山东省烟台市中考数学试卷解析

山东省烟台市中考数学试卷解析

‎2012年山东省烟台市中考数学试卷解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的.‎ ‎1．（2012•烟台）的值是（　　）‎ ‎　　A．4　　B．2　　C．﹣2　　D．±2 考点：‎ 算术平方根。‎ 专题：‎ 常规题型。‎ 分析：‎ 根据算术平方根的定义解答．‎ 解答：‎ 解：∵22=4，‎ ‎∴=2．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了算术平方根的定义，是基础题，比较简单．‎ ‎2．（2012•烟台）如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的俯视图是（　　）‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图。‎ 分析：‎ 俯视图是从上面看到的图形，共分三列，从左到右小正方形的个数是：1，1，1．‎ 解答：‎ 解：这个几何体的俯视图从左到右小正方形的个数是：1，1，1，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的方向：从上面看所得到的图形．‎ ‎3．（2012•烟台）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．‎ 考点：‎ 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 先解不等式组得到﹣1＜x≤2，然后根据在数轴上表示不等式的解集的方法即可得到正确答案．‎ 解答：‎ 解：‎ 解不等式①得，x≤2，‎ 解不等式②得x＞﹣1，‎ 所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了在数轴上表示不等式的解集：在数轴上，一个数的左边部分表示大于这个数，这个数用空心圈上，当含有等于这个数时，用实心圈上．也考查了解一元一次不等式组．‎ ‎4．（2012•烟台）如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．‎ 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形。‎ 分析：‎ 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行分析可以选出答案．‎ 解答：‎ 解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误；‎ B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误；‎ C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项正确；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．‎ ‎5．（2012•烟台）已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（　　）‎ ‎　　A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 考点：‎ 二次函数的性质。‎ 专题：‎ 常规题型。‎ 分析：‎ 结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可．‎ 解答：‎ 解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；‎ ‎②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；‎ ‎③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；‎ ‎④当x＜3时，y随x的增大而减小，正确；‎ 综上所述，说法正确的有④共1个．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的性质，主要考查了函数图象的开口方向，对称轴解析式，顶点坐标，以及函数的增减性，都是基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．‎ ‎6．（2012•烟台）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为（　　）‎ ‎　　A．4　　B．5　　C．6　　D．不能确定 考点：‎ 等腰梯形的性质；坐标与图形性质；勾股定理。‎ 专题：‎ 数形结合。‎ 分析：‎ 根据题意可得OB=4，OD=3，从而利用勾股定理可求出BD，再有等腰梯形的对角线相等的性质可得出AC的值．‎ 解答：‎ 解：如图，连接BD，‎ 由题意得，OB=4，OD=3，‎ 故可得BD=5，‎ 又ABCD是等腰梯形，‎ ‎∴AC=BD=5．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了等腰梯形的性质及勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形对角线相等的性质，难度一般．‎ ‎7．（2010•通化）在共有15人参加的“我爱祖国”演讲比赛中，参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（　　）‎ ‎　　A．平均数　　B．众数　　C．中位数　　D．方差 考点：‎ 统计量的选择。‎ 专题：‎ 应用题。‎ 分析：‎ 根据题意可得：由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．‎ 解答：‎ 解：由于总共有15个人，第8位选手的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道自己的成绩和中位数．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．‎ ‎8．（2012•烟台）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（　　）‎ ‎　　A．x2+2x﹣4=0　　B．x2﹣4x+4=0　　C．x2+4x+10=0　　D．x2+4x﹣5=0‎ 考点：‎ 根与系数的关系。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 找出四个选项中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出b2﹣4ac的值，当b2﹣4ac大于等于0时，设方程的两个根为x1，x2，利用根与系数的关系x1+x2=﹣求出各项中方程的两个之和，即可得到正确的选项．‎ 解答：‎ 解：A、x2+2x﹣4=0，‎ ‎∵a=1，b=2，c=﹣4，‎ ‎∴b2﹣4ac=4+16=20＞0，‎ 设方程的两个根为x1，x2，‎ ‎∴x1+x2=﹣=﹣2，本选项不合题意；‎ B、x2﹣4x+4=0，‎ ‎∵a=1，b=﹣4，c=4，‎ ‎∴b2﹣4ac=16﹣16=0，‎ 设方程的两个根为x1，x2，‎ ‎∴x1+x2=﹣=4，本选项不合题意；‎ C、x2+4x+10=0，‎ ‎∵a=1，b=4，c=10，‎ ‎∴b2﹣4ac=16﹣40=﹣28＜0，‎ 即原方程无解，本选项不合题意；‎ D、x2+4x﹣5=0，‎ ‎∵a=1，b=4，c=﹣5，‎ ‎∴b2﹣4ac=16+20=36＞0，‎ 设方程的两个根为x1，x2，‎ ‎∴x1+x2=﹣=﹣4，本选项符号题意，‎ 故选D 点评：‎ 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，方程有解，设方程的两个解分别为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．‎ ‎9．（2012•烟台）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是（　　）‎ ‎　　A．3　　B．4　　C．5　　D．6‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类。‎ 专题：‎ 规律型。‎ 分析：‎ 答案中断去的菱形个数均为较小的正整数，由所示的图形规律画出完整的装饰链，可得断去部分的小菱形的个数．‎ 解答：‎ 解：‎ 如图所示，断去部分的小菱形的个数为5，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 考查图形的变化规律；按照图形的变化规律得到完整的装饰链是解决本题的关键．‎ ‎10．（2012•烟台）如图，⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm，⊙O与其他4个圆均相外切，图形既关于O1O2所在直线对称，又关于O3O4所在直线对称，则四边形O1O4O2O3的面积为（　　）‎ ‎　　A．12cm2　　B．24cm2　　C．36cm2　　D．48cm2‎ 考点：‎ 相切两圆的性质；菱形的判定与性质。‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ 连接O1O2，O3O4，由于图形既关于O1O2所在直线对称，又因为关于O3O4所在直线对称，故O1O2⊥O3O4，O、O1、O2共线，O、O3、O4共线，所以四边形O1O4O2O3的面积为O1O2×O3O4．‎ 解答：‎ 解：连接O1O2，O3O4，‎ ‎∵图形既关于O1O2所在直线对称，又关于O3O4所在直线对称，‎ ‎∴O1O2⊥O3O4，O、O1、O2共线，O、O3、O4共线，‎ ‎∵⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm ‎∴⊙O的直径为4，⊙O3，的直径为2，‎ ‎∴O1O2=2×8=8，O3O4=4+2=6，‎ ‎∴S四边形O1O4O2O3=O1O2×O3O4=×8×6=24cm2．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查的是相切两圆的性质，根据题意得出O1O2⊥O3O4，O、O1、O2共线，O、O3、O4共线是解答此题的关键．‎ ‎11．（2012•烟台）如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1．若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是（　　）‎ ‎　　A．h2=2h1　　B．h2=1.5h1　　C．h2=h1　　D．h2=h1‎ 考点：‎ 三角形中位线定理。‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ 直接根据三角形中位线定理进行解答即可．‎ 解答：‎ 解：如图所示：‎ ‎∵O为AB的中点，OC⊥AD，BD⊥AD，‎ ‎∴OC∥BD，‎ ‎∴OC是△ABD的中位线，‎ ‎∴h1=2OC，‎ 同理，当将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则h2=2OC，‎ ‎∴h1=h2．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查的是三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．‎ ‎12．（2012•烟台）如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）．过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．‎ 考点：‎ 动点问题的函数图象。‎ 分析：‎ 根据三角形面积得出S△PAB=PE×AB；S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN•PB+×PA×MQ，进而得出y=，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：连接PQ，作PE⊥AB垂足为E，‎ ‎∵过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N ‎∴S△PAB=PE×AB；‎ S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN•PB+×PA×MQ，‎ ‎∵矩形ABCD中，P为CD中点，‎ ‎∴PA=PB，‎ ‎∵QM与QN的长度和为y，‎ ‎∴S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN•PB+×PA×MQ=PB（QM+QN）=PBy，‎ ‎∴S△PAB=PE×AB=PBy，‎ ‎∴y=，∵PE=AD，∴PB，AB，PB都为定值，‎ ‎∴y的值为定值，符合要求的图形为D，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出y=，再利用PE=AD，PB，AB，PB都为定值是解题关键．‎ 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎13．（2012•烟台）计算：tan45°+cos45°=　2　．‎ 考点：‎ 特殊角的三角函数值。‎ 分析：‎ 首先把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的计算即可求解．‎ 解答：‎ 解：原式=1+×=1+1=2．‎ 故答案是：2．‎ 点评：‎ 本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．‎ ‎14．（2012•烟台）▱ABCD中，已知点A（﹣1，0），B（2，0），D（0，1）．则点C的坐标为　（3，1）　．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；坐标与图形性质。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 画出图形，根据平行四边形性质求出DC∥AB，DC=AB=3，根据D的纵坐标和CD=3即可求出答案．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎∵平行四边形ABCD中，已知点A（﹣1，0），B（2，0），D（0，1），‎ ‎∴AB=CD=2﹣（﹣1）=3，DC∥AB，‎ ‎∴C的横坐标是3，纵坐标和D的纵坐标相等，是1，‎ ‎∴C的坐标是（3，1），‎ 故答案为：（3，1）．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，能根据图形进行推理和求值是解此题的关键，本题主要考查学生的观察能力，用了数形结合思想．‎ ‎15．（2012•烟台）如图为2012年伦敦奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为　　度（不取近似值）‎ 考点：‎ 多边形内角与外角。‎ 分析：‎ 根据正多边形的定义可得：正多边形的每一个内角都相等，则每一个外角也都相等，首先由多边形外角和为360°可以计算出正七边形的每一个外角度数，再用180°﹣一个外角的度数=一个内角的度数．‎ 解答：‎ 解：正七边形的每一个外角度数为：360°÷7=（）°‎ 则内角度数是：180°﹣（）°=（）°，‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 此题主要考查了正多边形的内角与外角，关键是掌握正多边形的每一个内角都相等．‎ ‎16．（2012•烟台）如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为　　．‎ 考点：‎ 几何概率。‎ 分析：‎ 计算出黑色区域的面积与整个图形面积的比，利用几何概率的计算方法解答即可．‎ 解答：‎ 解：∵黑色区域的面积占了整个图形面积的，‎ 所以飞镖落在黑色区域的概率为；‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 此题考查了几何概率，一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）=．‎ ‎17．（2012•烟台）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为　85　度．‎ 考点：‎ 三角形内角和定理。‎ 分析：‎ 先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可．‎ 解答：‎ 解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，‎ ‎∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°，‎ ‎∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°．‎ 故答案为：85．‎ 点评：‎ 本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．‎ ‎18．（2012•烟台）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为　　．‎ 考点：‎ 扇形面积的计算；旋转的性质。‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ 先根据Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2求出BC及AC的长，再根据S阴影=AB扫过的扇形面积﹣BC扫过的扇形面积．‎ 解答：‎ 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，‎ ‎∴BC=AB=×2=1，AC=2×=，‎ ‎∴∠BAB′=150°，‎ ‎∴S阴影=AB扫过的扇形面积﹣BC扫过的扇形面积=﹣=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查的是扇形的面积公式，根据题意得出S阴影=AB扫过的扇形面积﹣BC扫过的扇形面积是解答此题的关键．‎ 三、解答题（本大题共8个小题，满分66分）‎ ‎19．（2012•烟台）化简：．‎ 考点：‎ 分式的混合运算。‎ 分析：‎ 首先利用分式的加法法则计算括号内的式子，然后把除法转化成乘法，即可求解．‎ 解答：‎ 解：原式=‎ ‎=‎ ‎=‎ 点评：‎ 本题考查了分式的混合运算，正确理解运算顺序，理解运算法则是关键．‎ ‎20．（2012•烟台）第三届亚洲沙滩运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者．经笔试、面试，结果小明和小颖并列第一．评委会决定通过抓球来确定人选．抓球规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个绿球，小明先取出一个球，记住颜色后放回，然后小颖再取出一个球．若取出的球都是红球，则小明胜出；若取出的球是一红一绿，则小颖胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法。‎ 分析：‎ 根据题意列表，再根据概率公式分别求出都是红球和一红一绿的概率，即可求出答案．‎ 解答：‎ 解：根据题意，用A表示红球，B表示绿球，列表如下：‎ 由此可知，共有9种等可能的结果，其中，两红球及一红一绿各有4种结果，‎ P（都是红球）=，‎ P（1红1绿球）=，‎ 因此，这个规则对双方是公平的．‎ 点评：‎ 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．‎ ‎21．（2012•烟台）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200度时，按0.55元/度计费；月用电量超过200度时，其中的200度仍按0.55元/度计费，超过部分按0.70元/度计费．设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y元．‎ ‎（1）分别求出0≤x≤200和x＞200时，y与x的函数表达式；‎ ‎（2）小明家5月份交纳电费117元，小明家这个月用电多少度？‎ 考点：‎ 一次函数的应用。‎ 专题：‎ 经济问题。‎ 分析：‎ ‎（1）0≤x≤200时，电费y=0.55×相应度数；‎ x＞200时，电费y=0.55×200+超过200的度数×0.7；‎ ‎（2）把117代入x＞200得到的函数求解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）当0≤x≤200时，y与x的函数表达式是y=0.55x；‎ 当x＞200时，y与x的函数表达式是 y=0.55×200+0.7（x﹣200），‎ 即y=0.7x﹣30；‎ ‎（2）因为小明家5月份的电费超过110元，‎ 所以把y=117代入y=0.7x﹣30中，得x=210．‎ 答：小明家5月份用电210度．‎ 点评：‎ 考查一次函数的应用；得到超过200度的电费的计算方式是解决本题的易错点．‎ ‎22．（2012•烟台）某市园林处去年植树节在滨海路两侧栽了A，B，C三个品种的树苗．栽种的A，B，C三个品种树苗数量的扇形统计图如图（1），其中B种树苗数量对应的扇形圆心角为120°．今年植树节前管理员调查了这三个品种树苗的成活率情况，准备今年从三个品种中选成活率最高的品种再进行栽种．经调查得知：A品种的成活率为85%，三个品种的总成活率为89%，但三个品种树苗成活数量统计图尚不完整，如图（2）．‎ 请你根据以上信息帮管理员解决下列问题：‎ ‎（1）三个品种树苗去年共栽多少棵？‎ ‎（2）补全条形统计图，并通过计算，说明今年应栽哪个品种的树苗．‎ 考点：‎ 条形统计图；扇形统计图。‎ 专题：‎ 图表型。‎ 分析：‎ ‎（1）根据成活率求出A种树苗栽种的棵数，再用A种树苗的栽种棵数除以所占的百分比，进行计算即可得解；‎ ‎（2）根据总成活率求出三种树苗成活的棵数，然后减去A、C两种的成活棵数即可得到B种树苗成活的棵数，即可补全条形统计图；根据B种树苗数量对应的扇形圆心角为120°求出B种树苗栽种的棵数，然后求出其成活率，再求出C种树苗的成活率，根据成活率即可作出正确选择．‎ 解答：‎ 解：（1）A品种树苗棵数为1020÷85%=1200（棵），‎ 所以，三个品种树苗共栽棵数为1200÷40%=3000（棵）；‎ ‎（2）B品种树苗成活棵数为 ‎3000×89%﹣1020﹣720=930（棵），‎ 补全条形统计图，如图，…（7分） B品种树苗成活率为×100%=93%；‎ C品种树苗成活率为×100%=×100%=90%．‎ 所以，B品种成活率最高，今年应栽B品种树苗．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，本题易错点在于要先利用成活率求出A种树苗栽种的棵数．‎ ‎23．（2012•烟台）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的纵坐标分别为7和1，直线AB与y轴所夹锐角为60°．‎ ‎（1）求线段AB的长；‎ ‎（2）求经过A，B两点的反比例函数的解析式．‎ 考点：‎ 反比例函数综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥AC，垂足分别为点C，D，根据A、B两点纵坐标求AD，解直角三角形求AB；‎ ‎（2）根据A点纵坐标设A（m，7），解直角三角形求BD，再表示B点坐标，将A、B两点坐标代入y=中，列方程组求k的值即可．‎ 解答：‎ 解：（1）分别过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥AC，垂足分别为点C，D，‎ 由题意，知∠BAC=60°，AD=7﹣1=6，‎ ‎∴AB===12；‎ ‎（2）设过A，B两点的反比例函数解析式为y=，A点坐标为（m，7）， ‎∵BD=AD•tan60°=6，‎ ‎∴B点坐标为（m+6，1），‎ ‎∴，‎ 解得k=7，‎ ‎∴所求反比例函数的解析式为y=．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数的综合运用．关键是明确点的坐标与直角三角形的三边关系，反比例函数图象上点的坐标特点．‎ ‎24．（2012•烟台）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．‎ ‎（1）求证：CF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若sin∠BAC=，求的值．‎ 考点：‎ 切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。‎ 分析：‎ ‎（1）首先连接OC，由CD⊥AB，CF⊥AF，CF=CE，即可判定AC平分∠BAF，由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC，则可证得∠BOC=∠BAF，即可判定OC∥AF，即可证得CF是⊙O的切线；‎ ‎（2）由垂径定理可得CE=DE，即可得S△CBD=2S△CEB，由△ABC∽△CBE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，易求得△CBE与△ABC的面积比，继而可求得的值．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接OC．‎ ‎∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，‎ ‎∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．‎ ‎∵∠BOC=2∠BAC，‎ ‎∴∠BOC=∠BAF．‎ ‎∴OC∥AF．‎ ‎∴CF⊥OC．‎ ‎∴CF是⊙O的切线．‎ ‎（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，‎ ‎∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．‎ ‎∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，‎ ‎∴△ABC∽△CBE．‎ ‎∴==（sin∠BAC）2==．‎ ‎∴=．‎ 点评：‎ 此题考查了切线的判定、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎25．（2012•烟台）（1）问题探究 如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明．‎ ‎（2）拓展延伸 ‎①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．‎ ‎②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M=D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质；正多边形和圆。‎ 专题：‎ 几何综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据正方形的每一个角都是90°可以证明∠AHK=90°，然后利用平角等于180°以及直角三角形的两锐角互余证明∠D1CK=∠HAC，再利用“角角边”证明△ACH和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得D1M=CH，同理可证D2N=CH，从而得证；‎ ‎（2）①过点C作CG⊥AB，垂足为点G，根据三角形的内角和等于180°和平角等于180°证明得到∠H1AC=∠D1CM，然后利用“角角边”证明△ACG和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=D1M，同理可证CG=D2N，从而得证；‎ ‎②结论仍然成立，与①的证明方法相同．‎ 解答：‎ ‎（1）D1M=D2N．…（1分） 证明：∵∠ACD1=90°，‎ ‎∴∠ACH+∠D1CK=180°﹣90°=90°，‎ ‎∵∠AHK=∠ACD1=90°，‎ ‎∴∠ACH+∠HAC=90°，‎ ‎∴∠D1CK=∠HAC，…（2分）‎ 在△ACH和△CD1M中，，‎ ‎∴△ACH≌△CD1M（AAS），‎ ‎∴D1M=CH，…（3分）‎ 同理可证D2N=CH，‎ ‎∴D1M=D2N；…（4分）‎ ‎（2）①证明：D1M=D2N成立．…（5分）‎ 过点C作CG⊥AB，垂足为点G，‎ ‎∵∠H1AC+∠ACH1+∠AH1C=180°，‎ ‎∠D1CM+∠ACH1+∠ACD1=180°，‎ ‎∠AH1C=∠ACD1，‎ ‎∴∠H1AC=∠D1CM，…（6分）‎ 在△ACG和△CD1M中，，‎ ‎∴△ACG≌△CD1M（AAS），‎ ‎∴CG=D1M，…（7分）‎ 同理可证CG=D2N，‎ ‎∴D1M=D2N；…（8分）‎ ‎②作图正确．…（9分）‎ D1M=D2N还成立．…（10分）‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正多边形的性质，读懂题意，证明得到∠D1CK=∠HAC（或H1AC=∠D1CM）是证明三角形全等的关键，也是解决本题的难点与突破口．‎ ‎26．（2012•烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．‎ ‎（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？‎ ‎（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x﹣1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；‎ ‎（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4﹣t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4﹣、点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣；最后根据三角形的面积公式可以求得 S△ACG=S△AEG+S△CEG=﹣（t﹣2）2+1，由二次函数的最值可以解得t=2时，S△ACG的最大值为1；‎ ‎（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上．‎ 解答：‎ 解：（1）A（1，4）．…（1分）‎ 由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4‎ ‎∵抛物线过点C（3，0），‎ ‎∴0=a（3﹣1）2+4，‎ 解得，a=﹣1，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．…（2分）‎ ‎（2）∵A（1，4），C（3，0），‎ ‎∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．‎ ‎∵点P（1，4﹣t）．…（3分） ‎∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．…（4分）‎ ‎∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．‎ ‎∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．…（5分）‎ 又点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣，‎ 即S△ACG=S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG（2﹣）‎ ‎=•2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．…（7分）‎ 当t=2时，S△ACG的最大值为1．…（8分）‎ ‎（3）t=或t=20﹣8．…（12分）‎ ‎（说明：每值各占（2分），多出的值未舍去，每个扣1分）‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积的求法．‎