中考压轴题分类专题一抛物线中的三角形面积

中考压轴题分类专题一抛物线中的三角形面积

中考压轴题分类专题一——抛物线中的三角形面积 基本题型：‎ 为与抛物线相交，点在抛物线上。‎ ‎（1）已知，求点的坐标：‎ ‎ 利用斜弦长公式求出，进而求出边上的高。设点为，利用点到直线的距离公式列出点到直线的距离，而，则可求得点的坐标。‎ ‎（2）如图，若点在上方的抛物线上时，求的最大值：‎ ‎ 利用斜弦长公式求出。作∥且与抛物线相切，则切点为所求。‎ ‎ 设为代入抛物线，因为它们只有一个交点。所以有：，则可求出，利用平行线之间的距离公式求出与的距离（即边上的高），进而可求得的最大值。‎ 所需知识点：‎ ‎（1）点到直线的距离公式：‎ 已知点与直线，点P到直线的距离记作，则有。‎ ‎（2）弦长公式 抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 ‎。‎ ‎（3）斜弦长公式：‎ 一次函数的图像与二次函数的图像两个交点，由于、是方程的两个根，‎ ‎（4）两平行线之间的距离公式：‎ 已知两平行线，与，与之间的距离记作，则有。‎ 典型例题：‎ 例一（08深圳）：如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝．‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式．‎ ‎（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．‎ ‎（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.‎ ‎ ‎ 解：（1）二次函数的表达式为：；（2）、（3）略。‎ ‎（4）易得G（2，－3），直线AG为．‎ 例二（09深圳）：已知，的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直接坐标系中，使其斜边AB与轴重合（其中），直角顶点C落在轴正半轴上（如图11）。‎ ‎（1）求线段OA、OB的长和过点A、B、C的抛物线的解析式。（4分）‎ ‎（2）如图12,点D的坐标为（2，0），点是该抛物线上的一个动点（其中），连接DP交BC于点E。‎ ‎①当是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。（3分）‎ ‎②又连接CD、CP（如图13），是否有最大面积？若有，求出的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（3分）‎ ‎ 图11 图12 图13‎ 例三（广大附中09一模）：已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2. ‎ ‎（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求m的值；‎ N M C x y O ‎（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值.‎ 例四（09茂名模拟）：如图，矩形OABC的长OA=，AB=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。‎ ‎（1）填空：∠PCB=＿＿＿度，P点坐标为＿＿＿＿＿‎ ‎（2）若P、A两点在抛物线上，求抛物线的解析式，并判断点C是否在这抛物线上。‎ O A B C P D x y ‎ （3）在（2）中的抛物线CP段上（不含C、P点）是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求这个最大值和M点坐标，若不存在，说明理由。‎ 同步训练：‎ A O F B x y C E 图（16）‎ ‎1、如图（16），抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为；直线与抛物线交于点，与轴交于点，且．‎ ‎（1）用表示点的坐标；‎ ‎（2）求实数的取值范围；‎ ‎（3）请问的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．‎ ‎2、（09安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点顺时针旋转，得到．‎ ‎（1）如图，一抛物线经过点，求该抛物线解析式；‎ ‎（2）设点是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形的面积达到最大时点的坐标及面积的最大值．‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ A O 第24题图 B x y ‎3、（09甘肃定西）如图14（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］‎ ‎（1）　　　　　，点A的坐标为　　　　　　，点B的坐标为　　　　　；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；‎ ‎（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．‎ 图14（1）　　　　　　图14（2）　　　　　　　　图14（3）‎ ‎4、（09肇庆）已知一元二次方程的一根为 2． ‎ ‎（1）求关于的关系式； ‎ ‎（2）求证：抛物线与轴有两个交点； ‎ ‎（3）设抛物线的顶点为 M，且与 x 轴相交于A（，0）、B（，0）两点，求使△AMB 面积最小时的抛物线的解析式． ‎ ‎5、（2009年山东临沂市）如图，抛物线经过三点．‎ ‎（1）求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎（第26题图）‎ x y B F O A C P x=1‎ ‎（第25题）‎ ‎6、（09永州）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为点在轴上．已知某二次函数的图象经过、、三点，且它的对称轴为直线点为直线下方的二次函数图象上的一个动点（点与、不重合），过点作轴的平行线交于点 ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）若设点的横坐标为用含的代数式表示线段的长．‎ ‎（3）求面积的最大值，并求此时点的坐标．‎