中考总复习图形的变换知识讲解提高

中考总复习图形的变换知识讲解提高

中考总复习：图形的变换--知识讲解 ‎【知识网络】‎ ‎【考点梳理】‎ 考点一、平移变换 ‎1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．‎ ‎【要点诠释】‎ ‎（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；‎ ‎（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；‎ ‎（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．‎ ‎2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．‎ ‎【要点诠释】‎ ‎（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；‎ ‎（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．‎ 考点二、轴对称变换 ‎1．轴对称与轴对称图形 　轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 　轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形. 2．轴对称变换的性质 　　①关于直线对称的两个图形是全等图形. 　　②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线. 　　③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. 　　④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 3．轴对称作图步骤 　　①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点． 　　②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. ‎ ‎４．翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分.‎ ‎【要点诠释】翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理.‎ 考点三、旋转变换 1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角. ２．旋转变换的性质 　　图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化. ３．旋转作图步骤 　　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点.‎ ‎【要点诠释】‎ ‎１．图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合； ④对图案进行修饰，完成图案.‎ ‎2．平移、旋转和轴对称之间的联系 　　一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2倍.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、平移变换 ‎1. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′． （1）证明△A′AD′≌△CC′B； （2）若∠ACB=30°，试问当点C′在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由． ‎ ‎．‎ ‎2．操作与探究： ‎ ‎（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是-3，则点A′表示的数是________；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是_____；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是__________． （2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标． ‎ 举一反三： ‎ ‎【变式】如图，若将边长为的两个互相重合的正方形纸片沿对角线翻折成等腰直角三角形后，再抽出一个等腰直角三角形沿移动，若重叠部分的面积是，则移动的距离等于 .‎ 类型二、轴对称变换 ‎ ‎3．已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.‎ ‎(1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)，，求DE的长；‎ ‎ ‎ 举一反三：‎ ‎【变式】如图所示，有一块面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别为AD、BC的边上中点，将C点折至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ． （1）求MP的长； （2）求证：以PQ为边长的正方形的面积等于.‎ ‎ ‎ 类型三、旋转变换 ‎5．把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q． （1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时AP•CQ的值为__________．将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，则AP•CQ的值是否会改变？（填“会”或“不会”）此时AP•CQ的值为__________．（不必说明理由） （2）在（1）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2、图3供解题用） ‎ ‎6 . 如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．‎ ‎ 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即和 ‎，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于 扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．‎ ‎ 小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，‎ 然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动 到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，……，‎ 按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题：‎ ‎ 问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运 动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OA BC按上述方法经过5次旋转，求顶 点O经过的路程；‎ ‎ 问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过16次旋转，顶点O经过的路程是_______________?‎ ‎ 请你解答上述两个问题．‎ ‎ ‎ ‎1．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC ‎(7题图)‎ 重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )‎ A.3 B.4 ‎ C.5 D.6‎ ‎2.如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，‎ ‎(14题图)‎ AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且经 过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部份的面 积是 ‎ ‎7题图 ‎3．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB = AD，CD，点E，F分别为AB，AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积比为（ ）‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ O x y D C B A F E ‎1‎ ‎1‎ ‎4．如图，在平面直角坐标系中，将绕点P旋转180°得到，则点P的坐标为 .‎ ‎.‎ A B C D E F ‎13题图 ‎5.如图，将面积为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED面积为科____________.‎