中考数学总复习资料

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‎ ‎ ‎2014年中考数学总复习资料 ‎ 代数部分 ‎ 第一章：实数 ‎ 基础知识点： ‎ 一、实数的分类： ‎ ïïïï ïî ïï ïïïíìþýüîíìïï ïþïïïýüïïïîïïïíìîíìïîï íì无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成q p 的形式，其中p、q是互质的整数，这是有理数 的重要特征。 ‎ ‎2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001„„；特定意义的数，如π、45sin°等。 ‎ ‎3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 ‎ ‎1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ‎ ‎（1）实数a的相反数是 -a； （2）a和b互为相反数Ûa+b=0 2、倒数： ‎ ‎（1）实数a（a≠0）的倒数是 a ‎1；（2）a和b 互为倒数Û1=ab；（3）注意0没有倒数 3、绝对值： ‎ ‎（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ‎ ïî ïíì-==0‎ ‎,0,‎ ‎00,pfaaaaaa ‎ ‎（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 ‎ ‎（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n次方根 ‎ ‎（1）平方根，算术平方根：设a≥0，称a±叫a的平方根，a叫a的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （3）立方根：3a叫实数a的立方根。 ‎ ‎（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 ‎ ‎ 2014年度细分行业报告汇集 制造行业报告 互联网行业报告 农林牧渔行业报告 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、实数与数轴 ‎ ‎1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 ‎ ‎2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。 四、实数大小的比较 ‎ ‎1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。 ‎ ‎2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。 五、实数的运算 1、加法： ‎ ‎（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加； ‎ ‎（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。 2、减法： ‎ 减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法： ‎ ‎（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。 ‎ ‎（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。 （3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 4、除法： ‎ ‎（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。 ‎ ‎（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。 5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。 ‎ ‎6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。 六、有效数字和科学记数法 ‎ ‎1、科学记数法：设N＞0，则N= a×n ‎10（其中1≤a＜10，n为整数）。 ‎ ‎2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：（1）精确到那一位；（2）保留几个有效数字。 例题： ‎ 例1、已知实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且baf。 化简：abbaa--+- ‎ 分析：从数轴上a、b两点的位置可以看到：a＜0，b＞0且baf 所以可得：解：aabbaa=+-++-=原式 ‎ 例2、若333‎ ‎)4‎ ‎3‎ ‎(,)43(,‎ ‎)4‎ ‎3(--=-=-=cba，比较a、b、c的大小。 ‎ 分析：1)34(3--=pa；01433pfbb且-÷ø ö çèæ-=；c＞0；所以容易 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎    （2）二次根式的乘法：abba=×（a≥0，b≥0）。 ‎ ‎    （3）二次根式的除法：‎ ‎)0,0(³³= bab a b a     二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。 例题： ‎ 一、因式分解： ‎ ‎    1、提公因式法： ‎ 例1、)(6)(242‎ ‎2‎ xybyxa-+- ‎ 分析：先提公因式，后用平方差公式解：略 ‎ ‎[规律总结]因式分解本着先提取，后公式等，但应把第一个因式都分解到不能再分解为止，往往需要对分解后的每一个因式进行最后的审查，如果还能分解，应继续分解。 ‎ ‎2、十字相乘法： ‎ 例2、（1）3652‎ ‎4‎ --xx；（2）12)(4)(2‎ -+-+yxyx ‎ 分析：可看成是2‎ x和(x+y)的二次三项式，先用十字相乘法，初步分解。解：略 ‎ ‎[规律总结]应用十字相乘法时，注意某一项可是单项的一字母，也可是某个多项式或整式，有时还需要连续用十字相乘法。 ‎ ‎3、分组分解法： 例3、222‎ ‎3‎ --+xxx ‎ 分析：先分组，第一项和第二项一组，第三、第四项一组，后提取，再公式。解：略 ‎ ‎[规律总结]对多项式适当分组转化成基本方法因式分组，分组的目的是为了用提公因式，十字相乘法或公式法解题。 ‎ ‎4、求根公式法： 例4、552++xx解：略 二、式的运算 ‎ 巧用公式     例5、计算：2‎ ‎2)11()11(b aba-+--- ‎ 分析：运用平方差公式因式分解，使分式运算简单化。解：略 ‎ ‎[规律总结]抓住三个乘法公式的特征，灵活运用，特别要掌握公式的几种变形，公式的逆用，掌握运用公式的技巧，使运算简便准确。 ‎ ‎2、化简求值： ‎ 例6、先化简，再求值：)74()53(52‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ xyyxxx+++-，其中x= – 1 y =21-  [规律总结]一定要先化到最简再代入求值，注意去括号的法则。 3、分式的计算： ‎ 例7、化简 ‎)33‎ ‎16‎ ‎(625---¸--aaaa ‎ 分析：– 3-a可看成 3‎ ‎9‎ ‎2---aa解：略 ‎ ‎[规律总结]分式计算过程中：（1）除法转化为乘法时，要倒转分子、分母；（2）注意负号 ‎ ‎4、根式计算 ‎ 例8、已知最简二次根式12+b和b-7是同类二次根式，求b的值。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 分析：根据同类二次根式定义可得：2b+1=7–b。解：略 ‎ ‎[规律总结]二次根式的性质和运算是中考必考内容，特别是二次根式的化简、求值及性质的运用是中考的主要考查内容。 ‎ 代数部分 ‎ 第三章：方程和方程组 ‎ 基础知识点： ‎ 一、方程有关概念 ‎ ‎    1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 ‎ ‎    2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 ‎ ‎    3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 ‎ ‎    4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。     二、一元方程     1、一元一次方程 ‎ ‎    （1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）     （2）一玩一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0） ‎ ‎    （3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。     （4）一元一次方程有唯一的一个解。     2、一元二次方程 ‎ ‎    （1）一元二次方程的一般形式：02‎ =++cbxax（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0） ‎ ‎    （2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 ‎ ‎    （3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。     （4）一元二次方程的根的判别式：acb42‎ -=D      当Δ＞0时Û方程有两个不相等的实数根；     当Δ=0时Û方程有两个相等的实数根；     当Δ< 0时Û方程没有实数根，无解；     当Δ≥0时Û方程有两个实数根 ‎ ‎    （5）一元二次方程根与系数的关系： ‎ ‎    若21,xx是一元二次方程02‎ =++cbxax的两个根，那么：a bxx- =+21，a cxx= ×21     （6）以两个数21,xx为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：‎ ‎0)(21212=++-xxxxxx  ‎ ‎    三、分式方程 ‎ ‎    （1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。     （2）分式方程的解法： ‎ ‎    一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。     特殊方法：换元法。 ‎ ‎    （3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎    四、方程组 ‎ ‎    1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。 ‎ ‎    2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组     3、一次方程组： ‎ ‎    （1）二元一次方程组： ‎ ‎    一般形式：îíì=+=+222‎ ‎1‎ ‎11cybxacybxa（212121,,,,,ccbbaa不全为0） ‎ ‎    解法：代入消远法和加减消元法 ‎ ‎    解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。     ‎ ‎（2）三元一次方程组： ‎ ‎     解法：代入消元法和加减消元法     4、二元二次方程组： ‎ ‎    （1）定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组。 ‎ ‎    （2）解法：消元，转化为解一元二次方程，或者降次，转化为二元一次方程组。 考点与命题趋向分析 例题： ‎ ‎    一、一元二次方程的解法     例1、解下列方程：     （1）‎ ‎2)3(2‎ ‎12=+x；‎ ‎（2）1322‎ =+xx；（3）22)2(25)3(4-=+xx 分析：（1）用直接开方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法 解：略 ‎ ‎[规律总结]如果一元二次方程形如)0()(2‎ ³=+nnmx，就可以用直接开方法来解；利用公式法可以解任何一个有解的一元二次方程，运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式。 例2、解下列方程： ‎ ‎（1）)(0)23(2‎ 为未知数xbaxax=+--；（2）0822‎ ‎2=-+aaxx 分析：（1）先化为一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。  [规律总结]对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，在用公式法时要注意判断△的正负。 ‎ 二、分式方程的解法： 例3、解下列方程： ‎ ‎（2）1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎122-+=-xx；（2）526222=+++xxxx 分析：（1）用去分母的方法；（2）用换元法 解：略 ‎ ‎[规律总结]一般的分式方程用去分母法来解，一些具有特殊关系如：有平方关系，倒数关系等的分式方程，可采用换元法来解。 三、根的判别式及根与系数的关系 ‎ 例4、已知关于x的方程：032)1(2‎ =+++-ppxxp有两个相等的实数根，求p的值。 分析：由题意可得D=0，把各系数代入D=0中就可求出p，但要先化为一般形式。  [规律总结]对于根的判别式的三种情况要很熟练，还有要特别留意二次项系数不能为0 例5、已知a、b是方程0122‎ =--xx的两个根，求下列各式的值：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎    （3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题     2、行程问题 ‎ ‎    （1）基本量之间的关系：路程=速度×时间     （2）常见等量关系： ‎ ‎    相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程     追及问题（设甲速度快）： ‎ ‎    同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程     同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程     3、水中航行问题： ‎ 顺流速度=船在静水中的速度+水流速度； 逆流速度=船在静水中的速度–水流速度 4、增长率问题： ‎ 常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）； 5、数字问题： ‎ 基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100 三、列方程解应用题的常用方法 ‎ ‎1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。 ‎ ‎2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。 ‎ ‎3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。 4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。 例题： ‎ ‎    例1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作5天后，甲组另有任务，由乙组再单独工作1天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天？ ‎ 分析：设工作总量为1，设甲组单独完成工程需要x天，则乙组完成工程需要(x+2)天，等量关系是甲组5天的工作量+乙组6天的工作量=工作总量 解：略 ‎ 例2、某部队奉命派甲连跑步前往90千米外的A地，1小时45分后，因任务需要，又增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快28千米，恰好在全程的 ‎3‎ ‎1‎ 处追上甲连。求乙连的行进速度及追上甲连的时间 ‎ 分析：设乙连的速度为v千米/小时，追上甲连的时间为t小时，则甲连的速度为（v–28）千米/小时，这时乙连行了)4‎ ‎7(+t小时，其等量关系为：甲走的路程=乙走的路程=30 例3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60台支援抗洪，由于改进了操作技术；每天生产的台数比原计划多50%，结果提前2天完成任务，求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台？ ‎ 分析：设原计划每天生产通讯设备x台，则改进操作技术后每天生产x（1+0.5）台，等量关系为：原计划所用时间–改进技术后所用时间=2天  解：略 ‎ 例4、某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后经加强管理，又使月销售额上升，到四月份销售额增加到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 分析：设三、四月份平均每月增长率为x%，二月份的销售额为60（1–10%）万元，三月份的销售额为二月份的（1+x）倍，四月份的销售额又是三月份的（1+x）倍，所以四月份的销售额为二月份的（1+x）2倍，等量关系为：四月份销售额为=96万元。解：略 ‎ 例5、一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息税，例如存入一年期100元，到期储户纳税后所得到利息的计算公式为： ‎ 税后利息=%)201%(25.2100%20%25.2100%25.2100-´=´´-´ ‎ 已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是450元，问该储户存入了多少本金？ ‎ ‎    分析：设存入x元本金，则一年期定期储蓄到期纳税后利息为2.25%(1-20%)x元，方程容易得出。     例6、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降低成本措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ ‎ ‎    分析：设每件衬衫应该降价x元，则每件衬衫的利润为（40-x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，由关系式： ‎ 总利润=每件的利润×售出商品的叫量，可列出方程   解：略 ‎ 代数部分 ‎ 第五章：不等式及不等式组 ‎ 知识点： ‎ 一、不等式与不等式的性质 ‎ ‎    1、不等式：表示不等关系的式子。（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。     2、不等式的性质： ‎ ‎    （l）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a＞ b， c为实数Þa＋c＞b＋c ‎ ‎（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a＞b， c＞0Þac＞bc。 ‎ ‎（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a＞b，c＜0Þac＜bc. ‎ ‎    注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。 ‎ ‎    3、任意两个实数a，b的大小关系（三种）： ‎ ‎（1）a – b ＞0Û a＞b     （2）a – b=0Ûa=b     （3）a–b＜0Ûa＜b     4、（1）a＞b＞0Û ba> ‎ ‎    （2）a＞b＞0Û2‎ ‎2ba< ‎ ‎    二、不等式（组）的解、解集、解不等式 ‎ ‎    1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。     不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。 ‎ ‎    不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。     2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）。     三、不等式（组）的类型及解法 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎    1、一元一次不等式： ‎ ‎    （l）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。 ‎ ‎    （2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。     2、一元一次不等式组： ‎ ‎    （l）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 ‎ ‎    （2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。     注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。 例题： ‎ 方法1：利用不等式的基本性质     1、判断正误： ‎ ‎    （1）若a＞b，c为实数，则2‎ ac＞2‎ bc；     （2）若2ac＞2‎ bc，则a＞b ‎ ‎    分析：在（l）中，若c=0，则2‎ ac=2‎ bc； 在（2）中，因为”＞”，所以。C≠0，否则应有2‎ ac=2‎ bc      故a＞b   解：略 ‎ ‎    ［规律总结］将不等式正确变形的关键是牢记不等式的三条基本性质，不等式的两边都乘以或除以含有字母的式子时，要对字母进行讨论。       方法2：特殊值法 ‎ ‎     例2、若a＜b＜0，那么下列各式成立的是（    ）       A、‎ ba11<    B、ab＜0    C、1ba ‎ ‎    分析：使用直接解法解答常常费时间，又因为答案在一般情况下成立，当然特殊情况也成立，因此采用特殊值法。 ‎ ‎    解：根据a＜b＜0的条件，可取a= –2，b= –l，代入检验，易知 ‎1>b a ‎，所以选D     [规律总结］此种方法常用于解选择题，学生知识有限，不能直接解答时使用特殊值法，既快，又能找到符合条件的答案。       方法3：类比法 ‎ ‎    例3、解下列一元一次不等式，并把解集在数轴上表示出来。     （1）8–2（x＋2）＜4x–2；（2）3‎ ‎1‎ ‎2211-- ³-- xx     分析：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，主要步骤有去分母，去括号、‎ 移项、合并同类项，把系数化成1，需要注意的是，不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向。解：略 ‎ ‎    [规律总结］解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似，但要注意当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变，类比法解题，使学生容易理解新知识和掌握新知识。     方法4：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例题： ‎ ‎    例1、正比例函数图象与反比例函数图象都经过点P（m，4），已知点P到x轴的距离是到 y轴的距离2倍. ‎ ‎    ⑴求点P的坐标.； ‎ ‎    ⑵求正比例函数、反比例函数的解析式。 ‎ ‎    分析：由点P到x轴的距离是到y轴的距离2倍可知：2|m|=4，易求出点P的坐标，再利用待定系数法可求出这正、反比例函数的解析式。解：略 ‎ ‎    例2、已知a，b是常数，且y+b与x+a成正比例.求证：y是x的一次函数. 分析：应写出y+b与x+a成正比例的表达式，然后判断所得结果是否符合一次函数定义. 证明：由已知，有y+b=k(x+a)，其中k≠0. 整理，得y=kx+(ka－b).   ① ‎ 因为k≠0且ka－b是常数，故y=kx+(ka－b)是x的一次函数式.    例3、填空：如果直线方程ax+by+c=0中，a＜0，b＜0且bc＜0，则此直线经过第________象限. ‎ 分析：先把ax+by+c=0化为bcxba--.因为a＜0，b＜0，所以0,0á-ñb a ba，又bc＜0，即bc＜0，故－bc＞0.相当于在一次函数y=kx+l中，k=－ba＜0，l=－b c ‎＞0，此直线与y轴的交点(0，－b c ‎)在x轴上方.且此直线的向上方向与x轴正方向所成角是钝角，所以此 直线过第一、二、四象限. ‎ ‎    例4、把反比例函数y=‎ x k与二次函数y=kx2‎ ‎(k≠0)画在同一个坐标系里，正确的是(   ). 答：选(D).这两个函数式中的k的正、负号应相同(图13－110). ‎ ‎ ‎ ‎ 例5、画出二次函数y=x2‎ ‎-6x+7的图象，根据图象回答下列问题： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1）当x=-1，1，3时y的值是多少？ （2）当y=2时，对应的x值是多少？ ‎ ‎（3）当x＞3时，随x值的增大y的值怎样变化？ （4）当x的值由3增加1时，对应的y值增加多少？ ‎ 分析：要画出这个二次函数的图象，首先用配方法把y=x2-6x+7变形为y=（x-3）2‎ ‎-2，确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后列表、描点、画图．解：图象略． ‎ ‎ 例6、拖拉机开始工作时，油箱有油45升，如果每小时耗油6升． （1）求油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式； （2）画出函数的图象． 答：（1）Q=45-6t． ‎ ‎（2）图象略．注意：这是实际问题，图象只能由自变量t的取值范围0≤t≤7.5决定是一条线段，而不是直线． ‎ 代数部分 ‎ 第七章：统计初步 ‎ 知识点： ‎ 一、总体和样本： ‎ ‎    在统计时，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一考察对象叫做个体。从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。     二、反映数据集中趋势的特征数     1、平均数 ‎ ‎    （1）nxxxx,,,,321L的平均数，)(1‎ ‎21nxxxn x+++= L      （2）加权平均数：如果n个数据中，1x出现1f次，2x出现2f次，„„，kx出现kf次 ‎（这里nfffk=+++L21），则)(1‎ ‎2211kkfxfxfxn x+++=L ‎ ‎    （3）平均数的简化计算： ‎ ‎    当一组数据nxxxx,,,,321L中各数据的数值较大，并且都与常数a接近时，设 axaxaxaxn----,,,,321L的平均数为'x则：axx+='。 ‎ ‎    2、中位数：将一组数据接从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数。 ‎ ‎    3、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。一组数据的众数可能不止一个。 ‎ ‎    三、反映数据波动大小的特征数：     1、方差： ‎ ‎    （l）nxxxx,,,,321L的方差， n xxxxxxSn2‎ ‎22212‎ ‎)()()(-++-+-=L ‎ ‎   （2）简化计算公式：22‎ ‎22212xn xxxSn -+++= L（nxxxx,,,,321L为较小的整数时用这个公式要比较方便） ‎ ‎    （3）记nxxxx,,,,321L的方差为2‎ S，设a为常数，axaxaxaxn----,,,,321L的 方差为2`S，则2S=2‎ ‎`S。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎    注：当nxxxx,,,,321L各数据较大而常数a较接近时，用该法计算方差较简便。     2、标准差：方差（2‎ S）的算术平方根叫做标准差（S）。     注：通常由方差求标准差。     四、频率分布     1、有关概念     （1）分组：将一组数据按照统一的标准分成若干组称为分组，当数据在100个以内时，通常分成5－12组。 ‎ ‎    （2）频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数。各个小组的频数之和等于数据总数n。 ‎ ‎    （3）频率：每个小组的频数与数据总数n的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和为l。 ‎ ‎    （4）频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫做频率分布表。 ‎ ‎    （5）频率分布直方图：将频率分布表中的结果，绘制成的，以数据的各分点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图。     图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。     每个小长方形的面积等于该组的频率。 ‎ ‎    所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于1。 ‎ ‎    样本的频率分布反映样本中各数据的个数分别占样本容量n的比例的大小，总体分布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小，一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布。 ‎ ‎    2、研究频率分布的方法；得到一数据的频率分布和方法，通常是先整理数据，后画出频率分布直方图，其步骤是： ‎ ‎    （1）计算最大值与最小值的差；（2）决定组距与组数；（3）决定分点；（4）列领率分布表；（5）绘频率分布直方图。 例题： ‎ ‎    例1、某养鱼户搞池塘养鱼，放养鳝鱼苗20000尾，其成活率为70％，随意捞出10尾鱼，称得每尾的重量如下（单位：千克）0．8、0．9、1．2、1．3、0．8、1．l、1．0、1．2、0．8、0．9 ‎ ‎    根据样本平均数估计这塘鱼的总产量是多少千克？ ‎ ‎    分析：先算出样本的平均数，以样本平均数乘以20000，再乘以70%。解：略 ‎ ‎    ［规律总结］求平均数有三种方法，即当所给数据比较分散时，一般用平均数的概念来求；著所给数据较大且都在某一数a上下波动时，通常采用简化公式；若所给教据重复出现时，通常采用加权平均数公式来计算。 ‎ ‎    例2、一次科技知识竞赛，两次学生成绩统计如下 ‎ ‎ ‎ ‎    已经算得两个组的人均分都是80分，请根据你所学过的统计知识进一步判断这两个组成绩谁优谁次，并说明理由   解：（l）甲组成绩的众数90分，乙组成绩的众数为70分，从众数比较看，甲组成绩好些。       （2）算得2‎ 甲S=172，256数形结合法得出：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎    三角形ïî ï íìîíì等边三角形 三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形不等边三角形三角形 ‎ ‎    用集合表示，见图2－4 ‎ ‎     ‎ ‎    推论三角形两边的差小于第三边。 ‎ ‎    不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。 ‎ ‎    例如三条线段长分别为5，6，1人因为5＋6＜12，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。 ‎ ‎    三、三角形的内角和 ‎ ‎    定理三角形三个内角的和等于180° ‎ ‎    由定理可知，三角形的二个角已知，那么第三角可以由定理求得。 ‎ ‎    如已知△ABC的两个角为∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C＝180°–90°–40°＝50°     由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。     推论1：直角三角形的两个锐角互余。     三角形按角分类： ‎ ‎    ï î ï íìîíì钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形 ‎ ‎    用集合表示，见图 ‎ ‎     ‎ ‎    三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。     推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。     推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。     例如图2—6中     ∠1 ＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8； ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎    ∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。     四、全等三角形 ‎ ‎    能够完全重合的两个图形叫全等形。 ‎ ‎    两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 ‎ ‎    全等用符号“≌”表示 ‎ ‎    △ABC≌△A `B`C`表示 A和 A`，  B和B`，  C和C`是对应点。     全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 ‎ ‎     ‎ ‎    如图2—7，△ABC≌△A `B`C`，则有A、B、C的对应点A`、B`、C`；AB、BC、CA的对应边是A`B`、B`C`、C`A`。 ‎ ‎    ∠A，∠B，∠C的对应角是∠A`、∠B`、∠C`。 ‎ ‎    ∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠ B＝∠B`，∠C＝∠C`     五、全等三角形的判定 ‎ ‎    1、边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成―边角边‖或―SAS‖） ‎ ‎     注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。 ‎ ‎    2、角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成―角边角―或―ASA‖） ‎ ‎    3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成―角角边’域―AAS‖） ‎ ‎    4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成―边边边‖或―SSS‖）     由边边边公理可知，三角形的重要性质：三角形的稳定性。 ‎ ‎    除了上面的判定定理外，―边边角‖或―角角角‖都不能保证两个三角形全等。 ‎ ‎    5、直角三角形全等的判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成―斜边，直角边‖或―HL‖）     六、角的平分线 ‎ ‎    定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。     定理2、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 ‎ ‎    由定理1、2可知：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ‎ ‎    可以证明三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点（交于一点） ‎ ‎    在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互为逆命题，如果把其中的一个做原命题，那么另一个叫它的逆命题。 ‎ ‎    如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理，其中一个叫另一个的逆定 理。 ‎ ‎    例如：―两直线平行，同位角相等‖和“同位角相等，两直线平行‖是互逆定理。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3．平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。 ‎ ‎    说明1：平行线分线段成比例定理可用形象的语言来表达。如图4—4     说明2：图4－4的三种图形中这些成比例线段的位置关系依然存在。     4、三角形一边的平行线的判定定理。如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 ‎ ‎ ‎ ‎    5、三角形一边的平行线的判定定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 ‎ ‎    6、线段的内分点：在一条线段上的一个点，将线段分成两条线段，这个点叫做这条线段的内分点。 ‎ ‎    7、线段的外分点：在一条线段的延长线上的点，有时也叫做这条线段的外分点。     说明：外分点分线段所得的两条线段，也就是这个点分别和线段的两个端点确定的线段。 ‎ 三、相似三角形 ‎ ‎    1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 ‎ ‎    说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。 ‎ ‎    2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。 ‎ ‎    3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ‎ ‎    说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。     4、三角形相似的判定定理： ‎ ‎    （1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 ‎ ‎    （2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 ‎ ‎    ‎ ‎（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。 ‎ ‎    （4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 ‎ ‎    说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。 ‎ ‎    第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。     第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。     第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎    第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 ‎ ‎    第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。     5、相似三角形的性质： ‎ ‎    （1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 ‎ ‎    （2）相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比。 ‎ ‎    说明：以上两个性质简单记为：相似三角形对应线段的比等于相似比。     （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 ‎ ‎    说明：两个三角形相似，根据定义可知它们具有对应角相等、对应边成比例这个性质。     6、介绍有特点的两个三角形 ‎ ‎    （1）共边三角形指有一条公共边的两个三角形叫做共边三角形。     （2）共角三角形有一个角相等或互补的两个三角形叫做共角三角形，如图4－6 ‎ ‎ ‎ ‎    （3）公边共角有一个公共角，而且还有一条公共边的两个三角形叫做公边共角三角形。     说明：具有公边共角的两个三角形相似，则公边的平方等于叠在一条直线上的两边的乘积：如图4—7若△ACD∽△ABC，则AC2＝AD·AB 例题： ‎ ‎    例1、已知：cbbacbba-+==:‎ ‎.4‎ ‎5,32求的值. 分析：已知等比条件时常有以下几种求值方法： ‎ ‎(1)设比值为k; ‎ ‎(2)比例的基本性质； ‎ ‎(3)方程的思想，用其中一个字母表示其他字母. ‎ 解：由 ‎4532cbba==及，得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.设a=10k,b=15k,c=12k, 则(a+b):(b－c)=25:3. ‎ 例2  已知：如图5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线交于O点，过O作EF∥BC，‎ 分别交AB，DC于E，F.求证：(1)OE=OF;(2)EFBC AD211= +;(3)若MN为梯形中位线，求证AF∥MC. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 分析： ‎ ‎(1)利用比例证明两线段相等的方法. ‎ ‎①若dcda= ‎,a=c(或b=d或a=b)，则b=d(或a=c或c=d)； ②若abd a= ‎,则a=b(只适用于线段，对实数不成立)； ③若dcd a= ‎,''‎ ‎''dcda=,a=a′,b=b′,c=c′,则d=d′. (2)利用平行线证明比例式及换中间比的方法. ‎ ‎(3)证明EFBC AD211=+时，可将其转化为“cba111= +”类型后： ①化为1=+bcac直接求出各比值，或可用中间比求出各比值再相加，证明比值的和为1； ‎ ‎②直接通分或移项转化为证明四条线段成比例. ‎ ‎(4)可用分析法证明第(3)题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题. 延长BA，CD交于S，AF∥MC ‎ ‎               ‎ ‎ ‎ ‎∴ AF∥MC成立. ‎ ‎(5)用运动的观点将问题进行推广. 若直线EF平行移动后不过点O，分别交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F，如图5－126(b),O1F 与O2F是否相等?为什么? ‎ ‎(6)其它常用的推广问题的方法有：类比、从特殊到一般等 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎    ∠B＝90° ‎ ‎    则有BC是切线     OD是半径     OD⊥AC ‎ ‎    九、三角形的内切圆 ‎ ‎    要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切     ∵分角线上的点到角的两边距离相等。 ∴两条分角线的交点就是圆心。 ‎ ‎    这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。     和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。     十、切线长定理 ‎ ‎    经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。 ‎ ‎    切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，如图6－6     B、C为切点，O为圆心。     AB＝AC，∠1＝∠2     十一、弦切角 ‎ ‎    顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。 ‎ ‎    弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。 ‎ ‎    推理如果两个弦切角所央的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 ‎ 例如图6－7，AB为切线， ‎ 则有：∠C＝∠BAE，∠BAE＝∠D ∴∠C＝∠D ‎ 十二、和圆有关的比例线段 ‎ ‎    相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 ‎ ‎    推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。‎ ‎     切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 ‎ ‎    推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，如图6－8，若F为切点 ‎ ‎    则有：AF2=AH·AC，AG·AB＝AF2     EM·MD=BM·MG     CN·NH=DN·NE ‎ ‎    十三、圆和圆的位置关系如图6－9     若连心线长为d，两圆的半径分别为R，r，则： ‎ ‎   1、两圆外离Ûd ＞R＋r；    2、两圆外切Ûd = R＋r；    3、两圆相交ÛR－r＜d＜R＋r（R＞r）     4、两圆内切Ûd = R－r；（R＞r）     5、两圆内含Ûd＜R－r。（R＞r）     定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎    如图6－10，O1，O2为圆心， ‎ 则有：AB⊥O1O2，且AB被O1O2‎ 平分 ‎ ‎    十四、两圆的公切线 ‎ ‎    和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线两旁时，叫内公切 线，公切线上两个切点的距离叫公切线的长。 ‎ ‎    如图6－11，若 A、B、C、D为切点，则AB为内公切线长，CD为外公切线长     内外公切线中的重要直角三角形，如图6－12，OO1A为直角三角形。     d2=（R－r）2＋e2为外公切线长， ‎ ‎    又如图 6－13， OO1C为直角三角形。     d2＝（R十r）2＋ e’2为内公切线长。 ‎ ‎         十五、相切在作图中的应用 ‎ ‎    生活、生产中常常需要由一条线（线段或孤）平滑地渡到另一条线上，通常称为圆弧连接，简称连接，连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接外相切，如图 6－ 14 ‎ ‎ ‎ ‎    十六、正多边形和圆 ‎ ‎    各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。     定理：把圆分成n（n＞3）等分： ‎ ‎    （l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形； ‎ ‎    （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。 ‎ ‎    定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 ‎ ‎    正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。 ‎ ‎    正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。 ‎ ‎    正n边形的每个中心角等于n o ‎360 ‎ ‎    ‎ 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎    若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 ‎ ‎    边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。     十七、正多边形的有关计算 ‎ ‎    正n边形的每个内角都等于n no ‎180)2(- ‎ ‎    定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。     十八、画正多边形     1、用量角器等分圆     2、用尺规等分圆 ‎ ‎    正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。     正五边形的近似作法；     二十、圆周长、弧长 ‎ ‎    1、圆周长C＝2πR；2、弧长180‎ R nLp=     二十一、圆扇形，弓形的面积 ‎ ‎    l、圆面积：2‎ RSp=；  ‎ ‎2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 ‎ ‎    在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形的计算公式为：360‎ ‎2‎ RnSp=扇形 ‎ ‎    注意：因为扇形的弧长180RnLp=。所以扇形的面积公式又可写为LRS2‎ ‎1‎ =扇形 ‎ ‎    （3）弓形的面积 ‎ ‎    由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。 ‎ ‎    弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。     二十二、圆柱和圆锥的侧面展开图     1、圆柱的侧面展开图 ‎ ‎    圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形ABCD绕边AB旋转一周得到的图形是一个圆柱。（图6一16） ‎ ‎    AB叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段CD， C’D’，„都叫圆柱的母线。 ‎ ‎    圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。     圆柱的两个底面是平行的。 ‎ ‎    圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图6－17，其中AB=高，AC=底面圆周长。     ∴S侧面=2πRh ‎ ‎    圆柱的轴截面是长方形一边长为h，一边长为2R     R是圆柱底半径，h是圆柱的高。见图6－8 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎         （2）圆锥的侧面展开图 ‎ ‎    圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。     如图6－19，把Rt△OAS绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。 ‎ ‎    旋转轴SO叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。 ‎ ‎    连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA、SA’、„都叫圆锥的母线，母线长都相等。 ‎ ‎    圆锥的侧面展开图如图6一19是一个扇形SAB     半径是母线长，AB是2πR。（底面的周长），所以圆锥侧面积为S侧面=πRL 例题： ‎ ‎    例1、如图7.2-1，AB是⊙O的直径，AD⊥CD,BC⊥CD,且AD+BC=AB， ‎ ‎1、求证：⊙O与CD相切； 2、若CD=3，求AD•BC. ‎ ‎[特色]本题来源于教材，主要考查切线的判定方法及相似三角形的知识. [解答](1)过O点作OE⊥CD于E. ‎ ‎          ∵ AD⊥CD，     BC⊥CD，            ∴ AD∥OE∥BC， ‎ 又∵AO=BO，      ∴DE=CE， ‎ ‎    ∴ OE=‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎(AD+BC).        而AB=AD+BC， ∴ OE=OA，  而OE⊥CD，    ∴⊙O与CD相切. (2)连结AE、BE，∵⊙O与CD相切， ‎ ‎  ∴ OE⊥CD ， ∠ BAE=∠BEC.    而∠ BAE=∠ OEA，    ∠ OEA+∠ DEA=90o ‎，   ∴∠ DEA+∠BEC=90o ‎.    又∵AD⊥CD，   ∴∠ DEA+∠ DAE=90o ‎， ‎ ‎∴∠ DAE=∠BEC，          ∴ △AED∽△EBC， ‎ ‎∴AD•EC=DE•BC，          即AD•BC=DE•EC=‎ ‎221CD=4‎ ‎9.     例2、如图7.1-2.已知，AB为⊙O的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm,‎ 则OD=     . ‎ ‎[特色] 以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题. ‎ ‎[解答]由三角形的中位线定理知OD=‎ ‎2‎ ‎1BC     例3、如图7.3-1⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90o ‎,AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的半径等于（    ）. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎     A 、‎ ‎54     B、45     C、43      D、6‎ ‎5 [特色]本题考查内心的性质. ‎ ‎[解答] 过点O半径OE,则OE∥CD,AE∶AC=OE∶CD,设半径为R,则（4-R）∶4=R∶1,解之得R=‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎,选A.     例4、圆内接四边形ABCD，∠A、∠B、∠C的度数的比是1∶2∶3，则这个四边形的最大角是      . ‎ ‎[特色]运用圆内接四边形的性质进行简单计算. ‎ ‎[解答]设A=x，则∠B=2x,∠C=3x . ∵∠A+∠C=180o，       ∴x+3x=180o，    ∴ x=45o. ‎ ‎∴∠A=45o，  ∠ B=90o，    ∠C=135o，    ∠ D=90o. ∴ 最大角为135o. ‎ 例5、如图7.5-1，O1和O2外切于点C，直线AB分别外切⊙O1于A，⊙O2于B，⊙O2的半径为1，AB=22，则⊙O1的半径是        .  ‎ ‎[特色]以上各题都是圆与圆的位置关系中常见的基本题型，着眼于考查学生对两圆的位置关系的理解及运用. ‎ ‎[解答] （1）选B，利用两圆相交，连心线垂直平分公共弦，再根据勾股定理可求得. ‎ 例6、将两边长分别为4cm和6cm的矩形以其一边所在的直线为轴旋转一周，所得圆柱的表面积为        cm2. ‎ ‎[特色]考查圆柱的表面积的计算，着眼于考查学生思维的全面性. ‎ ‎[解答]以边长为4cm作母线所得到的圆柱的表面积为802‎ cmp；以边长为6cm作母线所得到的圆柱的表面积为1202‎ cmp. ‎ 例7、如图7.6-2，正六边形内接于半径为1的圆，其中阴影部分的面积是           . [特色]考查学生对基本概念的理解以及基本运算能力. [解答] 答案：4‎ ‎3‎ ‎6‎ - p ‎.作半径，用扇形的面积减去三角形的面积.  ‎