2014挑战中考数学压轴题14因动点产生的平行四边形问题

2014挑战中考数学压轴题14因动点产生的平行四边形问题

‎1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题 如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点． ‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求tan∠ABO的值；‎ ‎（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．‎ 图1 ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．‎ 请打开超级画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，MN有4次机会等于3，这说明以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，而符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．‎ 思路点拨 ‎1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形．‎ ‎2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧．‎ 满分解答 ‎（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 ‎ 解得，c＝1．‎ 所以抛物线的解析式是．‎ ‎（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．‎ 如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．‎ 在Rt△AOH中，OA＝1，，‎ 所以． 图2‎ 所以，． ‎ 在Rt△ABH中，．‎ ‎（3）直线AB的解析式为．‎ 设点M的坐标为，点N的坐标为，‎ 那么．‎ 当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．‎ 解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．‎ 因为x＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为（如图3）．‎ 图3 图4‎ 考点伸展 第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．‎ 那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．‎ 由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得（如图5）．‎ 所以符合题意的点M有4个：，，，．‎ 图5‎ 例2 2012年福州市中考第21题 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．‎ ‎（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；‎ ‎（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；‎ ‎（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．‎ 图1 　 图2‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12福州21”，拖动左图中的点P运动，可以体验到，PQ的中点M 的运动路径是一条线段．拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．‎ 请打开超级画板文件名“12福州21”，拖动点Q向上运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．点击动画按钮的左部，Q的速度变成1.07，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．点击动画按钮的中部，Q的速度变成1.‎ 思路点拨 ‎1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．‎ ‎2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．‎ 满分解答 ‎（1）QB＝8－2t，PD＝．‎ ‎（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．‎ 过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．‎ 在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10． 图3‎ 在Rt△APE中，，所以．　‎ 当PQ//AB时，，即．解得．‎ 所以点Q的运动速度为．‎ ‎（3）以C为原点建立直角坐标系．‎ 如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．‎ 如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．‎ 直线EF的解析式是y＝－2x＋6．‎ 如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）．经验证，点M（，t）在直线EF上．‎ 所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝．‎ 图4 图5 图6‎ 考点伸展 第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：‎ 当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．‎ 设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，‎ 得 解得a＝0，b＝－2，c＝6．‎ 所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．‎ 例3 2012年烟台市中考第26题 如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．‎ ‎（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？‎ ‎（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，△ACG的面积最大．观察右图，我们构造了和△CEQ中心对称的△FQE和△ECH′，可以体验到，线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F，线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H′，因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个．‎ 请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，即t=2，△ACG的面积取得最大值1．观察CQ，EQ，EC的值，发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个．点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。‎ 思路点拨 ‎1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD．‎ ‎2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．‎ ‎3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．‎ 满分解答 ‎（1）A(1, 4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，‎ 代入点C(3, 0)，可得a＝－1．‎ 所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．‎ ‎（2）因为PE//BC，所以．因此．‎ 所以点E的横坐标为．‎ 将代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．‎ 所以点G的纵坐标为．于是得到．‎ 因此．‎ 所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．‎ ‎（3）或．‎ 考点伸展 第（3）题的解题思路是这样的：‎ 因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．‎ 再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．‎ ‎，，，．‎ 如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此．‎ 整理，得．解得，（舍去）．‎ 如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此．‎ 整理，得．．所以，（舍去）．‎ 图2 图3‎ 例4 2011年上海市中考第24题 已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MO＝MA．二次函数 y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．‎ ‎（1）求线段AM的长；‎ ‎（2）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“11上海24”，拖动点B在y轴上点A下方运动，四边形ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上．‎ 思路点拨 ‎1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．‎ ‎2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．‎ ‎3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．‎ 满分解答 ‎（1）当x＝0时，，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3．‎ 如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为．将代入，得x＝1．所以点M的坐标为．因此．‎ ‎（2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函数的解析式为．‎ ‎（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．‎ 在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．‎ 因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入，得 ‎．解得或者m＝0（舍去）．‎ 因此点C的坐标为（2，2）．‎ ‎ ‎ ‎ 图2 图3‎ 考点伸展 如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：‎ 如图4，点C的坐标为．‎ 图4 ‎ 例5 2011年江西省中考第24题 将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．‎ ‎（1）请直接写出抛物线c2的表达式；‎ ‎（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．‎ ‎①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；‎ ‎②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“11江西24”，拖动点M向左平移，可以体验到，四边形ANEM可以成为矩形，此时B、D重合在原点．观察B、D的位置关系，可以体验到，B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况．‎ 思路点拨 ‎1．把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来．‎ ‎2．B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程．‎ ‎3．根据矩形的对角线相等列方程．‎ 满分解答 ‎（1）抛物线c2的表达式为．‎ ‎（2）抛物线c1：与x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为 ‎．‎ 抛物线c2：与x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，顶点为．‎ 抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为，与x轴的两个交点为、，AB＝2．‎ 抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为，与x轴的两个交点为、．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．‎ ‎①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：‎ 情形一，如图2，B在D的左侧，此时，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．‎ 情形二，如图3，B在D的右侧，此时，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．‎ 图2 图3 图4‎ ‎②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如图4）．‎ 考点伸展 第（2）题②，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：‎ 在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB边上的高为，所以△ABM是等边三角形．‎ 同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合．‎ 因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．‎ 例6 2010年山西省中考第26题 在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；‎ ‎（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“10山西26”，拖动点M可以在直线DE上运动．分别双击按钮“DO、DM为邻边”、“ DO、DN为邻边”和“DO为对角线”可以准确显示菱形．‎ 思路点拨 ‎1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．‎ ‎2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边．‎ 满分解答 ‎(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．‎ 在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．‎ ‎(2) 因为OE＝2EB，所以，，E(2,4)．‎ 设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得 解得，．所以直线DE的解析式为．‎ ‎(3) 由，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝．‎ ‎①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,)，点N的坐标为(－5,)．‎ ‎②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．‎ ‎③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．‎ 由△NPO∽△DOF，得，即．解得，．此时点N的坐标为．‎ ‎ ‎ 图3 图4 ‎ 考点伸展 如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．‎ ‎ ‎ 图5 图6‎ 例7 2009年江西省中考第24题 如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．‎ ‎（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；‎ ‎（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．‎ ‎①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？‎ ‎②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．‎ 图1‎ 动感体验 ‎ 请打开几何画板文件名“09江西24”，拖动点P在BC上运动，可以体验到，四边形PEDF可以成为平行四边形．观察△BCF的形状和S随m变化的图象，可以体验到，S是m 的二次函数，当P是BC的中点时，S取得最大值．‎ 思路点拨 ‎1．数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．‎ ‎2．当四边形PEDF为平行四边形时，根据DE=FP列关于m的方程．‎ ‎3．把△BCF分割为两个共底FP的三角形，高的和等于OB．‎ 满分解答 ‎（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是x＝1．‎ ‎（2）①直线BC的解析式为y＝－x＋3．‎ 把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以点E的坐标为（1，2）．‎ 把x＝1代入，得y＝4．所以点D的坐标为（1，4）．‎ 因此DE=2．‎ 因为PF//DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为，点F的坐标为，因此．‎ 当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP．于是得到．解得，（与点E重合，舍去）．‎ 因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时．‎ ‎②设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3．因此 ‎．‎ m的变化范围是0≤m≤3．‎ ‎ ‎ 图2 图3‎ 考点伸展 在本题条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由．‎ 如图4，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此．‎ 于是．解得（与点CE重合，舍去），（与点E重合，舍去）．‎ 因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形．‎ 图4‎