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有理数
有理数：整数和分数统称为有理数。有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数，所有形如 (m, n为互质的整数，n≠0)的数都是有理数。
(1)整数和分数统称为有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数；
(2)有理数的分类: ① ②
数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；
(2)相反数的和为0 Û a+b=0 Û a、b互为相反数.
绝对值：数轴上表示某数的点离开原点的距离；
(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；
(2) 绝对值可表示为：或 ；绝对值的问题经常分类讨论；
有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.
互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a≠0，那么的倒数是；若ab=1Û a、b互为倒数；若ab=-1Û a、b互为负倒数.
有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.
有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同零相乘都得零；
（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.
有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；
（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .
有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.
有理数乘方的法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .
乘方的定义：
（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；
（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；
科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法. 小数的科学记数法：有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示为的形式，其中是整数数位只有一位的正数，n是正整数。这种形式不仅便于记数，而且便于比较数的大小。
近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.
混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.
实数
无理数：无限不循环小数叫做无理数，无理数不能表示成分数的形式。如：π， ，- ，- ……。
实数：有理数和无理数统称为实数。 我们一般用下列两种情况将实数进行分类：
实数与数轴上的点是一一对应的。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之数轴上的每一个点又都表示一个实数。
实数的相反数：如果a表示一个正实数，-a就表示一个负实数。又如果a表示一个负实数，则-a表示一个正实数。a与-a互为相反数。0的相反数仍是0。如π与-π， 与- ，m与-m…均互为相反数。
实数的绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
例如，|- |= ，|-π|=π，| |= ，| - |=-( - )= - …
注意：-a(a<0)是正数，
平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。
立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。
二次根式
二次根式的意义
形如的代数式叫二次根式。二次根式有意义，的取值范围是当时，在实数范围内没有意义。如：等都是二次根式。
最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
二次根式的主要性质
（1）（=。
（2）
(3) （4）
二次根式的运算
（1）因式的外移和内移
如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。
（2）有理化因式与分母有理化
两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（3）二次根式的加、减法
先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
（4）二次根式的乘、除法
二次根式相乘（除），把被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式。
（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。
根式的化简方法
（1）把化为然后分母有理化为
（2）运用积的算术平方根的性质[],二次根式的性质[]及因式分解等知识化简二次根式（K的值为大于或等于零的整式）。注意：K是多项式时要先分解因式，K为整数时要先分解质因数
（4）利用（）给多项式在实数范围内分解因式。如：（为大于零的常数）
分母有理化的方法与技巧
分母有理化的关健是确定有理化因式，其基本方法为：①根据（）可知的有理化因式是②根据平方差公式，可知的有理化因式为，的有理化因式是
整式
单项式：如100t、6a、2.5x、vt、-n，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
例如：单项式100t、vt、-n的系数分别是100、1、-1。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如：在单项式100t中，字母t的指数是1，100t是一次单项式；在单项式vt中，字母v与t的指数的和是2，vt是二次单项式。
多项式：如2x-3，3x+5y+2z，ab-πr，它们都可以看作几个单项式的和，像这样几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
例如：在多项式2x-3中，2x和-3是它的项，其中-3是常数项。
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
例如：在多项式2x-3中，次数最高的项是一次项2x，这个多项式的次数是1；在多项式x+2x+18中，次数最高的项是二次项x，这个多项式的次数是2。
整式：单项式与多项式统称为整式。
例如：单项式100t、vt、-n，以及多项式2x-3，3x+5y+2z，ab-πr等都是整式。
同类项：在单项式3ab与-4 ab，它们都含有字母a，b并且a都是一次，b都是二次，像3ab与-4 ab这样，所含字母相同，并且相同字母指数也相同的项想叫做同类，几个常数项也叫做同类项。把多项式中同类项合并成一项叫做合并同类项。
我们可以运用交换律、结合律、分配率把多项式中的同类项进行合并。
整式的加减
(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：去括号 合并同类项
(2)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号．
(3)合并同类项： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变．
整式的乘除
同底数幂的乘法：，（m,n都是整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
幂的乘方：，（m,n都是整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方：，（n为整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
整式的乘法：（1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式)
（3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
整式的除法：，（，m，n都是正整数，并且），即同底数幂相除，底数不变，指数相减。
（1），任何不等于0的数的0次幂都等于1.
（2）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
（3）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
分式
分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。
分式的意义：当A和B都表示有理数且B不等于0时，则式子表示一个分数。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。由于分式中的分母表示除数，而除数不能为0，所以分式中的分母不能为0 ，即当B≠0时，分式才有意义。
分数的基本性质：分数的分子或分母同时乘以或除以一个不为0 的数 分数的值不变。
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变。
用式子表示为
， （C≠0），其中A，B，C是整式。
分式的约分与最简分式：与分数的约分类似，我们利用分式的基本性质，约去的分子和分母的公因式x，不改变分式的值，使化为，这样的分式变形叫做分式的约分。经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式，像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果化为最简分式或整式。
分式的通分与最简公分母：与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，化成分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
分式的运算：
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
在分式的计算中，运算结果应化为最简分式，分子、分母是多项式时，先分解因式便于约分。
根据乘方的意义和分式乘法的法则，可得：
分式的乘方：一般地，当n是正整数时， 即分式的乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母分式相加减：先通分，变为同分母分式，再加减。
式与数有相同的运算法则：先乘方，再乘除，然后加减。
负数整数幂的意义；一般地，当n 是正整数时，，这就是说，是的倒数。
乘法公式
乘法公式：（1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.
（2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a－b)2=a2－2ab+b2；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3x+y)×2+22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或者(3x+y－2)2＝(3x)2+2×3x (y－2)+ (y－2)2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y－2看成是b.
（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。
乘法公式的几种常见的恒等变形有：(证明方法：左右展开计算，对比)
（1）．a2+b2＝(a+b)2－2ab＝(a－b)2+2ab.
（2）．ab＝［(a+b)2－（a2+b2）］＝［(a+b)2－(a－b)2］＝.
（3）．(a+b)2+(a－b)2＝2a2+2b2.
（4）．(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果.
因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。
常用的因式分解方法：
（1）提公因式法：把，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。
i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；
②字母：各项都含有的相同字母；
③指数：相同字母的最低次幂。
（2）公式法：（1）常用公式：平方差公式：
完全平方公式：
（2）常见的两个二项式幂的变号规律：
①；②．（为正整数）
（3）十字相乘法：ⅰ 二次项系数为1的二次三项式中，如果能把常数项分解成两个因式的积，并且等于一次项系数中，那么它就可以分解成
ⅱ 二次项系数不为1的二次三项式中，如果能把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项分解成两个因数的积，并且等于一次项系数，那么它就可以分解成：。
步骤：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；
（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；
（3）将原多项式分解成的形式。
关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项的系数
二次项、常数项分解坚直写，符号决定常数式，交叉相乘验中项，横向写出两因式
（4）分组分解法
ⅰ 定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：
=，
这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
ⅱ 原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
ⅲ 有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
方程
方程的概念：
（1）含有未知数的等式叫方程.
（2）在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，系数不为0，这样的方程叫一元一次方程.
等式的基本性质：
（1）等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式.若a=b，则a+c=b+c或
a–c=b–c.
（2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.若a=b，则ac=bc或
（3）对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式.若a=b，则b=a.
（4）传递性：如果a=b，且b=c，那么a=c，这一性质叫等量代换.
解方程
移项的有关概念：
把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做移项.这个法则是根据等式的性质1推出来的，是解方程的依据.要明白移项就是根据解方程变形的需要，把某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边，移动的项一定要变号.
解一元一次方程的步骤：
(1)去分母 等式的性质2
注意拿这个最小公倍数乘遍方程的每一项，切记不可漏乘某一项，分母是小数的，要先利用分数的性质，把分母化为整数，若分子是代数式，则必加括号.
(2)去括号 去括号法则、乘法分配律
严格执行去括号的法则，若是数乘括号，切记不漏乘括号内的项，减号后去括号，括号内各项的符号一定要变号.
(3)移项 等式的性质1
越过“=”的叫移项，属移项者必变号；未移项的项不变号，注意不遗漏,移项时把含未知数的项移在左边，已知数移在右边，书写时，先写不移动的项，把移动过来的项改变符号写在后面
(4)合并同类项 合并同类项法则
注意在合并时，仅将系数加到了一起，而字母及其指数均不改变.
(5)系数化为1 等式的性质2
两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是分母（除数），切不可分子、分母颠倒.
(6)检验
分式方程
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
解分式方程的思路：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。
注意：一般的解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
二元一次方程组
有关概念
含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程叫做二元一次方程
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
消元
由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含有另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
一元二次方程：
1、只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
2、把（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
3、解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为的形式。
②公式法 （注意在找a、b、c时须先把方程化为一般形式）
③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）
4、根与系数的关系：当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac<0时，方程无实数根。
5、韦达定理：如果一元二次方程的两根分别为x1、x2，则有：。
6、一元二次方程的根与系数的关系的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：
① ②
③
④ ⑤
⑥ ⑦其他能用或表达的代数式。
（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：
（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程 的根
不等式
不等关系
1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.
2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.
3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.
非负数 <=> 大于等于0(≥0) <=> 0和正数 <=> 不小于0
非正数 <=> 小于等于0(≤0) <=> 0和负数 <=> 不大于0
4. 不等式的基本性质：掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:
(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:
如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.
(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即
如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, .
(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:
如果a>b,并且c<0,那么ac
b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b;
如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;
如果ab <===> a-b>0
a=b <===> a-b=0
a a-b<0
(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了)
7. 不等式的解集:
1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.
2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.
3. 不等式的解集在数轴上的表示:
用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:
①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;
②方向:大向右,小向左
8. 一元一次不等式:
1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.
2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.
3. 解一元一次不等式的步骤:
①去分母;
②去括号;
③移项;
④合并同类项;
⑤系数化为1(不等号的改变问题)
4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax0时,解为;
②当a=0时,且b<0,则x取一切实数;
当a=0时,且b≥0,则无解;
③当a<0时, 解为;
9、一元一次不等式组
把两个不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。
几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式的解集。解不等式就是求它的解集。
对于具有多种不等关系的问题，可通过不等式组解决。解一元一次不等式组时。一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。
列方程解应用题
1、列方程解应用题的一般步骤：
（1）将实际问题抽象成数学问题；
（2）分析问题中的已知量和未知量，找出等量关系；
（3）设未知数，列出方程；
（4）解方程；
（5）检验并作答.
核心：在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。
不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)
列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:
①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;
②设: 设出适当的未知数;
③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;
④解: 解出所列的不等式的解集;
⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.
函数
变量与函数：在一个变化过程中，有两个变量（如x、y），对于自变量（x）的每一个确定值，函数（y）都有唯一确定的值与它对应，这时，y就是x的函数，常量：在变化过程中，始终保持不变的量；变量：在变化过程中，可以取不同数值的量；通常在表达时，等式左边的是函数，等式右边的是自变量。
一次函数:若两个变量x、y之间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y是函数）．正比例函数y=kx（k≠0）是一次函数y=kx+b（k≠0）特例．
一次函数的图像：1、一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，我们只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以作出一次函数的图象，它也称为直线y=kx+b．直线y=kx+b（k≠0）可以看着由直线y=kx（k≠0）上下平移│b│个单位长度而得到．当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移．
画函数图象的一般步骤：一、列表（一次函数只用列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值），二、描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点），三、连线（依次用平滑曲线连接各点）。
一次函数的性质：
正比例函数
一次函数
表达式
y=kx(k≠0)
y=kx+b(k≠0)
k>0
k<0
k>0
k<0
图象
性质
1．图象是经过原点与第一、三象限的直线；
2．函数y的值随x的增大而增大.
1．图象是经过原点与第二、四象限的直线；
2．函数y的值随x的增大而减小.
函数y的值随x的增大而增大.
函数y的值随x的增大而减小.
一次函数的图象与k,b的关系如下页图所示：
y=kx+b
k>0
K<0
b>0
b<0
待定系数法求一次函数的解析式的步骤：
设出函数解析式；②根据条件确定解析式中未知的系数（把两点带入函数一般式列出方程组，求出待定系数，把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式）；③写出解析式．
反比例函数
定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成
反比例函数解析式的特征：
⑴ 等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.⑵比例系数，⑶自变量的取值为一切非零实数。⑷函数的取值是一切非零实数。
反比例函数的图像
（1）、图像的画法：描点法
① 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）
② 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线）
⑵、反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶、反比例函数的图像既是中心对称图形（对称中心是原点），也是轴对称图形（对称轴是或）。
⑷、反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。
反比例函数性质如下表：
的取值
图像所在象限
函数的增减性
图像示例
一、三象限
在每个象限内，值随的增大而减小
二、四象限
在每个象限内，值随的增大而增大
反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）
“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。
一次函数与一元一次方程的关系。
由y=kx+b，当y取一个确定的值时，可以将y值代入y=kx+b得到一元一次方程，从而求出x的值。特别的，y=0时，一元一次方程的解就是一次函数与x轴的交点坐标的横坐标的值。
一次函数与二元一次方程组的关系。
一元一次方程的解就是一次函数与x轴的交点坐标的横坐标的值。二元一次方程组的解可以把方程组中的两个方程看作是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解。
一次函数与不等式的关系：
可以借助函数图象解决一元一次不等式的有关问题。
函数图像的交点
利用多个不同的函数解析式可以建立方程组，若方程组有解，则这些函数有交点，交点坐标即为方程组的解。
函数值的大小比较
当两个或两个以上的函数图像同时在坐标系中时，当选定X的值时，若某一个函数图像在其余函数图像上方，则该函数值在此x值时大于其余函数值，依据此方法可以确定X的取值范围。
二次函数
二次函数的定义:一般地，形如 （为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．
二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二次函数的三种形式
一般式
y=ax2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，4ac-b2/4a) ；
顶点式
y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k为常数) 顶点坐标为（h，k）对称轴为x=h
交点式
y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ；
二次项系数决定抛物线的开口方向：
当时抛物线开口向上；当时抛物线开口向下
决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小； 越小，抛物线开口越大.
注：抛物线y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k为常数)与y=ax２(a≠0,a为常数)形状相同，位置不同， 把抛物线y=ax２ 向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(x-h)２+k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定，抛物线y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k为常数) 顶点坐标为（h，k）对称轴为x=h。
用待定系数法求函数的表达式
二次函数的表达式（为常数，）中有三个量a、b、c，因此需要知道三个点的确定坐标，将点的坐标代入表达式中得到一个三元一次方程组，再利用消元法解出a、b、c。得到二次函数的表达式，这种方法称之为待定系数法。
二次函数的特性
轴对称
抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
顶点
抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b2/4a )
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b2;-4ac=0时，P在x轴上。
决定对称轴位置的因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时
（即ab＜ 0 ），对称轴在y轴右。
决定抛物线与y轴交点的因素
常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。
抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0
>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；
=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；
<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点
注意：二次函数y=ax2 +bx+c通过移项后可以变成ax2 +bx+c-y=0，因此的y（纵坐标）值确定并且该点在二次函数的的图像上时，可以借助ax2 +bx+c-y=0来求得x（横坐标）。
实际应用
1、实际问题模型
（1）日历上数字排列的规律是：横行每整行排列7个连续的数，竖列中，下面的数比上面的数大7.日历上的数字范围是在1到31之间，不能超出这个范围.
（2）几种常用的面积公式：
长方形面积公式：S=ab，a为长，b为宽，S为面积；正方形面积公式：S = a2，a为边长，S为面积；
梯形面积公式：S = ，a，b为上下底边长，h为梯形的高，S为梯形面积；
圆形的面积公式：，r为圆的半径，S为圆的面积；
三角形面积公式：，a为三角形的一边长，h为这一边上的高，S为三角形的面积.
（3）几种常用的周长公式：
长方形的周长：L=2（a+b），a，b为长方形的长和宽，L为周长.
正方形的周长：L=4a，a为正方形的边长，L为周长.
圆：L=2πr，r为半径，L为周长.
（4）柱体的体积等于底面积乘以高，当体积不变时，底面越大，高度就越低.所以等积变化的相等关系一般为：变形前的体积=变形后的体积.
（5）工程问题 基本关系式：
工作总量＝工作效率×工作时间 工作时间= 工作效率=
合作效率=甲的效率+乙的效率
（6）关于销售问题：①进价，成本价，售价，定价，标价的意义；
②单件利润=售价-进价，总利润=销量×单件利润；
③利润率=×100%。
（7）关于储蓄中的一些概念：本金：顾客存入银行的钱；利息：银行给顾客的酬金；
本息：本金与利息的和；期数：存入的时间；
利率：每个期数内利息与本金的比；
利息=本金×利率×期数；
本息=本金+利息.
（8）行程类应用题基本关系：
路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度
相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程＋乙走的路程＝总路程。
追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程＝前者走的路程＋两地间的距离。
甲、乙同向同地不同时，则：追者走的路程＝前者走的路程
航行（飞行）问题
飞行（航行）问题、基本等量关系：
①顺风（顺水）速度＝无风（静水）速度＋风速（水速）
②逆风（逆水）速度＝无风（静水）速度－风速（水速）
顺风（水）速度－逆风（水）速度＝2×风（水）速
（9）在一些复杂问题中，可以借助 表格分析 复杂问题中的数量关系，找出若干个较直接的等量关系，借此列出方程，列表可帮助我们分析各量之间的相互关系.在行程问题中，可将题目中的数字语言用“线段图”表达出来，分析问题中的数量关系，从而找出等量关系，列出方程.
2、处理问题的过程可以进一步概括为：
3、一元二次方程实际应用问题归纳
“连续变化”问题 → 特征:始量a经过两次连续增加（或降低）且百分率是相同（x）.
（第一阶段）→ 开始量a
（第二阶段）→ 变化第一次为：a±a.x 或a(1±x)
（第三阶段）→ 变化第二次为：a(1±x)+a(1±x).x 或a(1±x).
→ 如果告诉第三阶段的量b ,则得方程：a(1±x)=b
面积问题：在一个图形中切除另外一个图形
注意在切除过程中的面积变化及每个图形的面积表达式。
动点问题：1、明确变化的量
2、建立变量与已知条件的联系。
2、构造方程求解。
数字问题：注意每个数字变化时数位的特点。并找到等量关系
一元二次方程实际应用问题解题步骤：
1、做题时必须把题读懂，弄清哪些量是已知的、哪些量是未知的。
2、找出各量之间的 等量关系和各量的对应关系 ，能作合理选择；
3、设好未知数，建立方程；
4、准确求解，最后合理作答。
总结：做题时必须把题读懂：（1）弄清哪些量是已知的、哪些量是未知的；（2）找出各量之间的等量关系，能作合理选择；（3）设好未知数，建立方程；（4）准确求解，最后合理作答。
图形的基本概念
①几何图形：我们把从实物中抽象出来的各种图形统称为几何图形。
②立体图形：有些几何图形（如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，它们是立体图形。
③平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一个平面内，它们是平面图形。
④常常用从不同方向看到的平面图形来表示立体图形。（主视图，俯视图，，左视图）。
主（正）视图---------从正面看
几何体的三视图 侧（左、右）视图-----从左（右）边看
俯视图---------------从上面看
⑤有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
点，线，面，体
①几何体也简称体。
②包围着体的是面。面有平面和曲面两种。
③面和面相交的地方形成线。（线有直线和曲线）
④线和线相交的地方是点。（点无大小之分）
⑤点动成线 ，线动成面，面动成体。
⑥几何图形都是由点，线，面，体组成的，点是构成图形的基本元素。
⑦点，线，面，体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形，形成多姿多彩的图形世界。
直线，射线，线
①经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
②两点确定一条直线。
③当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。
④射线和线段都是直线的一部分。
⑤把线段分成相等的两部分的点叫做中点。
线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
⑥两点的所有连线中，线段最短。（两点之间，线段最短）
⑦连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
⑧线段的比较：1.目测法 2.叠合法 3.度量法
角
①角也是一种基本的几何图形。
②有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
③把一个周角360等分，每一分就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。
④角的度，分，秒是60进制的，这和计量时间的时，分，秒是一样的。
⑤以度，分，秒为单位的角的度量制，叫做角度制。
角的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1做60.
⑥从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
角平分线的作法
角平分线定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
余角和补角
①两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角。
②两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。
③同角或等角的补角相等。 ④同角或等角的余角相等。
角的比较与运算
相交和平行
在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。
互为邻补角：
（1）定义：如果两个角有一条公共边且有一个公共顶点，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。
°
（2）性质：从位置看：互为邻角；
从数量看：互为补角；
互为对顶角：
（1）定义：如果两个角有有一个公共顶点且它们的两边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角。
（2）性质：对顶角相等
垂直：
（1）定义：垂直是相交的一种特殊情形。当两条直线相交所形成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直。它们交点叫做垂足。其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。
（2）性质：过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
（3）表示方法：用符号“⊥”表示垂直。
垂线是一条直线，垂线段是垂线的一部分。
垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简单说成：垂线段最短）。区分：点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
两点间的距离：连接两点间的线段的长度。
“两点间的距离”和“点到直线的距离”是两个不同的概念，但是“点到直线的距离”是“两点间的距离”的一种特殊情况。
相交线 平行线：
相关的角
内错角的定义：两个角都在截线的两侧，都在被截直线之间。这样的两个角叫做内错角。
同位角的定义：两个角都在截线的同侧，都在被截直线的同一方。这样的两个角叫做同位角。
同旁内角的定义：两个角都在截线的同侧，都在被截直线之间。这样的两个角叫做同旁内角。
截线与被截直线的定义：截线就是截断两条同一方向直线的直线，被截直线就是被截线所截断的两条同一方向的直线。
相交线的定义：在平面内有一个公共交点的两条直线，叫做相交线。
平行线
（1）定义：在平面内不相交的两条直线，叫做平行线。
（2）表示方法：用符号“∥”表示平行。
（3）公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（这个公理说明了平行线的存在性和唯一性）。
（4）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（5）判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线互相平行（简单说成：同位角相等，两直线平行）。
判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线互相平行（简单说成：内错角相等，两直线平行）。
判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线互相平行（简单说成：同旁内角互补，两直线平行）。
判定4：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行。
（6）性质1：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等（简单说成：两直线平行，同位角相等）。
性质2：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等（简单说成：两直线平行，内错角相等）。
性质3：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补（简单说成：两直线平行，同旁内角互补）。
（7）、平行线间的距离：夹在两条平行线间的垂线段的长度。
命题
（1）定义：表示判断一件事情的语句，叫做命题。
（2）分类：命题分为 真命题：正确的命题。 假命题：错误的命题。
（3）组成：命题是由条件（题设）和结论两部分组成。条件（题设）是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
（4）定理：通过推理证实过的真命题叫做定理。定理也可以作为继续推理的依据。
三角形
1、三角形的定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，就叫做三角形。
2、三角形的分类：
锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；
按角分 直角三角形：有一个角是锐角的三角形；
钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；
不等边三角形：三边不相等的三角形；
按边分
等腰三角形： 有两条边相等的三角形（腰和底不相等的三角形）
有三条边相等的三角形（腰和底相等的三角形）
3、三角形的组成：三角形有三个边（组成三角形的线段叫做三角形的边）、三个内角（相邻两边所组成的角叫做三角形的内角）、三个顶点（两边的交点叫做三角形的顶点）、三个外角（三角形的一边与另一边延长线所组成的角叫做三角形的外角）。三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。
注释：（1）三角形的边除了用两个大写字母表示外，还可以用这条边所对的角的顶点处的一个小写字母表示。
（2）三角形ＡＢＣ可表示为△ＡＢＣ。
（3）三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之和小于第三边。
（4）三角形的外角和它公共顶点的内角互为邻补角。
4、三角形高的定义：过三角形的顶点向对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
注释：（1）三角形的高是一条线段。
（2）任意一个三角形都有三条高。
（3）锐角三角形的三条高交于一点，交点在三角形的内部；直角三角形的三条高交于一点，交点在三角形的直角顶点处；钝角三角形的三条高交于一点，交点在三角形的外部。
（4）三条高的交点叫做垂心。
5、三角形中线的定义：联结三角形顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线。
注释：（1）三角形的中线是一条线段。
（2）任意一个三角形都有三条中线。
（3）三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。
（4）三条高的交点叫做重心。
6、三角形角平分线的定义：三角形一内角的平分线与对边相交，交点到顶点之间的线段叫做三角形的角平分线。
注释：（1）三角形的角平分线是一条线段。
（2）任意一个三角形都有三条角平分线。
（3）三角形的三条角分线交于一点，交点在三角形的内部。
（4）三条高的交点叫做内心。
7、三角形中位线:
定义：连接三角形两边中点的线段.
性质: 三角形的中位线平行且等于底边的一半.
8、三角形内角和定理：三角形内角和为180°。
9、三角形外角的性质：（1）三角形的外角等于和它不相邻两内角之和。（2）三角形的外角大于与它不相邻的内角。
10、三角形外角和定理：三角形外角和为360°
11、多边形的定义：同一平面内由一些线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形。一个多边形有几条线段组成就叫做几边形。一个多边形有n条线段组成就叫做n边形。
12、多边形的对角线：联结多边形不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。
13、多边形内角和定理：多边形内角和为（n-2）180°
14、多边形外角和定理：多边形外角和为180°。
15、正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
注释：（1）所有内角都相等的多边形是正多边形。 反例：长方形。
（2）所有边都相等的多边形是正多边形。 反例：菱形。
16、凹多边形的定义：在多边形中，画出它的任意一条边所在的直线，如果整个多边形不在这条直线的同侧，那这个图形就叫做凹多边形。
17、凸多边形的定义：在多边形中，画出它的任意一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同侧，那这个图形就叫做凸多边形。
18、镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖叫做镶嵌。
注释：（1）不重叠。
（2）没有缝隙。
特点：（1）每一个拼接点处的各个内角和为360°。
（2）相邻多边形都有一条公共边。
等腰三角形的定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的性质：
1、等腰三角形的两个底角相等 简写成“等边对等角”
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
3、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”
等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形。
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
注意：等腰三角形中的分类讨论.
(1)“边”上的分类：
等腰三角形的“边”有两个特殊的名称：“腰”和“底边”，所以当只出现等腰三角形的“边”的概念时，首先要把该“边”分为“腰”和“底边”两种情况分别计算，然后利用三角形的三边关系进行确定.
(2)“角”上的分类：
等腰三角形的“角”也有两个特殊的名称：“顶角”和“底角”，所以当只出现“角”这一概念时，也要把该“角”分为“顶角”和“底角”两种情况来计算。（这里应注意的是：等腰三角形的“底角”取值必须为（0＜底角＜90°）
(3)“腰上的高”的分类讨论：
因为等腰三角形的顶角可能是锐角，也可能是钝角，所以在等腰三角形中的角没有确定时，出现“腰上的高”这一概念时，一般要把“高线”分为在形内、形外来讨论.
直角三角形：有一个角是90°的三角形是直角三角形
锐角三角函数
直角三角形ABC中, 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）都叫做角A的锐角三角函数。
A
B
C
a
c
b
正弦（sin）等于对边比斜边，
余弦（cos）等于邻边比斜边 ,
正切（tan）等于对边比邻边；
余切（cot）等于邻边比对边
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,
则sinA=,cosA=,tanA=,cotA=
同角三角函数间的关系
平方关系： sin2(α)+cos2(α)=1
积的关系： sinα=tanα·cosα
正切与余切互为倒数： tanα·cotα=1
互余角的三角函数间的关系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
三角函数值
（1）特殊角三角函数值
（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况
（i）锐角三角函数值都是正值
（ii）当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
当角度在0°<α<90°间变化时， tanα>0, cotα>0.
特殊角的三角函数值：（并会观察其三角函数值随的变化情况）
sin
cos
tan
cot
30°
45°
1
1
60°
解直角三角形
直角三角形的特征
⑴直角三角形两个锐角互余；
⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；
⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即：
在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2=c2；
⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C＝90°；
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。
A
B
C
D
常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；等等.
⑹射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB．
(7)锐角三角函数：边角关系
（8）直角三角形中常见类型：
①已知一边一锐角．
②已知两边．
③解直角三角形的应用．利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往是解决这类问题的关键
坡度＝＝坡角的正切值
全等图形的有关概念
（1）全等图形的定义
能够完全重合的两个图形就是全等图形。能够完全重合的两个多边形就是全等多边形。
能够完全重合的两个三角形就是全等三角形。
（2）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边
两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
（3）全等多边形的表示
△ABC全等于△A’B’C’，记作△ABC≌△A’B’C’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。
（4）全等多边形的性质
全等多边形的对应边、对应角分别相等。全等三角形的对应边相等、对应角相等。
全等三角形的判定
（1）根据定义：若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。
（2）根据SSS：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
（3）根据SAS：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
（5）“角边角”定理：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。记作“角边角”，简称“ASA”
（6）“角角边”定理：如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。记作“角角边”，简称“AAS”
（7）“斜边、直角边”定理：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。记作“斜边、直角边”，简称“HL”
证明三角形全等的方法
证明三角形全等的一般方法有四种：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”。每一种都有给出三个独立的条件，在具体问题中，题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。
判定方法的选择：
已知条件
可选择的判定方法
一边对应一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
证明角相等的常用方法有：对顶角相等；两直线平行，同位角、内错角相等；同角（或对角）的余角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的等量代换等。
证明线段相等的方法有：同一线段；中点的定义；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。
“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等的依据
A
A
这是因为有三个角相等，但边不一定相等，则三角形不一定全等，如图13-6，可以看出△ABC不全等于△ADE；同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图13-7，AB=AB,AC=AD, ∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等。
E
D
C
B
D
C
B
图13-6 图13-7
证明两个三角形全等如何入手
证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。
（1）综合法，就是从已知条件入手，进行推理，逐步向要证的结论推进，如从已知条件中推导出对应边或对应角相等，从而推导出三角形全等。同时，也可以从三角形全等推导出对应边、对应角的相等，达到正题的目的。
（2）分析法，即从欲证的结论出发，分析结论成立的必需条件，各种条件联系已知，寻找它们之间的关系，逐步靠拢已知条件，从而分析出已知与结论的因果关系。
证题时，分析法与综合法结合起来使用更加有效，证三角形全等时，既要有明显的已知条件，又要有隐藏的条件，通过综合法罗列已知条件，再通过分析法找出隐藏条件，从而得证。
相似
相似的概念
两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．
相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形
相似三角形的判定方法:
根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）
.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；
.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；
直角三角形相似判定定理:
.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
一定相似的三角形
（1）两个全等的三角形一定相似。（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1）
（2）两个等腰直角三角形一定相似（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。）
（3）两个等边三角形一定相似。
三角形相似的判定定理推论
推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
相似的性质
（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例。
（2）相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
（3）相似三角形周长的比等于相似比。
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
（5）相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
（6）若a:c =c:b，即c2=ab,则c叫做a,b的比例中项
（7）c/d=a/b 等同于ad=bc.
成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0.618…。这种分割称为黄金分割，分割点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
平移：
（1）定义：在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移变换，简称平移。
（2）性质1：平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
性质2：经过平移对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。
（3）作图步骤：
1、按照题目要求，确定平移方向和距离；
2、找出所作图形的关键点，例如顶点；
3、沿确定的方向和距离平移所有关键点；
4、联结平移后的关键点并标出对应字母
轴对称
轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴，这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
两个图形关于直线对称（成轴对称）：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重叠的点是对应点，叫做对称点。
轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：
把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。
轴对称图形的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
作对称轴的方法：
对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。
旋转
概念：在平面内，将一个图形绕某个点O按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
旋转的特点 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后的图形全等。
旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。
旋转图形的画法
1、找旋转中心O 2、在已知图形上找一点A并与旋转中心相连形成线段OA。 3、以OA为边，O为顶点画旋转角α。4、在旋转角的另一边上选取点A’则A’即是点A的对应点。5、依次画出其他对应点，连线形成旋转之后的图形
中心对称和中心对称图形：
① 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。
②中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
中心对称图形：正（2N）边形（N为大于1的正整数），线段，矩形，菱形，圆
只是中心对称图形：平行四边形等．
既不是轴对称图形又不是中心对称图形：不等边三角形，非等腰梯形等．
中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形是全等形。
②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
判定一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。
位似
概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
性质：1、位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 2、位似多边形的对应边平行或共线。3位似可以将一个图形放大或缩小。3、位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
注意：1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是
相似图形，而相似图形不一定是位似图形； 2、两个位似图形的位似中心只有一个； 3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； 4
、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； 5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
平行四边形：
定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
性质:1.（边）两组对边分别平行且相等.
2. (角) 两组对角分别相等.
3.（对角线）对角线互相平分.
4.（对称性）中心对称－－对称中心为对角线交点.
判定:1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
4. 两对角线互相平分的四边形是平行四边形.
5. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
推论：三角形的中位线定理
矩形
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD
矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.对角线相等的平行四边形是矩形。
3.有三个角是直角的四边形是矩形。
推论：直角三角形斜边的中线是斜边的一半
菱形
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
正方形：
正方形的定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的矩形，又是一个特殊的有一个角是直角的菱形．
正方形的性质：
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是直角；四条边都相等且平行；正方形的两条对角线相等，并且互相互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．它有4条条对称轴．
正方形的判定：
有一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个是直角的菱形是正方形；
对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形．
梯形
梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
等腰梯形：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
直角梯形：一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
等腰梯形的判定：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段，叫梯形的中位线。梯形的中位线长度等于上底加下底的一半。
梯形中辅助线的作法
(1)平移一腰，即从梯形的一个顶点作另一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形(图(1)所示)；
(2)从同一底的两端作梯形的高，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形(图(2)所示)；
(3)平移对角线，即过底的一端平移梯形的对角线_，可以借助新得的平行四边形或三角形来研究梯形(图(3)所示)；
(4)延长梯形的两腰交于一点，得到两个三角形，如果梯形是等腰梯形，则得到两个等腰三角形(图(4)所示；
(5)以梯形一腰的中点为对称中心，作某图形的中心对称图形(图(5)～(6)所示)；
(6)以梯形一腰为边补充梯形为平行四边形。(图(7)所示)．
注：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长度乘积的一半。
圆中的基本概念和基本定理
圆的定义：平面上一条线段OA，绕它的一端旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长的点的集合。找圆心的方法（1）圆任意两条对称轴的交点为圆心。 （2） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。
圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A，B为端点的弧，记作 ，小于半圆的弧是劣弧，大于半圆的弧是优弧。
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
等圆：能够重合的圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。
圆的简单性质：圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r= 。 圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
圆心角：顶点在圆心的角，叫做圆心角。
圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等
圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的内接四边形对角互补。
圆的有关计算
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 ，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。
点和圆的位置关系
① 点在圆内点到圆心的距离小于半径
② 点在圆上点到圆心的距离等于半径
③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径
过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
外接圆和外心
经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判断所作假设不成立，从而得到原命题成立，这种方法叫做反正法。
直线和圆的位置关系
相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。
直线和圆位置关系的性质和判定
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么
① 直线和⊙O相交；
② 直线和⊙O相切；
③ 直线和⊙O相离。
圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
圆的切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
切线长定理：从圆外可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
圆和圆的位置关系
定义：
两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离。
两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切。
两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。
两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切。
两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含。
原理：
圆心距和半径的数量关系：
两圆外离＜＝＞ d＞R+r
两圆外切＜＝＞ d=R+r
两圆相交＜＝＞ R-r＝r)
两圆内切＜＝＞ d=R-r(R>r)
两圆内含＜＝＞ dr)
正多边形和圆
正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。
例如：正三角形、正四边形(正方形)、正六边形等等。如果一个正多边形有n条边，那么，这个多边形叫正n边形。
再如：矩形不是正多边形，因为它只具有各角相等，而各边不一定相等；菱形不是正多边形，因为，它只具有各边相等，而各角不一定相等。
正多边形与圆的关系。
正多边形与圆有密切关系，把圆分成n(n≥3)等份，依次连结分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。
相邻分点间的弧相等，则所对的弦(正多边形的边)相等，相邻两弦所夹的角(多边形的每个内角)都相等，从而得出，所连的多边形满足了所有边都相等，所有内角都相等，从而这个多边形就是正多边形。
正多边形的有关概念：
(1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。
(2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。
(3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。
(4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。
正多边形性质：
(1)任何正多边形都有一个外接圆。
(2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n边形的对称轴有n条。
(3)边数相同的正多边形相似。
正多边形的有关计算：作边心距，构成直角三角形，再求解
弧长和扇形面积
弧长公式
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，
说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”。
（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
扇形的面积
如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。
又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。
弓形的面积
（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
（2）弓形的周长＝弦长＋弧长
（3）弓形的面积
如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，
当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，
当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，
圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积
说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。
知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，
数据的收集与整理
数据处理的基本过程:收集数据、整理数据、描述数据、分析数据、得出结论
收集数据的方法：a、问卷调查 b、实地调查：如现场进行观察、收集、统计数据 c、媒体调查：报纸、电视、电话、网络等调查都是媒体调查。
注意：选择收集数据的方法，要掌握两个要点：①是要简便易行，②要真实、全面。
全面调查（普查）
（1）考查全体对象的调查叫全面调查，也叫普查。
（2）全面调查的方法：问卷调查﹑访问调查﹑电话调查等。
（3）当调查范围小﹑调查不具有破坏性﹑数据要求准确全面时，采用全面调查。
抽样调查
（1）只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况叫抽样调查。
（2）抽样调查的方法：
随机抽样：它的特点是每一个个体被抽取的可能性都相等。当总体的个数较少时，采用随机抽样。
分层抽样：当总体由有明显差异的几部分构成时，可将总体按差异情况分成几个部分，然后按各部分所占的比例进行抽样。
（3）当所调查对象涉及面大，范围广，或受条件限制，或具有破坏性等时，一般采取抽样调查。
注意 当调查的结果有特别要求时，或调查的结果有特殊意义时，如国家的人口普查，全国经济普查我们就仍须采用全面调查的方式进行。
总体、个体、样本和样本容量
（1）要考察的对象的全体叫总体.（2）组成总体的每一个考察对象叫个体。
（3）从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
（4）样本中个体的数目叫样本容量，样本容量没有单位。
数据的描述
数据的描述方法有：统计表和统计图。统计图包括条形统计图﹑折线统计图﹑扇形统计图。
（1）条形统计图：可以清楚地表示各种情况下每个项目的具体数目，它的适用范围广泛。
（2）折线统计图：易于表示同一对象的发展变化情况。用折线统计图表示的数据通常是从同一个对象上不同时间或地点收集得到的。
（3）扇形统计图：易于表示一个对象在总体中所占的比重的大小。（相应扇形圆心角的度数=相应部分量所占总量的百分比×360°）
（4）直方图
1）.组距﹑组数﹑频数和频率
组距：每一组两个端点之间的距离叫组距。
组数：把数分成若干组，分成组的个数叫组数。
频数：落在各小组内的数据的个数叫该组的频数。
频率：频数占总数的百分比叫频率，频率=频数/总数×100％。
注意：（1）当数据在100个以内时，根据数据的多少通常分成5—12组。一般地，
。
（2）为了使数据“不重不漏”，分组时常采用“上限不在内”的原则。
2）.频数分布直方图
频数分布直方图也是一种条形图，它用小长方形的面积来反映数据落在各个小组的频数大小。如果是等距分组时，为画图与看图的方便，通常直接用小长方形的高表示频数。
作直方图的步骤：
（1）计算最大值与最小值的差，
（2）确定组距与组数（数据个数在100以内的一般分5—12组），
（3）确定分点，
（4）列出频数分布表，
（5）画出直方图，构造一个直角坐标系，
横轴表示各数据段，纵轴表示频数。
注：（1）频数之和等于总数 （2）频率之和等于1 （3）频数为矩形的面积
3.频数折线图
频数折线图的制作一般是在频数分布直方图的基础上得到的。首先取直方图中每一个小长方形上边的中点，然后在横轴上直方图的左右取两个频数为0的点，它们分别与直方图在左右相距半个组距，然后将这些点用线段依次连结起来，就得到频数折线图。
数据的分析
1.加权平均数：加权平均数的计算公式。
加权平均数=
权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode）。
4.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。
5.方差：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。
6. 平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少受极端值的影响。
平均数的定义：统计中算术平均数常用于表示统计对象的一般水平，它是描述数据集中程度的一个统计量。既可以用它来反映一组数据的一般情况和平均水平，也可以用它进行不同组数据的比较，以看出组与组之间的差别。
众数：在统计分布上具有明显集中趋势点的数值，代表数据的一般水平（众数可以不存在或多于一个）。
方差：是和中心偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定 。
极差：只指明了测定值的最大离散范围。
中位数：作用与算术平均数相近，也是作为所研究数据的代表值，出现了极端变量值的情况下，用中位数作为代表值要比用算术平均数更好，因为中位数不受极端变量值的影响；如果研究目的就是为了反映中间水平，当然也应该用中位数。
概率
必然事件：在一定条件下必然会发生的事件。
不可能事件：在一定条件下必然不会发生的事件。
必然事件与不可能事件称之为确定性事件。
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
概率：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率。记为P（A）。一般地，如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=，其中0≤m≤n，所以0≤≤1，因此0≤P(A)≤1。
当A为必然事件时，P(A)=1
当A为不可能事件时，P(A)=0
事件发生的可能性越大，它的概率越接近1：反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0.
用列举法求概率
1、当一次试验中，可能出现的结果是有限个，并且各种结果发生的可能性相等时，可以用被关注的结果在全部试验结果中所占的比分析出事件中该结果发生的概率，此时可采用列举法．
2、利用列表法或树形图法求概率的关键是：①注意各种情况出现的可能性务必相同；②其中某一事件发生的概率；③在考查各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时不能重复也不能遗漏；
3、用列表法或树形图法求得的概率是理论概率，而实验估计值是频率，它通常受到实验次数的影响而产生波动，因此两者不一定一致，实验次数较多时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率。
列举法一种方式为树状图，如下：
A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
甲
乙
丙
列举法另一种方式为图表，如下：
第2个
第1个
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
用频率估计概率
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率
P(A)=p。
在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个随机事件出现的频率应该稳定于该事件发生的概率。
事件发生的频率与概率既有区别又有联系：事件发生的频率不一定相同，是个变数，而事件发生的概率是个常数；但它们之间又有密切的联系，随着试验次数的增加，频率越来越稳定于概率。
在具体操作过程中，大家往往发现：虽然多次试验结果的频率逐渐稳定于概率，但可能无论做多少次试验，两者之间存在着一定的偏差。应该注意：这种偏差的存在是经常的，并且是正常的。另外，由于受到某些因素的影响，通过试验得到的估计结果往往不太理想，甚至有可能出现极端情况，此时我们应正确地看待这样的结果并尝试着对结果进行合理的解释。对试验结果的频率与理论概率的偏差的理解也是形成随机观念的一个重要环节。
在实际应用中，当试验次数越大时，出现极端情况的可能性就越小。因此，我们常常通过做大量重复试验来获得事件发生的频率，并用它作为概率的估计值。试验次数越多，得到的估计结果就越可靠。
