小学数学精讲教案3_2_8 发车间隔 教师版

小学数学精讲教案3_2_8 发车间隔 教师版

1、 熟练运用柳卡解题方法解多次相遇和追及问题 2、 通过左图体会发车间隔问题重点——发车间隔不变（路程不变） 3、 能够熟练应用三个公式解间隔问题 发车问题要注意的是两车之间的距离是不变的。可以用线等距离连一些小物体来体会进车队的等距离 前进。还要理解参照物的概念有助于解题。接送问题关键注意每队行走的总时间和总路程，是寻找比例和 解题的关键。 一、常见发车问题解题方法 间隔发车问题，只靠空间理想象解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助，但是一旦掌握了 3 个 基本方法，一般问题都可以迎刃而解。 （一）、在班车里——即柳卡问题 不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间——距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点 个数即可完成。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。 （二）、在班车外——联立 3 个基本公式好使 （1）汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔 （2）汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔 （3）汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔 （三）、三个公式并理解 汽车间距=相对速度×时间间隔 二、综上总结发车问题可以总结为如下技巧 （1）、一般间隔发车问题。用 3 个公式迅速作答； （2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。 标准方法是：画图——尽可能多的列 3 个好使公式——结合 s 全程＝v×t-结合植树问题数数。 （3） 当出现多次相遇和追及问题——柳卡 【例 1】 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在 途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽 约开来的轮船？ 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．他 先画了如下一幅图： 发车间隔 教学目标 知识精讲 这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么， 从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船 的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮 船相遇的情况． 从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的 15 艘 轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的 15 艘船中，有 1 艘是在出发时遇到（从纽约刚到 达哈佛），1 艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下 13 艘则在海上相遇；另外，还可从图 中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜． 如果不仔细思考，可能认为仅遇到 7 艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了 已在海上的轮船． 【答案】15 艘 【例 2】 甲、乙两站从上午 6 时开始每隔 8 分同时相向发出一辆公共汽车，汽车单程运行需 45 分。有一 名乘客乘坐 6 点 16 分从甲站开出的汽车，途中他能遇到几辆从乙站开往甲站的公共汽车？ 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】提示：这名乘客 7 点 01 分到达乙站时，乙站共开出 8 辆车。 【答案】8 辆。 【例 3】 一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙 站，全程要走 15 分钟．有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站．他出发的时候，恰好有 一辆电车到达乙站．在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车．到达甲站时，恰好又有一辆电车 从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多少分钟？ 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方法一：骑车人一共看到 12 辆车，他出发时看到的是 15 分钟前发的车，此时第 4 辆车正从甲发 出．骑车中，甲站发出第 4 到第 12 辆车，共 9 辆，有 8 个 5 分钟的间隔，时间是 （分 钟）． 方法二：先让学生用分析间隔的方式来解答： 骑车人一共看到 12 辆车，他出发时看到的是 15 分钟前发的车，此时第 4 辆车正从甲发出．骑车 中，甲站发出第 4 到第 12 辆车，共 9 辆，有 8 个 5 分钟的间隔，时间是 （分钟）． 再引导学生用柳丁的运行图的方式来分析： 第一步：在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站．由于每隔 5 分钟有一辆电车从甲站出发， 所以把表示甲站与乙站的直线等距离划分，每一小段表示 5 分钟． 第二步：因为电车走完全程要 15 分钟，所以连接图中的 1 号点与 P 点（注意：这两点在水平方 向上正好有 3 个间隔，这表示从甲站到乙站的电车走完全程要 15 分钟），然后再分别过 等分点作一簇与它平行的平行线表示从甲站开往乙站的电车． 第三步：从图中可以看出，要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车，那么从 P 点引出的粗线必须和 10 条平行线相交，这正好是图中从 2 号点至 12 号点引出的平行线． 5 8 40× = 5 8 40× = 从图中可以看出，骑车人正好经历了从 P 点到 Q 点这段时间，因此自行车从乙站到甲站用了 （分钟）．对比前一种解法可以看出，采用运行图来分析要直观得多！ 【答案】 分钟 【巩固】 A、B 是公共汽车的两个车站，从 A 站到 B 站是上坡路。每天上午 8 点到 11 点从 A，B 两站每隔 30 分同时相向发出一辆公共汽车。已知从 A 站到 B 站单程需 105 分，从 B 站到 A 站单程需 80 分。问：（1）8：30、9：00 从 A 站发车的司机分别能看到几辆从 B 站开来的汽车？（2）从 A 站发车的司机最少能看到几辆从 B 站开来的汽车？ 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方法一：A 站到 B 站单程需 105 分钟,这个时间里,从 B 发出多少班车,就能看到多少车共有 4 辆(同 时发的,30 分后,60 分后,90 分后发的).至外,A 站发车时,从 B 站发出的还在路上的车也能看到.共有 2 辆(30 分前发的,60 分前发的.这时 90 分前发的车已到 A 站了).所以最多能看到 6 辆.最少的是最 后一班车所能看到的 60 分前发的,30 分前发的和与他同时发的车.共有 3 辆。 方法二：柳卡图解题，下面的运行图所示，实线段表示从 A 站开往 B 站的车，虚线段表示从 B 站 开往 A 站的车，交点表示相遇． 从图中可以看出，最多的是 9 点和 9 点半发车的司机，分别遇到 6 辆；最少的是 11 点发车的司 机，遇到 3 辆． 【答案】（1）8：30 从 A 站发车的司机能看到 辆从 B 站开来的汽车 9：00 从 A 站发车的司机能看到 6 辆从 B 站开来的汽车 （2）从 A 站发车的司机最少能看到 3 辆从 B 站开来的汽车 【例 4】 某停车场有 10 辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔 4 分钟，有一辆出租汽车开出.在第 一辆出租汽车开出 2 分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔 6 分钟有一辆出租汽车回场.回场的 出租汽车，在原有的 10 辆出租汽车之后又依次每隔 4 分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开 出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？ 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】这个题可以简单的找规律求解 时间 车辆 4 分钟 9 辆 6 分钟 10 辆 8 分钟 9 辆 12 分钟 9 辆 16 分钟 8 辆 18 分钟 9 辆 20 分钟 8 辆 24 分钟 8 辆 由此可以看出：每 12 分钟就减少一辆车，但该题需要注意的是：到了剩下一辆的时候是不符合 这种规律的到了 12*9=108 分钟的时候，剩下一辆车，这时再经过 4 分钟车厂恰好没有车了，所 以第 112 分钟时就没有车辆了，但题目中问从第一辆出租汽车开出后，所以应该为 108 分钟。 【答案】108 分钟 【例 5】 某人沿着电车道旁的便道以每小时 千米的速度步行，每 分钟有一辆电车迎面开过，每 12 分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：电 车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？ 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设电车的速度为每分钟 米．人的速度为每小时 千米，相当于每分钟 75 米．根据题意可列方 程如下： ，解得 ，即电车的速度为每分钟 300 米，相当于每小 时 18 千米．相同方向的两辆电车之间的距离为： (米)，所以电车之间的时 5 8 40× = 40 5 4.5 7.2 x 4.5 ( ) ( )75 7.2 75 12x x+ × = − × 300x = ( )300 75 12 2700− × = 间间隔为： (分钟)． 【答案】 分钟 【巩固】 某人以匀速行走在一条公路上,公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车.他发现每隔 15 分钟有一辆公共汽车追上他；每隔 10 分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过.问公共汽车每隔多 少分钟发车一辆? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】这类问题一般要求两个基本量：相邻两电车间距离、电车的速度。是人与电车的相遇与追及问题， 他们的路程和（差）即为相邻两车间距离，设两车之间相距 S， 根据公式得 ， ， 那么 ，解得 ， 所以发车间隔 T = 【答案】 【巩固】 某人沿电车线路行走，每 12 分钟有一辆电车从后面追上，每 4 分钟有一辆电车迎面开来．假设 两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔． 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设电车的速度为 a，行人的速度为 b，因为每辆电车之间的距离为定值，设为 l．由电车能在 12 分钟追上行人 l 的距离知， ； 由电车能在 4 分钟能与行人共同走过 l 的距离知， ,所以有 l=12(a-b)=4(a+b)，有 a=2b，即电车的速度是行人步行速度的 2 倍。那么 l=4(a+b)=6a，则发车间隔上： ．即发车间隔为 6 分钟． (法 2)假设有个人向前走 12 分钟又回头走 12 分钟，那么在这 24 分钟内，他向前走时有 1 辆车 追上他，他回头走时又迎面遇上 辆电车，所以在这 24 分钟内他共遇上 4 辆相同方向开 过来的电车，所以电车的发车间隔为 分钟． 【答案】 分钟 【巩固】 小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运 行。 每隔 30 分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔 20 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。 问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？ 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】假设小明在路上向前行走了 60（20、30 的最小公倍数）分钟后，立即回头再走 60 分钟，回到原 地。这时在前 60 分钟他迎面遇到 辆车，后 60 分钟有 辆车追上他。那么在 两个 60 分钟里他共遇到朝同一方向开来的 5 辆车，所以发车的时间为 分钟 【答案】 分钟 【例 6】 在一条马路上，小明骑车与小光同向而行，小明骑车速度是小光速度的 3 倍，每隔 10 分有一辆 公共汽车超过小光，每隔 20 分有一辆公共汽车超过小明。已知公共汽车从始发站每次间隔同样 的时间发一辆车，问：相邻两车间隔几分？ 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】解：设车速为 a，小光的速度为 b，则小明骑车的速度为 3b。根据追及问题“追及时间×速度差＝ 追及距离”，可列方程 　　10（a－b）＝20（a－3b）， 　　解得 a＝5b，即车速是小光速度的 5 倍。小光走 10 分相当于车行 2 分，由每隔 10 分有一辆车 超过小光知，每隔 8 分发一辆车。 【答案】8 分。 【巩固】 从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。甲每分钟 步行 82 米，每隔 10 分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行 60 米，每隔 10 分 15 秒遇上 迎面开来的一辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ 2700 300 9÷ = 9 ( ) 10minS V V= + ×人 车 ( ) 15minS V V= − ×人车 ( ) 10 ( ) 15V V V V+ × = − ×人 人车 车 5V V= 人车 1( ) 10( ) 10 5 12 12 V VV V VS V V V V + ×+ ×= = = =车 车人 车 车 车 车 车 车 12 1 12a b =− 4l a b =+ 6 6l a a a = = 12 4 3÷ = 24 4 6÷ = 6 60 20 3÷ = 60 30 2÷ = 60 2 (3 2) 24× ÷ + = 24 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】这类问题一般要求两个基本量：相邻两电车间距离、电车的速度。甲与电车属于相遇问题，他们 的路程和即为相邻两车间距离，根据公式得 ， 类似可得 ， 那么 ，即 ， 解得 米/分，因此发车间隔为 9020÷820=11 分钟。 【答案】11 分钟 【巩固】 从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲与乙两人在一条街上反方向步行．甲沿电车发车方 向每分钟步行 米，每隔 分钟有一辆电车从后方超过自己；乙每分钟步行 米，每隔 分 遇上迎面开来的一辆电车．那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 ，所以 ，所以电车总站每隔 （分 钟）开出一辆电车. 【答案】 分钟 【例 7】 甲城的车站总是以 20 分钟的时间间隔向乙城发车，甲乙两城之间既有平路又有上坡和下坡，车 辆（包括自行车）上坡和下坡的速度分别是平路上的 80%和 120%，有一名学生从乙城骑车去 甲城，已知该学生平路上的骑车速度是汽车在平路上速度的四分之一，那么这位学生骑车的学 生在平路、上坡、下坡时每隔多少分钟遇到一辆汽车？ 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】先看平路上的情况，汽车每分钟行驶汽车平路上汽车间隔的 1/20，那么每分钟自行车在平路上行 驶 汽 车 平 路 上 间 隔 的 1/80 ， 所 以 在 平 路 上 自 行 车 与 汽 车 每 分 钟 合 走 汽 车 平 路 上 间 隔 的 1/20+1/80=1/16，所以该学生每隔 16 分钟遇到一辆汽车，对于上坡、下坡的情况同样用这种方法 考虑，三种情况中该学生都是每隔 16 分钟遇到一辆汽车. 【答案】16 分钟 【例 8】 甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、 乙两地出发，相向而行．每辆电车都隔 4 分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔 5 分钟遇到 迎面开来的一辆电车；小王每隔 6 分钟遇到迎面开来的一辆电车．已知电车行驶全程是 56 分钟， 那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了 分钟． 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】由题意可知，两辆电车之间的距离 电车行 8 分钟的路程（每辆电车都隔 4 分钟遇到迎面开来的一辆电车） 电车行 5 分钟的路程 小张行 5 分钟的路程 电车行 6 分钟的路程 小王行 6 分钟的路程 由此可得，小张速度是电车速度的 ，小王速度是电车速度的 ，小张与小王的速 度和是电车速度的 ，所以他们合走完全程所用的时间为电车行驶全程所用时间的 ， 即 分钟，所以小张与小王在途中相遇时他们已行走了 60 分钟． 【答案】60 分钟 【巩固】 甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、 乙两地出发，相向而行．每辆电车都隔 6 分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔 8 分钟遇到 迎面开来的一辆电车；小王每隔 9 分钟遇到迎面开来的一辆电车．已知电车行驶全程是 45 分钟， 那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了 分钟． 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】由题意可知，两辆电车之间的距离 电车行 12 分钟的路程 电车行 8 分钟的路程 小张行 8 分钟的路程 电车行 9 分钟的路程 小王行 9 分钟的路程 ( ) 10minS V V= + ×乙甲 ( ) 10.25minS V V= + ×乙甲 ( ) 10.25 ( ) 10V V V V+ × = + ×乙 甲车 车 (60 ) 10.25 (82 ) 10V V+ × = + ×车 车 =820V 车 60 20 80 10 60 20 80 10V V− × = + ×车 车（ ） （ ） 200V =车 200 80 10 200 14+ × ÷ =（ ） 14 = = + = + 8 5 3 5 5 − = 8 6 1 6 3 − = 3 1 14 5 3 15 + = 15 14 1556 6014 × = = = + = + 由此可得，小张速度是电车速度的 ，小王速度是电车速度的 ，小张与小王的 速度和是电车速度的 ，所以他们合走完全程所用的时间为电车行驶全程所用时间的 ， 即 分钟，所以小张与小王在途中相遇时他们已行走了 54 分钟． 【答案】54 分钟 【例 9】 一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的 3 倍，每隔 6 分钟有一 辆公共汽车超过步行人，每隔 10 分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的 时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？ 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，但题目没有 直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？ 由题可知：相邻两汽车之间的距离（以下简称间隔距离）是不变的，当一辆公共汽车超过步行人 时，紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔 6 分钟就有一辆汽车超过步 行人， 这就是说：当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用 6 分钟才能追上步行人，汽车与行人的路 程差就是相邻两汽车的间隔距离。对于骑车人可作同样的分析. 因此，如果我们把汽车的速度记作 V 汽，骑车人的速度为 V 自，步行人的速度为 V 人（单位都是 米/分钟），则：间隔距离=（V 汽-V 人）×6（米），间隔距离=（V 汽-V 自）×10（米），V 自=3V 人。综合上面的三个式子，可得：V 汽=6V 人，即 V 人=1/6V 汽， 则：间隔距离=（V 汽-1/6V 汽）×6=5V 汽（米） 所以，汽车的发车时间间隔就等于：间隔距离÷V 汽=5V 汽（米）÷V 汽（米/分钟）=5（分钟）。 【答案】5 分钟 【巩固】 一条街上，一个骑车人与一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人速度的 3 倍，每隔 10 分 钟有一辆公共汽车超过行人，每隔 20 分钟有一辆公共汽车超过骑车人．如果公共汽车从始发站 每次间隔同样的时间发一辆车，那么间隔多少分钟发一辆公共汽车？ 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】紧邻两辆车间的距离不变，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公汽与步行人间的距离， 就是汽车间隔距离．当一辆汽车超过行人时，下一辆汽车要用 10 分才能追上步行人．即追及距 离=（汽车速度-步行速度）×10．对汽车超过骑车人的情形作同样分析，再由倍速关系可得汽车 间隔时间等于汽车间隔距离除以 5 倍的步行速度．即： 10×4×步行速度÷（5×步行速度）=8（分） 【答案】8 分 【巩固】 从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲与乙两人在一条街上沿着同一方向行走．甲每隔 分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每隔 分钟遇上迎面开来的一辆电车．且甲的速度是乙的速 度的 倍，那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设电车的发车间隔为“ ”，有 ，且 ，解得 ， 所以 ，所以电车总站每隔 （分钟）开出一辆电车. 【答案】 分钟 【例 10】 小峰骑自行车去小宝家聚会，一路上小峰注意到，每隔 9 分钟就有一辆公交车从后方超越小峰， 小峰骑车到半路，车坏了，小峰只好打的去小宝家，这时小峰又发现出租车也是每隔 9 分钟超 越一辆公交车，已知出租车的速度是小峰骑车速度的 5 倍，那么如果公交车的发车时间间隔和 行驶速度固定的话，公交车的发车时间间隔为多少分钟？ 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】间隔距离=（公交速度-骑车速度）×9 分钟；间隔距离=（出租车速度-公交速度）×9 分钟所以， 公交速度-骑车速度=出租车速度-公交速度；公交速度=（骑车速度+出租车速度）/2=3×骑车速度. 由此可知，间隔距离=（公交速度-骑车速度）×9 分钟=2×骑车速度×9 分钟=3×骑车速度×6 分钟= 12 8 1 8 2 − = 12 9 1 9 3 − = 1 1 5 2 3 6 + = 6 5 645 545 × = 10 15 3 1 10 15 1V V V V+ × = + × =乙甲 电车 电车（ ） （ ） 3V V= 乙甲 3V V= 乙电车 1 20V =电车 11 2020 ÷ = 20 公交速度×6 分钟. 所以公交车站每隔 6 分钟发一辆公交车. 【答案】6 分钟 【巩固】 小明骑自行车到朋友家聚会，一路上他注意到每隔 12 分钟就有一辆公交车从后边追上小乐，小 明骑着骑着突然车胎爆了，小明只好以原来骑车三分之一的速度推着车往回走，这时他发现公 交车以每隔 4 分钟一辆的频率迎面开过来，公交车站发车的间隔时间到底为多少？ 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】设公交车之间的间距为一个单位距离，设自行车的速度为 x，汽车的速度为 y，根据汽车空间和 时间间距与车辆速度的关系得到关系式：12×（y-x）=4×（y+1x/3），化简为 3y=5x.即 y/x=5/3，而 公交车与自行车的速度差为 1/12，由此可得到公交车的速度为 5/24，自行车的速度为 1/8，因此 公交车站发车的时间间隔为 24/5=4.8 分钟. 【答案】4.8 分钟 【例 11】 某人乘坐观光游船沿顺流方向从 A 港到 B 港。发现每隔 40 分钟就有一艘货船从后面追上游船， 每隔 20 分钟就会有一艘货船迎面开过，已知 A、B 两港间货船的发船间隔时间相同，且船在净 水中的速度相同，均是水速的 7 倍，那么货船发出的时间间隔是__________分钟。 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】由于间隔时间相同，设顺水两货船之间的距离为“1”，逆水两货船之间的距离为（7－1）÷（7＋ 1）＝3/4。所以，货船顺水速度－游船顺水速度＝1/40，即货船静水速度－游船静水速度＝1/4， 货船逆水速度＋游船顺水速度＝3/4×1/20＝3/80，即货船静水速度＋游船静水速度＝3/80，可以求 得货船静水速度是（1/40＋3/80）÷2＝1/32，货船顺水速度是 1/32×（1＋1/7）＝1/28），所以货 船的发出间隔时间是 1÷1/28＝28 分钟。 【答案】28 分钟 【巩固】 小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运 行。每隔 分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问： 该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？公共汽车的速度是小明步行速度的几倍？ 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】假设小明在路上向前行走了 （ 、 的最小公倍数）分钟后，立即回头再走 分钟，回到原 地。这时在前 分钟他迎面遇到 （辆）车，后 分钟有 （辆）车追上他，那 么在两个 分钟里他共遇到朝同一方向开来的 辆车，所以发车的时间间隔为： （分）。公共汽车的发车时间以及速度都是不变的，所以车与车之间的间隔也是固 定不变的。根据每隔 分钟就有辆公共汽车从后面超过他，我们可以得到： 间隔 （车速 步速）；每隔 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，我们可以得到： 间隔 （车速 步速），所以 （车速 步速） （车速 步速），化简可得：车速 倍步速。 【答案】 倍 【例 12】 小红放学后沿着公共汽车的线路以 4 千米/时的速度往家走，一边走一边数来往的公共汽车．到 家时迎面来的公共汽车数了 11 辆，后面追过的公共汽车数了 9 辆．如果公共汽车按相等的时间 间隔发车，那么公共汽车的平均速度是多少？ 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】可以假设小红放学走到家共用 99 分钟，那么条件就可以转化为：“每隔 9 分钟就有辆公共汽车迎 面开来，每隔 11 分钟就有辆公共汽车从后面超过他”．根据汽车间隔一定，可得：间隔 （车 速 步速） （车速 步速），化简可得：车速 倍的步速．所以车速为 （千米/ 时）． 【答案】 千米/时 【例 13】 城每隔 分钟有直达班车开往 镇，速度为每小时 千米；小王骑车从 城去 镇，速度 为每小时 千米．当小王出发 分钟时，正好有一趟班车（这是第一趟）追上并超过了他； 当小王到达 镇时，第三趟班车恰好与他同时到达． 、 间路程为 千米． 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】日本小学算术奥林匹克大赛，高小组，初赛 【解析】由于班车速度是小王速度的 倍，所以当第一趟班车追上并超过小王的那一刻，由于小王已出发 分钟，所以第一趟班车已出发 分钟；再过 分钟，第三趟班车出发，此时小王已走 63 63 63 63 7= × 9 7 63 9 7 63 7 9÷ = 63 9 7÷ = 7 9 16+ = 763 2 16 7 8 × ÷ = 9 9= × − 7 7= × + 9× − + 8= 8 11= × − 9= × + 10= 10 4 40× = 40 A 30 B 60 A B 20 30 B A B 3 30 30 3 10÷ = 50 了 分钟，从此刻开始第三趟班车与小王同向而行，这是一个追及问题．由于班车速度 是小王速度的 倍，所以第三趟班车走完全程的时间内小王走了全程的 ，所以小王 分钟走了 全程的 ， 、 间路程为： （千米）． 【答案】 千米 30 50 80+ = 3 1 3 80 2 3 A B 80 220 4060 3 × ÷ = 40