20052012成都中考数学压轴题整理

20052012成都中考数学压轴题整理

‎ 成都中考数学压轴题整理 ‎2005年B ‎ ‎30、已知抛物线与轴交于不同的两点A 和B ，与轴的正半轴交于点C，如果是方程的两个根 ，且△ABC的面积为。‎ ‎⑴求此抛物线的解析式；‎ ‎⑵求直线AC和BC的方程；‎ ‎⑶如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点F作直线 （为常数），与直线BC交于点Q，则在轴上是否存在点R，使得以PQ为一腰的△PRQ为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎（3）假设存在满足条件的点R，并设直线y=m与y轴的交点为E（0，m）， 由（1），知AB=5，OC=3． 点P不与点A、C重合， ∴点E（0，m）不与点O、C重合． ∴0＜m＜3． 由于PQ为等腰直角三角形加PQR的一腰， 过点P作PR1⊥x轴于点R1，则∠R1PQ=90°，PQ=PR1=m． 即 解得 点P在直线AC上， 解得 ‎∴点 过点Q作QR2⊥x轴于R2， 同理可求得 ‎∴点验证成立， 当∠PRQ=90°时，PQ=2m，即 解得此时R的横坐标为 ‎2006年B ‎ ‎ 29．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以为边在轴下方作正方形，点是线段与正方形的外接圆除点以外的另一个交点，连结与相交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）设直线是的边的垂直平分线，且与相交于点．若是的外心，试求经过三点的抛物线的解析表达式；‎ A E O D C B G F x y l ‎（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点，使该点关于直线的对称点在轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ O D G C A E F B P ‎2007 B ‎ ‎27．如图，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：是的切线；‎ ‎（3）若，且的半径长为，求和的长度．‎ ‎27．（1）证明：是的直径，是的切线，‎ ‎．‎ 又，．‎ 易证，．‎ O D G C A E F B P Ｈ ‎．‎ ‎．‎ 是的中点，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎（2）证明：连结．‎ 是的直径，．‎ 在中，由（1），知是斜边的中点，‎ ‎．‎ ‎．‎ 又，．‎ 是的切线，．‎ ‎，‎ 是的切线．‎ ‎（3）解：过点作于点．‎ ‎，‎ ‎．‎ 由（1），知，．‎ 由已知，有，，即是等腰三角形．‎ ‎，．‎ ‎，‎ ‎，即．‎ ‎，‎ 四边形是矩形，．‎ ‎，易证．‎ ‎，即．‎ 的半径长为，．‎ ‎．‎ 解得．‎ ‎．‎ ‎，．‎ ‎．‎ 在中，，，‎ 由勾股定理，得．‎ ‎．‎ 解得（负值舍去）．‎ ‎．‎ ‎［或取的中点，连结，则．易证，‎ ‎，故，．‎ 由，易知，．‎ 由，解得．‎ 又在中，由勾股定理，得，‎ ‎（舍去负值）．］‎ ‎2007 B ‎ ‎28．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．‎ ‎（1）求此二次函数的表达式；‎ ‎（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；‎ y x ‎1‎ ‎1‎ O ‎（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围．‎ ‎28．解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，‎ 由 解得 此二次函数的表达式为 ．‎ ‎（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似．‎ 在中，令，则由，解得 ‎．‎ y x B E A O C D 令，得．．‎ 设过点的直线交于点，过点作轴于点．‎ 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．‎ ‎．‎ 要使或，‎ 已有，则只需， ①‎ 或 ②‎ 成立．‎ 若是①，则有．‎ 而．‎ 在中，由勾股定理，得．‎ 解得 （负值舍去）．‎ ‎．‎ 点的坐标为．‎ 将点的坐标代入中，求得．‎ 满足条件的直线的函数表达式为．‎ ‎［或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为 ‎．此时易知，再求出直线的函数表达式为．联立求得点的坐标为．］‎ 若是②，则有．‎ 而．‎ 在中，由勾股定理，得．‎ 解得 （负值舍去）．‎ ‎．‎ 点的坐标为．‎ 将点的坐标代入中，求得．‎ 满足条件的直线的函数表达式为．‎ 存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或．‎ x B E A O C P ‎·‎ ‎（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点．‎ 将点的坐标代入中，求得．‎ 此直线的函数表达式为．‎ 设点的坐标为，并代入，得．‎ 解得（不合题意，舍去）．‎ ‎．‎ 点的坐标为．‎ 此时，锐角．‎ 又二次函数的对称轴为，‎ 点关于对称轴对称的点的坐标为．‎ 当时，锐角；‎ 当时，锐角；‎ 当时，锐角．‎ ‎2008 B ‎ ‎27. 如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）.连结AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连结DE.若AB=2.‎ ‎(1)求∠C的度数； （2）求DE的长；‎ ‎（3）如果记tan∠ABC=y，=x（01的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为，△QNR的面积，求∶的值.‎ ‎28．解：（1）如图，过点作于点．‎ 在中，‎ y x F P3‎ B E C D A P2‎ P1‎ O ‎，，‎ ‎．‎ 又由勾股定理，‎ 得．‎ ‎．‎ 点在第一象限内，‎ 点的坐标为．‎ 点关于轴对称的点的坐标为． 2分 设经过三点的抛物线的函数表达式为 ‎．‎ 由 经过三点的抛物线的函数表达式为． 2分 ‎（2）假设在（1）中的抛物线上存在点，使以为顶点的四边形为梯形．‎ ‎①点不是抛物线的顶点，‎ 过点作直线的平行线与抛物线交于点．‎ 则直线的函数表达式为．‎ 对于，令或．‎ 而点，．‎ 在四边形中，，显然．‎ 点是符合要求的点． 1分 ‎②若．设直线的函数表达式为．‎ 将点代入，得．．‎ 直线的函数表达式为．‎ 于是可设直线的函数表达式为．‎ 将点代入，得．．‎ 直线的函数表达式为．‎ 由，即．‎ 而点，．‎ 过点作轴于点，则．‎ 在中，由勾股定理，得．‎ 而．‎ 在四边形中，，但．‎ 点是符合要求的点． 1分 ‎③若．设直线的函数表达式为．‎ 将点代入，得 直线的函数表达式为．‎ 直线的函数表达式为．‎ 由，即．‎ 而点，．‎ 过点作轴于点，则．‎ 在中，由勾股定理，得 ‎．‎ 而．‎ 在四边形中，，但．‎ 点是符合要求的点． 1分 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点，‎ 使以为顶点的四边形为梯形． 1分 ‎（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．‎ y x Q O G R M N ‎①当抛物线开口向上时，则此抛物线与轴的负半轴交于点．‎ 可设抛物线的函数表达式为．‎ 即．‎ 如图，过点作轴于点．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎． 2分 ‎②当抛物线开口向下时，则此抛物线与轴的正半轴交于点．‎ 同理，可得． 1分 综上可知，的值为． 1分 ‎2009 B ‎ ‎27．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G．‎ ‎ (1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；‎ ‎(2)求证：AE=BF；‎ ‎（3）若，求⊙O的面积。‎ ‎2009 B ‎ ‎28．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝。‎ ‎ (2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；‎ ‎ (3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?‎ ‎2010 B ‎ ‎27．已知：如图，内接于，为直径，弦于，是的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、．‎ ‎ （1）求证：是的外心；‎ ‎ （2）若,求的长；‎ ‎ （3）求证：．‎ ‎27.（1）证明：∵是的中点，∴．‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∵是直径，∴．‎ ‎ ∴．‎ ‎ 又，∴. ‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴在中，有． ……1分 ‎ ∵直径，∴．‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴在中，有． ……1分 ‎ ∴．‎ ‎ ∴是的外心． ……1分 ‎ （2）解：∵直径于，‎ ‎ ∴在中，由，‎ ‎ 得． ……1分 ‎ ∴由勾股定理，得．‎ ‎ ∵是直径，‎ ‎ ∴在中，由，‎ ‎ 得． ……1分 ‎ 易知∽，∴．‎ ‎ ∴． ……1分 ‎ （3）证明：∵是直径，∴．‎ ‎ ∴．‎ ‎ 又，∴．‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴∽．‎ ‎ ∴，即． ……1分 ‎ 易知∽，‎ ‎ ∴．（或由射影定理得） ……1分 ‎ ∴． ……1分 ‎ 由（1），知，∴．‎ ‎ ∴． ……1分 ‎2010 B ‎ ‎ 28．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．‎ ‎（1）求直线及抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；‎ ‎（3）设⊙Q的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？‎ ‎28. 解：（1）∵直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，‎ ‎∴． ‎ 将代人，得．解得．‎ ‎∴直线的函数表达式为． ……1分 抛物线过点，且对称轴为，‎ ‎∴ 解得 ‎∴抛物线的函数表达式为． ……2分 ‎（2）如图，过点作于点．‎ ‎∵， ‎ ‎∴．‎ ‎ ∴. ……1分 过点作轴于点．‎ ‎∵，∴∽．‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴. ……1分 ‎ ∴．解得．‎ ‎ ∴点的坐标为． ……1分 ‎（3）(ⅰ)假设在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况．‎ ‎ 设点的坐标为()．‎ ‎ ①当与y轴相切时，有，即．‎ ‎ 当时，得，∴． ……1分 当，得，∴． ……1分 ‎ ②当与x轴相切时，有，即．‎ ‎ 当时，得，即．‎ 解得． ∴． ……1分 ‎ 当时，得，即．‎ 解得．∴． ……1分 ‎ 综上所述，存在符合条件，其圆心的坐标分别为：、、、、． ‎ ‎(ⅱ)设点的坐标为()．‎ 当与两坐标轴同时相切时，有．‎ 由，得，即．‎ ‎∵，‎ ‎∴此方程无解． ……1分 由，得，即． ‎ 解得． ‎ ‎∴当的半径时，与两坐标轴同时相切． ……1分 ‎2011 B ‎ ‎27．(本小题满分1 0分)‎ ‎ 已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥ A C，垂足为K。过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．‎ ‎(1)求证：AE=CK；‎ ‎ (2)如果AB=，AD= (为大于零的常数)，求BK的长：‎ ‎(3)若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．‎ ‎27、（1）证明△AED≌△CKB ‎（2）BK=‎ ‎（3）设GF=x，则EF=x,ED=BK=6,‎ 由射影定理得AE=KC=‎ 由相交弦定理得，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴K为EC的中点 ‎∴,∴‎ ‎∴‎ 显然，HE=2BK=12‎ ‎∴HG=6‎ ‎2011 B ‎ ‎28．(本小题满分12分)‎ ‎ 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知，，△ABC的面积，抛物线 经过A、B、C三点。‎ ‎ (1)求此抛物线的函数表达式；‎ ‎ (2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；‎ ‎ (3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 28、解：（1）∵，设，则 ‎∴‎ 又，∴‎ ‎∵‎ ‎∴，即。‎ 而，∴。‎ ‎∴,‎ ‎∴△ABC三个顶点的坐标分别是 ‎,,‎ ‎∵抛物线经过A、B、C三点，‎ ‎∴设，把代入得 ‎∴此抛物线的函数表达式为 ‎（2）设点E的坐标为，‎ ‎∵点E在Y轴右侧的抛物线上，∴。‎ 有抛物线的对称性，知点F与点E关于抛物线的对称轴x=2对称，‎ 易得点F的坐标为。‎ 要使矩形EFGH能成为正方形，有,‎ 则 ‎∴ ①‎ 或 ②‎ 由①得，，解得（舍去）‎ 由②得，，解得（舍去）‎ 当时，‎ 此时正方形EFGH的边长为。‎ 当时，‎ 此时正方形EFGH的边长为。‎ ‎∴当矩形EFGH为正方形时，该正方形的边长为或。‎ ‎（3）假设存在点M，使△MBC中BC边上的高为。‎ ‎∴M点应在与直线BC平行，且相距的两条平行直线和上。‎ 由平行线的性质可得：和与y轴的交点到直线BC的距离也为。‎ 如图，设与y轴交于P点,过P作PQ与直线BC垂直，垂足为点Q，‎ ‎∵，‎ ‎∴∠OBC=∠OCB=45°‎ 在Rt△PQC中，，∠PCQ=∠OCB=45°‎ ‎∴由勾股定理，得 ‎∴直线与y轴的交点坐标为P(0,9)‎ 同理可求得：与y轴交点坐标为，‎ 易知直线BC的函数表达式。‎ ‎∴直线和的函数表达式分别为。‎ 根据题意，列出方程组：①，②‎ 由①得，，解得；‎ 由②得，‎ ‎∵△=-31<0 ‎ ‎∴此方程无实数根。‎ ‎∴在抛物线上存在点M，使△MBC中BC边上的高为，其坐标分别为：‎ 另解：易求直线BC的表达式为：‎ 整理得 设 由点到直线的距离得 解得 ‎∴或（无实数根）‎ ‎∴或 代入得。‎ ‎2012 B ‎ ‎27．（10分）（2012•成都）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．‎ ‎（1）求证：KE=GE；‎ ‎（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．‎ ‎2012 B ‎ ‎28．（12分）（2012•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．‎ ‎（1）求m的值及抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．‎