小学数学精讲教案2_2_3 不定方程与不定方程组 教师版

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小学数学精讲教案2_2_3 不定方程与不定方程组 教师版

不定方程与不定方程组 ‎ ‎ 教学目标 ‎1.利用整除及奇偶性解不定方程 ‎2.不定方程的试值技巧 ‎3.学会解不定方程的经典例题 知识精讲 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一.古希腊的丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究.宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.‎ 考点说明 在各类竞赛考试中,不定方程经常以应用题的形式出现,除此以外,不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中.在以后初高中数学的进一步学习中,不定方程也同样有着重要的地位,所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具,并能够在以后的学习中使用这个工具解题。‎ 二、不定方程基本定义 ‎1、定义:不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。‎ ‎2、不定方程的解:使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解,不定方程的解不唯一。‎ ‎3、研究不定方程要解决三个问题:①判断何时有解;②有解时确定解的个数;③求出所有的解 三、不定方程的试值技巧 ‎1、奇偶性 ‎2、整除的特点(能被2、3、5等数字整除的特性)‎ ‎3、余数性质的应用(和、差、积的性质及同余的性质)‎ 例题精讲 模块一、利用整除性质解不定方程 【例 1】 求方程 2x-3y=8的整数解 ‎【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 方法一:由原方程,易得 2x=8+3y,x=4+y,因此,对y的任意一个值,都有一个x与之对应,并且,此时x与y的值必定满足原方程,故这样的x与y是原方程的一组解,即原方程的解可表为:‎ ‎,其中k为任意数.说明 由y取值的任意性,可知上述不定方程有无穷多组解.‎ 方法二:根据奇偶性知道2x是偶数,8为偶数,所以若想2x-3y=8成立,y必为偶数,‎ 当y=0,x=4;当y=2,x=7;当y=4,x=10……,本题有无穷多个解。‎ ‎【答案】无穷多个解 【巩固】 求方程2x+6y=9的整数解 ‎【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 因为2x+6y=2(x+3y),所以,不论x和y取何整数,都有2|2x+6y,但29,因此,不论x和y取什么整数,2x+6y都不可能等于9,即原方程无整数解.‎ 说明:此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。‎ ‎【答案】无整数解 【例 2】 求方程4x+10y=34的正整数解 ‎【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 因为4与10的最大公约数为2,而2|34,两边约去2后,得 2x+5y=17,5y的个位是0或5两种情况,2x是偶数,要想和为17,5y的个位只能是5,y为奇数即可;2x的个位为2,所以x的取值为1、6、11、16……‎ x=1时,17-2x=15,y=3,‎ x=6时,17-2x= 5,y=1,‎ x=11时,17-2x=17 -22,无解 所以方程有两组整数解为:‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 求方程3x+5y=12的整数解 ‎【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 由3x+5y=12,3x是3的倍数,要想和为12(3的倍数),5y也为3的倍数,所以y为3的倍数即可,所以y的取值为0、3、6、9、12……‎ y=0时,12-5y=12,x=4,‎ x=3时,12-5y=12-15,无解 所以方程的解为:‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 解不定方程:(其中x,y均为正整数)‎ ‎【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 方法一:2x是偶数,要想和为40(偶数),9y也为偶数,即y为偶数,也可以化简方程,知道y为偶数,所以方程解为:‎ ‎【答案】‎ 模块二、利用余数性质解不定方程 【例 3】 求不定方程的正整数解有多少组?‎ ‎【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 本题无论或是,情况都较多,故不可能逐一试验.检验可知1288是7的倍数,所以也是7的倍数,则 是7的倍数.‎ 设,原方程可变为,可以为1,2,3,……16.由于每一个的值都确定了原方程的一组正整数解,所以原方程共有16组正整数解.‎ ‎【答案】16组 【例 1】 求方程3x+5y=31的整数解 ‎【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 方法一:利用欧拉分离法,由原方程,得 x=,即 x=10-2y+,要使方程有整数解必须为整数.‎ 取y=2,得x=10-2y+=10-4+1=7,故x=7,y=2‎ 当y=5,得x=10-2y+=10-10+2=2,故x=2,y=5‎ 当y=8,得x=10-2y+=10-16+3无解 ‎ 所以方程的解为:‎ 方法二:利用余数的性质 ‎3x是3的倍数,和31除以3余1,所以5y除以3余1(2y除以3余1),根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为:‎ 取y=1,2y=2,2÷3=0……2(舍)‎ ‎ y=2,2y=4,4÷3=1……1(符合题意)‎ ‎ y=3,2y=6,6÷3=2(舍)‎ y=4,2y=8,8÷3=2……2(舍)‎ y=5,2y=10,10÷3=3……1(符合题意)‎ y=6,2y=12,12÷3=4(舍)‎ 当y>6时,结果超过31,不符合题意。‎ 所以方程的解为:‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 解方程,(其中x、y均为正整数)‎ ‎【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 方法一:,4y是4的倍数,和89除以4余1,所以7x除以4余1(7÷4≡3),可以看成3x除以4余1,根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为(x<13)‎ x=1,3x=3,3÷4≡3(舍)‎ x=2,3x=6,6÷4≡2(舍)‎ x=3,3x=9,9÷4≡1(符合题意)‎ x=4,3x=12,12÷4≡0(舍)‎ x=5,3x=15,15÷4≡3(舍)‎ x=6,3x=18,18÷4≡2(舍)‎ x=7,3x=21,21÷4≡1(符合题意)‎ x=8,3x=24,24÷4≡0(舍)‎ x=9,3x=27,27÷4≡3(舍)‎ x=10,3x=30,30÷4≡2(舍)‎ x=11,3x=33,33÷4≡1(符合题意)‎ x=12,3x=36,36÷4≡0(舍)‎ 所以方程的解为:‎ 方法二:利用欧拉分离法,由原方程,,的取值为4的倍数即可,所以方程的解为:‎ ‎【答案】‎ 模块三、解不定方程组 【例 1】 解方程 ( 其中a、b、c均为正整数 )‎ ‎【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 根据等式的性质将第一个方程整理得,根据消元的思想将第二个式子扩大4倍相减后为:,整理后得,根据等式性质,为偶数,20为偶数,所以为偶数,所以为偶数,当时,,,所以,当时,,,所以无解。所以方程解为 ‎【答案】‎ 【例 2】 解不定方程 (其中x、y、z均为正整数)‎ ‎【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 根据等式的性质将第一个方程整理得,根据消元思想与第二个式子相减得,根据等式的性质两边同时除以2得:,根据等式性质为4的倍数,100为4的倍数,所以为4的倍数,所以为4的倍数试值如下 ‎【答案】‎
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