长沙市中考数学09最后两道压轴题集锦附答案版

长沙市中考数学09最后两道压轴题集锦附答案版

‎1．（湖南省永州市）探究问题：‎ ‎（1）阅读理解：‎ ‎①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离．‎ C B A P ‎（图A）‎ C B A D ‎（图B）‎ ‎②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA＝AC·BD，此为托勒密定理．‎ ‎（2）知识迁移：‎ ‎①请你利用托勒密定理，解决如下问题：‎ 如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的 上任意一点．求证：PB＋PC＝PA．‎ ‎②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：‎ 第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；‎ 第二步：在上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D．‎ 易知P′A＋P′B＋P′C＝P′A＋(P′B＋P′C)＝P′A＋_____________；‎ D B C A P′‎ ‎（图D）‎ P B A C ‎（图C）‎ 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段________的长度即为△ABC的费马距离．‎ B C A ‎30°‎ ‎（3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．‎ ‎2．（湖南省娄底市）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，DC＝10，AD＝BC＝5，点M、N分别在边AD、BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂中分别为E、F．‎ ‎（1）求梯形ABCD的面积；‎ ‎（2）探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由；‎ C A B D M N F E ‎（3）探究二：四边形MNFE能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．‎ ‎3. (浙江义乌)如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线．将直线平移，平移后的直线与轴交于点D，与轴交于点E．‎ ‎（1）将直线向右平移，设平移距离CD为(t0)，直角梯形OABC被直线扫过的面积（图中阴影部份）为，关于的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．‎ ‎①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；‎ ‎②当时，求S关于的函数解析式；‎ A O B M D C 图12‎ y x ‎（2）在第（1）题的条件下，当直线向左或向右平移时（包括与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎4．（湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.‎ 如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.‎ (1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；‎ ‎(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.‎ ‎5. 某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设管道到另外两处．‎ 如图，甲，乙两村坐落在夹角为的两条公路的段和段（村子和公路的宽均不计），点表示这所中学．点在点的北偏西的3km处，点在点的正西方向，点在点的南偏西的km处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；‎ 方案二：供水站建在乙村（线段某处），甲村要求管道建设到处，请你在图①中，画出铺设到点和点处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；‎ 方案三：供水站建在甲村（线段某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．‎ 综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？‎ M A E C D B F 乙村 甲村 东 北 图①‎ M A E C D B F 乙村 甲村 图②‎ O O ‎2009-25．为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）求月销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润＝销售额－生产成本－员工工资－其它费用），该公司可安排员工多少人？‎ ‎（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ x ‎（元）‎ ‎（万件）‎ y O ‎2010---25．已知：二次函数的图象经过点（1，0），‎ 一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中且、为实数．（3）‎ ‎（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围．‎ ‎2-10---26．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．‎ ‎（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；‎ ‎（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；‎ B A P x C Q O y 第26题图 ‎（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎2011-----25．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数的零点。‎ ‎ 己知函数 (m为常数)。‎ ‎ （1）当=0时，求该函数的零点；（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；‎ ‎（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式。‎ ‎26．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0,2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B。‎ ‎（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；‎ ‎（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎2012---25．在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：‎ ‎（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）‎ ‎（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？‎ ‎（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？‎ ‎（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．‎ ‎26．如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H．‎ ‎（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；‎ ‎（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；‎ ‎（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2．‎ 试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎2013------25．设是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．‎ ‎ （1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；‎ ‎ （2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式；‎ ‎ （3）若二次函数是闭区间上的“闭函数”，求实数的值。‎ ‎26．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点A，点B，动点P在第一象限内，由点P向轴，轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P运动时，矩形PMON的面积为定值2．‎ ‎ （1）求的度数；‎ ‎ （2）求证：△∽△；‎ ‎（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段 ‎ AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角 ‎ 形的外接圆面积为，△的面积为．‎ ‎ 试探究：是否存在最小值？若存在，‎ 请求出该最小值；若不存在，请说明理由． （第26题）‎ ‎2014--25在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．‎ ‎（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；‎ ‎（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．‎ ‎26、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．‎ ‎（1）求a，b，c的值；‎ ‎（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；‎ ‎（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．‎ 考点：‎ ‎2014----25二次函数综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）先由“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=，运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x=3kx+s﹣1，整理得（3k﹣1）x=1﹣s，再分三种情况进行讨论即可；‎ ‎（3）先将A（x1，x1），B（x2，x2）代入y=ax2+bx+1，得到ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22+（b﹣1）x2+1=0，根据方程的解的定义可知x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的两个根，由根与系数的关系可得x1+x2=，x1•x2=，则（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2==4，整理得出b2﹣2b=（2a+1）2﹣2，则t=b2﹣2b+=（2a+1）2+．再由﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，得出﹣4＜x2＜4，﹣8＜x1•x2＜8，即﹣8＜＜8，又a＞0，解不等式组得出a＞，进而求出t的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（1）∵点P（2，m）是“梦之点”，∴m=2，∵点P（2，2）在反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上，∴n=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=；‎ ‎2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），‎ 则有x=3kx+s﹣1，整理，得（3k﹣1）x=1﹣s，当3k﹣1≠0，即k≠时，解得x=；‎ 当3k﹣1=0，1﹣s=0，即k=，s=1时，x有无穷多解；当3k﹣1=0，1﹣s≠0，即k=，s≠1时，x无解；综上所述，当k≠时，“梦之点”的坐标为（，）；当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s≠1时，不存在“梦之点”；‎ ‎（3）∵二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），∴x1=ax12+bx1+1，x2=ax22+bx2+1，∴ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22‎ ‎+（b﹣1）x2+1=0，∴x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的两个不等实根，‎ ‎∴x1+x2=，x1•x2=，∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=（）2﹣4•==4，∴b2﹣2b=4a2+4a﹣1=（2a+1）2﹣2，∴t=b2﹣2b+=（2a+1）2﹣2+=（2a+1）2+．∵﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，∴﹣4＜x2＜0或0＜x2＜4，∴﹣4＜x2＜4，∴﹣8＜x1•x2＜8，‎ ‎∴﹣8＜＜8，∵a＞0，∴a＞∴（2a+1）2+＞+=，∴t＞．‎ 考点：‎ ‎/26、二次函数综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可；‎ ‎（2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与x2比较得出答案即可；‎ ‎（3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，∴抛物线的一般式为：y=ax2，∴=a（）2，解得：a=±，‎ ‎∵图象开口向上，∴a=，∴抛物线解析式为：y=x2，故a=，b=c=0；‎ ‎（2）设P（x，y），⊙P的半径r=，又∵y=x2，则r=，‎ 化简得：r=＞x2，∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；‎ ‎（3）设P（a，a2），∵PA=，作PH⊥MN于H，则PM=PN=，‎ 又∵PH=a2，则MH=NH==2，故MN=4，‎ ‎∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），又∵A（0，2），∴AM=，AN=，‎ 当AM=AN时，=，解得：a=0，当AM=MN时，=4，解得：a=2±2（负数舍去），则a2=4+2；当AN=MN时，=4，解得：a=﹣2±2（负数舍去），则a2=4﹣2；‎ 综上所述，P的纵坐标为0或4+2或4﹣2．‎ ‎200925．解：（1）当时，令，‎ 则解得 ．‎ 同理，当时，．--4分 ‎ （直接写出这个函数式也记4分．）‎ ‎2010 26．解：(1) ∵CQ＝t，OP=t，CO=8 ∴OQ=8－t ‎∴S△OPQ＝（0＜t＜8） …………………3分 ‎(2) ∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ＝＝32 … 5分∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32 ……6分 ‎（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时, △QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°‎ 又∵BQ与AO不平行 ∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ ‎∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP ………………7分 ‎∴解得：t＝4经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）‎ 此时P（，0）∵B（，8）且抛物线经过B、P两点，‎ ‎∴抛物线是，直线BP是： …………………8分 设M（m, ）、N(m，) ∵M在BP上运动 ∴‎ ‎∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P ‎∴当时， ………………………………9分 ‎∴＝ ∴当时，MN有最大值是2‎ ‎∴设MN与BQ交于H 点则、‎ ‎∴S△BHM＝＝∴S△BHM ：S五边形QOPMH＝＝3:29‎ ‎∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29． …………………10分 ‎2011 25. （1）当=0时，该函数的零点为和。‎ ‎（2）令y=0，得△=∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根。即无论取何值，该函数总有两个零点。（3）依题意有，由解得。‎ ‎∴函数的解析式为。令y=0，解得 ‎∴A()，B(4,0)作点B关于直线的对称点B’，连结AB’，‎ 则AB’与直线的交点就是满足条件的M点。‎ 易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）。‎ 连结CB’，则∠BCD=45°∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°∴∠BCB’=90°‎ 即B’（）‎ 设直线AB’的解析式为，则 ‎，解得 ‎∴直线AB’的解析式为，‎ 即AM的解析式为。‎ ‎26、（1）过点B作BC⊥y轴于点C，∵A(0,2)，△AOB为等边三角形，‎ ‎∴AB=OB=2，∠BAO=60°，∴BC=，OC=AC=1，即B（）‎ ‎（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性，∵∠PAQ==∠OAB=60°，∴∠‎ PAO=∠QAB，在△APO和△AQB中，∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB ‎∴△APO≌△AQB总成立，∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立，‎ ‎∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。‎ ‎（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行。‎ ① 当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°。又OB=OA=2，可求得BQ=，由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=，∴此时P的坐标为（）。‎ ‎②当点P在x轴正半轴上时，点Q在嗲牛B的上方，此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形，当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°。又AB= 2，可求得BQ=，‎ 由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=，∴此时P的坐标为（）。‎ 综上，P的坐标为（）或（）。‎ ‎2012--25‎ 解答：‎ 解：（1）∵25≤28≤30，，‎ ‎∴把28代入y=40﹣x得，∴y=12（万件），‎ 答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件；‎ ‎（2）①当 25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x2+60x﹣925=﹣（x﹣30）2﹣25，故当x=30时，W最大为﹣25，及公司最少亏损25万；‎ ‎②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x2+35x﹣625=﹣（x﹣35）2﹣12.5故当x=35时，W最大为﹣12.5，及公司最少亏损12.5万；‎ 对比1°，2°得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；‎ 答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；‎ ‎（3）①当 25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x2+59x﹣782.5‎ 令W=67.5，则﹣x2+59x﹣782.5=67.5‎ 化简得：x2﹣59x+850=0 x1=25；x2=34，‎ 此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，25≤x≤30；‎ ‎②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x2+35.5x﹣547.5，‎ 令W=67.5，则﹣x2+35.5x﹣547.5=67.5，‎ 化简得：x2﹣71x+1230=0 x1=30；x2=41，‎ 此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30＜x≤35，‎ 答：到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是25≤x≤30或30＜x≤35．‎ ‎26‎ 解答：‎ 解：（1）由题意可知O1（m，m），O2（n，n），‎ 设过点O1，O2的直线解析式为y=kx+b，则有：‎ ‎（0＜m＜n），解得，‎ ‎∴所求直线的解析式为：y=x．‎ ‎（2）由相交两圆的性质，可知P、Q点关于O1O2对称．‎ ‎∵P（4，1），直线O1O2解析式为y=x，∴Q（1，4）．‎ 如解答图1，连接O1Q．‎ ‎∵Q（1，4），O1（m，m），根据两点间距离公式得到：‎ O1Q==‎ 又O1Q为小圆半径，即QO1=m，‎ ‎∴=m，化简得：m2﹣10m+17=0 ①‎ 如解答图1，连接O2Q，同理可得：n2﹣10n+17=0 ②‎ 由①，②式可知，m、n是一元二次方程x2﹣10x+17=0 ③的两个根，‎ 解③得：x=5±，∵0＜m＜n，∴m=5﹣，n=5+．‎ ‎∵O1（m，m），O2（n，n），‎ ‎∴d=O1O2==8．‎ ‎（3）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+bx+c，因为开口向下，所以a＜0．‎ 如解答图2，连接PQ．‎ 由相交两圆性质可知，PQ⊥O1O2．‎ ‎∵P（4，1），Q（1，4），‎ ‎∴PQ==，又O1O2=8，‎ ‎∴S1=PQ•O1O2=××8=；‎ 又S2=（O2R+O1M）•MR=（n+m）（n﹣m）=；‎ ‎∴==1，即抛物线在x轴上截得的线段长为1．‎ ‎∵抛物线过点P（4，1），Q（1，4），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为：y=ax2﹣（5a+1）x+5+4a，‎ 令y=0，则有：ax2﹣（5a+1）x+5+4a=0，‎ 设两根为x1，x2，则有：x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∵在x轴上截得的线段长为1，即|x1﹣x2|=1，‎ ‎∴（x1﹣x2）2=1，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1，‎ 即（）2﹣4（）=1，化简得：8a2﹣10a+1=0，‎ 解得a=，可见a的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即a＜0）矛盾，‎ ‎∴不存在这样的抛物线．‎ ‎2013‎ B C A ‎30°‎ D ‎1.（2）①证明：由托勒密定理可知PB·AC＋PC·AB＝PA·BC 2分 ‎∵△ABC是等边三角形 ‎∴AB＝AC＝BC ‎∴PB＋PC＝PA 3分 ‎②P′D AD 6分 ‎（3）解：如图，以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD，则知线段AD的长即为△ABC的费马距离． 8分 ‎∵△BCD为等边三角形，BC＝4‎ ‎∴∠CBD＝60°，BD＝BC＝4‎ ‎∵∠ABC＝30°，∴∠ABD＝90°‎ 在Rt△ABD中，∵AB＝3，BD＝4‎ ‎∴AD＝＝＝5（km）‎ ‎∴从水井P到三个村庄所铺设的输水管总长度的最小值为5km-------------10分 ‎2．解：（1）过点A作AH⊥DC于H，交MN于点G 在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AB＝2，DC＝10，AD＝BC＝5‎ ‎∴DH＝(10－2)＝4，AH＝＝3 2分 ‎∴S梯形ABCD ＝(AB＋DC)·AH＝×(2＋10)×3＝18 4分 ‎（2）四边形MNFE的面积有最大值 ‎∵AB∥CD，MN∥AB，∴MN∥CD，即MN∥EF ‎∵ME⊥DC，NF⊥DC，∴ME∥NF，∠MEF＝90°‎ ‎∴四边形MNFE是矩形 5分 设ME＝x，则AG＝3－x C A B D M N F E H G ‎∵∠MED＝∠AHD＝90°，∠MDE＝∠ADH ‎∴△MDE∽△ADH，∴＝‎ 即＝，∴DE＝x ‎∴MN＝DC－2DE＝10－x 6分 ‎∴S矩形MNFE ＝ME·MN＝x(10－x)＝－x 2＋10x＝－(x－)2＋ 7分 ‎∴当x＝时，四边形MNFE的面积有最大值，S最大＝ 8分 ‎（3）四边形MNFE能为正方形 设ME＝x，则由（2）知MN＝10－x 当ME＝MN，即x＝10－x，即x＝时，四边形MNFE为正方形 10分 S正方形MNFE ＝x 2＝()2＝ 12分 3. 解： ‎ ‎（1）①…2分，，S梯形OABC=12 …2分 ‎②当时，直角梯形OABC被直线扫过的面积=直角梯形OABC面积－直角三角开DOE面积………4分 ‎（2存在 …（每个点对各得1分）……5分 对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二：‎ ① ‎ 以点D为直角顶点，作轴 ‎ ‎ 设.（图示阴影）‎ ‎，在上面二图中分别可得到点的生标为P（－12，4）、P（－4，4）‎ E点在0点与A点之间不可能；‎ ‎② 以点E为直角顶点 ‎ ‎ 同理在②二图中分别可得点的生标为P（－，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能.‎ 以点P为直角顶点 同理在③二图中分别可得点的生标为P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），‎ E点在A点下方不可能.‎ 综上可得点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、‎ P（8，4）、P（4，4）．‎ 下面提供参考解法二：以直角进行分类进行讨论（分三类）：第一类如上解法⑴中所示图 ‎，直线的中垂线方程：，令得．由已知可得即化简得解得 ；第二类如上解法②中所示图 ‎，直线的方程：，令得．由已知可得即化简得解之得 ，‎ 第三类如上解法③中所示图 ‎，直线的方程：，令得．由已知可得即解得 ‎（与重合舍去）．综上可得点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、P（8，4）、P（4，4）．‎ ‎4. 解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；则设抛物线的解析式为(a≠0) 又点D(0，-3)在抛物线上，∴a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1 ‎ ‎ ∴y=x2-2x-3自变量范围：-1≤x≤3 4分 ‎ 解法2：设抛物线的解析式为(a≠0)‎ ‎ 根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上 ‎ ∴，解之得：∴y=x2-2x-3 3分自变量范围：-1≤x≤3 4分 ‎ (2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，‎ ‎ 在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°,OC=‎ ‎ 在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，∴ME=4∴点C、E的坐标分别为(0，)，(-3,0) 6分∴切线CE的解析式为 8分 ‎(3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k≠0) ----9分 ‎ 由题意可知方程组只有一组解即有两个相等实根，∴k=-2∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3‎ ‎5. 解：方案一：由题意可得：，‎ 点到甲村的最短距离为．--（1分）点到乙村的最短距离为．‎ 将供水站建在点处时，管道沿铁路建设的长度之和最小．‎ 即最小值为． （3分）‎ 方案二：如图①，作点关于射线的对称点，则，连接交于点，则．‎ ‎，． （4分）‎ 在中，，，‎ ‎，两点重合．即过点． （6分）‎ 在线段上任取一点，连接，则．‎ ‎，‎ 把供水站建在乙村的点处，管道沿线路铺设的长度之和最小．‎ 即最小值为． （7分）‎ 方案三：作点关于射线的对称点，连接，则．‎ 作于点，交于点，交于点，‎ 为点到的最短距离，即．‎ 在中，，，‎ ‎．．‎ ‎，两点重合，即过点．‎ 在中，，． （10分）‎ 在线段上任取一点，过作于点，连接．‎ 显然．‎ 把供水站建在甲村的处，管道沿线路铺设的长度之和最小．‎ 即最小值为．--（11分）‎ 综上，，供水站建在处，所需铺设的管道长度最短． （12分）‎