高中四大名校自主招生考试试卷附答案中考理科数学竞赛必备

高中四大名校自主招生考试试卷附答案中考理科数学竞赛必备

长郡中学2008年高一实验班选拔考试试卷 注意：‎ ‎(1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟.‎ ‎(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.‎ 一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.‎ ‎1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( )‎ ‎ (A) 直线y = –x上 (B) 抛物线 y =上 ‎ (C) 直线y = x上 (D) 双曲线xy = 1上 ‎2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是 ( )‎ ‎(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20‎ ‎3．若－1＜＜0，则一定是 ( )‎ 第4题 ‎(A) 最小，最大 (B) 最小，最大 ‎ ‎ (C) 最小，a最大 (D) 最小， 最大 ‎ ‎4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）‎ ‎(A) AE⊥AF （B）EF：AF =：1‎ ‎(C) AF2 = FH·FE （D）FB ：FC = HB ：EC ‎ ‎5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（ ）‎ ‎ (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44‎ ‎6．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ） ‎ ‎ （A）30 （B）35 （C）56 （D） 448 ‎ 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）‎ ‎7．若4sin‎2A – 4sinAcosA + cos‎2A = 0, 则tanA = ___ ___ .‎ ‎(第9题)‎ ‎8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形.‎ ‎9．如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式是 .‎ ‎(第11题)‎ ‎10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。已知大球的半径为‎20cm，小球半径‎5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 ‎ cm.‎ ‎11．物质A与物质B分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以l单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 .‎ 第12题 ‎12．设… … 为一群圆, 其作法如下：是半径为a的圆, 在的圆内作四个相等的圆(如图), 每个圆和圆都内切, 且相邻的两个圆均外切, 再在每一个圆中, 用同样的方法作四个相等的圆, 依此类推作出…… , 则 ‎(1) 圆的半径长等于 (用a表示)；‎ ‎(2) 圆的半径为 ( k为正整数，用a表示，不必证明) ‎ 三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。‎ 第13题 ‎13.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB.‎ ‎(1) 求证AD = AE；‎ ‎(2) 若OC=AB = 4，求△BCE的面积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎14.（本题满分14分）已知抛物线y = x2 + 2px + 2p –2的顶点为M，‎ ‎(1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；‎ ‎(2) 设抛物线与x 轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小.‎ ‎15 （本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：‎ 胜一场 平一场 负一场 积分 ‎3‎ ‎1‎ ‎0‎ 奖励（元/每人）‎ ‎1500‎ ‎700‎ ‎0‎ 当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分。‎ ‎(1) 试判断A队胜、平、负各几场?‎ ‎(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值.‎ ‎ ‎ ‎（第16题）‎ ‎16（本小题满分18分）已知：矩形ABCD，（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y =x－1经过这两个顶点中的一个.‎ ‎（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；‎ ‎（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y = ax2＋bx＋c的顶点是P点.‎ ‎① 若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；‎ ‎② 过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y =x－1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由. ‎ ‎2008年高一实验班选拔考试数学卷评分标准 一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎1．D 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B ‎ 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）‎ ‎7．. 8．2. 9． y = –x2 –x +. 10．20. 11．( –,–2). ‎ ‎12．(1) 圆的半径 ； (2)圆的半径 ( –1 )n – ‎1 a .‎ 三、解答题 ‎13.（本小题满分12分）‎ ‎（1）证1.∵AD是圆O的直径，点C在圆O上，‎ ‎ ∴∠ACD = 90°，即AC⊥DE.‎ ‎ 又∵OC∥AE，O为AD中点，‎ ‎ ∴AD = AE. 4分 证2 ∵O为AD中点，OC∥AE，‎ ‎ ∴2OC = AE， ‎ ‎ 又∵AD是圆O的直径，‎ ‎∴ 2OC = AD，‎ ‎ ∴AD = AE. 4分 ‎ ‎ （2）由条件得ABCO是平行四边形，‎ ‎∴BC∥AD，‎ 又C为中点，∴AB =BE = 4，‎ ‎∵AD = AE，‎ ‎∴BC = BE = 4， 4分 连接BD，∵点B在圆O上，‎ ‎∴∠DBE= 90°，‎ ‎∴CE = BC= 4，‎ 即BE = BC = CE= 4，‎ ‎ ∴ 所求面积为4. 4分 ‎14.（本题满分14分）‎ 解：(1) ∵⊿ = 4p2 – 8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 ,‎ ‎ ∴抛物线与x 轴必有两个不同交点. 4分 ‎ (2) 设A (x1, 0 ), B( x2, 0),‎ 则|AB|2 = |x2 – x1|2 = [ (x1 + x2)2 – 4x1x2]2 = [4p2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p –1)2 + 4]2,‎ ‎∴|AB| = 2. 5分 又设顶点M ( a , b ), 由y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 .‎ 得b = – ( p – 1 )2 – 1 .‎ 当p =1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM = |AB||b|取最小值1 . 5分 ‎15 （本小题满分16分）‎ 解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，‎ 得，可得： 4分 依题意，知x≥0,y≥0,z≥0,且x、y、z均为整数，‎ ‎∴ 解得：≤x≤ ，∴ x可取4、5、6 4分 ‎∴ A队胜、平、负的场数有三种情况： ‎ 当x=4时， y=7,z=1； ‎ 当x=5时，y= 4,z = 3 ； ‎ 当x=6时，y=1,z= 5. 4分 ‎（2）∵W=（1500+500）x + (700+500)y +500z= – 600x+19300‎ 当x = 4时，W最大，W最大值= – 60×4+19300=16900（元） ‎ 答略. 4分 ‎16（本小题满分18分）‎ 解：(1)如图，建立平面直有坐标系，‎ ‎∵矩形ABCD中，AB= 3，AD =2，‎ 设A(m 0)（ m > 0 ), 则有B(m＋3 0)；C(m＋3 2), D(m 2);‎ 若C点过y =x－1；则2=(m＋3)－1, ‎ m = －1与m＞0不合；‎ ‎∴C点不过y=x－1；‎ 若点D过y=x－1，则2=m－1, m=2, ‎ ‎∴A (2, 0), B(5,0)，C(5,2 )， D(2,2)； 5分 ‎（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M(3.5 0)，‎ 由于y = ax2＋bx＋c过A(2, 0)和B(5 ,0)两点，‎ ‎∴ ∴ 2分 ‎∴y = ax2－7ax＋‎‎10a ‎( 也可得：y= a(x－2)(x－5)= a(x2－7x＋10) = ax2－7ax＋‎10a ) ‎ ‎∴y = a(x－)2－a； ‎ ‎∴抛物线顶点P(, －a) 2分 ‎∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部,‎ ‎∴ ＜－a ＜ 2,∴－＜a＜–. 3分 ‎② 设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF = n, n＞0；‎ ‎ ∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴CF=n＋2, DF=2－n; 在RtDDCF中，‎ ‎∵DF2＋DC2=CF2；‎ ‎∴32＋(2－n)2=(n＋2)2, ∴n=, ∴F(2, )‎ ‎∴当PF∥AB时，P点纵坐标为；∴－a =，∴a = －; ‎ ‎∴抛物线的解析式为：y= －x2＋x－5 3分 抛物线与y轴的交点为Q（0，－5），‎ 又直线y =x－1与y轴交点（ 0，－1）；‎ ‎∴Q在直线y=x－1下方. 3分 ‎2009年长郡中学高一招生数学试题（B）‎ 时间60分钟 满分100分 一.选择题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。每小题只有一个符合题意的答案)‎ ‎1. 下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色。若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ）‎ 黄 红 黄 红 绿 绿 黄 红 绿 红 绿 黄 绿 红 红 绿 黄 黄 绿 红 黄 红 黄 绿 A． B． C． D．‎ ‎2．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x％，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 （ ）‎ A．2x％ B． 1+2x％ C．（1+x％）x％ D．（2+x％）x％‎ ‎3．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另—个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）‎ A．a>b B．a

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