中考数学复习教案
一、实数的概念及分类
整数和 分数 统称为有理数，有理数和 无理数 统称为实数.
实数有如下分类：
实数
有理数
整数
正整数
零
负整数
分数
正分数
负分数
有限小数或
无限循环小数
无理数
正无理数
负无理数
无限不循环小数
(2017·长沙)下列实数中，为有理数的是( ).
A. 3 B.π C.
3
2 D.1
—思路点拨—
根据有理数和无理数的意义，有理数包括整数和分数，分数即有限小数和循环小数；无理数即
无限不循环小数.
自主解答：D
下列各数属于无理数的是( D ).
A.5 B. 4 C.
7
3
D.
π
2
解析：∵ 4＝2，5、2 都是整数，∴5、 4都是有理数；∵
7
3
=2.
•
3，2.
•
3是循环小数,∴
7
3
是有
理数；∵
π
2
是无限不循环小数，∴
π
2
是无理数，∴属于无理数的是
π
2
.故选 D.
二、实数的有关概念
1.数轴：数轴的三要素是 原点 、 正方向 、 单位长度 ；数轴上的点和 实数 是一一对应的.
2.相反数：(1)实数 a的相反数是 －a ；a与 b互为相反数⇔a＋b＝0.
授课内容 第 1讲 实 数 授课班级
授课时间 授课时数
授课人 授课方法
(2)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距
离 相等 .
3.绝对值：(1)在数轴上表示一个点离原点的 距离 叫做这个数的绝对值.
(2)当 a>0 时，|a|＝a；当 a＝0时，|a|＝0；当 a<0 时，|a|＝－a.
4.倒数：非零实数 a的倒数为
1
a
.ab＝1⇔ab 互为倒数.0 没有倒数，倒数是它本身的数是 ±1 .
—知识拓展—
绝对值的性质：(1)非负性：|a|≥0；
(2)若|x|＝a(a>0)，则 x＝±a；
(3)|a|＝|－a|；
(4)若|a|＋|b|＝0，则 a＝0，b＝0.
(2017·北京)实数 a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图 1.1－1 所示，则正确的结论
是( ).
图 1.1－1
A.a>－4 B.bd>0 C.|a|>|b| D.b＋c>0
—思路点拨—
由题意得，a<－4，A 错误；b<0，d>0，∴bd<0，B 错误；|a|>4，|d|＝4，∴|a|>|d|，C 正确；
b<0，c>0，且|b|>|c|，∴b＋c<0，D 错误.故选 C.
自主解答：C
已知 a，b是两个连续的整数，且 a＜ 15＜b，则 a＋b等于( C ).
A.5 B.6 C.7 D.6.5
解析：∵9＜ 15＜16，∴3＜ 15＜4.∵a，b 是两个连续的整数，∴a＝3，b＝4，∴a＋b＝3
＋4＝7.故选 C.
三、实数的大小比较
1.在数轴上表示的两个数，右边的数总 大于 左边的数.
2.正数大于 0，负数小于 0，正数 大于 一切负数；两个负数，绝对值大的反而 小 .
(2016·黔南)一组数据：－5，－2，0， 3，则该组数据中最大的数为( ).
A.－5 B.－2 C.0 D. 3
—思路点拨—
根据实数比较大小的方法：正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数；两个
负实数，绝对值大的反而小.
自主解答：D
下列各数中，绝对值最小的数是( B ).
A.－1 B.π－3 C.0.3 D. －1.2
解析：∵|－1|＝1，|π－3|≈0.14，|0.3|＝0.3，|－ 1.2|≈1.1，∴绝对值最小的数是π
－3.故选 B.
四、近似数和有效数字
1.科学记数法：把一个数写成 a×10n 的形式(其中 1≤|a|<10 ，n 为整数)，这种记数法称为科学
记数法.
2.近似数：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
3.有效数字：从左边第一个不是 0 的数字起，到 末位数字 为止，所有的数字都叫做这个数的有
效数字.
—温馨提示—
(1)对于用科学记数法表示的近似数，其有效数字由 a×10n(1≤|a|<10)中的 a确定，而与 10n中
的 n 无关，a有几个有效数字，这个数就有几个有效数字.(2)带有记数单位的近似数，其有效数字
的确定由记数单位前的数字确定，如 9.4 万有 2个有效数字 9、4，而不是 9、4、0、0、0.
(2016·安顺)中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规
划，“一带一路”地区覆盖总人口约为 4 400 000 000 人，这个数用科学记数法表示为( ).
A.44×108 B.4.4×109 C.4.4×108 D.4.4×1010
—思路点拨—
科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数.确定 n的值时，要看把原
数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1 时，n
是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
自主解答：B
(2017·福建)用科学记数法表示 136 000，其结果是( B ).
A.0.136×10
6
B.1.36×10
5
C.136×10
3
D.136×10
6
五、平方根、算术平方根和立方根
1.若 x2＝a(a≥0)，则 x叫做 a的 平方根 ，记作± a ；正数 a的正平方根叫做算术平方根，记
作 a ，0的算术平方根是 0.
平方根有以下性质：正数有 两 个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数 没有 平方
根.
2.若 x3
＝a，则 x叫做 a的立方根，记作 3,a；正数有一 个正的立方根，0的立方根是 0，负数有 一
个负的立方根.
(2017·南京)若方程(x－5)2＝19的两根为 a和 b，且 a>b，则下列结论中正确的是( ).
A.a 是 19 的算术平方根 B.b 是 19 的平方根
C.a－5 是 19 的算术平方根 D.b＋5 是 19 的平方根
—思路点拨—
根据平方根的意义，可知 x－5是 19 的一个平方根，由 a>b，可知 a－5是 19 的算术平方根，b
－5是其负的平方根.
自主解答：C
计算 36的结果为( A ).
A.6 B.－6 C.18 D.－18
六、实数的运算
1.运算法则：加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则、乘方与开方等.
特别地，a0＝ 1 (其中 a≠0)，a－p＝
1
ap
(其中 p为正整数，a≠0).
2.运算律： 结合律 、 交换律 、 分配律 .
3.运算顺序：先算乘方、开方，再算 乘除 ，最后算 加减 ；如果有括号，先算括号里面的，同
一级运算按照从左到右的顺序依次进行.
(2017·毕节)计算：
－
3
3
－2
＋(π－ 2)
0
－| 2－ 3|＋tan 60°＋(－1)
2 017
.
—思路点拨—
先依据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质、特殊锐角三角函数值、有理数
的乘方法则进行化简，最后依据实数的加减法则计算即可.
自主解答：原式＝
1
－
3
3
2＋1＋ 2－ 3＋ 3－1
＝3＋1＋ 2－ 3＋ 3－1
＝3＋ 2.
(2017·遵义)计算：|－2 3|＋(4－π)0－ 12＋(－1)－2 017.
解：原式＝2 3＋1－2 3－1＝0.
命题点 1：实数的分类
1.(2015·遵义)在 0，－2，5，
1
4
，－0.3 中，负数的个数有( B ).
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
解析：在 0，－2，5，
1
4
，－0.3 中，－2，－0.3 是负数，共有两个负数.故选 B.
命题点 2：实数与数轴的关系，大小比较，无理数范围的估算
2.(2016·遵义)在－1，－2，0，1这 4个数中，最小的一个数是( C ).
A.－1 B.0 C.－2 D.1
解析：∵－2＜－1＜0＜1，∴最小的一个数是－2.故选 C.
3.(2016·毕节)估计 6＋1的值在( B ).
A.2 到 3 之间 B.3 到 4 之间 C.4 到 5 之间 D.5 到 6 之间
解析：∵2＝ 4＜ 6< 9＝3，∴3＜ 6＋1＜4.故选 B.
4.(2015·毕节)实数 a，b在数轴上的位置如图 1.1－2 所示，则 a2－|a－b|＝ －b .
图 1.1－2
解析：根据数轴可得 b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，∴a－b＜0，则 a2
－|a－b|＝－a－(b－a)
＝－a－b＋a＝－b.故答案为－b.
5.(2016·六盘水)如图 1.1－3，表示 7的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间？( A ).
图 1.1－3
A.C 与 D B.A 与 B C.A 与 C D.B 与 C
解析：∵6.25＜7＜9，∴2.5＜ 7＜3，则表示 7的点在数轴上表示时，在 C和 D两个字母之
间.故选 A.
命题点 3：相反数、绝对值、倒数
6.(2017·黔东南)|－2|的值是( B ).
A.－2 B.2 C.－
1
2
D.
1
2
7.(2016·安顺)－2 016 的倒数是( D ).
A.2 016 B.－2 016 C.
1
2 016
D.－
1
2 016
8.(2017·安顺)|－2 017|等于( A ).
A.2 017 B.－2 017 C.±2 017 D.
1
2 017
9.(2015·毕节)－
1
2
的倒数的相反数等于( D ).
A.－2 B.
1
2
C.－
1
2
D.2
10.(2015·毕节)下列说法正确的是( D ).
A.一个数的绝对值一定比 0大 B.一个数的相反数一定比它本身小
C.绝对值等于它本身的数一定是正数 D.最小的正整数是 1
解析：A.一个数的绝对值不一定比 0大，有可能等于 0，故此选项错误；B.一个数的相反数
不一定比它本身小，负数的相反数比它本身大，故此选项错误；C.绝对值等于它本身的数不
一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；D.最小的正整数是 1，正确.故选 D.
命题点 4：近似数、有效数字和科学记数法
11.(2017·毕节)2017 年毕节市参加中考的学生约为 115 000 人，将 115 000 用科学记数法表示为
( D ).
A.1.15×104 B.0.115×106 C.11.5×104 D.1.15×105
12.(2017·安顺)我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为 27 500
亿米 3，人均占有淡水量居全世界第 110 位，因此我们要节约用水，27 500 亿用科学记数法表示
为( C ).
A.275×104 B.2.75×104 C.2.75×1012 D.27.5×1011
13.(2016·遵义)2015 年我市全年房地产投资约为 317 亿元，这个数据用科学记数法表示为( B ).
A.317×108 B.3.17×1010 C.3.17×1011 D.3.17×1012
14.(2017·六盘水)中国“蛟龙号”深潜器下潜深度为 7 062 米，用科学记数法表示为 7.062×103
米.
命题点 5：平方根、算术平方根、立方根
15.(2016·毕节)
3
8的算术平方根是( C ).
A.2 B.±2 C. 2 D.± 2
16.(2015·六盘水)下列说法正确的是( D ).
A.|－2|＝－2 B.0 的倒数是 0 C.4 的平方根是 2 D.－3 的相反数是 3
命题点 6：实数的运算
17.(2015·黔南)下列说法错误的是( D ).
A.－2 的相反数是 2 B.3 的倒数是
1
3
C.(－3)－(－5)＝2 D.－11、0、4 这三个数中最小的数是 0
解析：－2 的相反数是 2，A 正确；3 的倒数是
1
3
，B 正确；(－3)－(－5)＝－3＋5＝2，C 正确；－
11、0、4 这三个数中最小的数是－11，D 错误.故选 D.
18.(2015·贵阳)计算－3＋4的结果等于( C ).
A.7 B.－7 C.1 D.－1
19.(2017·六盘水)计算：(－1)
0
－|3－π|＋ (3－π)2
.
解：原式＝1－(π－3)＋(π－3)＝1.
20.(2017·安顺)计算：3tan 30°＋|2－ 3|＋
1
3
－1
－(3－π)
0
－(－1)
2 017
.
解：原式＝3×
3
3
＋2－ 3＋3－1＋1＝5.
21.(2017·黔东南)计算：－1－2＋| 2－ 3|＋(π－3.14)0－tan 60°＋8.
解：原式＝－1＋( 3－ 2)＋1－ 3＋2 2＝ 2.
22.(2016·遵义)计算：(π－2 016)
0
＋|1－ 2|＋2
－1
－2sin 45°.
解：原式＝1＋ 2－1＋
1
2
－2×
2
2
＝1＋ 2－1＋
1
2
－ 2＝
1
2
.
一、整式的相关概念
1.单项式：由数或字母的 积 组成的代数式叫做单项式(单独一个数或一个字母也是单项式)；单
项式中的 数字因数 叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的指数的 和 叫做这个单项
式的次数.
2.多项式：几个单项式的 和 叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的 项 ，其中次
数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，单项式与多项式统称为 整式 .
3.同类项：所含字母 相同 并且相同字母的指数也 相同 的项叫做同类项.所有的常数项都是同
类项.
—温馨提示—
单项式的系数包括前面的符号，对含有两个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指
数大小排列顺序.
(2016·安顺)按如图 1.2－1 所示的程序计算，若输入 x 的值为 1，则输出 y 的值
为 .
图 1.2－1
—思路点拨—
观察图形我们可以得出 x和 y的关系式为：y＝2x2－4，因此将 x的值代入就可以计算出 y的值.
如果计算的结果小于等于 0，则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值大于 0 为止，即可
得出 y的值.
授课内容 第 2讲 整 式 授课班级
授课时间 授课时数
授课人 授课方法
自主解答：4
(2014·六盘水)如图 1.2－2 是一个运算程序的示意图，若开始输入 x 的值为 81，则第 2 014 次输
出的结果为( D ).
图 1.2－2
A.3 B.27 C.9 D.1
解析：第 1 次，
1
3
×81＝27；第 2次，
1
3
×27＝9；第 3次，
1
3
×9＝3；第 4次，
1
3
×3＝1；第 5
次，1＋2＝3；第 6次，
1
3
×3＝1；…，依此类推，从第 3次以后，偶数次运算输出的结果是
1，奇数次运算输出的结果是 3.∵2 014 是偶数，∴第 2 014 次输出的结果为 1.故选 D.
(2015·通辽)下列说法中，正确的是( ).
A.－
3
4
x2的系数是
3
4
B.
3
2
πa2的系数是
3
2
C.3ab2的系数是 3a D.
2
5
xy2的系数是
2
5
—思路点拨—
根据单项式的概念求解.
自主解答：D
下列关于单项式－
x3y2
3
的说法中，正确的是( D ).
A.系数、次数都是 3 B.系数是－
1
3
，次数是 3
C.系数是
1
3
，次数是 5 D.系数是－
1
3
，次数是 5
解析：∵单项式－
x3y2
3
的数字因数是－
1
3
，所有字母指数的和＝3＋2＝5，∴此单项式的系数是
－
1
3
，次数是 5.故选 D.
(2016·常德)若－x3ya
与 xby 是同类项，则 a＋b的值为( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
—思路点拨—
根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺
序无关，与系数无关.
自主解答：C
单项式
πr2
2
的系数是( D ).
A.
1
2
B.π C.2 D.
π
2
二、整式的运算
1.幂的运算：同底数幂相乘：am
·an
＝ am＋n
(a≠0)；同底数幂的除法：am
÷an
＝ am－n
(a≠0)；幂
的乘方：(am)n＝ amn (a≠0)；积的乘方：(ab)n＝ anbn (a≠0，b≠0)；商的乘方：
b
a
n
＝
bn
an
(a≠0，
b≠0).
2.合并同类项的法则：系数相加，所得结果作为合并后的 系数 ，字母和字母的指数 不变 .
—温馨提示—
(1)在多项式中，如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，这两项就相互抵消，结
果为零.(2)合并同类项时，没有同类项的项，仍要写在结果中.
3.去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号 不
变 ；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号 改变 .
4.整式的加减：整式的加减实质上是 合并同类项 ，若有括号，先去括号.
5.单项式与单项式相乘：把系数、相同字母分别 相乘 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则
连同它的指数作为积的一个因式.
单项式与多项式相乘：只要将单项式分别乘多项式的各项，再将所得的积相加.
—思路点拨—
单项式与多项式相乘以及多项式与多项式相乘，最重要的两点是：①正负符号一定要跟着走；
②乘积的每一项一定不要遗漏.
6.乘法公式：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ a2－b2 ；完全平方公式：(a±b)2＝ a2±2ab＋b2 .
7.整式的除法：单项式除以单项式，把系数、同底数幂相除作为商的因式，对于只在被除式里含有
的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
多项式除以单项式：把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加.
(2016·安顺)下列运算正确的是( ).
A.a2
·a3
＝a6
B.2a＋3b＝5ab C.a8
÷a2
＝a6
D.(a2b)2
＝a4b
—思路点拨—
A.利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B.原式不能合并，错误；C.原式利
用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；D.原式利用积的乘方及幂的乘方运算法则计
算得到结果，即可做出判断.
自主解答：C
(2016·毕节)下列运算正确的是( D ).
A.－2(a＋b)＝－2a＋2b B.(a2)3＝a5 C.a3＋4a＝
1
4
D.3a2·2a3＝6a5
解析：A.原式＝－2a－2b，错误；B.原式＝a6，错误；C.原式不能合并，错误；D.原式＝6a5，
正确.故选 D.
(2015·镇江)计算－3(x－2y)＋4(x－2y)的结果是( ).
A.x－2y B.x＋2y C.－x－2y D.－x＋2y
—思路点拨—
原式去括号，合并同类项即可得到结果.
自主解答：A
计算(－a3)2的结果是( A ).
A.a6 B.－a6 C.－a5 D.a5
解析：(－a3)2＝(－1)2·(a3)2＝a6.故选 A.
(2015·长春)先化简，再求值：(x＋1)
2
＋x(x－2)，其中 x＝ 3.
—思路点拨—
原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最
简结果，把 x的值代入计算即可求出结果.
自主解答：原式＝x2＋2x＋1＋x2－2x＝2x2＋1.当 x＝ 3时，原式＝6＋1＝7.
(2015·衡阳)先化简，再求值：a(a－2b)＋(a＋b)2，其中 a＝－1，b＝ 2.
解：原式＝a2－2ab＋a2＋2ab＋b2＝2a2＋b2.
当 a＝－1，b＝ 2时，原式＝2＋2＝4.
三、因式分解
1.把一个多项式化为几个整式 相乘 的形式就是因式分解.因式分解与整式乘法是互逆变形.
2.因式分解的方法：
(1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝ m(a＋b＋c) ；
(2)公式法：a2
－b2
＝ (a＋b)(a－b) ，
a2
±2ab＋b2
＝ (a±b)2
.
因式分解的一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②然后看是否能用公式法分解；③
检查各因式能否继续分解.
—温馨提示—
因式分解和整式乘法的区别和联系：
联系：因式分解和整式乘法互为逆运算；
区别：因式分解的对象必须是多项式，结果是几个整式的积，而整式乘法的对象是几个整式，
结果为一个多项式.
(2014·海南)下列式子从左到右变形是因式分解的是( ).
A.a2
＋4a－21＝a(a＋4)－21 B.a2
＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C.(a－3)(a＋7)＝a2
＋4a－21 D.a2
＋4a－21＝(a＋2)
2
－25
—思路点拨—
利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分
解因式，也叫做因式分解，进而判断得出即可.
自主解答：B
(2016·毕节)因式分解：3m4－48＝ .
—思路点拨—
先提取公因式，再利用平方差公式把原式进行因式分解即可.
自主解答：3(m2
＋4)(m＋2)(m－2)
(2016·黔东南)因式分解：x3－x2－20x＝ .
—思路点拨—
先提公因式 x，再利用十字相乘法进行因式分解.
自主解答：x(x＋4)(x－5)
(2015·黔西南)因式分解：4x2
＋8x＋4＝ 4(x＋1)
2
.
解析：原式＝4(x2
＋2x＋1)＝4(x＋1)
2
.故答案为 4(x＋1)
2
.
命题点 1：代数式的值
1.(2016·六盘水)若 a与 b互为相反数，c与 d互为倒数，则 a＋b＋3cd＝ 3 .
2.(2016·黔南)若 ab＝2，a－b＝－1，则代数式 a2b－ab2
的值等于 －2 .
3.(2014·贵阳)若 m＋n＝0，则 2m＋2n＋1＝ 1 .
解析：∵m＋n＝0，∴2m＋2n＋1＝2(m＋n)＋1＝2×0＋1＝0＋1＝1.
故答案为：1.
命题点 2：整数指数幂
4.(2017·毕节)下列运算正确的是( D ).
A.a2
·a3
＝a9
B.(a＋b)2
＝a2
＋b2
C.a2
÷a2
＝0 D.(a2
)
3
＝a6
5.(2015·黔南)下列运算正确的是( D ).
A.a·a5
＝a5
B.a7
÷a5
＝a3
C.(2a)3
＝6a3
D.10ab3
÷(－5ab)＝－2b2
解析：∵a·a5
＝a6
，∴选项 A不正确；
∵a7
÷a5
＝a2
，∴选项 B不正确；
∵(2a)3
＝8a3
，∴选项 C不正确；
∵10ab3
÷(－5ab)＝－2b2
，∴选项 D正确.
故选 D.
6.(2016·遵义)下列运算正确的是( D ).
A.a6
÷a2
＝a3
B.(a2
)
3
＝a5
C.a2
·a3
＝a6
D.3a2
－2a2
＝a2
解析：A.a6
÷a2
＝a4
，故 A错误；B.(a2
)
3
＝a6
，故 B错误；C.a2
·a3
＝a5
，故 C错误；D.3a2
－2a2
＝a2
，
D正确.故选 D.
7.(2015·黔西南)a2
·a3
＝ a5
.
8.(2015·黔东南)a6
÷a2
＝ a4
.
命题点 3：整式的运算
9.(2017·安顺)下列各式运算正确的是( D ).
A.2(a－1)＝2a－1 B.a2b－ab2
＝0
C.2a3
－3a3
＝a3
D.a2
＋a2
＝2a2
解析：A.2(a－1)＝2a－2，故此选项错误；B.a2b－ab2
，无法合并，故此选项错误；C.2a3
－3a3
＝－
a3
，故此选项错误；D.a2
＋a2
＝2a2
，正确.故选 D.
10.(2017·六盘水)下列式子正确的是( C ).
A.7m＋8n＝8m＋7n
B.7m＋8n＝15m
C.7m＋8n＝8n＋7m
D.7m＋8n＝56mn
11.(2015·遵义)如果单项式－xyb＋1
与
1
2
xa－2y3
是同类项，那么(a－b)2 015
＝ 1 .
解析：由同类项的定义可知：a－2＝1，解得 a＝3；b＋1＝3，解得 b＝2，所以(a－b)2 015＝1.
故答案为：1.
12.(2015·贵阳)先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中 x＝2.
解：原式＝x2－1＋x2－x3＋x3＝2x2－1.
当 x＝2 时，原式＝2×22－1＝7.
13.下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题.
解：x(x＋2y)－(x＋1)2＋2x
＝x2＋2xy－x2＋2x＋1＋2x 第一步
＝2xy＋4x＋1 第二步
(1)小颖的化简过程从第 一 步开始出现错误；
(2)对此整式进行化简.
解：(1)一
(2)原式＝x2＋2xy－(x2＋2x＋1)＋2x＝x2＋2xy－x2－2x－1＋2x
＝2xy－1.
命题点 4：乘法公式
14.(2017·黔东南)下列运算结果正确的是( C ).
A.3a－a＝2
B.(a－b)2＝a2－b2
C.6ab2÷(－2ab)＝－3b
D.a(a＋b)＝a2＋b
15.(2017·六盘水)计算：2 017×1 983＝3 999 711 .
解析：2 017×1 983＝(2 000＋17)×(2 000－17)＝2 0002－172＝3 999 711.
16. (2017·安顺)若代数式 x2＋kx＋25 是一个完全平方式，则 k＝ ±10 .
命题点 5：因式分解
17.(2015·毕节)下列因式分解正确的是( B ).
A.a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2
－6a＋9)
B.x2
－x＋1,4＝
x－
1
2
2
C.x2
－2x＋4＝(x－2)
2
D.4x2
－y2
＝(4x＋y)(4x－y)
解析：A.原式＝a2b(a2－6a＋9)＝a2b(a－3)2，错误；B.原式＝
x－
1
2
2
，正确；C.原式不能因
式分解，错误；D.原式＝(2x＋y)(2x－y)，错误.
故选 B.
18.(2016·安顺)把多项式 9a3－ab2分解因式的结果是 a(3a＋b)(3a－b) .
19.(2017·安顺)因式分解：x3－9x＝ x(x＋3)(x－3) .
20. (2017·黔东南)在实数范围内因式分解：x5－4x＝x(x2＋2)(x＋2)(x－2) .
21.(2014·黔南)先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式.
mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx)＋(my＋ny)＝x(m＋n)＋y(m＋n)＝(m＋n)(x＋y)；也可以 mx＋nx
＋my＋ny＝(mx＋my)＋(nx＋ny)＝m(x＋y)＋n(x＋y)＝(m＋n)(x＋y).
以上因式分解的方法称为分组分解法，请用分组分解法分解因式：a3－b3＋a2b－ab2.
解：a3－b3＋a2b－ab2
＝a3＋a2b－(b3＋ab2)
＝a2(a＋b)－b2(a＋b)
＝(a＋b)(a2－b2)
＝(a＋b)2(a－b).
一、分式的概念及分式有意义、值为零的条件
1.用 A，B 表示两个整式，A÷B就可表示为
A
B
的形式，如果 B 中含有字母，B≠0，那么式子
A
B
就叫
做分式.
2.分式中字母的取值必须使分母的值不为零，即在
A
B
中，分式有意义的条件是分母 不为零 ，否则
无意义，分式的值为零的条件是分子 为零 ，且分母 不为零 .
(2016·温州)若分式
x－2
x＋3
的值为 0，则 x的值是( ).
A.－3 B.－2 C.0 D.2
—思路点拨—
直接利用分式的值为 0的条件，则分子为 0，进而求出答案.
自主解答：D
(2017·北京)若代数式
x
x－4
有意义，则实数 x的取值范围是( D ).
A.x＝0 B.x＝4 C.x≠0 D.x≠4
解析：由分式有意义的条件：分母不为 0，即 x－4≠0，解得 x≠4.故选 D.
二、分式的基本性质
1.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式，分式的值不变.用符号
表示为：
A
B
＝
A·M
B·M
，
A
B
＝
A÷M
B÷M
(M 为不等于 0的整式).
2.分式的约分与通分
约分：把一个分式的分子和分母的 公因式 约去，这种变形称为分式的约分.
通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 同分母 的分式，这一过程称为分式的
通分.
—温馨提示—
授课内容 第 3讲 分 式 授课班级
授课时间 授课时数
授课人 授课方法
约分的关键是寻找分子、分母的公因式，通分的关键是寻找各分母的最简公分母.
3.分式的符号法则：
A
B
＝
－A
－B
＝－
A
－B
＝－
－A
B.
—温馨提示—
约分、通分都是应用分式的基本性质，故要深刻理解“都”与“同”这两个字的含义，避免犯
只乘分子或分母的错误.另外，约分时找准公因式，通分时确定好公分母，这都是运算过程中的关
键步骤.
(2016·毕节)若 a2＋5ab－b2＝0，则
b
a
－
a
b
的值为 .
—思路点拨—
先根据题意得出 b2－a2＝5ab，再由分式的减法法则把原式进行化简，进而可得出结论.
自主解答：5
(2015·丽水)分式－
1
1－x
可变形为( D ).
A.－
1
x－1
B.
1
1＋x
C.－
1
1＋x
D.
1
x－1
解析：－
1
1－x
＝－
1
－(x－1)
＝
1
x－1
.故选 D.
三、分式的运算
1.分式乘除：
a
b
·
c
d
＝
ac
bd
，
a
b
÷
c
d
＝
a
b
·
d
c
＝
ad
bc
.
2.分式乘方：
a
b
n
＝
an
bn
(n 为整数).
3.分式加减：
a
c
±
b
c
＝
a±b
c
，
a
b
±
c
d
＝
ad±bc
bd
.
4.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方 ，再算 乘除 ，进行约分化简后，最后
进行加减 运算，遇到有括号的先算括号里面的，运算结果必须是最简分式或整式.
—温馨提示—
在分式的运算结果中，要注意约分，使结果为最简分式，有些分式在乘除运算前要先进行因式
分解，再约分，最后运算.
(2016·安顺)先化简，再求值：
1－
1
x＋1 ÷
x－2
x＋1
，从－1,2,3 中选择一个适当的数作为 x
值代入.
—思路点拨—
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的 x的值代入进行计算即可.
自主解答：原式＝
x
x＋1
·
x＋1
x－2
＝
x
x－2.
∵x＋1≠0，x－2≠0，∴x≠－1，x≠2.
当 x＝3 时，原式＝
3
3－2
＝3.
(2016·遵义)先化简
a2
＋4a
a－2
－
4
2－a ·
a－2
a2－4
，再从 1,2,3 中选取一个适当的数代入求值.
解：原式＝
a2＋4a
a－2
＋
4
a－2 ·
a－2
(a＋2)(a－2)
＝
a2＋4a＋4
a－2
·
1
a＋2
＝
(a＋2)2
a－2
·
1
a＋2
＝
a＋2
a－2
.
∵a－2≠0，∴a≠2.
当 a＝1 时，原式＝
1＋2
1－2
＝
3
－1
＝－3.
命题点 1：分式的概念
1.(2015·黔西南)分式
1
x－1
有意义，则 x的取值范围是( B ).
A.x＞1 B.x≠1 C.x＜1 D.一切实数
命题点 2：分式的运算
2.(2015·贵阳)分式
a
a2
＋2a
化简的结果为
1
a＋2
.
解析：
a
a2＋2a
＝
a
a(a＋2)
＝
1
a＋2
.故答案为：
1
a＋2
.
3.(2015·六盘水)已知
c
4
＝
b
5
＝
a
6
≠0，则
b＋c
a
的值为
3
2
.
解析：由比例的性质，得 c＝
2
3
a，b＝
5
6
a.
b＋c
a
＝
5
6
a＋
2
3
a
a
＝
9
6
＝
3
2
.
故答案为：
3
2
.
命题点 3：分式的化简求值
4.(2015·安顺)先化简，再求值：
x＋2
2x2
－4x
÷
x－2＋
8x
x－2 ，其中 x＝ 2－1.
解：原式＝
x＋2
2x(x－2)
÷
x2
－4x＋4＋8x
x－2
＝
x＋2
2x(x－2)
·
x－2
(x＋2)2
＝
1
2x(x＋2)
.
当 x＝ 2－1 时，原式＝
1
2( 2－1)( 2－1＋2)
＝
1
2( 2－1)( 2＋1)
＝
1
2
.
5.(2017·毕节)先化简，再求值：
x2－2x＋1
x2
－x
＋
x2－4
x2
＋2x ÷
1
x
，且 x为满足－3
3 B.x≥3 C.x>4 D.x≥3 且 x≠4
—思路点拨—
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，就可以求解.
自主解答：D
(2016·宁波)使二次根式 x－1有意义的 x的取值范围是( D ).
A.x≠1 B.x>1 C.x≤1 D.x≥1
解析：由题意得，x－1≥0，解得 x≥1.故选 D.
(2015·锦州)下列二次根式中属于最简二次根式的是( ).
A. 24 B. 36 C.
a
b
D. a＋4
—思路点拨—
A、B选项的被开方数中含有未开尽方的因数，C选项的被开方数中含有分母，因此这三个选项
授课内容 第 4 讲 二次根式 授课班级
授课时间 授课时数
授课人 授课方法
都不是最简二次根式.
自主解答：D
下列各式：① 2，②
1
3
，③ 8，④
1
x
(x＞0)中，最简二次根式有( A ).
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
解析：① 2，②
1
3
＝
3
3
，③ 8＝2 2，④
1
x
(x>0)＝
x
x
，故其中的最简二次根式为①，
共一个.故选 A.
二、二次根式的性质
1.( a)2＝a(a≥0).
2. a2
＝a(a ≥ 0).
3. ab＝ a· b (a ≥ 0，b ≥ 0).
4.
a
b
＝
a
b
(a ≥ 0，b > 0).
(2015·荆门)当 1＜a＜2时，代数式 (a－2)2＋|1－a|的值是( ).
A.－1 B.1 C.2a－3 D.3－2a
—思路点拨—
首先判断出 a－2＜0,1－a＜0，进而利用绝对值以及二次根式的性质化简求出即可.
自主解答：B
(2017·南京)若 3 0).
4.二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序相同，先算 乘方 ，再算 乘除 ，最后算 加
减 ，有括号的先算括号里面的(或先去括号).
(2015·黔西南)已知 x＝
5－1
2
，则 x2
＋x＋1＝ .
—思路点拨—
先根据完全平方公式变形，再代入求出即可.
自主解答：2
已知 x－1＝ 3，求代数式(x＋1)
2
－4(x＋1)＋4 的值.
解：原式＝(x＋1－2)2＝(x－1)2＝( 3)2＝3.
命题点 1：二次根式有意义的条件
1.(2016·安顺)在函数 y＝
1－x
x＋2
中，自变量 x的取值范围是 x≤1且 x≠－2 .
2.(2017·六盘水)使函数 y＝ 3－x有意义的自变量 x的取值范围是( C ).
A.x≥3 B.x≥0 C.x≤3 D.x≤0
3.(2017·安顺)在函数 y＝
x－1
x－2
中，自变量 x的取值范围是 x≥1且 x≠2 .
命题点 2：二次根式的化简
4.(2017·遵义)计算 8＋ 2＝ 3 2 .
命题点 3：二次根式的运算
5.(2017·安顺)已知 x＋y＝ 3，xy＝ 6，则 x2y＋xy2的值为 3 2 .
解析：∵x＋y＝ 3，xy＝ 6，
∴x2y＋xy2
＝xy(x＋y)＝ 6× 3＝18＝32.
故答案为：3 2.
6.(2016·遵义)计算 2－ 18的结果是 －2 2 .
解析：原式＝ 2－3 2＝－2 2.
故答案为：－2 2.
命题点 4：二次根式的化简求值
7.(2016·安顺)计算：cos 60°－2－1＋ (－2)
2
－(π－3)0.
解：原式＝
1
2
－
1
2
＋2－1＝1.
8.(2015·安顺)计算：
－1
2
－2
－(3.14－π)
0
＋|1－ 2|－2sin 45°.
解：原式＝4－1＋ 2－1－2×
2
2
＝2.
9.(2015·毕节)计算：(－2 015)0＋|1－ 2|－2cos 45°＋ 8＋
－1
3
－2
.
解：原式＝1＋ 2－1－2×
2
2
＋2 2＋9＝2 2＋9.
10.(2015·六盘水)计算：| 3－2|＋3tan 30°＋
1
2
－1
－(3－π)0－( 2)2.
解：原式＝2－ 3＋3×
3
3
＋2－1－2＝1.
11.(2015·黔东南)计算：
－
1
3
－1
＋(2 015－ 3)
0
－4sin 60°＋|－ 12|.
解：原式＝－3＋1－4×
3
2
＋2 3＝－3＋1－2 3＋2 3＝－2.
12.(2015·黔南)计算：2
1
3
× 9－ 12＋
3 7
8
－1.
解：原式＝2×
3
3
×3－2 3－
1
2
＝－
1
2
.
13.(2016·铜仁)计算：(－1)
2 016
－ 9＋(cos 60°)
－1
＋( 2 016－ 2 015)
0
＋8
3
×(－0.125)
3
.
解：原式＝1－3＋2＋1＋(－1)＝0.
一、一元一次方程及解法
1.等式的性质：等式两边同时加(或减) 同一个数 (或式子)，所得结果仍是等式；等式两边同时
乘 同一个数 (或式子)，或除以同一个 不为 0 的数(或式子)，所得结果仍是等式.
2.含有 未知数 的等式叫做方程；使方程左、右两边相等的 未知数 的值叫做方程的解.
3.只含有 一 个未知数，并且未知数的次数是 1 次的方程叫做一元一次方程，ax＋b＝0(a≠0)
是一元一次方程的标准形式.
4.求一元一次方程的解的一般步骤是：(1) 去分母 ；(2) 去括号 ；(3) 移项 ；(4) 合并同类
项 ；(5) 未知数的系数化为 1 .
(2017·武汉)解方程：4x－3＝2(x－1).
—思路点拨—
按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 后即可得解.注意在移
项的时候，要改变式子的符号.
自主解答：去括号，得 4x－3＝2x－2，
移项，得 4x－2x＝3－2，
合并同类项，得 2x＝1，
系数化为 1，得 x＝
1
2
.
解方程：2－
2x＋1
3
＝
1＋x
2
.
解：去分母，得 12－2(2x＋1)＝3(1＋x)，
去括号，得 12－4x－2＝3＋3x，
移项，得－4x－3x＝3－12＋2，
合并同类项，得－7x＝－7，
授课内容 第 1 讲 实 数 授课班级
授课时间 授课时数
授课人 授课方法
系数化为 1，得 x＝1.
二、二元一次方程组及解法
1.含有 两个 未知数，并且未知项的次数是 1 次的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式
是 ax＋by＋c＝0(a≠0，b≠0).
2.一般地，含有相同的未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
—温馨提示—
(1)二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，如
x＝2，
x－y＝1
和
x＝1，
x＋y＝3，
2y＝6
都是二元一次方程组.(2)方程组中的各个方程，相同字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程
合在一起.
3.使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都 相等 的两个未知数的值，叫做二元一次方程组
的解.
4.二元一次方程组的解法：
(1)解二元一次方程组的基本方法是：消去一个未知数(简称消元)，得到一个一元一次方程.
(2)解二元一次方程组的基本方法有两种： 代入 消元法和 加减 消元法.
(2016·百色)解方程组：
3x－y＝2，
9x＋8y＝17.
—思路点拨—
利用加减消元法即可求出该方程组的解.
自主解答：
3x－y＝2，①
9x＋8y＝17，②
①×8＋②，得 33x＝33，即 x＝1.
把 x＝1 代入①，得 y＝1.
则方程组的解为
x＝1，
y＝1.
(2017·广州)解方程组：
x＋y＝5，
2x＋3y＝11.
解：
x＋y＝5，①
2x＋3y＝11，②
①×3－②，得 x＝4.
把 x＝4 代入①，得 y＝1.
则方程组的解为
x＝4，
y＝1.
三、一次方程(组)的应用
列一次方程(组)解应用题的步骤：
(1)审：弄清题意和数量关系，弄清已知量和未知量，明确各数量之间的关系；
(2)设：设未知数(可设直接或间接未知数)；
(3)列：根据相等关系列出需要的代数式，进而列出方程(组)；
(4)解：解方程(组)；
(5)答：检验所求的未知数的值是否符合题意，写出答案.
—温馨提示—
要分析题目中的关键性词语，分清哪些是不变的量，哪些量发生了变化，从而找出相等关系，
不要漏写解、设、答.写答案时，要标明单位.
(2016·黄冈)在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文
118 篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少 2篇，求七年级收到的征文
有多少篇？
—思路点拨—
根据“七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少 2篇” ，设八年级收到的
征文有 x篇，则七年级收到的征文有
1
2
x－2
篇；根据“七年级和八年级共收到 118 篇”，列等式
即可.
自主解答：设八年级收到的征文有 x篇，则七年级收到的征文有
1
2
x－2
篇.
依题意，得
1
2
x－2
＋x＝118，
解得 x＝80，
∴118－80＝38.
答：七年级收到的征文有 38 篇.
《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出 8元，还盈余 3元；每人出 7元，则还差 4元.问共有多少人？
这个物品的价格是多少？
请解答上述问题.
解：设共有 x人.
根据题意，得 8x－3＝7x＋4，
解得 x＝7，
所以物品价格为 8×7－3＝53(元).
答：共有 7人，物品的价格为 53 元.
(2016·安顺)某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生 740 人，
使用了 55 间大寝室和 50 间小寝室，正好住满；女生 730 人，使用了大寝室 50 间和小寝室 55 间，
也正好住满.求该校的大小寝室每间各住多少人？
—思路点拨—
首先设该校的大寝室每间住 x人，小寝室每间住 y人，根据关键语句“高一年级男生 740 人，
使用了 55 间大寝室和 50 间小寝室，正好住满；女生 730 人，使用了大寝室 50 间和小寝室 55 间，
也正好住满”列出方程组即可.
自主解答：设该校的大寝室每间住 x人，小寝室每间住 y人.
由题意，得
55x＋50y＝740，
50x＋55y＝730，
解得
x＝8，
y＝6.
答：该校的大寝室每间住 8人，小寝室每间住 6人.
某活动小组购买了 4个篮球和 5个足球，一共花费了 435 元，其中篮球的单价比足球的单价多 3元，
求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元.依题意，可列方程组为
4x＋5y＝435，
x－y＝3
解析：由题意得，4个篮球和 5个足球共花费 453 元，可列方程 4x＋5y＝435；由篮球的单价
比足球的单价多 3元，可列方程 x－y＝3，联立方程即可.
(2017·岳阳)我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的
数目相等.第一次他们领来这批书的
2
3
，结果打了 16 个包还多 40 本；第二次他们把剩下的书全部取
来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了 9个包，那么这批书共有多少本？
解：设这批书共有 3x 本.
根据题意，得
2x－40
16
＝
x＋40
9
，
解得 x＝500，
∴3x＝1 500.
答：这批书共有 1 500 本.
某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共 140 件，进行手绘设
计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子.每件文化衫的批发价和零售价如下表：
批发价(元) 零售价(元)
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
假设文化衫全部售出，共获利 1 860 元，求黑白两种文化衫各多少件？
解：设购买黑色文化衫 x件，白色文化衫 y件.
根据题意，得
x＋y＝140，
(25－10)x＋(20－8)y＝1 860，
解这个二元一次方程组，得
x＝60，
y＝80.
答：购买黑色文化衫 60 件，白色文化衫 80 件.
命题点 1：一元一次方程的解法
1.(2016·铜仁)我国古代名著《九章算术》中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，
九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢？”(凫：野鸭)设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经
过 x天相遇，可列方程为( D ).
A.(9－7)x＝1 B.(9＋7)x＝1 C.
1
7
－
1
9 x＝1 D.
1
7
＋
1
9 x＝1
命题点 2：二元一次方程组的解法
2.(2016·毕节)已知关于 x，y的方程 x2m－n－2＋4ym＋n＋1＝6是二元一次方程，则 m，n的值为( A ).
A.m＝1，n＝－1 B.m＝－1，n＝1 C.m＝
1
3
，n＝－4,3 D.m＝－
1
3
，n＝4,3
解析：∵方程 x2m－n－2
＋4ym＋n＋1
＝6是二元一次方程，
∴
2m－n－2＝1，
m＋n＋1＝1，
解得
m＝1，
n＝－1.
故选 A.
3.(2015·贵阳)二元一次方程组
x＋y＝12，
y＝2
的解为
x＝10，
y＝2
解析：
x＋y＝12，①
y＝2，②
把②代入①，得 x＋2＝12，
∴x＝10，∴
x＝10，
y＝2.
故答案为：
x＝10，
y＝2.
命题点 3：二元一次方程组的应用
4.明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题(如图)，其大意为：有一群人分银子，如果
每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两.请问：所分的银子共有 46 两.(注：
明代时 1斤＝16 两，故有“半斤八两”这个成语)
解析：设有 x 个人分银两，共有 y 两银子.根据题意，得
y＝7x＋4，
y＝9x－8，
解得
x＝6，
y＝46，
所以共有
46 两银子.
5.(2016·黔东南)小明在某商店购买商品 A、B共两次，这两次购买商品 A、B的数量和费用如下表：
购买商品 A
的数量(个)
购买商品 B
的数量(个)
购买总费用
(元)
第一次购物 4 3 93
第二次购物 6 6 162
若小丽需要购买 3个商品 A和 2个商品 B，则她要花费( C ).
A.64 元 B.65 元 C.66 元 D.67 元
解析：设商品 A的标价为 x元，商品 B的标价为 y元.根据题意，得
4x＋3y＝93，
6x＋6y＝162，
解得
x＝12，
y＝15，
商品 A的标价为 12 元，商品 B的标价为 15 元，所以 3×12＋2×15＝66(元).故选 C.
6.(2015·铜仁)2015 年 5 月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，桥梁垮塌，房屋大面积受损，该省民
政厅急需将一批帐篷送往灾区.现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装 20 件
帐篷，且甲种货车装运 1 000 件帐篷所用车辆与乙种货车装运 800 件帐篷所用车辆相等.
(1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐篷？
(2)如果这批帐篷有 1 490 件，用甲、乙两种货车共 16 辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙
种车辆最后一辆只装了 50 件，其他装满，求甲、乙两种货车各有多少辆？
解：(1)设甲种货车每辆车可装 x件帐篷，乙种货车每辆车可装 y件帐篷.
依题意，有
x＝y＋20，
1 000
x＝800
y，
解得
x＝100，
y＝80.
经检验，
x＝100
y＝80
是原方程组的解.
答：甲种货车每辆车可装 100 件帐篷，乙种货车每辆车可装 80 件帐篷.
(2)设甲种货车有 z辆，乙种货车有(16－z)辆.
依题意，有 100z＋80(16－z－1)＋50＝1 490，
解得 z＝12，
16－z＝16－12＝4.
答：甲种货车有 12 辆，乙种货车有 4辆.
7.(2017·六盘水)甲乙两个施工队在六安(六盘水——安顺)城际高铁施工中，每天甲队比乙队多铺
设 100 米钢轨，甲队铺设 5天的距离刚好等于乙队铺设 6天的距离，若设甲队每天铺设 x米，乙
队每天铺设 y米.
(1)依题意列出二元一次方程组；
(2)求出甲乙两施工队每天各铺设多少米？
解：(1)
x－y＝100，
5x＝6y.
(2)解方程组
x－y＝100，
5x＝6y.
解得
x＝600，
y＝500.
答：甲施工队每天铺设 600 米，乙施工队每天铺设 500 米.
8.(2016·遵义)上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体，目前，某通信公司推出消费优惠
新招——“定制套餐”，消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照
二者的阶梯资费标准缴纳通信费.下表是流量与语音的阶梯定价标准.
流量阶梯定价标准
使用范围 阶梯单价(元/MB)
1～100 MB a
101～500 MB 0.07
501 MB～20 GB b
语音阶梯定价标准
使用范围 阶梯资费(元/分钟)
1～500 分钟 0.15
501～1 000 分钟 0.12
1 001～2 000 分钟 m
【小提示：阶梯定价收费计算方法，如 600 分钟语音通话费＝0.15×500＋0.12×(600－500)
＝87(元)】
(1)甲定制了 600 MB 的月流量，花费 48 元；乙定制了 2 GB 的月流量，花费 120.4 元，求 a，
b的值.(注：1 GB＝1 024 MB)
(2)甲的套餐费用为 199 元，其中含 600 MB 的月流量；丙的套餐费用为 244.2 元，其中包
含 1 GB 的月流量，二人均定制了超过 1 000 分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间
比甲多 300 分钟，求 m的值.
解：(1)依题意，得
100a＋(500－100)×0.07＋(600－500)b＝48，
100a＋(500－100)×0.07＋(1 024×2－500)b＝120.4，
解得
a＝0.15，
b＝0.05，
∴a的值为 0.15 元/MB，b 的值为 0.05 元/MB.
(2)设甲的套餐中定制 x(x＞1 000)分钟的每月通话时间，则丙的套餐中定制(x＋300)分钟的
每月通话时间.
丙定制了 1 GB 的月流量，需花费 100×0.15＋(500－100)×0.07＋(1 024－500)×0.05＝
69.2(元).
依题意，得
48＋500×0.15＋(1 000－500)×0.12＋
(x－1 000)m＝199，
69.2＋500×0.15＋(1 000－500)×0.12＋
(x＋300－1 000)m＝244.2，
解得
x＝1 200，
m＝0.08.
答：m的值为 0.08 元/分钟.
第 6讲 分式方程
考点 考查内容 考纲要求 考情链接 考情预测
分式方
程
分式方程的概
念
理解 2017 六盘水，17,5 分
2015 遵义，7,3 分
2016 黔南，20,5 分
2016 黔东南，19,8 分
2017 毕节，9,3 分
2017 黔东南，7,4 分
考查形式以选择
题、填空题、解答
题为主，分值 3～8
分
解可化为一元
一次方程的分
式方程
灵活运用
对分式方程的
解进行检验
掌握
分式方
程的应
用
运用分式方程
解决简单的实
际问题
灵活运用
2017 安顺，23,10 分
2016 六盘水，21,10 分
2016 毕节，13,3 分
2017 黔东南，23,12 分
2017 毕节，25,12 分
2017 遵义，25,12 分
考查形式以选择
题、填空题、解答
题为主，分值 3～12
分
一、分式方程及解法
1.分母里含有 未知数 的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体步骤是：
(1)去分母，在方程的两边都乘 最简公分母 ，约去分母，化为 整式 方程；
(2)解这个整式方程；
(3)验根，把整式方程的根代入 最简公分母 ，看结果是不是零，使 最简公分母 为零的
根是原方程的增根，必须舍去.
—知识拓展—
分式方程无解可能有两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程有解，但整式方
程的解使最简公分母等于零，即增根，分式方程也无解.
(2015·绍兴)解分式方程：
x
x－1
＋
2
1－x
＝4.
自主解答：方程两边同乘 x－1，
得 x－2＝4(x－1)，
整理，得－3x＝－2，解得 x＝
2
3
.
经检验，x＝
2
3
是原方程的解，
故原方程的解为 x＝
2
3
.
解方程：
1
x
＋
5x
x＋3
＝5.
解：方程的两边同乘 x(x＋3)，
得 x＋3＋5x2
＝5x(x＋3)，解得 x＝
3
14
.
检验：把 x＝
3
14
代入 x(x＋3)＝
135
196
≠0，
∴原方程的解为 x＝
3
14
.
二、分式方程的应用
列分式方程解应用题的关键是分析题意，从多角度思考问题、找准等量关系、设出未知数、列出方
程，最后还要注意求出的未知数的值不但要是所列方程的根，而且还要符合实际意义.
(2016·六盘水)列方程组解应用题：甲队修路 500 米与乙队修路 800 米所用天数相同，
乙队比甲队每天多修 30 米，问甲队每天修路多少米？
解：设甲队每天修路 x米，用含 x的代数式完成下表：
甲队每天修路长度(单
位：米)
乙队每天修路长
度
(单位：米)
甲队修 500 米所用天
数
(单位：天)
乙队修 800 米所
用天数
(单位：天)
x
500
x
关系式：甲队修 500 米所用天数＝乙队修 800 米所用天数
根据关系式列方程为：
解得：
检验：
答：
—思路点拨—
设甲队每天修路 x米，则乙队每天修路(x＋30)米，所以甲队修 500 米所用天数为
500
x
，乙队修
800 米所用天数为
800
x＋30
，根据“甲队修 500 米所用天数＝乙队修 800 米所用天数”列出方程，求出
方程的解即可得到结果.
自主解答：x＋30
800
x＋30
根据关系式列方程为：
500
x
＝
800
x＋30
解得：x＝50
检验：当 x＝50 时，左边＝右边＝10，
则 x＝50 是原方程的解.
答：甲队每天修路 50 米.
甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路 60 公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，
已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的
4
3
倍，甲队比乙队多筑路 20 天.
(1)求乙队筑路的总公里数；
(2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为 5∶8，求乙队平均每天筑路多少公里.
解：(1)乙队筑路的总公里数：60×
4
3
＝80(公里).
(2)设甲队每天筑路 5x 公里，乙队每天筑路 8x 公里.
根据题意，得
60
5x
－20＝
80
8x
，
解得 x＝
1
10
.
经检验，x＝
1
10
是方程的解且符合题意，
则乙队每天筑路 8x＝8×
1
10
＝4,5(公里).
答：乙队每天筑路
4
5
公里.
命题点 1：分式方程的解法
1.(2017·黔东南)分式方程
3
x(x＋1)
＝1－
3
x＋1
的根为( C ).
A.－1 或 3 B.－1
C.3 D.1 或－3
解析：方程两边同时乘 x(x＋1)，
得 3＝x(x＋1)－3x，
解得 x＝－1或 3.
当 x＝－1时，x(x＋1)＝0，舍去，
∴原分式方程的根是 x＝3.
2.(2017·六盘水)分式方程
2
x2－1
－
1
x－1
＝1 的解为 x＝ －2 .
解析：两边都乘以 x2－1，得 2－(x＋1)＝x2－1，
整理、化简，得 x2＋x－2＝0，
解得 x1＝－2，x2＝1.
检验：当 x＝－2时，x2－1＝3≠0，
当 x＝1时，x2－1＝0，
故方程的解为 x＝－2.
故答案为：－2.
3.(2015·黔西南)解方程：
2x
x－1
＋
1
1－x
＝3.
解：去分母，得 2x－1＝3(x－1)，
去括号，得 2x－1＝3x－3，
移项、合并同类项，得 x＝2.
检验：把 x＝2代入 x－1≠0，
∴x＝2是原分式方程的解.
4.(2016·黔东南)解方程：
x＋1
x－1
＋
4
1－x2
＝1.
解：方程的两边同乘(x－1)(x＋1)，
得(x＋1)2－4＝(x－1)(x＋1)，
解得 x＝1.
检验：把 x＝1代入(x－1)(x＋1)＝0，
所以原方程无解.
命题点 2：分式方程的应用
5.(2016·毕节)为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平
均每天比原计划多植树 30 棵，现在植树 400 棵所需时间与原计划植树 300 棵所需时间相同，设现
在平均每天植树 x棵，则列出的方程为( A ).
A.
400
x
＝
300
x－30
B.
400
x－30
＝
300
x
C.
400
x＋30
＝
300
x
D.
400
x
＝
300
x＋30
6.(2015·安顺)“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用 3 000 元购进第一批盒装花，上市后很
快售完，接着又用 5 000 元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数
的 2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少 5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元.
解：设第一批盒装花的进价是 x元/盒.
由题意，得 2×
3 000
x
＝
5 000
x－5
，
解得 x＝30.
经检验，x＝30 是原方程的根.
答：第一批盒装花每盒的进价是 30 元.
7.(2017·毕节)某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单
价比某种笔的单价少 4元，且用 30 元买这种本子的数量与用 50 元买这种笔的数量相同.
(1)求这种笔和本子的单价；
(2)该同学打算用自己的 100 元压岁钱购买这种笔和本子，计划 100 元刚好用完，并且笔和
本子都买，请列出所有购买方案.
解：(1)设笔的单价为 x元，则本子的单价为(x－4)元.
由题意，得
30
x－4
＝
50
x
，解得 x＝10，
经检验，x＝10 是原分式方程的解，则 x－4＝6.
答：这种笔的单价为 10 元，本子的单价为 6元.
(2)设购买这种笔 m支和购买本子 n本可恰好用完 100 元.
由题意，得 10m＋6n＝100，
整理，得 m＝10－
3
5
n.
∵m、n 都是正整数，
∴①n＝5时，m＝7，②n＝10 时，m＝4，③n＝15 时，m＝1.
答：有三种方案：①购买这种笔 7支，购买本子 5本；②购买这种笔 4支，购买本子 10
本；③购买这种笔 1支，购买本子 15 本.
8.(2017·黔东南)某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招
用了甲、乙两个工程队.若两队合作，8 天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做 3天后，剩余
部分由乙队单独做需要 18 天才能完成.
(1)求甲、乙两队工作效率分别是多少？
(2)甲队每天工资 3 000 元，乙队每天工资 1 400 元，学校要求在 12 天内将学生公寓楼装
修完成，若完成该工程，甲队工作 m天，乙队工作 n天，求学校需支付的总工资 w(元)与甲
队工作天数 m(天)的函数关系式，并求出 m的取值范围及 w的最小值.
解：(1)设甲队单独完成需要 x天，乙队单独完成需要 y天.
由题意，得
1
x
＋
1
y
＝
1
8
，
3
x
＋
18
y
＝1，
解得
x＝12，
y＝24，
经检验，
x＝12，
y＝24
是分式方程组的解.
答：甲、乙两队工作效率分别是 1,12 和
1
2
4.
(2)由题意，得
m
12
＋
n
24
＝1，
0≤m≤12，
0≤n≤12，
解得
n＝24－2m，
6≤m≤12.
学校需支付的总工资 w(元)与甲队工作天数 m(天)的函数关系式为 w＝3 000m＋1 400(24－
2m)，(6≤m≤12)
化简，得 w＝200m＋33 600.(6≤m≤12)
∵w 是关于 m的一次函数，且 200>0，
∴当 m取最小值 6时，w有最小值，
w 最小＝200×6＋33 600＝34 800(元).
答：学校需支付的总工资 w(元)与甲队工作天数 m(天)的函数关系式为 w＝200m＋33 600，m
的取值范围是 6≤m≤12，w 的最小值是 34 800 元.
9.(2017·安顺)某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的
进价的和为 40 元，用 90 元购进甲种玩具的件数与用 150 元购进乙种玩具的件数相同.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元；
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共 48 件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场
决定此次进货的总资金不超过 1 000 元，商场有几种进货方案？
解：设甲种玩具进价 x元/件，则乙种玩具进价为(40－x)元/件.
由题意，得
90
x
＝
150
40－x
，
解得 x＝15.
经检验，x＝15 是原方程的解，
∴40－x＝25.
答：甲、乙两种玩具的进价分别是 15 元/件、25 元/件.
(2)设购进甲种玩具 y件，则购进乙种玩具(48－y)件.
由题意，得
y＜48－y，
15y＋25(48－y)≤1 000，
解得 20≤y＜24.
∵y 是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y取 20,21,22,23，共有 4种方案.
答：共有 4种进货方案.
第 7讲 一元二次方程
考点 考查内容 考纲要求 考情链接 考情预测
一元二
次方程
的解法
直接开平方
法、因式分解
法、配方法、
公式法
灵活运用
2015 毕节，17,5 分
2016 六盘水，6,3 分
2015 安顺，7,3 分
考查形式以选择
题、填空题、解答
题为主，分值 3～8
分
根的判别式 掌握 2017 安顺，8,3 分 考查形式以选择
2017 遵义，9,3 分
2015 铜仁，4,4 分
2017 安顺，20,8 分
2015 毕节，12,3 分
2016 黔南，11,4 分
2016 安顺，7,3 分
题、填空题为主，
分值 3～4分
根与系数的
关系
灵活运用
2017 六盘水，12,4 分
2017 黔东南，6,4 分
2015 六盘水，13,4 分
2015 安顺，7,3 分
2016 黔东南，3,4 分
2016 遵义，15,4 分
考查形式以选择
题、填空题为主，
l分值 3～5分
一元二
次方程
的应用
列一元二次
方程解应用
题
掌握
2015 黔西南，7,4 分
2016 毕节，23,10 分
2016 六盘水，9,3 分
考查形式以选择
题、填空题、解答
题为主，分值 3～
10 分
一、一元二次方程的概念及解法
1.一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的 整式 方程叫做
一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能使一元二次方程左右两边都 相等 的未知
数的值，叫做一元二次方程的解.
3.解一元二次方程的基本思想是 降次 ，主要方法有 直接开平方法、配方法、因式分解法、公式
法 .
(2015·柳州)若 x＝1是一元二次方程 x2
＋2x＋m＝0 的一个根，则 m的值为 .
—思路点拨—
将 x＝1代入方程得到关于 m的方程，从而可求得 m的值.
自主解答：－3
已知一元二次方程 x2
＋px＋3＝0 的一个根为－3，则 p＝ 4 .
解析：把 x＝－3代入方程，得(－3)
2
－3p＋3＝0，解得 p＝4.故答案为：4.
(2015·毕节)关于 x的方程 x2
－4x＋3＝0 与
1
x－1
＝
2
x＋a
有一个解相同，则 a＝ .
—思路点拨—
利用因式分解法求得关于 x 的方程 x2
－4x＋3＝0 的解，然后分别将其代入关于 x 的方程
1
x－1
=
2
x＋a
，并求得 a的值.
自主解答：1
(2016·山西)解方程：2(x－3)
2
＝x2
－9.
解：原方程可化为 2(x－3)
2
＝(x＋3)(x－3)，
2(x－3)
2
－(x＋3)(x－3)＝0，
(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，
(x－3)(x－9)＝0，
∴x－3＝0或 x－9＝0，
∴x1＝3，x2＝9.
二、一元二次方程根的判别式
关于 x的一元二次方程 ax2
＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为Δ＝b2
－4ac.
1.Δ>0⇔一元二次方程 ax2
＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；
2.Δ＝0⇔一元二次方程 ax2
＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
3.Δ<0⇔一元二次方程 ax2
＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根.
(2016·黔南)若 y＝ k－1x＋1 是关于 x的一次函数，则一元二次方程 kx2＋2x＋1＝0 的
根的情况为( ).
A.没有实数根
B.有一个实数根
C.有两个不相等的实数根
D.有两个相等的实数根
—思路点拨—
根据题意可知 k＞1，∴Δ＜0，∴原方程没有实数根.
自主解答：A
(2017·北京)关于 x的一元二次方程 x2
－(k＋3)x＋2k＋2＝0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根小于 1，求 k的取值范围.
(1)证明：∵Δ＝[－(k＋3)]
2
－4(2k＋2)＝k2
－2k＋1＝(k－1)
2
≥0，∴方程总有两个实数根.
(2)解：∵x2
－(k＋3)x＋2k＋2＝(x－2)(x－k－1)＝0，∴x1＝2，x2＝k＋1.
∵方程总有一根小于 1，
∴k＋1<1，∴k<0，即 k的取值范围为 k<0.
三、一元二次方程根与系数的关系
已知关于 x的一元二次方程 ax2
＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 x1，x2，则 x1＋x2＝－
b
a
，x1·x2＝
c
a
.
—思路点拨—
使用一元二次方程根与系数的关系时，要先把方程化为一般形式，并注意隐含条件 a≠0.应用
时，一定要记住判别式Δ≥0这个隐含条件.
(2017·烟台)若 x1，x2是方程 x2
－2mx＋m2
－m－1＝0的两个根，且 x1＋x2＝1－x2x2，则 m
的值为( ).
A.－1 或 2 B.1 或－2 C.－2 D.1
—思路点拨—
根据根与系数的关系结合 x1＋x2＝1－x1x2，即可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出 m
的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于 m的一元一次不等式，解之可得出 m的
取值范围，从而可确定 m的值.
自主解答：D
(2015·荆州)若 m，n是方程 x2＋x－1＝0的两个实数根，则 m2＋2m＋n 的值为 0 .
解析：∵m，n是方程 x2＋x－1＝0的两个实数根，∴m＋n＝－1，m2＋m＝1，则原式＝(m2＋m)
＋(m＋n)＝1－1＝0.故答案为：0.
四、一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题，其一般步骤为审、设、列、解、答.
(1)审：弄清题意和数量关系，弄清已知量和未知量，明确各数量之间的关系；
(2)设：设未知数(可设直接或间接未知数)；
(3)列：根据相等关系列出需要的代数式，进而列出方程；
(4)解：解方程；
(5)答：检验所求的未知数的值是否符合题意，写出答案.
—温馨提示—
正确列出方程的前提是准确理解题意，准确地找出等量关系，进而达到求解的目的.在此过程
中，往往要借助于画示意图、列表格等手段帮助我们分析数量关系，并能根据具体问题的实际意义
检验结果是否合理.
(2016·毕节)为进一步发展基础教育，自 2014 年以来，某县加大了教育经费的投入，2014
年该县投入教育经费 6 000 万元.2016 年投入教育经费 8 640 万元.假设该县这两年投入教育经费的
年平均增长率相同.
(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算 2017 年该县投入教育经费多少
万元.
—思路点拨—
(1)设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2014年该县投入教育经费6 000万元和2016
年投入教育经费 8 640 万元列出方程，再求解即可；
(2)根据 2016 年该县投入教育经费和每年的增长率，直接得出 2017 年该县投入教育经费为 8
640×(1＋0.2)，再进行计算即可.
自主解答：(1)设该县投入教育经费的年平均增长率为 x.
根据题意，得 6 000(1＋x)2
＝8 640，
解得 x＝0.2＝20%.
答：该县投入教育经费的年平均增长率为 20%.
(2)因为 2016 年该县投入教育经费 8 640 万元，且增长率为 20%，
所以 2017 年该县投入教育经费：
y＝8 640×(1＋0.2)＝10 368(万元).
答：预计 2017 年该县投入教育经费 10 368 万元.
(2015·乌鲁木齐)某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件.市场调查反映：每降价 1
元，每星期可多卖出 20 件.已知商品的进价为每件 40 元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得 6
080 元的利润，应将销售单价定为多少元？
解：设降价 x元，则售价为(60－x)元，销售量为(300＋20x)件.
根据题意，得(60－x－40)(300＋20x)＝6 080，
解得 x1＝1，x2＝4，
要让顾客得实惠，故取 x＝4，即定价为 56 元.
答：应将销售单价定为 56 元.
命题点 1：一元二次方程的解法
1.(2015·安顺)三角形两边的长是 3和 4，第三边的长是方程 x2－12x＋35＝0 的根，则该三角形的
周长为( B ).
A.14 B.12
C.12 或 14 D.以上都不对
解析：解方程 x2－12x＋35＝0，得 x＝5或 x＝7.
当 x＝7 时，3＋4＝7，不能组成三角形，
当 x＝5时，3＋4＞5，三边能够组成三角形，
∴该三角形的周长为 3＋4＋5＝12.故选 B.
2.(2017·安顺)先化简，再求值：(x－1)÷
2
x＋1
－1
，其中 x为方程 x2＋3x＋2＝0 的根.
解：原式＝(x－1)÷
2－x－1
x＋1
＝(x－1)÷
1－x
x＋1
＝(x－1)×
x＋1
1－x
＝－x－1.
解方程 x2＋3x＋2＝0，得 x＝－1或 x＝－2.
当 x＝－1时，原式无意义，所以 x＝－1舍去；
当 x＝－2时，原式＝－(－2)－1＝2－1＝1.
命题点 2：根的判别式
3.(2016·安顺)已知命题“关于 x的一元二次方程 x2＋bx＋1＝0 必有实数解”是假命题，则在下列
选项中，b的值可以是( C ).
A.b＝－3 B.b＝－2 C.b＝－1 D.b＝2
解析：Δ＝b2
－4，当 b＝－1时，Δ＜0，方程没有实数解，所以 b取－1可作为判断命题“关于 x
的一元二次方程 x2
＋bx＋1＝0 必有实数解”是假命题的反例.故选 C.
4.(2015·毕节)若关于 x 的一元二次方程 x2
＋(2k－1)x＋k2
－1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是
( D ).
A.k≥
5
4
B.k＞
5
4
C.k＜
5
4
D.k≤
5
4
解析：根据题意，得Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)≥0，解得 k≤
5
4
.故选 D.
5.(2015·铜仁)已知关于 x的一元二次方程 3x2
＋4x－5＝0，下列说法正确的是( B ).
A.方程有两个相等的实数根
B.方程有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
解析：∵Δ＝4
2
－4×3×(－5)＝76＞0，∴方程有两个不相等的实数根.故选 B.
6.(2017·遵义)关于 x 的一元二次方程 x2
＋3x＋m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围为
( B ).
A.m≤
9
4
B.m<
9
4
C.m≤
4
9
D.m<
4
9
解析：∵一元二次方程 x2＋3x＋m＝0 有两个不相等的实数根，∴Δ>0，即 9－4m>0，解得 m<
9
4
.
故选 B.
命题点 3：一元二次方程的应用
7.(2015·黔西南)某校准备修建一个面积为 180 平方米的矩形活动场地，它的长比宽多 11 米，设
场地的宽为 x米，则可列方程为( C ).
A.x(x－11)＝180
B.2x＋2(x－11)＝180
C.x(x＋11)＝180
D.2x＋2(x＋11)＝180
8.(2015·毕节)一个容器盛满纯药液 40 L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体
积的溶液，这时容器里只剩下纯药液 10 L，则每次倒出的液体是 20 L.
解析：设每次倒出液体 x L.
由题意，得 40－x－
40－x
40
·x＝10，
解得 x＝60(舍去)或 x＝20，
即每次倒出 20 升.
故答案为：20.
9.(2015·遵义)2015 年 1 月 20 日遵义市政府工作报告公布：2013 年全市生产总值约为 1 585 亿元，
经过连续两年增长后，预计 2015 年将达到 2 180 亿元.设平均每年增长的百分率为 x，可列方程
为 1 585(1＋x)2＝2 180 .
第 8 讲 不等式与不等式组
考点 考查内容 考纲要求 考情链接 考情预测
一元一次
不等式
不等式的意义 理解
2016 遵义，9,3 分
考查形式以选择
题为主，分值 3
分
根据具体问题列出
不等式
掌握
不等式的基本性质 理解 2017 毕节，7,3 分
2016 黔南，7,4 分
2016 六盘水，7,3 分
2015 铜仁，13,4 分
2017 遵义，7,3 分
2017 六盘水，6,4 分
考查形式以选择
题、填空题为主，
分值 3～4分
利用不等式的性质
比较两个实数的大
小
掌握
一元一次不等式的
解集
理解
一元一次不
等式组
解一元一次不等式
组
灵活运用
2016 黔东南，7,4 分
2016 毕节，22,4 分
2015 黔东南，18,8 分
2015 安顺，15,4 分
2016 毕节，26,8 分
2016 贵阳，11,4 分
2017 黔东南，19,10 分
考查形式以选择
题、填空题、解答
题为主，分值 3～
10 分
一元一次不 利用一元一次不等 掌握 2016 遵义，9,3 分 考查形式以填空
等式(组)的
应用
式或不等式组解决
简单的应用问题
2015 黔西南，25,12 分
2015 黔东南，23,12 分
2017 安顺，23,10 分
题、解答题为主，
分值 3～12 分
一、一元一次不等式的概念、性质及解法
1.只含有 一个 未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式.
2.不等式的基本性质
(1)不等式的两边都 加上(或减去) 同一个数或同一个整式，不等号的 方向不变 .
即若 a>b，则 a＋c>b＋c(或 a－c＞b－c).
(2)不等式的两边都乘(或除以)同 一个正数 ，不等号的 方向不变 .
即若 a>b，且 c>0，则 ac>bc
或
a
c
＞
b
c .
(3)不等式的两边都乘(或除以)同 一个负数 ，不等号的 方向改变 .
即若 a>b，且 c<0，则 acb 或 ax0 的解集在数轴上表示为( ).
A B
C D
—思路点拨—
利用不等式的基本性质进行解答，然后把解集在数轴上表示出来即可.
自主解答：D
(2015·南京)解不等式 2(x＋1)－1≥3x＋2，并把它的解集在数轴上表示出来.
解：去括号，得 2x＋2－1≥3x＋2，
移项，得 2x－3x≥2－2＋1，
合并同类项，得－x≥1，
系数化为 1，得 x≤－1.
不等式的解集在数轴上表示如下图所示.
三、一元一次不等式组的解法
1.一元一次不等式组的解集
一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的
解集.
2.解一元一次不等式组的一般步骤：
(1)求出这个不等式组中各个不等式的解集；
(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集.
3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：(已知 a>b)
各不等式
组的解集
数轴确定法：其公共部分即为解集
部分
口诀确定
法
不等式组的
解集
x＞a
x≥b
同大取大 x>a
x＜a
x≤b
同小取小 x≤b
x＜a
x≥b
大小小大
中间找
b≤x5x－7，
x＋10
3
>2x.
解：
2(x＋1)>5x－7，①
x＋10
3
>2x，②
由①，得 x<3；由②，得 x<2，
∴不等式组的解集为 x<2.
四、列不等式(组)解应用题
列不等式(组)解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相同，其步骤包括：①去分母；②去括号；
③移项；④合并同类项；⑤系数化为 1.
(2016·重庆)近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注.当市场猪肉的平均
价格达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.
(1)从 2016 年初至 5月 20 日，猪肉价格不断走高，5月 20 日比年初价格上涨了 60%.某市民在 2016
年 5 月 20 日购买 2.5 千克猪肉至少要花 100 元钱，那么 2016 年年初猪肉的最低价格为每千克多少
元？
(2)5 月 20 日，猪肉价格为每千克 40 元.5 月 21 日，某市决定投入储备猪肉，并规定其销售价在每
千克 40 元的基础上下调 a%出售.某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍
为每千克 40 元的情况下，该天的两种猪肉总销量比 5月 20 日增加了 a%，且储备猪肉的销量占总销
量的
3
4
，两种猪肉销售的总金额比 5月 20 日提高了
1
10
a%，求 a的值.
—思路点拨—
(1)设今年年初猪肉价格为每千克 x元，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可；
(2)设 5 月 20 日两种猪肉的总销量为 1，根据题意列出方程，解方程即可.
自主解答：(1)设 2016 年年初猪肉价格为每千克 x元.
根据题意，得 2.5×(1＋60%)x≥100，
解得 x≥25.
答：2016 年年初猪肉的最低价格为每千克 25 元.
(2)设 5 月 20 日两种猪肉的总销量为 1.
根据题意，得 40(1－a%)×
3
4
(1＋a%)＋40×
1
4
(1＋a%)＝40
1＋
1
10
a%
，令 a%＝y，原方程化为
40(1－y)×
3
4
(1＋y)＋40×
1
4
(1＋y)＝40
1＋
1
10
y
，
整理，得 5y2－y＝0，解得 y＝0.2 或 y＝0(舍去)，
则 a%＝0.2，∴a＝20.
答：a的值为 20.
(2015·东莞)某电器商场销售 A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台 30 元、40
元，商场销售 5 台 A 型号和 1 台 B 型号计算器，可获利润 76 元；销售 6 台 A 型号和 3 台 B 型号计
算器，可获利润 120 元.
(1)求商场销售 A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润＝销售价格－进货价格)
(2)商场准备用不多于 2 500 元的资金购进 A，B 两种型号计算器共 70 台，问最少需要购进 A 型号
的计算器多少台？
解：(1)设 A 种型号计算器的销售价格是 x元，B种型号计算器的销售价格是 y元.
由题意，得
5(x－30)＋(y－40)＝76，
6(x－30)＋3(y－40)＝120，
解得
x＝42，
y＝56.
答：A种型号计算器的销售价格是 42 元，B种型号计算器的销售价格是 56 元.
(2)设购进 A型号计算器 a台，则购进 B型号计算器(70－a)台.
由题意，得 30a＋40(70－a)≤2 500，
解得 a≥30.
答：最少需要购进 A型号的计算器 30 台.
命题点 1：一元一次不等式的解集
1.(2015·铜仁)不等式 5x－3＜3x＋5 的最大整数解是 x＝3 .
解析：不等式的解集是 x＜4，故不等式 5x－3＜3x＋5 的正整数解为 1,2,3，则最大整数解为 3.故
答案为：x＝3.
2.(2017·六盘水)不等式 3x＋6≥9 的解集在数轴上表示正确的是( C ).
A B
C D
命题点 2：一元一次不等式组的解法
3.(2017·遵义)不等式 6－4x≥3x－8 的非负整数解有( B ).
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
4.(2015·安顺)不等式组
3x＋10>0，①
16
3
x－10<4x ②的最小整数解是 x＝－3 .
解析：由①，得 x＞－
10
3
；由②，得 x＜
15
2
，
所以不等式组的解集为－
10
3
＜x＜
15
2
.
在数轴上表示为：
由图可知，不等式组的最小整数解是 x＝－3.
5.(2016·贵阳)不等式组
3x－2<1，
4x<8
的解集为 x<1 .
解析：
3x－2<1，①
4x<8，②
由①，得 x<1；由②，得 x<2，故不等式组的解集为 x<1.
故答案为：x<1.
6.(2017·黔东南)解不等式组
x－3(x－2)≥4，①
2x－1
5
<
x＋1
2
，②
并把解集在数轴上表示出来.
解：由①，得－2x≥－2，即 x≤1；
由②，得 4x－2<5x＋5，即 x>－7，
所以－7－1，
∴不等式组的解集为－13x，
3x－1
2
≥－2，并将它的解集在数轴上表示出来.
解：
2(x＋2)>3x，①
3x－1
2
≥－2，②
由①，得 x＜4；由②，得 x≥－1，
∴不等式组的解集为－1≤x＜4.
在数轴上表示如下图所示.
命题点 3：一元一次不等式(组)的应用
9.(2016·遵义)三个连续正整数的和小于 39，这样的正整数中，最大一组的和是( B ).
A.39 B.36
C.35 D.34
解析：设三个连续正整数分别为 x－1，x，x＋1.
由题意，得(x－1)＋x＋(x＋1)＜39，∴x＜13.
∵x 为整数，∴x＝12 时，三个连续整数的和最大，
三个连续整数的和为 11＋12＋13＝36.
故选 B.
10.(2015·黔东南)去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”.某单位给某
乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共 320 件，其中饮用水比蔬菜多 80 件.
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件？
(2)现计划租用甲、乙两种货车共 8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学.已
知每辆甲种货车最多可装饮用水 40 件和蔬菜 10 件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各
20 件，则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
(3)在(2)的条件下，如果甲种货车每辆需付运费 400 元，乙种货车每辆需付运费 360 元.运输
部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
解：(1)设饮用水有 x件，则蔬菜有(x－80)件.
由题意，得 x＋(x－80)＝320，
解得 x＝200，
∴x－80＝120.
答：饮用水和蔬菜分别有 200 件和 120 件.
(2)设租用甲种货车 m辆，则租用乙种货车(8－m)辆.
由题意，得
40m＋20(8－m)≥200，
10m＋20(8－m)≥120，
解得 2≤m≤4.
∵m 为正整数，
∴m＝2或 3或 4，安排甲、乙两种货车时有 3种方案.
设计方案分别为：
①甲车 2辆，乙车 6辆；②甲车 3辆，乙车 5辆；③甲车 4辆，乙车 4辆.
(3)3 种方案的运费分别为：
①2×400＋6×360＝2 960(元)；
②3×400＋5×360＝3 000(元)；
③4×400＋4×360＝3 040(元)，
∴方案①运费最少，最少运费是 2 960 元.
答：运输部门应选择甲车 2辆，乙车 6辆，可使运费最少，最少运费是 2 960 元.
第 9 讲 一次函数
考点 考查内容 考纲要求 考情链接 考情预测
平面直
角坐标
系
坐标平面内点
的坐标特征的
运用
灵活运用
2016 黔南，18,4 分
2017 六盘水，19,5 分
考查形式以选择
题为主，分值 3～4
分
关于坐标轴、原
点对称的点的
坐标的特点
掌握
2017 六盘水，22,5 分
2016 安顺，8,3 分
2015 安顺，4,3 分
2017 黔东南，11,4 分
考查形式以选择
题为主，分值 3～4
分
函数及
其图象
自变量的取值
范围
掌握
2014 黔西南，15,3 分
2016 黔南，7,4 分
2016 安顺，12,4 分
2015 黔南，8,4 分
考查形式以选择
题为主，分值 3～4
分
根据条件写出
函数关系式
理解
2016 黔南，12,4 分
2016 六盘水，8,3 分
2016 遵义，18,4 分
2015 贵阳，9,3 分
2015 黔南，12,4 分
2014 贵阳，9,3 分
考查形式以选择
题、填空题、解答
题为主，分值 3～8
分
画函数图象，利
用函数图象解
决问题
掌握
2014 贵阳，10,3 分
2014 黔西南，10,4 分
考查形式以选择
题、填空题、解答
题为主，分值 3～
10 分
一次函
数
根据已知条件
确定函数解析
式
掌握
2017 安顺，22,10 分
2017 毕节，11,3 分
考查形式以填空
题、解答题为主，
分值 3～10 分
判断函数的增
减性，根据增减
性解决相关问
题
灵活运用
2015 六盘水，17,4 分
2014 黔东南，16,4 分
考查形式以填空
题为主，分值 3～4
分
确定一次函数
图象的交点坐
标
掌握
2014 遵义，25,10 分
2016 黔南，25,12 分
2015 六盘水，21,10 分
2014 黔东南，23,12 分
考查形式以解答
题为主，分值 10～
14 分
2015 遵义，25,12 分
2015 黔西南，24,14 分
2014 黔西南，25,12 分
2014 黔南，25,10 分
一次函
数的应
用
与一次函数有
关的应用问题
灵活运用
2014 贵阳，10,3 分
2017 六盘水，26,12 分
2017 黔东南，23,12 分
2016 黔南，26,12 分
考查形式以选择
题、填空题、解答
题为主，分值 3～
12 分
一、平面直角坐标系及点的坐标
1.平面直角坐标系的定义：在平面内，两条互相垂直且具有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系，
坐标平面内的点与有序实数对 成一一对应关系.
2.平面直角坐标系中点的特点：
(1)各象限点的坐标的符号特点：第一象限 (＋，＋) ；第二象限 (－，＋) ；第三象限 (－，
－) ；第四象限 (＋，－) .
(2)坐标轴上点的坐标特点：x轴上的点的 纵坐标 为 0；y轴上的点的 横坐标 为 0；原点
的坐标为 (0,0) .
(3)象限角平分线上的点的坐标特点是横、纵坐标的 绝对值相等 .
—温馨提示—
确定点在坐标系中的位置，关键是根据不同象限中点的坐标特点去判断，即根据题中的已知条
件，判断横坐标、纵坐标是大于 0、等于 0、还是小于 0，就可以确定点在坐标系中的位置.
(2015·威海)已知点 A(a＋1，b－2)在第二象限，则点 B(－a，b＋1)在( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
—思路点拨—
根据第二象限内的点的横坐标小于零、纵坐标大于零，可得关于 a，b 的不等式，再根据不等
式的性质，可得点 B的坐标符号.
自主解答：A
若点 P(2k－1,1－k)在第四象限，则 k的取值范围为( A ).
A.k＞1 B.k＜
1
2
C.k＞
1
2
D.
1
2
＜k＜1
解析：由题意，得
2k－1>0，
1－k<0，
解得
k>
1
2
，
k>1，
∴k＞1.故选 A.
二、图形与坐标
1.将点 P(x，y)向右或向左平移 a个单位长度，可以得到对应点( x＋a，y )或( x－a，y )；
将点 P(x，y)向上或向下平移 b个单位长度，可以得到对应点( x，y＋b )或( x，y－b ).
2.点 P(x，y)关于 x轴的对称点的坐标为( x，－y )；
点 P(x，y)关于 y轴的对称点的坐标为( －x，y )；
点 P(x，y)关于原点的对称点的坐标为( －x，－y ).
(2017·黔东南)在平面直角坐标系中有一点 A(－2,1)，将点 A先向右平移 3个单位长度，
再向下平移 2个单位长度，则平移后点 A的坐标为 .
—思路点拨—
根据坐标平移规律即可求出答案.
自主解答：(1，－1)
(2015·安顺)点 P(－2，－3)向左平移 1个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，则所得到的点的
坐标为( A ).
A.(－3,0) B.(－1,6)
C.(－3，－6) D.(－1,0)
解析：根据题意，所得点的横坐标是－2－1＝－3，纵坐标是－3＋3＝0，即得到的点的坐标
为(－3,0).故选 A.
三、函数的有关概念及其表达式
1.函数：在某一变化过程中有两个变量 x与 y，如果对于 x的每一个值，y都有 唯一 的值与它对
应，那么称 y是 x的函数，其中 x是 自变量 ，y是 因变量 .
2.函数的表示方法： 图象法 、 解析式法 、 列表法 .
3.函数自变量的取值范围：
(1)函数关系式是整式，自变量取值是 全体实数 ；
(2)函数关系式是分式，自变量取值应使 分母不为 0 ；
(3)函数关系式是偶次根式，自变量取值应使得被开方数为 非负数 ；
(4)对于有实际意义的函数，自变量的取值范围还应使实际问题有意义.
(2015·黔南)函数 y＝ 3－x＋
1
x－4
的自变量 x的取值范围是( ).
A.x≤3 B.x≠4
C.x≥3 且 x≠4 D.x≤3 或
x≠4
—思路点拨—
首先根据当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零，可得 3
－x≥0；然后根据自变量取值要使分母不为零，可得 x－4≠0，据此求出函数 y＝ 3－x＋
1
x－4
的自
变量 x的取值范围即可.
自主解答：A
函数 y＝ x－3＋
1
x－4
的自变量 x的取值范围是( C ).
A.x≥3 B.x≠4
C.x≥3 且 x≠4 D.x≥3 或
x≠4
解析：要使函数 y＝ x－3＋
1
x－4
有意义，
则
x－3≥0，
x－4≠0，
∴
x≥3，
x≠4，
即 x≥3且 x≠4.
故选 C.
四、函数图象
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作点的横、纵坐标，那么坐标平面
内由这些点组成的图象，就是这个函数的图象.
—思路点拨—
解答函数图象信息问题时，关键是正确分清图象横坐标、纵坐标表示的意义，以及横坐标、纵
坐标的单位、图象的变化趋势.
(2016·宜宾)如图 1.9－1 是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误
的是( ).
图 1.9－1
A.乙前 4秒行驶的路程为 48 米
B.在 0 到 8 秒内甲的速度每秒增加 4米
C.两车到第 3秒时行驶的路程相等
D.在 4 至 8 秒内甲的速度都大于乙的速度
—思路点拨—
A.根据图象可得，乙前 4 秒行驶的路程为 12×4＝48(米)，正确；B.根据图象得，在 0 到 8秒
内甲的速度每秒增加 4米，正确；C.根据图象可得，两车到第 3秒时行驶的路程不相等，故本选项
错误；D.在 4 至 8 秒内甲的速度都大于乙的速度，正确.
自主解答：C
上周周末放学，小华的妈妈来学校门口接他回家，小华离开教室后发现把文具盒遗忘在了教室里，
于是以相同的速度折返回去拿，到了教室后碰到班主任，并与班主任交流了一下周末计划才离开，
为了不让妈妈久等，小华快步跑到学校门口，则小华离学校门口的距离 y与时间 t之间的函数关系
的大致图象是( B ).
A B C D
解析：根据题意得，函数图象是随着 t 的增大，y 先变小，再变大，在教室内没变化，最后
迅速变小，B符合题意.故选 B.
五、一次函数与正比例函数的概念及性质
1.一般地，如果 y＝kx＋b(k，b 是常数，k ≠ 0)，那么 y叫做 x的一次函数.特别地，当 b＝0时，
一次函数 y＝kx＋b 就成为 y＝kx(k 是常数，k≠0)，这时 y叫做 x的 正比例函数 .
2.一次函数 y＝kx＋b(k，b 是常数，k≠0)的图象是经过(0，b) 和
－
b
k，0 两点的一条直线.
3.一次函数的性质：y＝kx＋b(k，b 是常数，k≠0)，当 k>0 时，y 的值随 x 值的增大而 增大 ；
当 k<0 时，y的值随 x值的增大而 减小 .
4.一次函数 y＝kx＋b(k，b 是常数，k≠0)的图象与性质：
k，b的符号 k>0，b>0 k>0，b<0 k<0，b>0 k<0，b<0
经过象限
第一、二、
三象限
第一、三、
四象限
第一、二、
四象限
第二、三、
四象限
性质
y随 x的增大而
增大
y随 x的增大
而增大
y随 x的增大而减
小
y随 x的增大而减
小
(2014·黔南)正比例函数 y＝kx(k≠0)的图象在第二、四象限，则一次函数 y＝x＋k的图
象大致是( ).
A B C D
—思路点拨—
根据正比例函数图象所经过的象限判定 k＜0，由此可以推知一次函数 y＝x＋k的图象与 y轴交
于负半轴，且 y随 x的增大而增大.
自主解答：B
(2015·潍坊)若式子 k－1＋(k－1)0有意义，则一次函数 y＝(k－1)x＋1－k 的图象可能是( A ).
,A ,B
,C ,D
解析：∵式子 k－1＋(k－1)
0
有意义，
∴
k－1≥0，
k－1≠0，
解得 k＞1，∴k－1＞0,1－k＜0，
∴一次函数 y＝(k－1)x＋1－k 的图象经过第一、三、四象限.故选 A.
(2016·广州)若一次函数 y＝ax＋b 的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是
成立的是( ).
A.ab>0 B.a－b>0 C.a2
＋b>0 D.a＋b>0
—思路点拨—
因为一次函数 y＝ax＋b 的图象经过第一、二、四象限，所以 a<0，b>0，所以 ab<0，A 错；a－b<0，
B 错；a2>0，所以 a2＋b>0，所以 C正确；a＋b的大小不能确定.
自主解答：C
(2017·苏州)若点 A(m，n)在一次函数 y＝3x＋b 的图象上，且 3m－n>2，则 b的取值范围为( D ).
A.b>2 B.b>－2 C.b<2 D.b<－2
六、确定一次函数的解析式
一次函数 y＝kx＋b(k，b 是常数，k≠0)中有两个待定系数 k，b，所以只要知道 x，y的两对值，
或知道一次函数图象上的两个点的坐标，就可以用待定系数法求出一次函数的解析式.
—温馨提示—
用待定系数法求函数解析式的四个步骤：(1)设——按照所求的函数类型，设出解析式；(2)列
——把题目中的已知点的坐标代入解析式，列出方程(组)；(3)解——解方程(组)，求出待定系数；
(4)代——把求出的系数的值代入所设解析式中，求出解析式.
(2016·宜昌)如图 1.9－2，直线 y＝ 3x＋ 3与两坐标轴分别交于 A，B两点.
图 1.9－2
(1)求∠ABO 的度数；
(2)过点 A的直线 l交 x轴的正半轴于点 C，AB＝AC，求直线 l的函数解析式.
—思路点拨—
(1)根据函数解析式求出点 A，B 的坐标，然后在 Rt△ABO 中，利用三角函数求出 tan∠ABO 的
值，继而可求出∠ABO 的度数；
(2)根据题意可得，AB＝AC，AO⊥BC，可得 AO 为 BC 的中垂线，根据点 B 的坐标，得出点 C 的
坐标，然后利用待定系数法求出直线 l的函数解析式.
自主解答：(1)对于直线 y＝ 3x＋ 3，
令 x＝0，则 y＝ 3，令 y＝0，则 x＝－1，
故点 A的坐标为(0， 3)，点 B的坐标为(－1,0)，
则 AO＝ 3，BO＝1.在 Rt△ABO 中，
∵tan∠ABO＝
AO
BO
＝ 3，∴∠ABO＝60°.
(2)在△ABC 中，∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO 为 BC 的中垂线，即 BO＝CO，
则点 C的坐标为(1,0).
设直线 l的解析式为 y＝kx＋b(k，b 为常数)，
则
3＝b，
0＝k＋b，
解得
k＝－ 3，
b＝ 3，
即函数解析式为 y＝－ 3x＋ 3.
(2017·南京)张老师计划到超市购买甲种文具 100 个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择.如
果调整文具的购买品种，每减少购买 1 个甲种文具，需增加购买 2 个乙种文具.设购买 x 个甲种文
具时，需购买 y个乙种文具.
(1)①当减少购买一个甲种文具时，x＝ ，y＝ ；
②求 y与 x之间的函数表达式；
(2)已知甲种文具每个 5元，乙种文具每个 3元，张老师购买这两种文具共用去 540 元.甲、乙两种
文具各购买了多少个？
解：(1)①99,2.
②根据题意，得 y＝2(100－x)＝－2x＋200，
所以 y与 x之间的函数表达式为 y＝－2x＋200.
(2)根据题意，得
y＝－2x＋200，
5x＋3y＝540，
解得
x＝60，
y＝80.
答：甲、乙两种文具各购买了 60 个和 80 个.
七、一次函数与方程、不等式的关系
1.任何一元一次方程都可以转化为 ax＋b＝0(a，b 为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可
以看作某个一次函数的值为 0时，求相应的自变量的值.反过来，一元一次方程可以看成函数在
函数值为 0时的特例.从图象上看，这相当于已知直线 y＝ax＋b，确定它与 x轴交点的横坐标的
值.
2.任何一元一次不等式都可以转化为 ax＋b>0 或 ax＋b<0(a，b 为常数，a≠0)的形式，所以解一元
一次不等式可以看作当某个一次函数的值大于(或小于)0 时，求相应的自变量的取值范围.
3.二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数的图象的交点坐标.
同一直角坐标系中，一次函数 y1＝k1x＋b 与正比例函数 y2＝k2x 的图象如图 1.9－3 所示，
则满足 y1≥y2的 x的取值范围是( ).
图 1.9－3
A.x≤－2 B.x≥－2 C.x＜－2 D.x＞－2
—思路点拨—
观察函数图象得，当x≤－2时，函数y1＝k1x＋b的图象都在函数y2＝k2x的图象的上方，即y1≥y2.
自主解答：A
一次函数 y＝ax＋b 的图象如图 1.9－4 所示，则不等式 ax＋b≥0 的解集是( B ).
图 1.9－4
A.x≥2 B.x≤2 C.x≤4 D.x≥4
八、一次函数的应用
(2015·黔西南)某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超
过 12 吨(含 12 吨)时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过 12 吨，超过部分每吨按市场调节价
收费，小黄家 1月份用水 24 吨，交水费 42 元；2月份用水 20 吨，交水费 32 元.
(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；
(2)设每月用水量为 x吨，应交水费为 y元，写出 y与 x之间的函数关系式；
(3)小黄家 3月份用水 26 吨，他家应交水费多少元？
—思路点拨—
(1)设每吨水的政府补贴优惠价为 a 元，市场调节价为 b 元，根据题意列出方程组，求解此方
程组即可；(2)根据用水量分别求出在两个不同的范围内 y 与 x 之间的函数关系式，注意自变量的
取值范围；(3)根据小黄家的用水量判断其在哪个范围内，代入相应的函数关系式求值即可.
自主解答：(1)设每吨水的政府补贴优惠价为 a元，市场调节价为 b元.
根据题意，得
12a＋(24－12)b＝42，
12a＋(20－12)b＝32，
解得
a＝1，
b＝2.5.
答：每吨水的政府补贴优惠价为 1元，市场调节价为 2.5 元.
(2)当 0≤x≤12 时，y＝x；
当 x＞12 时，y＝12＋(x－12)×2.5＝2.5x－18，
∴所求函数关系式为 y＝
x(0≤x≤12)，
2.5x－18(x＞12).
(3)∵x＝26＞12，
∴把 x＝26 代入 y＝2.5x－18，
得 y＝2.5×26－18＝47(元).
答：小黄家三月份应交水费 47 元.
(2017·苏州)某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定
时，需付的行李费 y(元)是行李质量 x(kg)的一次函数.已知行李质量为 20 kg 时需付行李费 2元，
行李质量为 50 kg 时需付行李费 8元.
(1)当行李的质量 x超过规定时，求 y与 x之间的函数表达式；
(2)求旅客最多可免费携带行李的质量.
解：(1)根据题意，设 y与 x的函数表达式为 y＝kx＋b.
当 x＝20 时，y＝2，得 2＝20k＋b；
当 x＝50 时，y＝8，得 8＝50k＋b.
解方程组
20k＋b＝2，
50k＋b＝8，
得
k＝
1
5
，
b＝－2，
所求函数表达式为 y＝
1
5
x－2.
(2) 当 y＝0 时，
1
5
x－2＝0，得 x＝10.
答：旅客最多可免费携带行李 10 kg.
命题点 1：函数及其图象
1.(2016·黔南)函数 y＝2,x－2 的自变量 x的取值范围在数轴上表示正确的是( B ).
2.(2016·贵阳)星期六早晨，蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了 60 min
后回家，如图 1.9－5 中的折线段 OA－AB－BC 是她出发后所在位置离家的距离 s(km)与行走时间
t(min)之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走路线的是( B ).
图 1.9－5
3.(2015·贵阳)一家电信公司提供两种手机的月通话收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另
一种无月租费.这两种收费方式的通话费用y(元)与通话时间x(分钟)之间的函数关系如图1.9－6
所示.小红根据图象得出下列结论：
①l1描述的是无月租费的收费方式；②l2描述的是有月租费的收费方式；③当每月的通话时间
为 500 分钟时，选择有月租费的收费方式省钱.
其中，正确结论的个数有( D ).
图 1.9－6
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
4.(2016·六盘水)为了加强爱国主义教育，每周一学校都要举行庄严的升旗仪式，同学们凝视着冉
冉上升的国旗.下列哪个函数图象能近似地刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系？
( A ).
A B C D
5.(2016·铜仁)函数 y＝
x－1
x－3
中，自变量 x的取值范围是 x≥1且 x≠3 .
6.(2015·六盘水)如图 1.9－7，观察中国象棋的棋盘，其中红方“马”的位置可以用一个数对(3,5)
来表示，红“马”走完“马 3进四”后到达 B点，则表示 B点位置的数对是 (4,7) .
图 1.9－7
命题点 2：一次函数的性质
7.(2015·六盘水)正方形 A1B1C1O 和 A2B2C2C1按如图 1.9－8 方式放置，点 A1，A2在直线 y＝x＋1上，
点 C1，C2在 x轴上.已知点 A1的坐标是(0,1)，则点 B2的坐标为 (3,2) .
图 1.9－8
解析：如图，∵直线 y＝x＋1，当 x＝0时，y＝1，当 y＝0时，x＝－1，
∴OA1＝1，OD＝1，∴∠ODA1＝45°，
∴∠A2A1B1＝45°，∴A2B1＝A1B1＝1，
∴A2C1＝C1C2＝2，∴OC2＝OC1＋C1C2＝1＋2＝3，∴B2(3,2).故答案为：(3,2).
8.(2015·六盘水)联通公司手机话费收费有A套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B套餐(月
租费 0元，通话费每分钟 0.15 元)两种.设 A套餐每月话费为 y1(元)，B 套餐每月话费为 y2(元)，
月通话时间为 x 分钟.
(1)分别表示出 y1与 x，y2与 x的函数关系式；
(2)月通话时间为多长时，A，B两种套餐收费一样？
(3)什么情况下 A套餐更省钱？
解：(1)A 套餐的收费方式：y1＝0.1x＋15；
B 套餐的收费方式：y2＝0.15x.
(2)由 0.1x＋15＝0.15x，得到 x＝300.
答：当月通话时间是 300 分钟时，A，B两种套餐收费一样.
(3)由 0.1x＋15＜0.15x，得到 x＞300.
当月通话时间多于 300 分钟时，A套餐更省钱.
9.(2016·黔南)都匀某校准备组织学生及家长代表到桂林进行社会实践活动，为便于管理，所有人
员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如表所示，二等座学生票可打 7.5 折，已知所有人员都
买一等座单程火车票需 6 175 元，都买二等座单程火车票需 3 150 元；如果家长代表与教师的人
数之比为 2∶1.
运行区间 票价
起点站 终点站 一等座 二等座
都匀 桂林 95(元) 60(元)
(1)参加社会实践活动的老师、家长代表与学生各有多少人？
(2)由于各种原因，二等座单程火车票只能买 x张(x＜参加社会实践的总人数)，其余的须买
一等座单程火车票，在保证所有人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写
出购买单程火车票的总费用 y与 x之间的函数关系式.
(3)在(2)的方案下，请求出当 x＝30 时，购买单程火车票的总费用.
解：(1)设参加社会实践的老师有 m人，学生有 n人，则学生家长有 2m 人.
根据题意，得
95(3m＋n)＝6 175，
60(m＋2m)＋60×0.75n＝3 150，
解得
m＝5，
n＝50，
则 2m＝10.
答：参加社会实践的老师、家长与学生各有 5人、10 人、50 人.
(2)由(1)知所有参与人员总共有 65 人，其中学生有 50 人.
①当 50≤x＜65 时，最经济的购票方案为：
学生都买学生票共 50 张，(x－50)名成年人买二等座火车票，(65－x)名成年人买一等座火车
票.
∴火车票的总费用(单程)y 与 x 之间的函数关系式为：y＝60×0.75×50＋60(x－50)＋95(65
－x)， 即 y＝－35x＋5 425(50≤x＜65)；
②当 0＜x＜50 时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共 x张，其余的学生、家长与
老师一起购买一等座火车票共(65－x)张.
∴火车票的总费用(单程)y 与 x 之间的函数关系式为：y＝60×0.75x＋95(65－x)，即 y＝－
50x＋6 175(0＜x＜50)，
∴购买单程火车票的总费用 y与 x之间的函数关系式为：
y＝
－50x＋6 175(00 与 x<0 两种情况讨论，不能笼统地说成“k<0 时，y随 x的增大而增大”.
(2015·黔东南)若 ab＜0，则正比例函数 y＝ax 与反比例函数 y＝
b
x
在同一坐标系中的大
致图象可能是( ).
A B
C D
—思路点拨—
根据 ab＜0 及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从 a＞0，b＜0和 a＜0，b＞0 两方面
分类讨论得出答案.
自主解答：B
(2017·广州)当 a≠0时，函数 y＝
a
x
与 y＝－ax2
＋a在同一直角坐标系中的大致图象可能是( D ).
解析：如果 a>0，则反比例函数 y＝
a
x
的图象在第一、三象限，二次函数 y＝－ax2
＋a的图象开口向
下，排除 A；二次函数图象与 y轴交点(0，a)在 y 轴正半轴，排除 B；如果 a<0，则反比例函数 y＝
a
x
的图象在第二、四象限，二次函数 y＝－ax2＋a的图象开口向上，排除 C；
故选 D.
(2016·龙岩)反比例函数 y＝－
3
x
的图象上有 P1(x1，－2)，P2(x2，－3)两点，则 x1与 x2
的大小关系是( ).
A.x1>x2 B.x1＝x2
C.x10)图象上一点，过点 A作 x轴
的平行线，交反比例函数 y2＝
k
x
(x>0)的图象于点 B，连接 OA，OB，若△OAB 的面积为 2，则 k的值
为 .
图 1.10－3
—思路点拨—
设点 A 的坐标为
1
a
，a
，则 B 点坐标为
k
a
，a
，根据题意可求得 AB 的长度以及△OAB 中 AB 边
上的高 a，由△OAB 的面积为 2，可求得 k的值.
自主解答：5
(2017·毕节)如图 1.10－4，点 E，F在函数 y＝
2
x
的图象上，直线 EF 分别与 x轴、y轴交于点 A，B，
且 BE∶BF＝1∶3，则△EOF 的面积是
8
3
.
图 1.10－4
解析：作 EP⊥y 轴于 P，EC⊥x 轴于 C，FD⊥x 轴于 D，FH⊥y 轴于 H，如图所示.
∵EP⊥y 轴，FH⊥y 轴，
∴EP∥FH，
∴△BPE∽△BHF，
∴PE,HF＝BE,BF＝
1
3
，即 HF＝3PE.
设 E 点坐标为
t，
2
t ，则 F点坐标为
3t，
2
3t .
∵S△EOF＋S△OFD＝S△OEC＋S 梯形 ECDF，
而 S△OFD＝S△OEC＝
1
2
×2＝1，
∴S△EOF＝S 梯形 ECDF＝
1
2
2
3t
＋
2
t (3t－t)＝
8
3
.
故答案为：
8
3
.
四、反比例函数的应用
(2015·衡阳)某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试
验，测得成人服药后血液中药物浓度 y(微克/毫升)与服药时间 x(小时)之间函数关系如图 1.10－5
所示(当 4≤x≤10 时，y与 x成反比例关系).
图 1.10－5
(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 y与 x之间的函数关系式；
(2)问血液中药物浓度不低于 4微克/毫升的持续时间为多少小时？
—思路点拨—
(1)分别利用正比例函数以及反比例函数解析式的求法得出即可；
(2)利用 y＝4分别得出 x的值，进而得出答案.
自主解答：(1)当 0≤x≤4 时，设直线的解析式为 y＝kx.将(4,8)代入，得 8＝4k，解得 k＝2，
∴直线的解析式为 y＝2x；
当 4≤x≤10 时，设反比例函数的解析式为 y＝
a
x
.
将(4,8)代入，得 8＝
a
4
，解得 a＝32，
∴反比例函数的解析式为 y＝
32
x
.
(2)当 y＝4 时，则 4＝2x，解得 x＝2；
当 y＝4时，则 4＝
32
x
，解得 x＝8.
∵8－2＝6(小时)，
∴血液中药物浓度不低于 4微克/毫升的持续时间为 6小时.
我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜.如图 1.10－6 是某天恒温系
统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度 y(℃)随时间 x(时)变化的函数图象，其中 BC 段是双曲线 y
＝
k
x
的一部分.请根据图中信息解答下列问题.
(1)求 k 的值；
(2)现在栽培一种在自然光照且温度为 16 ℃到 18 ℃的条件下生长最快的新品种，若某天恒温系统
开启前的温度是 10 ℃，那么这种蔬菜一天内生长最快的时间是几时？
图 1.10－6
解：(1)∵点 B(12,18)在双曲线 y＝
k
x
上，
∴
k
12
＝18，解得 k＝216.
(2)线段 AD 的解析式是 y＝4x＋10，
在 AD 段，当 y＝16 时，x＝1.5；
在 BC 段，当 y＝16 时，x＝
216
16
＝13.5，
∴生长最快的时间为 13.5－1.5＝12(时).
命题点 1：确定反比例函数的解析式
1.(2016·安顺)如图 1.10－7，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函
数 y＝
m
x
(m≠0)的图象交于 A，B两点，与 x轴交于点 C，点 A的坐标为(n,6)，点 C的坐标为(－2,0)，
且 tan∠ACO＝2.
图 1.10－7
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求点 B的坐标.
解：(1)如图，过点 A作 AD⊥x 轴，垂足为 D.
由 A(n,6)，C(－2,0)可得，
OD＝n，AD＝6，CO＝2.
∵tan∠ACO＝2，∴
AD
CD
＝2，即
6
2＋n
＝2，
∴n＝1，∴A(1,6).
将 A(1,6)代入反比例函数，得 m＝1×6＝6，
∴反比例函数的解析式为 y＝
6
x
.
将 A(1,6)，C(－2,0)代入一次函数 y＝kx＋b，
可得
6＝k＋b，
0＝－2k＋b，
解得
k＝2，
b＝4，
∴一次函数的解析式为 y＝2x＋4.
(2)由
y＝2x＋4，
y＝
6
x
， 可得 2x＋4＝
6
x
，
解得 x1＝1，x2＝－3.
当 x＝－3时，y＝－2，
∴点 B的坐标为(－3，－2).
命题点 2：反比例函数的图象与性质
2.(2016·遵义)已知反比例函数 y＝
k
x
(k＞0)的图象经过点 A(1，a)，B(3，b)，则 a 与 b 的关系正
确的是( D ).
A.a＝b B.a＝－b
C.a＜b D.a＞b
解析：∵k＞0，∴当 x＞0时，反比例函数 y随 x的增大而减小.∵1＜3，∴a＞b.故选 D.
命题点 3：比例系数 k 的几何意义
3.(2016·毕节)如图 1.10－8，点 A 为反比例函数 y＝－
4
x
图象上一点，过 A 作 AB⊥x 轴于点 B，连
接 OA，则△ABO 的面积为( D ).
图 1.10－8
A.－4 B.4
C.－2 D.2
解析：△ABO 的面积为：
1
2
×|－4|＝2.故选 D.
4.(2017·黔东南)如图 1.10－9，已知点 A，B分别在反比例函数 y1＝－
2
x
和 y2＝
k
x
的图象上，若点
A是线段 OB 的中点，则 k的值为 －8 .
图 1.10－9
解析：设 A(a，b)，则 B(2a,2b).
∵点 A在反比例函数 y1＝－
2
x
的图象上，
∴ab＝－2.
∵点 B在反比例函数 y2＝
k
x
的图象上，
∴k＝2a·2b＝4ab＝－8.
故答案是：－8.
图 1.10－10
5.(2015·黔西南)如图 1.10－10，点 A是反比例函数 y＝
k
x
图象上的一个动点，过点 A作 AB⊥x 轴，
AC⊥y 轴，垂足分别为点 B，C，矩形 ABOC 的面积为 4，则 k＝ －4 .
解析：由题意得，S 矩形 ABOC＝|k|＝4.因为双曲线位于第二、四象限，则 k＝－4.故答案为：－
4.
命题点 4：反比例函数与一次函数的综合应用
6.(2017·毕节)如图 1.10－11，已知一次函数 y＝kx－3(k≠0)的图象与 x 轴，y 轴分别交于 A，B
两点，与反比例函数 y＝
12
x
(x>0)交于 C点，且 AB＝AC，则 k的值为
3
2
.
图 1.10－11
解析：作 CD⊥x 轴于 D，则 OB∥CD，∴△AOB∽△ADC，∴
OB
CD
＝
AB
AC
.∵AB＝AC，∴OB＝CD.由直
线 y＝kx－3(k≠0)可知 B(0，－3)，∴OB＝3，∴CD＝3，把 y＝3代入 y＝12,x(x>0)，解得 x
＝4，∴C(4,3)，代入 y＝kx－3(k≠0)，得 3＝4k－3，解得 k＝
3
2
.故答案为：
3
2
.
7.(2015·黔南)如图 1.10－12，函数 y＝－x的图象是第二、四象限的角平分线，将 y＝－x的图
象以点 O为中心旋转 90°与函数 y＝
1
x
的图象交于点 A，再将 y＝－x的图象向右平移至点 A，与
x轴交于点 B，则点 B的坐标为(2,0) .
图 1.10－12
解析：∵AO 的解析式为 y＝x，
联立 y＝x与 y＝
1
x
，得
y＝x，
y＝
1
x
，解得
x＝1，
y＝1，
∴点 A的坐标为(1,1)，
∴AB 的解析式为 y＝－x＋2，
∴当 y＝0时，－x＋2＝0，
解得 x＝2，∴B(2,0).
故答案为：(2,0).
8.(2017·安顺)如图 1.10－13，已知反比例函数 y1＝
k
x
的图象与一次函数
y2＝ax＋b 的图象交于点 A(1,4)和点 B(m，－2).
(1)求这两个函数的表达式；
(2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的 x的取值范围.
图 1.10－13
解：(1)∵A(1,4)在反比例函数图象上，
∴把 A(1,4)代入反比例函数 y1＝
k
x
，
得 4＝
k1
1
，解得 k1＝4，
∴反比例函数解析式为 y1＝
4
x
.
又∵B(m，－2)在反比例函数图象上，
∴把 B(m，－2)代入反比例函数解析式，
解得 m＝－2，即 B(－2，－2).
把 A(1,4)和 B(－2，－2)代入一次函数解析式 y2＝ax＋b，得
a＋b＝4，
－2a＋b＝－2，
解得
a＝2，
b＝2，
∴一次函数解析式为 y2＝2x＋2.
(2)根据图象，得－21.
第 11 讲 二次函数
考点 考查内容 考纲要求 考情链接 考情预测
求二次函数的解
析式
用配方法把抛物
线的解析式y＝ax2
＋bx＋c(a≠0)化
为 y＝a(x－h)2＋
k(a≠0)的形式
理解
2015 六盘水，10,3
分
2015 黔南，13,4
分
考查形式以选择
题、填空题为主，
分值 3～4分
求二次函数的解
析式
根据已知条件用
待定系数法确定
二次函数的解析
式
掌握
2015 遵义，27,14
分
2017 毕节，27,16
分
考查形式以填空
题、解答题为主，
分值 3～16 分
二次函数的图
象和性质
根据抛物线的位置
确定 a，b，c的符号；
根据公式确定抛物
线的顶点和对称轴
灵活运用
2017 黔东南，9,4 分
2016 毕节，14,3 分
2017 遵义，11,3 分
2015 毕节，14,3 分
2017 安顺，10,3 分
2017 六盘水，9,4 分
2016 黔东南，6,4 分
考查形式以选择
题、填空题为主，
分值 3～4 分
根据自变量的变化判
断二次函数值的增减
情况
掌握
2015 贵阳，10,3 分
2015 黔南，13,4 分
考查形式以选择
题、填空题为主，
分值 3～4 分
二次函数的图
象和性质
二次函数与方程、不
等式的关系
灵活运
用
2015 铜仁，3,4 分
2015 铜仁，4,4 分
2017 安顺，8,3 分
考查形式以选择
题、填空题为主，
分值 3～4 分
2014 黔东南，7,4 分
2015 六盘水，10,3 分
二次函数的实
际应用
利用二次函数解决实
际问题
灵活运
用
2015 黔西南，19,4 分
2016 安顺，10,3 分
2015 毕节，15,12 分
2015 六盘水，10,3 分
2015 黔南，25,12 分
2015 铜仁，
3
4
分
2016 黔东南，23,12 分
考查形式以填空
题、解答题为主，
分值 3～12 分
续表：
二次函数的
综合应用
与二次函数有
关的综合应用
灵活运
用
2014 贵阳，25,12 分
2017 遵义，27,14 分
2015 遵义，27,14 分
2016 安顺，26,14 分
2016 毕节，27,16 分
2015 安顺，16,14 分
2015 毕节，27,16 分
2015 贵阳，24,12 分
考查形式以解
答题为主，分
值 12～16 分
二次函数的
综合应用
与二次函数有
关的综合应用
灵活运
用
2015 六盘水，26,16 分
2015 黔东南，24,12 分
2015 黔南，26,12 分
2017 安顺，26,14 分
2015 黔西南，26,16 分
2014 六盘水，26,16 分
2017 黔东南，24,14 分
2016 六盘水，26,16 分
2017 毕节，27,16 分
2016 黔东南，24,14 分
2016 遵义，27,14 分
考查形式以解
答题为主，分
值 12～16 分
一、二次函数的定义
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中 x是自变量，a，
b，c分别是函数表达式的 二次项 系数、 一次项 系数和常数项.
(2015·兰州)下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ).
A.y＝3x－1 B.y＝ax2＋bx
＋c
C.s＝2t2－2t＋1 D.y＝x2＋
1
x
—思路点拨—
根据二次函数的定义，可得答案.
自主解答：C
下列各式中，y是 x的二次函数的是( C ).
A.y＝
1
x2
B.y＝2x＋1
C.y＝x2＋x－2 D.y2＝x2＋3x
解析：A.y＝
1
x2
，分母中含有自变量，不是二次函数，错误；B.y＝2x＋1，是一次函数，错误；C.y
＝x2＋x－2，是二次函数，正确；D.y2＝x2＋3x，不是函数关系式，错误.故选 C.
二、二次函数图象的性质
函数 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)
a a>0 a<0
图象
开口
方向
抛物线开口 向上 ，并向上无限延伸 抛物线开口 向下 ，并向下无限延伸
对称轴 直线 x＝－
b
2a
直线 x＝－
b
2a
续表：
顶点
坐标
－
b
2a
，
4ac－b2
4a
－
b
2a
，
4ac－b2
4a
最值
抛物线有最低点，当 x＝－
b
2a
时，y有最
小值，y 最小值＝
4ac－b2
4a
抛物线有最高点，当 x＝－
b
2a
时，y有最
大值，y 最大值＝
4ac－b2
4a
增
减
性
在对称轴左侧，即当 x＜－
b
2a
时，y随 x
的增大而 减小 ；在对称轴右侧，即当 x
＞－
b
2a
时，y随 x的增大而 增大 ，简记
为左减右增
在对称轴左侧，即当 x＜－
b
2a
时，y随 x
的增大而 增大 ；在对称轴右侧，即当 x
＞－
b
2a
时，y随 x的增大而 减小 ，简记
为左增右减
二次函数 y＝x2－2x－3 的图象如图 1.11－1 所示，下列说法中错误的是( ).
图 1.11－1
A.函数图象与 y轴的交点坐标是(0，－3)
B.顶点坐标是(1，－3)
C.函数图象与 x轴的交点坐标是(3,0)，(－1,0)
D.当 x＜0 时，y随 x的增大而减小
—思路点拨—
A.将 x＝0 代入 y＝x2
－2x－3，求出 y＝－3，得出函数图象与 y轴的交点坐标，即可判断；B.
将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，即可判断；C.将 y＝0 代入 y＝x2
－2x－3，求出 x的值，得
到函数图象与 x轴的交点坐标，即可判断；D.利用二次函数的增减性即可判断.
自主解答：B
(2017·连云港)已知抛物线 y＝ax2(a>0)过 A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是
( C ).
A.y1>0>y2 B.y2>0>y1
C.y1>y2>0 D.y2>y1>0
三、二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象位置与 a，b，c的关系
1.当 a>0 时，开口向上；当 a<0 时，开口向下.
｜a｜越大，抛物线开口 越小 .
2.当 b＝0 时，对称轴为 y轴；
a与 b同号，对称轴在 y轴 左侧 ；
a与 b异号，对称轴在 y轴 右侧 .
3.当 c＝0 时，图象经过 原点 ；当 c<0 时，与 y轴负半轴 相交；当 c>0 时，与 y轴 正半轴 相
交.
4.当 b2－4ac＝0 时，顶点在 x轴 上；当 b2－4ac>0 时，与 x轴有 两 个交点；当 b2－4ac<0 时，
与 x轴 没有 交点.
(2017·黔东南)如图 1.11－2，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线 x＝－1，给
出下列结论：
①b2＝4ac；②abc>0；③a>c；④4a－2b＋c>0，其中正确的个数有( ).
图 1.11－2
A.1 个 B.2 个
C.3 个 D.4 个
—思路点拨—
①利用抛物线与 x轴有 2个交点和根的判别式的意义对①进行判断；
②由抛物线开口方向得到 a>0，由抛物线的对称轴位置确定 b>0，由抛物线与 y 轴交点位置
得到 c>0，即可作判断；
③当 x＝－1时，a－b＋c<0，然后把 b＝2a 代入可判断；
④利用抛物线的对称性得到 x＝－2和 x＝0时的函数值相等，即 x＝－2时，y>0，则可进行
判断.
自主解答：C
图 1.11－3
(2015·安顺)如图 1.11－3 为二次函数 y＝ax2
＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：
①a＞0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；
④当－1＜x＜3时，y＞0.
其中正确的个数有( C ).
A.1 个 B.2 个
C.3 个 D.4 个
解析：①图象开口向下，能得到 a＜0；②对称轴在 y 轴右侧，x＝
－1＋3
2
＝1，则有－
b
2a
＝1，即
2a＋b＝0；③当 x＝1时，y＞0，则 a＋b＋c＞0；④由图象可知，当－1＜x＜3时，y＞0.故选 C.
四、确定二次函数的解析式
用待定系数法可求二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件：
1.一般式： y＝ax2＋bx＋c .
2.顶点式： y＝a(x－h)2＋k .
3.交点式： y＝a(x－x1)(x－x2) .
(2015·安顺)如图 1.11－4，抛物线 y＝
ax2＋bx＋5
2
与直线 AB 交于点 A(－1,0)，B
4，
5
2 .
点 D 是抛物线 A，B两点间部分上的一个动点(不与点 A，B重合)，直线 CD 与 y 轴平行，交直线 AB
于点 C，连接 AD，BD.
图 1.11－4
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点 D 的横坐标为 m，△ADB 的面积为 S，求 S 关于 m的函数关系式，并求出当 S取最大值时的
点 C的坐标.
—思路点拨—
(1)将 A，B 两点坐标代入，可得 a，b的值，继而可得抛物线的解析式；(2)先确定直线 AB 的
解析式，然后可得出点 C，D的坐标，表示出△ADB 的面积，根据二次函数的最值确定点 C的坐标.
自主解答：(1)由题意，得
a－b＋
5
2
＝0，
16a＋4b＋
5
2
＝
5
2
，
解得
a＝－
1
2
，
b＝2，
∴y＝－
1
2
x2＋2x＋
5
2
.
(2)设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b，
则有
－k＋b＝0，
4k＋b＝
5
2
， 解得
k＝
1
2
，
b＝
1
2
，
∴y＝
1
2
x＋
1
2
.
则 D
m，－
1
2
m2
＋2m＋
5
2
，
C
m，
1
2
m＋
1
2 ，
CD＝
－
1
2
m2
＋2m＋
5
2 －
1
2
m＋
1
2
＝－
1
2
m2＋
3
2
m＋2，
∴S＝
1
2
(m＋1)·CD＋
1
2
(4－m)·CD
＝
1
2
×5×CD
＝
1
2
×5×
－
1
2
m2
＋
3
2
m＋2
＝－
5
4
m2＋
15
4
m＋5
＝－
5
4
m－
3
2 2
＋
125
16
.
∵－
5
4
＜0，
∴当 m＝
3
2
时，S有最大值，
∴点 C的坐标是
3
2
，
5
4 .
已知二次函数 y＝x2
＋bx＋c 的图象如图 1.11－5 所示，它与 x轴的一个交点坐标为(1,0)，与 y轴
的交点坐标为(0，－3).
图 1.11－5
(1)求出 b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出函数值 y为正数时，自变量 x的取值范围.
解：(1)由二次函数 y＝x2
＋bx＋c 的图象经过(1,0)和(0，－3)两点，得
1＋b＋c＝0，
c＝－3，
解得
b＝2，
c＝－3，
∴抛物线的解析式为 y＝x2
＋2x－3.
(2)当 x＜－3或 x＞1时，y＞0.
五、二次函数与一元二次方程及不等式之间的关系
1.二次函数 y＝ax2
＋bx＋c 与 x 轴的两个交点的横坐标就是一元二次方程 ax2
＋bx＋c＝0 的两个根.
2.求解不等式 ax2
＋bx＋c＞0，相当于求满足二次函数 y＝ax2
＋bx＋c 的图象在 x轴上方(不包含与
x轴的交点)时 x的取值范围；求解不等式 ax2
＋bx＋c＜0，相当于求满足二次函数 y＝ax2
＋bx＋c
的图象在 x轴下方(不包含与 x轴的交点)时 x的取值范围.
(2016·黔东南)已知抛物线 y＝x2－x－1 与 x 轴的一个交点为(m,0)，则代数式 m2－m＋2
014 的值为( ).
A.2 012 B.2 013
C.2 014 D.2 015
—思路点拨—
把 x＝m代入方程 x2
－x－1＝0，求得 m2
－m＝1，然后将其整体代入代数式 m2
－m＋2 014，并
求值.
自主解答：D
抛物线 y＝x2＋2x＋m 与 x 轴交于 A(x1,0)，B(x2,0)两点，其中 x1＞x2，且 x2
1
＋x2
2＝10.
(1)求实数 m的值；
(2)设 M(2，y0)是抛物线 y＝x2＋2x＋m 上的一点，在该抛物线的对称轴上找一点 P，使得 PA＋PM 的
值最小，并求出点 P的坐标.
解：(1)∵抛物线 y＝x2＋2x＋m 与 x 轴交于 A(x1,0)，B(x2,0)两点，
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝m.
∵x2
1＋x2
2＝(x1＋x2)
2－2x1x2＝10，
∴4－2m＝10，解得 m＝－3.
∵Δ＝4－4×(－3)＝16＞0，
∴m的值为－3.
(2)∵M(2，y0)是抛物线 y＝x2＋2x－3 上的一点，
∴M(2,5).
令 y＝0，则 0＝x2＋2x－3，x1＞x2，
解得 x1＝1，x2＝－3，
∴A(1,0)，B(－3,0).
抛物线 y＝x2＋2x－3 的对称轴为
x＝－
2
2×1
＝－1，
要在抛物线的对称轴上找一点 P，使得 PA＋PM 的值最小，根据两点之间线段最短，可知直线 BM 与
直线 x＝－1的交点即为所求.
设直线 BM 的解析式为 y＝kx＋b.
过 B(－3,0)，M(2,5)两点，则
－3k＋b＝0，
2k＋b＝5，
解得
k＝1，
b＝3，
∴y＝x＋3.
当 x＝－1时，y＝2，∴P(－
1
2
).
六、利用二次函数解决实际问题
(2016·毕节)某商场有 A，B 两种商品，若买 2 件 A 商品和 1 件 B 商品，共需 80 元；若
买 3件 A商品和 2件 B商品，共需 135 元.
(1)设 A，B 两种商品每件售价分别为 a元，b元，求 a，b的值；
(2)B 商品每件的成本是 20 元，根据市场调查：若按(1)中求出的单价销售，该商场每天销售 B商品
100 件；若销售单价每上涨 1元，B商品每天的销售量就减少 5件.
①求每天 B商品的销售利润 y(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式；
②当销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大？最大利润是多少？
—思路点拨—
(1)根据题意列方程组即可得出结论；
(2)①由题意列出关于 x，y的方程即可；②把函数关系式配方即可得到结果.
自主解答：(1)根据题意，得
2a＋b＝80，
3a＋2b＝135，
解得
a＝25，
b＝30.
(2)①由题意，得 y＝(x－20)[100－5(x－30)]，
∴y＝－5x2＋350x－5 000.
②∵y＝－5x2＋350x－5 000＝－5(x－35)2＋1 125，
∴当 x＝35 时，y 最大＝1 125，
∴销售单价为 35 元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是 1 125 元.
(2017·安徽)某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 80
元.经市场调查，每天的销售量 y(千克)与每千克售价 x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 x(元/千克) 50 60 70
销售量 y(千克) 100 80 60
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；
(2)设商品每天的总利润为 W(元)，求 W与 x之间的函数关系式(利润＝收入－成本)；
(3)试说明(2)中总利润 W随售价 x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最
大利润是多少？
解：(1)设 y＝kx＋b.
由题意，得
50k＋b＝100，
60k＋b＝80，
解得
k＝－2，
b＝200，
∴所求函数关系式为 y＝－2x＋200.(40≤x≤80)
(2)W＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8 000.
(3)W＝－2x2＋280x－8 000＝－2(x－70)2＋1 800，其中 40≤x≤80.
∵－2<0，
∴当 40≤x≤70 时，W随 x的增大而增大，当 700，故本选项错误；B.由抛物线可知，a＞0，x
＝－
b
2a
＞0，得 b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；C.由抛物线可知，a＜0，x
＝－
b
2a
＜0，得 b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；D.由抛物线可知，a＜0，x
＝－
b
2a
＜0，得 b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误.故选 C.
2.(2017·六盘水)已知二次函数 y＝ax2
＋bx＋c 的图象如图 1.11－6 所示，则( B ).
图 1.11－6
A.b>0，c>0 B.b>0，c<0
C.b<0，c<0 D.b<0，c>0
解析：由抛物线开口向下，知 a<0；与 y轴正半轴相交，知 c<0；对称轴在 y轴右边，则 x＝
－
b
2a
>0，得 b>0，B 选项符合.故选 B.
命题点 2：二次函数的图象与系数的关系
3.(2017·安顺)二次函数 y＝ax2
＋bx＋c(a≠0)的图象如图 1.11－7 所示，给出下列四个结论：①
4ac－b2
<0；②3b＋2c<0；③4a＋c<2b；④m(am＋b)＋b0，∴4ac－b2
<0，∴①正确；
∵－b,2a＝－1，∴b＝2a.∵a＋b＋c<0，
∴
1
2
b＋b＋c<0，∴3b＋2c<0，∴②正确；
∵当 x＝－2时，y>0，∴4a－2b＋c>0，
∴4a＋c>2b，③错误；
由图象可知 x＝－1时该二次函数取得最大值，
∴a－b＋c>am2＋bm＋c(m≠－1)，
∴m(am＋b)40，
－
2
5
x＋88<60，
解得 70＜x＜120，
∴应控制大桥上的车流密度在 70＜x＜120 范围内.
(3)设车流量 y与 x之间的关系式为 y＝vx.
当 20≤x≤220 时，
y＝
－
2
5
x＋88
x＝－
2
5
(x－110)
2
＋4 840，
∴当 x＝110 时，y 最大＝4 840.
∵4 840＞1 600，
∴当车流密度是 110 辆/千米时，车流量 y取得最大值，最大值是 4 840 辆 /小时.
命题点 5：与二次函数有关的综合问题
8.(2017·安顺)如图 1.11－11，直线 y＝－x＋3与 x轴、y轴分别交于点 B、点 C，经过 B、C两点
的抛物线 y＝x2＋bx＋c 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点 M，使以 C、P、M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存
在，请直接写出符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当 0 r
(2015·湘西)⊙O 的半径为 5 cm，点 A 到圆心 O 的距离 OA＝3 cm，则点 A 与圆 O 的位置
关系为( ).
A.点 A 在圆上 B.点 A 在圆内
C.点 A 在圆外 D.无法确定
—思路点拨—
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.
自主解答：B
已知⊙A的半径为5，圆心A的坐标为(1,0)，点P的坐标为(－2,4)，则点P与⊙A的位置关系是( A ).
A.点 P 在⊙A上 B.点P在⊙A内
C.点 P 在⊙A外 D.点P在⊙A上
或⊙A外
解析：PA＝ (1＋2)2＋42＝5.
∵⊙A的半径为 5，
∴点 P与圆心的距离等于圆的半径，
∴点 P在⊙A上.故选 A.
二、直线与圆的位置关系(设 r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)
位置关系 相离 相切 相交
公共点个数 0 1 2
公共点的名称 无 切点 交点
数量关系 d>r d＝r dr，圆心距为 d)
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
公共点 0 1 2 1 0
个数
R，r与 d
的关系
d>R
＋r
d＝R
＋r
R－r<
d
k
x
的解集.
解：(1)∵y＝3x＋m 由 y＝3x＋1 向下平移 1个单位长度而得，
∴m＝0.
∵A 点的纵坐标为 3，且在 y＝3x 上，
∴A(1,3).
∵点 A在 y＝
k
x
上，∴k＝3.
(2)由图象得－11，如下图所示.
17.(2016·绍兴)如图 2.1－12①，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在
河的南岸边点 A处，测得河的北岸边点 B在其北偏东 45°方向，然后向西走 60 m 到达点 C，测得
点 B在点 C的北偏东 60°方向，如图 2.1－12②.
(1)求∠CBA 的度数；
(2)求出这段河的宽.(结果精确到 1 m，备用数据 2≈1.41， 3≈1.73)
,图 2.1－12
解：(1)由题意得，∠BAD＝45°，∠BCA＝30°，
∴∠CBA＝∠BAD－∠BCA＝15°.
(2)如图，作 BD⊥CA 交 CA 的延长线于点 D，设 BD＝x m.
∵∠BCA＝30°，
∴CD＝
BD
tan 30°
＝3x.
∵∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝x，则 3x－x＝60，
解得 x＝
60
3－1
≈82.
答：这段河的宽约为 82 m.
18.(2017·德州)随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽.小明家附近广场中央新
修了个圆形喷水池，如图 2.1－13 在水池中心竖直安装了一根高为 2 米的水管，它喷出的抛物线
形水柱在与池中心的水平距离为 1米处达到最高，水柱落地处离池中心 3米.
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
(2)求出水柱的最大高度是多少？
图 2.1－13
解：(1)如图所示，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为 x轴，水管所在直
线为 y轴，建立平面直角坐标系.
设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)2－h.
将(0,2)和(3,0)代入，
得
4a＋h＝0，
a＋h＝2，
解得
a＝
2
3
，
h＝
8
3
，
∴抛物线的解析式为 y＝－
2
3
(x－1)2＋
8
3
，
即 y＝－
2
3
x2
＋
4
3
x＋2(0≤x≤3).
(2)y＝－
2
3
x2
＋
4
3
x＋2
＝－
2
3
(x－1)2＋
8
3
(0≤x≤3).
当 x＝1 时，y＝
8
3
，即水柱的最大高度为
8
3
m.
专项二 阅读理解型问题
解决阅读理解型问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知
识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、
新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中的问题.
阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，应特别引起我们的重视.这类问题一般
文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，是既考查学生的阅读能
力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.
阅读理解类问题涉及代数知识、几何知识，函数与统计的解题方法及推理方法.常见类型有：(1)阅
读新知识，解决新问题；(2)阅读试题信息，总结解题思路和方法；(3)阅读试题信息，解决新问题.
阅读新知识，解决新问题
(2016·宜宾)规定：logab(a＞0，a≠1，b＞0)表示 a，b 之间的一种运算.现有如下的运
算法则：logaa
n
＝n，logNM＝
logaM
logaN
(a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0).
例如：log22
3
＝3，log25＝
log
5
10
log
2
10
，则 log1001 000＝_________.
—思路点拨—
先根据 logNM＝
logaM
logaN
(a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0)，将所求式子化成以 10 为底的对数形式，
再利用公式 logaa
n＝n进行计算.
自主解答：
3
2
1.(2017·六盘水)定义：A＝{b，c，a}，B＝{c}，A∪B＝{a，b，c}，若 M＝{－1}，N＝{0,1，－1}，
则 M∪N＝ {1,0，－1} .
解析：新定义运算：A∪B表示两个集合所有数的集合，M∪N＝{1,0，－1}(无序).
2.(2017·河北)对于实数 p，q，我们用符号 min{p，q}表示 p，q两数中较小的数，如 min{1,2}＝1，
因此 min{－ 2， －3 }＝ － 3 .；若 min{(x－1)
2
，x2
}＝1，则 x＝ 2或－1 .
解析：因为－ 3<－ 2，所以 min{－ 2，－ 3}＝－ 3.当(x－1)2>x2时，x2＝1，解得 x1＝1(舍
去)，x2＝－1；当(x－1)20)，使△ABP 为等腰三角形？若存在，求 n的值；若不存在，
说明理由.
图 2.4－9
解：(1)把 A(－1,2)代入 y＝
k2
x
，得 k2＝－2.
∴反比例函数的解析式为
y＝
－2
x
.
∵B(m，－1)在反比例函数的图象上，∴m＝2.
由题意，得
－k1＋b＝2，
2k1＋b＝－1，
解得
k1＝－1，
b＝1，
∴一次函数的解析式为 y＝－x＋1.
(2)AB＝3 2，
①当 PA＝PB 时，(n＋1)2＋4＝(n－2)2＋1，
∵n>0，∴n＝0(不符合题意，舍去)；
②当 AP＝AB 时，2
2
＋(n＋1)
2
＝(3 2)
2
，
∵n>0，∴n＝－1＋ 14；
③当 BP＝BA 时， 12＋(n－2)2＝(3 2)2，
∵n>0，∴n＝2＋ 17.
∴n＝－1＋ 14或 2＋ 17.
专项五 规律探索问题
规律探索型问题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化
的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相
吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义.
规律探索型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供
的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.其中蕴含着“特殊
——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般
过程.相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用
的结合，解题的方法也更为灵活多样，计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用
到.
由于规律探索是人们发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的
青睐，逐步成为中考的持续热点.常见类型有：(1)探索数式规律；(2)探索图形规律；(3)探索坐标
变化规律；(4)探索数量关系；(5)探索数字求和.
探索数式规律
分析题目给出的一些数字、代数式、等式或者不等式，然后探索其中蕴含的规律.一般解法是先写
出数式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间
相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式.
(2015·黔南)甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数，规定：①甲、乙、丙、
丁首次报出的数依次为 1、2、3、4，接着甲报 5，乙报 6…，后一位同学报出的数比前一位同学报
出的数大 1，按此规律，当报出的数是 50 时，报数结束；②若报出的数为 3的倍数，则该报数的同
学需拍手一次.在此过程中，甲同学需要拍手的次数为 .
—思路点拨—
根据报数规律得出甲共报数 13 次，分别为 1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45,49，即可得出报出
的数为 3的倍数的个数，即可得出答案.
自主解答：4
1.(2017·黔东南)我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约 13 世纪)
所著的《详解九章算术》一书中，用如图 2.5－1 所示的三角形解释二项和(a＋b)n的展开式的各
项系数，此三角形称为“杨辉三角”.
图 2.5－1
根据“杨辉三角”，请计算(a＋b)20的展开式中第三项的系数为( D ).
A.2 017 B.2 016
C.191 D.190
解析：找规律发现：
(a＋b)3的第三项系数为 3＝1＋2；
(a＋b)4的第三项系数为 6＝1＋2＋3；
(a＋b)5的第三项系数为 10＝1＋2＋3＋4；
不难发现(a＋b)n的第三项系数为 1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)，
∴(a＋b)20的第三项系数为 1＋2＋3＋…＋19＝190.
故选 D.
2.(2016·滨州)观察下列式子：
1×3＋1＝22；
7×9＋1＝82；
25×27＋1＝262；
79×81＋1＝80
2
；
……
可猜想第 2 016 个式子为 (3
2 016
－2)×3
2 016
＋1＝(3
2 016
－1)
2
.
解析：观察发现，第 n个等式可以表示为：
(3
n
－2)×3
n
＋1＝(3
n
－1)
2
，
当 n＝2 016 时，
(3
2 016
－2)×3
2 016
＋1＝(3
2 016
－1)
2
.
故答案为：(3
2 016
－2)×3
2 016
＋1＝(3
2 016
－1)
2
.
3.观察分析下列数据：0，－ 3， 6，－3,2 3，－ 15,3 2，…，根据数据排列的规律得到第 16
个数据应是 －3 5 .(结果需化简)
4.(2017·遵义)按一定规律排列的一列数依次为：
2
3
,1，
8
7
，
11
9
，
14
11
，
17
13
，…，按此规律，这列数中的
第 100 个数是 299,201 .
5.一组按照规律排列的式子：x、
x3
4
、
x5
9
、
x7
16
、
x9
25
、…，其中第 8个式子是
x15
64
，第 n个式子是
x2n－1
n2
.(n
为正整数)
探索图形规律
根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律.其中，以图形为载体的数
字规律最为常见.猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对
照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论.
(2015·安顺)如图 2.5－2 所示的是一组有规律的图案，第 1个图案由 4个基础图形组成，
第 2 个图案由 7 个基础图形组成，……，第 n(n 是正整数)个图案中的基础图形个数
为 .(用含 n的式子表示)
图 2.5－2
—思路点拨—
先写出前三个图案中基础图形的个数，并得出后一个图案比前一个图案多 3个基础图形，从而得
出第 n个图案中基础图形的表达式.
自主解答：3n＋1
6.(2017·临沂)将一些相同的“○”按如图 2.5－3 所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，
若第 n个图形中“○”的个数是 78，则 n的值是( B ).
图 2.5－3
A.11 B.12 C.13 D.14
解析：第 1个图形有 1个小圆；
第 2个图形有 1＋2＝3个小圆；
第 3个图形有 1＋2＋3＝6个小圆；
第 4个图形有 1＋2＋3＋4＝10 个小圆；
第 n个图形有 1＋2＋3＋…＋n＝
n(n＋1)
2
个小圆；
∵第 n个图形中“○”的个数是 78，
∴78＝
n(n＋1)
2
，
解得 n1＝12，n2＝－13(不合题意，舍去).
故选 B.7.(2016·安顺)观察下列砌钢管的横截面图 2.5－4，
则第 n个图的钢管数是
3
2
n2＋
3
2
n(n≥1) .(用含 n的式子表示)
图 2.5－4
解析：第一个图中钢管数为 1＋2＝3；
第二个图中钢管数为 2＋3＋4＝9；
第三个图中钢管数为 3＋4＋5＋6＝18；
第四个图中钢管数为 4＋5＋6＋7＋8＝30，
依此类推，第 n个图中钢管数为 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n＝(2n＋n)×
n
2
＋
2n＋n
2
＝
3
2
n2＋
3
2
n.
故答案为：
3
2
n2
＋
3
2
n(n≥1).
8.(2017·连云港)如图 2.5－5 所示，一动点从半径为 2的⊙O上的 A0点出发，沿着射线 A0O 方向运
动到⊙O 上的点 A1处，再向左沿着与射线 A1O 夹角为 60°的方向运动到⊙O 上的点 A2处；接着又
从 A2点出发，沿着射线 A2O 方向运动到⊙O 上的点 A3处，再向左沿着与射线 A2O 夹角为 60°的方
向运动到⊙O上的点 A4处；…按此规律运动到点 A2 017处，则点 A2 017与点 A0间的距离是( A ).
图 2.5－5
A.4 B.2 3 C.2 D.0
9.(2017·德州)如图 2.5－6，观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，
构成 4 个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图①)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上
做法，…将这种做法继续下去(如图②，图③…)，则图⑥中挖去三角形的个数为( C ).
图 2.5－6
A.121 B.362 C.364 D.729
解析：图①挖去中间的 1个小三角形，
图②挖去中间的(1＋3)个小三角形，
图③挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，
…
则图⑥挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图⑥挖去中间的 364 个小三角形.
故选 C.
探索坐标变化规律
(2016·德州)如图 2.5－7，在平面直角坐标系中，函数 y＝2x 和 y＝－x的图象分别为直
线 l1，l2，过点(1,0)作 x 轴的垂线交 l1于点 A1，过点 A1作 y 轴的垂线交 l2于点 A2，过点 A2作 x轴
的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2 017的坐标为 .
图 2.5－7
—思路点拨—
写出部分点 An的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A2n＋1[(－2)
n,
2×(－2)
n
](n 为自然数)”，
依此规律即可得出结论.
自主解答：(21 008,21 009)
10.(2017·黔东南)把多块大小不同的 30°直角三角板按如图 2.5－8 所示摆放在平面直角坐标系
中，第一块三角板 AOB 的一条直角边与 y轴重合且点 A 的坐标为(0,1)，∠ABO＝30°；第二块三
角板的斜边 BB1与第一块三角板的斜边 AB 垂直且交 y轴于点 B1；第三块三角板的斜边 B1B2与第二
块三角板的斜边 BB1垂直且交 x轴于点 B2；第四块三角板的斜边 B2B3与第三块三角板的斜边 B1B2垂
直且交 y轴于点 B3；…按此规律继续下去，则点 B2 017的坐标为 (0，－3
1 009
) .
解析：由题意可得，
OB＝OA·tan 60°＝1× 3＝ 3，
OB1＝OB·tan 60°＝ 3· 3＝( 3)2＝3，
OB2＝OB1·tan 60°＝( 3)
3
，
…
∵2 017÷4＝506……1，
∴点 B2 017的坐标为(0，－3
1 009
).
故答案为：(0，－3
1 009
).
,图 2.5－8
11.(2015·甘孜)如图 2.5－9 所示，已知正方形 A1A2A3A4、A5A6A7A8、A9A10A11A12、…(每个正方形从第
三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为 A1、A2、A3、A4；A5、A6、A7、A8；A9、A10、A11、
A12；…)的中心均在坐标原点 O，各边均与 x轴或 y轴平行，若它们的边长依次是 2、4、6…，则
顶点 A20的坐标为 (5，－5) .
图 2.5－9
12.(2017·安顺)如图 2.5－10，在平面直角坐标系中，直线 l∶y＝x＋2 交 x 轴于点 A，交 y 轴于
点 A1，点 A2，A3，…在直线 l上，点 B1，B2，B3，…在 x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，
依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在 x轴上，则第 n个等腰直角三角形 AnBn－1Bn的顶点 Bn的横
坐标为 2n＋1－2 .
图 2.5－10
解析：由题意，得 OA＝OA1＝2，
∴OB1＝OA1＝2，
B1B2＝B1A2＝4，B2A3＝B2B3＝8，
∴B1(2,0)，B2(6,0)，B3(14,0)，…，
2＝22－2,6＝23－2,14＝24－2，…
∴Bn的横坐标为 2n＋1－2.
故答案为：2n＋1－2.
13.(2017·东营)如图 2.5－11，在平面直角坐标系中，直线 l：y＝
3
3
x－
3
3
与 x 轴交于点 B1， 以
OB1为边长作等边三角形 A1OB1，过点 A1作 A1B2平行于 x 轴，交直线 l 于点 B2，以 A1B2为边长作等
边三角形 A2A1B2，过点 A2作 A2B3平行于 x轴，交直线 l于点 B3，以 A2B3为边长作等边三角形 A3A2B3，…，
则点 A2 017的横坐标是 22 017－1,2 .
图 2.5－11
解析：由直线 l：y＝
3
3
x－
3
3
与 x 轴交于点 B1，可得 B1(1， 0)，D
－
3
3
，0
，
∴OB1＝1，∠OB1D＝30°.如图所示，过 A1作 A1A⊥OB1于 A，则 OA＝
1
2
OB1＝1,2，即 A1的横坐标
为
1
2
＝
21－1
2
，
由题可得∠A1B2B1＝∠OB1D＝30°，∠B2A1B1＝∠A1B1O＝60°，
∴∠A1B1B2＝90°，∴A1B2＝2A1B1＝2.
过 A2作 A2B⊥A1B2于 B，则 A1B＝
1
2
A1B2＝1，即 A2的横坐标为
1
2
＋1＝
1
2
＝
22－1
2
.
过 A3作 A3C⊥A2B3于 C，
同理可得，A2B3＝2A2B2＝4，A2C＝1,2A2B3＝2，
即 A3的横坐标为 1,2＋1＋2＝7,2＝
23－1
2
，
同理可得，A4的横坐标为 1,2＋1＋2＋4＝15,2＝
2
4
－1
2
，
由此可得，An的横坐标为
2 n－1
2
，
∴点 A2 017的横坐标是
22 017－1
2
.
故答案为：
2
2 017
－1
2
.
探索数量关系
数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式.在猜想这种问
题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照探索数式规律的方法解答.
(2017·遵义)如图 2.5－12，在边长为 22 的正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个动
点(点 P与 A、C不重合)，连接 BP，将 BP 绕点 B顺时针旋转 90°到 BQ，连接 QP，QP 与 BC 交于点
E，QP 的延长线与 AD(或 AD 的延长线)交于点 F.
图 2.5－12
(1)连接 CQ，证明：CQ＝AP；
(2)设 AP＝x，CE＝y，试写出 y关于 x的函数关系式，并求当 x为何值时，CE＝
3
8
BC；
(3)猜想 PF 与 EQ 的数量关系，并证明你的结论.
—思路点拨—
(1)证出∠ABP＝∠CBQ，由 SAS 证明△BAP≌△BCQ 可得结论；(2)如图①，证明△APB∽△CEP，
列比例式可得 y与 x的关系式，根据 CE＝3,8BC 计算 CE 的长，即 y的长，代入关系式解方程可
得 x的值；(3)如图②，作辅助线，构建全等三角形，证明△PGB≌△QEB，得 EQ＝PG，由 F、A、
G、P四点共圆，得∠FGP＝∠FAP＝45°，所以△FPG 是等腰直角三角形，可得结论.如图③，当
F在 AD 的延长线上时，同理可得结论.
自主解答：(1)证明：如图①，连接 CQ.
∵线段 BP 绕点 B顺时针旋转 90°得到线段 BQ，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠PBQ，
∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ.
在△BAP 和△BCQ 中，
∵
BA＝BC，
∠ABP＝∠CBQ，
BP＝BQ，
∴△BAP≌△BCQ(SAS)，
∴CQ＝AP.
图 2.5－13
(2)解：如图①，∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAC＝
1
2
∠BAD＝45°，∠BCA＝
1
2
∠BCD＝45°，
∴∠APB＋∠ABP＝180°－45°＝135°.
∵DC＝AD＝2 2，
由勾股定理，得 AC＝ (2 2)
2
＋(2 2)
2
＝4.
∵AP＝x，∴PC＝4－x.
∵△PBQ 是等腰直角三角形，∴∠BPQ＝45°，
∴∠APB＋∠CPQ＝180°－45°＝135°，
∴∠CPQ＝∠ABP.
∵∠BAC＝∠ACB＝45°，∴△APB∽△CEP，
∴
AP
CE
＝
AB
CP
，∴
x
y
＝2 2,4－x，
∴y＝
x(4－x)
2 2
＝－
2
4
x2＋ 2x(015 时，设 y与 x的函数关系式为 y＝ax＋b，
15a＋b＝27，
20a＋b＝39，
得
a＝2.4，
b＝－9，
即当 x>15 时，y与 x的函数关系式为 y＝2.4x－9，
由上可得，y与 x的函数关系式为
y＝
1.8x (0≤x≤15)，
2.4x－9(x>15).
(2)设二月份的用水量是 x m
3
.
当 15
查看更多
