图2‎ A H ‎∴，，．‎ ‎∵四边形DEFG为平行四边形，‎ ‎∴． ∴．‎ ‎∴． ∴△DBE≌△GHF．‎ ‎∴△GHC的面积为．……8分 由（2）得，□DBHG的面积为．……9分 ‎∴△ABC的面积为．……10分 ‎22．（2010吉林长春）如图，△ABC中，AB=AC,延长BC至D,使CD=BC,点E在边AC上，以CE、CD为邻边作□CDFE，过点C作CG∥AB交EF与点G。连接BG、DE。‎ ‎（1）∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由。（3分）‎ ‎（2）求证：△BCG≌△DCE. (4分)‎ ‎【答案】‎ ‎23．（2010云南昭通）如图6□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O．‎ ‎ （1）图中有哪些三角形是全等的？‎ ‎ （2）选出其中的一对全等三角形进行证明．‎ ‎【答案】解：（1）△AOB≌△COD ‎ △AOD≌△COB ‎△ABD≌△CDB ‎△ADC≌△CBA ………………………………4分 ‎ （2）以△AOB≌△COD为例证明，‎ ‎ ∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴OA=OC，OB=OD．‎ 在△AOB和△COD中 ‎∴△AOB≌△COD．　　　　　　 ……………………………8分 ‎24．（2010广东佛山）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE=CG，BF=DH。‎ 求证：△AEH≌△CGF。‎ ‎【答案】证明：如图，在□ABCD中，BC=DA，∠A=∠C，……2分 ‎∵BF=DH，所以FC=HA, …………………………………4分 又∵AE=CG，∴△AEH≌△CGF。………………………6分 ‎25．（2010云南曲靖）如图，E、F是 ABCD对角线AC上的两点，且BE//DF.‎ 求证：（1）△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）∠1=∠2‎ ‎【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD ‎∴∠BAE=∠DCF. ‎ ‎ ∵BE//DF，‎ ‎∴∠BEF=∠DFE.‎ ‎∴∠AEB=∠CFD. ‎ ‎ ∴△ABE≌△CDF（AAS）. ‎ ‎（2）由△ABE≌△CDF得 BE=DF. ‎ ‎∵BE//DF.‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形. ‎ ‎∴∠1=∠2. ‎ ‎26．（2010广东湛江）如图，在中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF，‎ 求证：（1）‎ ‎ （2） ‎ ‎【答案】‎ 证明：(1) 四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎ ,………………2分 ‎……………...……3分 在和中 ‎……………….……6分 ‎ (2) ‎ ‎ …………….……...8分 ‎ ‎ ‎ ……………………….……10分A E D C F B ‎（第19题图）‎ 证明:（1）在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.‎ ‎ 又点E，F分别是AD，BC的中点. ………1分 ‎ AE=CF, …………………………3分 ‎ ,…………………4分 ‎ △ABE≌△DCF (边，角，边) ……5分 ‎（2）在平行四边形BFDE中，‎ ‎∵△ABE≌△DCF ,‎ ‎ BE=DF. ……………………………………………………………6分 ‎ 又点E，F分别是AD，BC的中点.‎ DE=BF, ………………………………………………………………8分 四边形BFDE是平行四边形. ……………………………………9分