人教版六年级上册数学第五单元圆PPT

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圆的认识和用圆规画图 圆5 人教版 六年级 数学 上册 从奇妙的自然界到文明的人类社会，从精巧 的手工艺品到气势宏伟的各种建筑……到处都可 以看到大大小小的圆，你能说一说在生活中我们 见到的圆吗？ 举手回答 以前学过的图形都是由几条线段所围 成的封闭平面图形。 圆是由曲线所围成的封闭平面图形。 圆和以前学过的图形有什么不同？ 你能想办法在纸 上画一个圆吗？ 我用茶杯盖画。 这把三角尺上 正好有个圆。 上面这两种方法都是借助实物画圆。 缺点是只能画出形状，尺寸不好把握。 今天我们来学习用 圆规画圆。 一、定长 二、定点 三、一只脚旋 转一周 2厘米 认识圆的圆心、半径和直径 连接圆心和圆上任意一点的 线段叫做半径。 通过圆心并且两端都在圆 上的线段叫做直径。 ·O · 用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，一般用字母O表示。 用圆规画几个不同大小的圆， 剪下来，沿着直径折一折，画 一画，量一量，你有什么发现？ 用你自己的话说一说。 一个圆有无数条半径，无数条直径。 把圆沿任意一条直径对折，你发现了什么？ 两边可以重合。 圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，任意一 条直径所在的直线都是它的对称轴。 同一圆内，所有的半径都相等，所有的直径 都相等，直径的长度是半径长度的2倍。把圆沿任 意一条直径对折，两边可以重合。 小组交流：半径和直径有什么特点？它们之间有什么联系？ 圆的中心位置是由什么决定的？ 半径决定圆的什么？ 圆心确定了，圆的中心位置就确定 了。半径决定了圆的大小。 用圆设计美丽的图案。 1.先画出一个圆。 2.然后在圆上画两条经过圆心并且互相垂直的直线。 3. 在直线与圆的四个交点中，连接相邻的两个交点 构造线段。 4.以交点构造的线段为直径，画一个过大圆圆心的 半圆。 5.以交点构造的四条线段为直径，依次作出半圆。 请你试着用圆规和直尺画一画下面的图形。 用圆规画一个半径是2cm的圆，并用字母 O、r、d标出它的圆心、半径和直径。 o 2cm d r 判一判。 （1）三角形、四边形、梯形、圆都是由直 线围成的封闭图形。 （ ） （2）在同一个圆内，所有的两端在圆上的 线段都相等。 （ ） （3）两条半径的长度等于一条直径的长度。 （ ） （4）圆是轴对称图形，直径是它的对称轴。 （ ） × × × × O 6 cm r =______3 cmd =______ 3 cmO 6 cm 看图填空。 O 10cm d =______10 cm O 高3.5 cm r =________3.5 cm 这节课你们都学会了哪些知识？ 用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，一般用 字母O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径， 一般用字母d表示 在同圆或等圆中，直径的长度是半 径的2倍，半径的长度是直径的一半。用字母r表示， 半径的长度就是圆规两个脚之间的距离。通过圆心并 且两端都在圆上的线段叫做直径。 圆的周长公式的推导 及应用 圆5 A B 圆 1 C D E 半径：OA、OD、OE 直径：DE 半径：OI、OF、OJ 直径：IJ 圆 2 找出下列圆的直径和半径。 长方形、正方形 周长各指什么？ 围成圆的曲线的长是圆的周长。 如何计算圆 的周长？ 举手回答：用自己的话 解释一下，什么是圆的 周长？用手画一画。 0 1 2 3 4 6 7 85 方法一：绳绕法 0 1 2 3 4 6 7 85 2 厘 米 方法二：滚动法 猜一猜 圆的周长和什么有关？ 自己动手量一量 小组交流：你发现圆的周长和直径之间有什么关系？ 物品 名称 周长 直径 周长 直径 的比值 （保留两位小数） 自己动手量一量 圆形物品1 圆形物品3 圆形物品2 …… …… ………… 31.5cm 6.28cm 9.42cm 10cm 2cm 3cm 3.15 3.14 3.14 通过比较，可以发现 （1）圆的周长与直径有关，直径越长，周长就越长； （2)圆的周长总是它的直径的3倍多一些。 物品 名称 周长 直径 周长 直径 的比值 （保留两位小数） 圆的周长除以直径的商是一个固定 的数。我们把它叫做圆周率，用字 母π表示。 π＝3.141592653 π≈3.14 …… 数学诊所 （1）圆周率实质上是一个比值，是 圆的周长与它的直径的比值。 （2）圆周率是一个固定的数，它不 以圆的大小而改变。即:所有圆的圆 周率都是相同的。 （3）圆周率是一个无限不循环小数。 （4）实际应用时一般取它的近似值， 即π＝3.14。 如果用C表示圆的周长，就有： C =πd 或 C=2πr 这辆自行车后轮转一圈，大约可以走多远？小明家离学校1 km，骑车 从家里到学校，轮子大约转了多少圈？ 2×3.14×33＝207.24（cm）≈ 2（m） 1 km＝1000 m 1000÷2=500（圈） 答：这辆自行车后轮转一圈，大约走2m。小明从家到学校，大约转500圈。 这辆自行车后 轮轮胎的半径 大约是33 cm。 C＝2πr （1）圆周率是一个（ ）。 A.有限小数 B.无限小数 （2）求车轮滚动一周前进的距离，是求车轮的（ ）。 A.半径 B.直径 C.周长 （3）圆的周长是直径的（ ）倍。 A.3.14 B.π C.3 选择 B C B 判断 （1）大圆的周长一定比半圆的周长大。（ ） （2）半径不相等的两个圆，周长一定不相等。 （ ） × √ 求下面各圆的周长。 2×3.14×3＝18.84（cm） 3.14×6＝18.84（cm） 2×3.14×5＝31.4（cm） 一张半圆形的饼，它的半径是10厘米，它的周长是 多少厘米？ 两条半径的长度之和 （或一条直径） 圆的周长 的一半 圆的周长的一半：2×3.14×10÷2=31.4cm 一条直径：10×2=20cm 半圆形的周长：31.4+20=51.4cm 答：它的周长是51.4厘米。 3.14×0.9= 一个圆形桌面的直径是0.9m,它的周长是多少米? 答：它的周长是2.826米。 2.826(米) 4.71÷3.14＝1.5（m） 答：这个圆桌面的直径是1.5 m。 这个圆桌面的直径是多少？ 我用卷尺量得圆桌 面的周长是4.71m。 C=πd 或 C=2πr d=C÷π 或 r=C÷2π 圆的周长从15.7cm减少到9.42cm，它的半径比原来 减少了多少厘米？ 15.7÷3.14÷2=2.5（cm） 9.42÷3.14÷2=1.5（cm） 2.5-1.5=1（cm） 答：它的半径比原来减少了1厘米。 一个圆形牛栏的半径是15m,要用多长的粗铁丝才能 把牛栏围上3圈？（接头处不计。）如果每隔2m打一 根木桩，大约要打多少根木桩？ 3.14×15×2×3=282.6（m） 答：要用282.6m长的粗铁丝才能把牛栏围上3圈。 每隔2m打一根木桩，大约要打47根木桩。 3.14×15×2÷2≈47（根） 计算下面涂色部分的周长。 5cm 10×3.14÷2×5+3.14×5 =31.4(cm) 这节课你们都学会了哪些知识？ 围成圆的曲线的长是圆的周长。 圆的周长=直径×圆周率 C=πd 或 C=2πr d=C÷π 或 r=C÷2π 圆的面积公式的推导 及应用 圆5 回忆一下，平行四边形的面积公 式是怎样推导出来的? 原来平行四边形的底 原 来 平 行 四 边 形 的 高 （长方形的长） （ 长 方 形 的 宽 ） 怎样计算 一个圆的 面积呢？ 圆的面积公式能不能通过 “割补法” 转 化成我们已学过的图形来推导出来呢？ 四 等 分 八 等 分 十 六 等 分 三 十 二 等 分 以拼成的近似平行四边形为例： 圆面8等分时： 圆面16等分时： 圆面32等分时： 分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 C 2（=πr） r 宽长方形 长 圆的周长的一半就是长方形的长 从上图中可以看出圆的半径是r，长方形的宽近似 ( )，长近似于( )。圆周长的一半圆的半径 因为长方形的面积＝（ ）×（ ） 所以圆面积＝（ ）×（ ）＝（ ） 长 宽 πr r πr² 用S表示圆的面积，圆的面积计算公式就是： S＝πr² 即时练习 (1)半径为1米的圆的面积为（ ）米， 半径为2米的圆的面积为（ ）米。 (2)直径为1米的圆的面积为（ ）平方米， 直径为6米的圆的面积为（ ）平方米。 4 π 9π π 0.25 π 根据公式计算圆的面积。(π取3.14） S＝πr2　 每平方米草皮8元。这个圆 形草坪的占地面积是多少 平方米呢？ 圆形草坪的直径是20m，铺满草皮需要多少钱？ 先求出圆形草坪的面积 再求出铺满草皮需要多少钱 20÷2=10（m） 3.14×10²=314（m²） 314×8=2512（元） 答：铺满草皮需要2512元。 2、圆的半径扩大2倍，直径就扩大（ ）倍，周长就 扩大（ ）倍，面积就扩大（ ）倍。 填空 1、一个圆形桌面的直径是2米，它的面积是（ ） 平方米。 3.14 2 2 4 这个直径是20m 圆形草坪的占 地面积是多少？ 3.14×102 =3.14×100 =314（m2） 答：它的面积是314平方米。 20÷2=10(m) 一根铁丝长37.68米，在一根圆形木棒上正好绕200 圈，木棒横截面的半径是多少厘米？ 37.68÷200=0.1884（米） 0.1884米=18.84厘米 18.84÷3.14=6（厘米） 答：木棒横截面的半径是3厘米。 6÷2=3（厘米） 在一张长７厘米，宽４厘米的长方形纸上剪一个最 大的圆，圆的面积是多少？ 4÷2=2（cm） 3.14×2²=12.56（cm²） 答：圆的面积是12.56平方厘米。 圆的直径最 长是4厘米。 一个运动场如下图，两端是半圆形，中间是长方形。 已知长方形的长是100米，圆的半径是32米。这个运 动场的面积是多少平方米？ 3.14×32²=3215.36（平方米） 3215.36+6400=9615.36（平方米） 100×（32×2）=6400（平方米） 答：这个运动场的面积是9615.36平方米。 这节课你们都学会了哪些知识？ 1、圆的面积公式是由长方形的面积公式推导出来的。 C 2（=πr） r 宽长方形 长 圆的周长的一半就是长方形的长 2、圆的面积＝（ ）×（ ）＝（ ）πr r πr² 圆环的面积计算 圆5 举手回答：你知 道这些是什么形 状吗？它们都有 哪些特征？ 什么叫圆环？ 在大圆中间挖去一个小 圆，剩下的部分就形成 了一个圆环，组成圆环 的是两个同心圆。 一个环形具有 哪些特点？ 观察图形：用你自己的话说一说圆环的特点。 一个环形具有 哪些特点？ （1）它们的圆心都在 同一个点上（同心圆）。 （2）两个圆间的距离 处处相等。 · ·· 图1 图2 图3 即时练习：下面哪个图是环形？把不是环形的去掉。 · 图2 下面哪个图是环形？把不是环形的去掉。 · r R r表示小圆半径 R表示大圆半径 环宽 说一说： 三个量 之间的 关系。 R=r+环宽 环宽=R-r 请找出下面圆环的内圆半径（r）或外圆半径（R）： 8厘米 R=（ ）厘米 8厘米 2厘 米 r=（ ）厘米 6厘米 4厘 米 r=（ ）厘米 3厘米 1厘米 R=（ ）厘米4 2 2 4 光盘的银色部分是一个圆环，内圆半径是2cm，外圆 半径是6cm。它的面积是多少？ 2cm 6cm怎样利用内圆和外圆的面 积求出环形的面积？ 圆环面积=外圆面积-内圆面积 你还有别的算法吗？ S环＝π×(R2-r2) 2cm 6cm 3.14×6²-3.14×2² ＝3.14×36-3.14×4 ＝113.04-12.56 ＝100.48（平方厘米） 方法一： 答：它的面积是100.48平方厘米。 光盘的银色部分是一个圆环，内圆半径是2cm，外圆 半径是6cm。它的面积是多少？ 2cm 6cm＝3.14×（36－4） ＝3.14×32 3.14×（6²-2²）方法二： 答：它的面积是100.48平方厘米。 ＝100.48（平方厘米） 光盘的银色部分是一个圆环，内圆半径是2cm，外圆 半径是6cm。它的面积是多少？ 3.14×6²－3.14×2² ＝113.04－12.56 ＝100.48（cm²） 方法一： 3.14×（6²－2²） ＝3.14×32 ＝100.48（cm²） 方法二： 圆环面积＝外圆面积-内圆面积 （1）在圆内剪去一个小圆就成为一个圆环。　　　　　　　　 （ ）× 判断 必须是同心圆 （2）一个环形，外圆半径是4厘米，内圆直径是2 厘米，计算这个环形的面积列式为： 3.14×42－3.14×22　　　　　　　　 （ ）× 某公园内有一座圆形喷水池，它的半径是3米。现在 要在喷水池周围铺上1米宽的甬路。甬路的占地面积 是多少平方米？ 3米 1米 3.14×4²-3.14×3² 3+1=4（米） =50.24-28.26 =21.98（平方米） 答：甬路的占地面积是21.98平方米。 方法一： 3.14×（4²-3²） 3+1=4（米） =3.14×7 =21.98（平方米） 答：甬路的占地面积是21.98平方米。 方法二： 某公园内有一座圆形喷水池，它的半径是3米。现在 要在喷水池周围铺上1米宽的甬路。甬路的占地面积 是多少平方米？ 3米 1米 一个圆环，外圆半径是6厘米，环宽1厘米。这个圆 环的面积是多少？ r=6cm3.14×（6²-5²） 6-1=5（米） =3.14×11 =34.54（平方米） 答：这个圆环的面积是34.54平方米。 校园圆形花池的半径是6米，在花池的周围修一条 1米宽的水泥路，求水泥路的面积是多少平方米？ 3.14×（7²-6²） 6+1=7（米） =3.14×13 =40.82（平方米） 答：水泥路的面积是40.82平方米。 下图中的大圆半径等于小圆的直径，请你求出阴影 部分的面积。 答：阴影部分面积为84.78平方厘米。 这节课你们都学会了哪些知识？ （1）S环＝πR2-πr2 （2）S环＝π×(R2-r2) 圆环的面积 2cm 6cm 3.14×6²-3.14×2²方法一： 3.14×（6²-2²）方法二： 不规则图形的面积 圆5 铜钱，古代铜质辅币， 指秦汉以后的各类方 孔圆钱，方孔圆钱的 铸期一直延伸到清末 民国初年。方孔铜钱 应天圆地方之说，古 代人们认为天是圆的， 地是方的，所以秦始 皇铸钱以此为型。 由此可见，方和圆在我国的历史由 来已久，人们对这两个特殊的图形 有着别样的喜爱。 中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方” 的设计。外圆内方是指对外要圆滑随和而内心要刚强， 内圆外方指外表可以有很多棱角，个性突出，但是内心 要懂得包容。二者体现了中国刚柔并济和谐共生的传统。 外方内圆的图形是怎样 组成的？它有什么特点？ 外方内圆的图形称 为圆外切正方形。 外圆内方的图形是怎样 组成的？它有什么特点？ 外圆内方的图形称 为圆内接正方形。 题目中都告诉 了我们什么？ 上图中两个圆的半径都是1m，怎样 求正方形和圆之间部分的面积呢？ 小组交流：如何求正方形和圆之间部分的面积？ 图（1） 左图中正方形的边 长就是圆的直径。 从图（1）可以看出： （1+1）×（1+1）＝4（m²） 4－3.14＝0.86（m²） 3.14×1²＝3.14（m²） 正方形的面积比圆的面积多0.86 m²。 左中正方形的边 长是多少呢？ 图（2） 可以把图中的正方形看 成两个三角形，它的底 和高分别是…… 3.14－2＝1.14（m²） 从图（2）可以看出： 图（2） 圆的面积比正方形的面积多1.14 m²。 如果两个圆的半径都 是r，结果又是怎样的？ 左图：（2r）²－3.14×r²＝0.86r² 答：左图中正方形与圆之间的面积是0.86 m²， 右图中圆与正方形之间的面积是1.14 m²。 当r＝1m时，和前面的 结果完全一致。 左图：（2r）²－3.14×r²＝0.86r² 王师傅做一个零件，零件的形状是圆内接正方形， 已知圆的直径为12cm,你能计算出正方形的面积吗？ 答：这个正方形的面积是72cm2 。 下图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是 24 cm。外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？ 答：外面的圆与内部的正方形之间的面积约 是164.16cm²。 求圆的面积： 三角形的面积是4平方厘米 O 3.14×（4×2） =3.14×8 =25.12（平方米） S圆=πr2 S△=r2÷2=4平方厘米 计算阴影部分的面积。 这节课你们都学会了哪些知识？ S正-S圆 S圆-S正 S圆外切正方形 S圆内切正方形 扇 形 圆5 扇子起源于中国,在中国已有3000多年历史。最早出现在殷代， 用五光十色的野鸡毛制成，称之为"障扇"，故"扇"字里有个 "羽"字。当时，扇子不是用来扇风取凉，而是作为帝王外出 巡视时遮阳挡风避沙之用。西汉以后，扇子开始用来取凉。 这些物体的外形有什 么相同的地方吗？ 它们的外形 都是扇形的。 什么是扇形？ A B O 圆心角 半径 半 径 弧 图上A、B两点之间的部分 叫做弧，读作“弧AB”。 一条弧和经过这条弧两端 的两条半径所围成的图形 叫做扇形。 顶点在圆心的角叫做圆心角。 即时练习：指出下列物体中的扇形。 小组讨论：在同一个圆 中，扇形的大小与什么 有关系呢？ 我发现在同一个圆中， 扇形的大小与这个扇形 的圆心角的大小有关。 以半圆为弧的扇形 的圆心角是180°。 下面图形的阴影部分是扇形的画“√”。 下列图形中的扇形是几分之几圆？ （ ） （ ） （ ） 求下面扇形的周长与面积。 下列每个正方形边长是2㎝，求阴影部分的面积。 这节课你们都学会了哪些知识？ 1、圆上A、B两点之间的部分叫做 弧，读作“弧AB”。 2、一条弧和经过这条弧两端的两 条半径所围成的图形叫做扇形。 3、顶点在圆心的角叫做圆心角。 4、在同一个圆中，圆心角越大， 扇形越大。 A B O 圆心角 半径 半 径 弧 确定起跑线 活动课 400米比赛 跑道1 跑道2 比赛公平吗？ 运动员起跑的位置为什么不一样？ 活动1 认识跑道 认识400米跑道 85.96m 1.25m 道宽 400米 400米环形跑道结构图 72.6m 活动1 认识跑道 活动1 认识跑道 认识400米跑道 两个半圆形跑道完全相等，合起来就是一个整圆。 活动2 计算跑道直径 1 . 2 5 85.96m 7 2 . 6 m 各半圆形跑道的直径各是多少？ 1 . 2 5 活动2 计算跑道直径 看图填空。 A、每条跑道长度=两条（ ）长度+两条（ ）长度。 B、每条跑道宽度都（ ）；两条直道长度都（ ）；两条半 圆形弯道长度都（ ），可以拼成一个（ ）。 C、每条跑道长度=两条（ ）长度+一个（ ）。 D、第2道半圆形弯道的直径=72.6米+（ ）米，第3道半圆形弯 道的直径=（ ）米+（ ）米，…… 直道 弯道 相等 相等 相等 圆 直道 圆 2.5 72.6 5 1、任务：计算每条跑道的总长，并找出相邻两条跑 道的差距。 2、分工：4人一小组，一人负责记录数据并填写记录 表，一人负责确定计算思路并列式，一人负责数据的 计算（可用计算器），一人负责监督并汇报。 3、一边计算一边观察，看看有没有填表的简便方法。 活动3 计算跑道长度 差 距 （m） 7.85 7.85 7.85 7.85 7.85 1道 2道 3道 4道 5道 6道 7道 8道 直径 (m) 周长 (m) 全长 (m) 7.85 7.85 （注：计算时π取值3.14159，表中数据保留两位小数。） 75.1 235.93 407.85 77.6 243.79 415.71 80.1 251.64 423.56 82.6 259.50 431.42 87.6 275.20 447.12 85.1 267.35 439.27 90.1 283.06 454.98 72.6 228.08 400 活动3 计算跑道长度 400米跑道相邻起跑线依次相差=( )×2×π ． 7.85米 7.85 米 7 . 8 5 米 400米跑道如何确定起跑线的位置？ 依次相差：7.85米 =( )×3.14 =( )×2×3.14 2.5 1.25 道宽 活动4 确定起跑线的位置 ？？？ 通过今天的活动课，你都学到了什么呢？ 你 学 会 了 吗 ？ 只要知道了跑道的宽度，根据 相邻跑道起跑线相差都是“跑道宽 ×2×π”，就能确定起跑线的位置。 排在中间道次（3，4道）的运动员可以观察到左右两边选手 的位置，对比赛有利，所以中间道次（3，4道）为黄金道次。其 实，每一个跑道的弯道，由于向心力的不同，对于一个职业运动 员来说，弯道的跑法最为重要，不同的弯道的跑法略有不同。 黄金跑道