小学数学精讲教案4_4_2 圆与扇形（二） 教师版

小学数学精讲教案4_4_2 圆与扇形（二） 教师版

圆与扇形 例题精讲 研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．‎ 圆的面积；扇形的面积；‎ 圆的周长；扇形的弧长． ‎ 一、 跟曲线有关的图形元素：‎ ‎①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是．‎ 比如：扇形的面积所在圆的面积；‎ 扇形中的弧长部分所在圆的周长 扇形的周长所在圆的周长2半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)‎ ‎②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．‎ 一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积．(除了半圆)‎ ‎③”弯角”：如图： 弯角的面积正方形-扇形 ‎④”谷子”：如图： “谷子”的面积弓形面积 二、 常用的思想方法：‎ ‎①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)‎ ‎②等积变形(割补、平移、旋转等)‎ ‎③借来还去(加减法)‎ ‎④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)‎ 板块二 曲线型面积计算 【例 1】 如图，已知扇形的面积是半圆面积的倍，则角的度数是________．‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设半圆的半径为1，则半圆面积为，扇形的面积为．因为扇形的面积为，所以，，得到，即角的度数是60度．‎ ‎【答案】60度 【例 1】 如下图，直角三角形的两条直角边分别长和，分别以为圆心，为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是，那么角是多少度()‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 ‎,‎ 三角形内两扇形面积和为，‎ 根据扇形面积公式两扇形面积和为,‎ 所以,.‎ ‎【答案】60度 【例 2】 如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的，是小圆面积的．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 小圆的面积为，则大小圆相交部分面积为,那么大圆的面积为，而，所以大圆半径为厘米．‎ ‎【答案】7.5‎ 【例 3】 有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(取3)‎ ‎ ‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由右图知，绳长等于6个线段与6个弧长之和．‎ 将图中与弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是，‎ 所以弧所对的圆心角是，6个弧合起来等于直径5厘米的圆的周长．‎ 而线段等于塑料管的直径，‎ 由此知绳长为：(厘米)．‎ ‎【答案】45‎ 【例 1】 如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？()‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图，点是在以为中心的扇形上，所以，同理，则是正三角形，同理，有是正三角形．有，正五边形的一个内角是，因此，也就是说圆弧的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是．‎ ‎【答案】12.56‎ 【例 2】 如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色部分面积．‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的，则4个小圆的面积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．‎ ‎【答案】相等 【例 3】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为，空白部分面积为，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取)‎ ‎ ‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为，则，，所以．‎ 移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．‎ ‎【答案】57:100‎ 【例 1】 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积，‎ 小圆面积，个小圆总面积，‎ 边角料面积(平方厘米)．‎ ‎【答案】8‎ 【例 2】 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．‎ 由右图可见，阴影部分面积等于大圆面积减去一个小圆面积，再加上的小扇形面积(即小圆面积)，所以相当于大圆面积减去小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的倍，那么阴影部分面积为．‎ ‎【答案】2.5‎ 【例 3】 如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．‎ ‎(圆周率取)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式．‎ 可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么，又知四边形是平行四边形，所以，这样就可求出扇形的面积和为(平方厘米)，阴影部分的面积(平方厘米)．‎ ‎【答案】412‎ 【例 1】 ‎(09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示，是半圆的直径，是圆心，，是的中点，是弦的中点．若是上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米．‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 如下图所示，连接、、．‎ 本题中由于、是半圆的两个三等分点，是的中点，是弦的中点，可见这个图形是对称的，由对称性可知与平行．由此可得的面积与的面积相等，所以阴影部分面积等于扇形面积的一半，而扇形的面积又等于半圆面积的，所以阴影部分面积等于半圆面积的，为平方厘米．‎ ‎【答案】2‎ ‎【巩固】如图，、是以为直径的半圆的三等分点，是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图，连接、、．‎ 由于、是半圆的三等分点，所以和都是正三角形，那么与是平行的．所以的面积与的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形的面积，为．‎ ‎【答案】18.84‎ 【例 1】 如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差．(取3)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是这样较为繁琐．由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积．‎ 如右图所示，可知弓形或均与弓形相同，所以不妨割去弓形．剩下的图形中，容易看出来与是平行的，所以与的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形的面积相等，而扇形的面积为，所以图中两块阴影部分的面积之差为．‎ ‎【答案】0.5‎ 【例 2】 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：设小正方形的边长为，则三角形与梯形 的面积均为．阴影部分为：大正方形梯形三角形右上角不规则部分大正方形右上角不规则部分圆．因此阴影部分面积为：．‎ 方法二：连接、，设与的交点为，由于四边形是梯形，根据梯形蝴蝶定理有，所以 ‎【答案】113.04‎ ‎【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(取3)‎ ‎ ‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎ (法1)观察可知阴影部分面积等于三角形的面积减去月牙的面积，那么求出月牙的面积就成了解题的关键．‎ 月牙的面积为正方形的面积减去四分之一圆：；‎ 则阴影部分的面积为三角形的面积减去月牙的面积，为：‎ ‎．‎ ‎(法2)观察可知和是平行的，于是连接、、．‎ 则与面积相等，那么阴影部分面积等于与小弓形的面积之和，也就等于与扇形的面积之和，为：．‎ ‎【答案】39‎ 【例 1】 如图，是等腰直角三角形，是半圆周的中点，是半圆的直径．已知，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取)‎ ‎ ‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接、、，如图，平行于，则在梯形中，对角线交于点，那么与面积相等，则阴影部分的面积转化为与圆内的小弓形的面积和．‎ 的面积为：；‎ 弓形面积： ；‎ 阴影部分面积为：．‎ ‎【答案】32.125‎ 【例 2】 图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为 ；()‎ ‎ ‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接小正方形,有图可见 ‎∵‎ ‎∴‎ 同理，∴‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎【答案】28.56‎ 【例 1】 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 假设最小圆的半径为，则三种半圆曲线的半径分别为，和．‎ ‎ 阴影部分的面积为：，‎ 空白部分的面积为：，‎ ‎ 则阴影部分面积与空白部分面积的比为．‎ ‎【答案】5:11‎ 【例 2】 ‎(西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．()‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 ‎⑴每个圆环的面积为：(平方厘米)；‎ ‎⑵五个圆环的面积和为：(平方厘米)；‎ ‎⑶八个阴影的面积为：(平方厘米)；‎ ‎⑷每个阴影的面积为：(平方厘米)．‎ ‎【答案】4.1‎ 【例 3】 已知正方形的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．()‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 ‎【答案】39.25‎ 【例 1】 如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(取3)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．‎ 如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【巩固】如图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(取3)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．‎ 解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．‎ 则阴影部分的面积为；‎ 解法二：连接AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，‎ 所以阴影部分面积．‎ ‎【答案】8‎ 【例 2】 ‎(四中考题)已知三角形是直角三角形，，，求阴影部分的面积．‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形的面积之差，所以阴影部分的面积为：()．‎ ‎【答案】3.85‎ 【例 1】 ‎（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是平方厘米，盖住桌面的总面积是平方厘米，张纸片共同重叠的面积是平方厘米.那么图中个阴影部分的面积的和 是平方厘米.‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 根据容斥原理得，所以（平方厘米）‎ ‎【答案】72‎ 【例 2】 如图所示，是一边长为的正方形，是的中点，而是的中点．以为圆心、半径为的四分之一圆的圆弧交于，以为圆心、半径为的四分之一圆的圆弧交于点，若图中和两块面积之差为(其中、为正整数)，请问之值为何？‎ ‎ ‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】国际小学数学竞赛 【解析】 ‎ (法1)，，‎ ‎，而 ‎，‎ 所以，，．‎ ‎(法)如右上图，，‎ ‎，‎ 所以，，故．‎ ‎【答案】11‎ ‎【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：．‎ ‎【答案】1.42‎ 【例 1】 如图，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半径AE6厘米，扇形CBF的半径CB4厘米，求阴影部分的面积．(取3)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分ABFD在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键．‎ 我们先确定ABFD的面积，因为不规则部分ABFD与扇形BCF共同构成长方形ABCD，‎ 所以不规则部分ABFD的面积为(平方厘米)，‎ 再从扇形ABE中考虑，让扇形ABE减去ABFD的面积，‎ 则有阴影部分面积为(平方厘米)．‎ 方法二：利用容斥原理(平方厘米)‎ ‎【答案】15‎ ‎【巩固】求图中阴影部分的面积．‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影部分面积半圆面积扇形面积三角形面积．‎ ‎【答案】41.04‎ ‎【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米，()‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 观察可知阴影部分是被以为半径的扇形、以为直径的半圆形和对角线分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形的面积减去扇形的面积，那么我们的思路就很清楚了．‎ 因为，‎ 所以扇形的面积为：(平方厘米)，‎ 那么左下边空白的面积为：(平方厘米)，‎ 又因为半圆面积为：(平方厘米)，‎ 所以阴影部分面积为：(平方厘米)．‎ ‎【答案】7.125‎ 【例 1】 如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 图中、两部分的面积分别等于右边两幅图中的、的面积．‎ 所以．‎ ‎【答案】‎ ‎【巩固】图中阴影部分的面积是 ．(取)‎ ‎ ‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面积．‎ 所分成的弓形的面积为：；‎ 另一部分的面积为：；‎ 所以阴影部分面积为：．‎ ‎【答案】1.92‎ 【例 1】 已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以、、为圆心，求阴影部分的面积．()‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积．而这一块的面积，等于大正方形的面积减去一个扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：‎ ‎(平方厘米)，所以阴影部分的面积为(平方厘米)．‎ ‎【答案】150‎ 【例 2】 一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是_____．(取3)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍．‎ 阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：‎ 每个角阴影部分面积为；‎ 那么圆无法运动到的部分面积为 ‎ 方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为 ‎【答案】1‎ 【例 3】 已知半圆所在的圆的面积为平方厘米，求阴影部分的面积．()‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算．从图中可以看出，阴影部分的面积是一个的扇形与一个等腰直角三角形的面积差．‎ 由于半圆的面积为平方厘米，所以．‎ 因此：(平方厘米)．‎ 由于是等腰直角三角形，所以．‎ 因此：扇形的面积(平方厘米)．‎ 所以，阴影部分的面积等于：(平方厘米)．‎ ‎【答案】5.7‎ 【例 1】 如图，等腰直角三角形ABC的腰为10；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 题目已经明确告诉我们ABC是等腰直角三角形，AEF是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来．‎ 等腰直角三角形的角A为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．‎ 而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即，‎ 则圆的面积为 ‎【答案】400‎ 【例 2】 如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC长．()‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成1个半圆和1个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了．‎ 因为阴影甲比阴影乙面积大7，也就是半圆面积比直角三角形面积大7．‎ 半圆面积为：，则直角三角形的面积为1577150，可得BC21502015．‎ ‎【答案】15‎ ‎【巩固】三角形是直角三角形，阴影的面积比阴影的面积小，，求的长度．‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于阴影的面积比阴影的面积小，根据差不变原理，直角三角形面积减去半圆面积为，则直角三角形面积为()，‎ 的长度为()．‎ ‎【答案】12.53‎ ‎【巩固】 如图，三角形是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，长40厘米．求的长度？(取)‎ ‎ ‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 图中半圆的直径为，所以其面积为．‎ ‎ 　　 有空白部分③与①的面积和为628，又②-①，所以②、③部分的面积和．‎ 有直角三角形的面积为．所以厘米．‎ ‎【答案】32.8‎ 【例 1】 图中的长方形的长与宽的比为，求阴影部分的面积．‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】十三分，入学测试题 【解析】 如下图，设半圆的圆心为，连接．‎ 从图中可以看出，，，根据勾股定理可得．‎ 阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，‎ 为：．‎ ‎【答案】244‎ 【例 1】 如图，求阴影部分的面积．(取3)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不能直接求出 它们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问题的方法了．‎ 阴影部分面积小圆面积中圆面积三角形面积大圆面积 ‎ ‎ ‎6‎ ‎【答案】6‎ 【例 2】 如图，直角三角形的三条边长度为，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 ‎，‎ 设半圆半径为，直角三角形面积用表示为：‎ 又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为，‎ 所以，‎ 所以 ‎【答案】‎ 【例 3】 大圆半径为，小圆半径为，两个同心圆构成一个环形．以圆心为顶点，半径为边长作一个正方形：再以为顶点，以为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为平方厘米，求环形面积．(圆周率取)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】华校第一学期，期中测试，第6题 【解析】 环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴影部分的面积，也就是平方厘米，那么环形的面积为：‎ ‎(平方厘米)．‎ ‎【答案】157‎ ‎【巩固】图中阴影部分的面积是，求圆环的面积．‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设大圆半径为，小圆半径为，依题有，即．‎ 则圆环面积为：．‎ ‎【答案】157‎ 【例 1】 已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是 ．(取)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】101中学，考题 【解析】 设图中大圆的半径为，正方形的边长为，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为，大圆的直径等于正方形的对角线长，即，得．‎ 所以，大圆的面积与正方形的面积之比为：，所以大圆面积为：；小圆的面积与正方形的面积之比为：，所以小圆的面积为：；两个圆的面积之和为：(平方厘米)．‎ ‎【答案】47.1‎ ‎【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是 平方厘米．(取)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设图中大圆的半径为，正方形的边长为，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为，大圆的直径等于正方形的对角线长，即，得．‎ 所以，大圆的面积与小圆的面积之比为：，‎ 即大圆的面积是小圆面积的2倍，大圆的面积为(平方厘米)．‎ ‎【答案】60‎ ‎【巩固】(2008年四中考题)图中大正方形边长为，小正方形的面积是 ．‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设图中小正方形的边长为，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为，而从图中可以看出，圆的直径等于小正方形的对角线长，所以，故，即小正方形的面积为．‎ ‎【答案】‎ ‎【巩固】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆的半径为，请问阴影部分的面积为多少平方厘米？(取)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】台湾小学数学竞赛选拔，复赛 【解析】 我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算．‎ 内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是．‎ 内圆的直径为中部正方形的边长，即为，中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中圈阴影部分面积是．‎ 中圆的直径的平方即为外部正方形的面积，即为，外部正方形的对角线的平方即为外圆的直径的平方，即为，所以外圈阴影部分的面积是．‎ 所以阴影部分的面积是(平方厘米)．‎ ‎【答案】8‎ 【例 1】 图中大正方形边长为，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中点连出一个正方形(如图)，在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？()‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 圆的直径也就是外切正方形的边长，它的长为：‎ ‎∴圆的面积为：‎ ‎【答案】12.56‎ 【例 2】 如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是9个圆，右图中阴影部分是16个圆．哪个图中阴影部分的面积大？为什么？‎ ‎ ‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设正方形的边长为，每一个圆的半径为，则正方形的每一条边上都有个圆，从而正方形内部共有个圆，于是这些圆的总面积为：．‎ 可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说阴影部分的面积只与正方形的边长有关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正方形的边长不变，那么阴影部分的面积就是一定的．‎ ‎ 由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等．‎ ‎【答案】相等 【例 3】 如图，在方格表中，分别以、、为圆心，半径为3、2、1，圆心角都是的三段圆弧与正方形的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比 ‎ ‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 如右图，仔细观察图形不难发现带形的面积等于曲边三角形的面积减去曲边三角形 ‎ 的面积，而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出．‎ 所以，的面积；‎ 同理可求得带形的面积：‎ 带形的面积曲边三角形的面积曲边三角形的面积；‎ 所以，．‎ ‎【答案】5:3‎ 【例 1】 如图中，正方形的边长是，两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？(圆周率取)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎．‎ ‎【答案】142.75‎ 【例 2】 如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15，是以C为圆心，AC为半径的圆弧． 求阴影部分面积．‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影部分是个月牙形，不能直接通过面积公式求，那么我们可以把阴影部分看成半圆加上三角形ABC再减去扇形ACB的结果．‎ 半圆面积为，‎ 三角形ABC面积为，又因为三角形面积也等于，‎ 所以，‎ 那么扇形ACB的面积为．‎ 阴影部分面积 ‎ ‎ ‎ 225 (平方厘米)‎ ‎【答案】225‎ 【例 1】 如下图所示，曲线和是两个半圆．平行于．如果大半圆的半径是1米，那么阴影部分是多少平方米？(取)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如左下图所示，弓形的面积等于扇形的面积与三角形的面积之差，为(平方米)，‎ 半圆的面积为(平方米)，‎ 所以阴影部分的面积为(平方米)．‎ ‎【答案】1.07‎ 【例 2】 在右图所示的正方形中，对角线长2厘米．扇形是以为圆心，以为半径的圆的一部分． 求阴影部分的面积．‎ ‎ ‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如右图所示，，．‎ 因为，‎ 所以阴影部分的面积为：‎ ‎(平方厘米)．‎ 另解：观察可知阴影部分面积等于半圆面积与扇形面积之和减去正方形的面积，所以阴影部分的面积为(平方厘米)．‎ ‎【答案】1.14‎ 【例 3】 某仿古钱币直径为厘米，钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧(如图)．求钱币在桌面上能覆盖的面积为多少？‎ ‎ ‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 将古钱币分成个部分，外部的个弓形的面积和等于大圆减去内接正方形，‎ 中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积，所以总面积等于：‎ ‎．‎ ‎【答案】10.84‎ 【例 1】 传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如右图)．那么，阴影部分的面积是 平方米．‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】小学生数学报 【解析】 等积变形，对应思想将中间的正三角形旋转如右图，图中阴影部分的面积与原图阴影部分的面积相等．由与，与面积相等，推知阴影部分占圆面积的一半．(平方米)．‎ ‎【答案】5‎ ‎【巩固】图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 根据图形特点，可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解：‎ 阴影部分甲的扇形三角形小弓形；‎ 阴影部分乙三角形小弓形；‎ 由于扇形的面积容易求得，所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积：‎ 综上所述：阴影部分甲的面积圆的面积的圆的面积的．所以甲、乙面积之比为．‎ ‎【答案】1:1‎ ‎【巩固】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如左下图)．那么，阴影部分的面积是多少平方米？‎ ‎ ‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 在这个题目中，阴影部分和空白部分都是不规则图形，那么我们既无法通过面积公式直接求出阴影部分面积，也无法通过求出空白部分面积，再用大圆面积减去空白部分面积求解，这个时候，我们只能利用整体思想，通过转化，寻找阴影部分与整体图形的关系．‎ 将原题图中的等边三角形旋转30°(注意，只转三角形，圆形不动)，得到右上图．因为、都是等边三角形，所以四边形是菱形，推知与面积相等．又因为弦所对的弓形与弦所对的弓形面积相等，所以扇形中阴影部分面积占一半．同理，在扇形、扇形中，阴影部分面积也占一半．所以，阴影部分面积占圆面积的一半，是(平方米)．‎ ‎【答案】5‎ ‎【巩固】如图，已知三角形是边长为26厘米的正三角形，圆的半径为厘米．‎ ‎　　　　．求阴影部分的面积．‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 直接解决．‎ ‎ 　　总阴影面积每块阴影面积(大弓形小弓形)．‎ ‎ 　　关键在于大弓形中三角形的面积，‎ ‎ 　　设为弧的中点，则可知是菱形，是正三角形，‎ ‎ 　　所以，三角形的面积．‎ ‎ 　　所以大弓形的面积： ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　．‎ ‎ 　　小弓形的面积：．‎ ‎　　　　所以，总阴影面积(平方厘米)．‎ ‎【答案】221.625‎ 【例 1】 如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积．‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影部分由两个相等的弓形组成，所以只需要求出一个弓形的面积就可以了．‎ 由已知条件，若分别连结，，，，，如图所示，就可以得到两个等边三角形(各边长均等于半径)，则，即．‎ 这样就可以求出以为圆心的扇形的面积，然后再减去三角形的面积，就得到弓形的面积，三角形的面积可采用面积公式直接求出，其中底是弦，高是的一半．‎ 所以，阴影部分面积 ‎(平方厘米)．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 下图中，，阴影部分的面积是 ‎ ‎ ‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 如图可知3，设大半圆半径为，小圆半径为，如右图，，根据勾股定理得 ‎，故大半圆面积等于小圆面积，由图可知 ‎【答案】4.5‎ 【例 1】 如图，是平行四边形，，，，高，弧、分别以、为半径，弧、分别以、为半径，则阴影部分的面积为多少？(精确到)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 因为四边形是平行四边形，，，，所以 ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ 因为平行四边形的高，所以．‎ ‎ 由图中可看出，扇形与的面积之和，减去平行四边形的面积，等于曲边四边形的面积；平行四边形的面积减去扇形与扇形的面积，等于曲边四边形的面积．则 ‎．‎ ‎【答案】5.83‎ 【例 2】 如图所示，两条线段相互垂直，全长为30厘米．圆紧贴直线从一端滚动到另一端(没有离开也没有滑动)．在圆周上设一个定点，点从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动时也接触到直线，而在圆滚动的全部过程中点是不接触直线的．那么，圆的半径是多少厘米？(设圆周率为3．14，除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位．如有多种答案请全部写出)‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如上图：因为在圆滚动的全部过程中点是不接触直线的，所以这个圆的运动情况有两种可能．一种是圆滚动了不足一圈，根据点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了270º．另一种是圆在第一条直线上滚动了将近一圈，在第二条直线上又滚动了将近一圈，根据点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了．‎ 因为两条线段共长30厘米，所以270º的弧长或者630º的弧长再加上两个半径是30厘米．‎ ‎(厘米)，或者(厘米)，所以圆的半径是厘米或厘米．‎ ‎【答案】2.31‎ 【例 1】 将一块边长为厘米的有缺损的正方形铁皮(如图)剪成一块无缺损的正方形铁皮，求剪成的正方形铁皮的面积的最大值.‎ 图1 图2 图3‎ ‎【考点】圆与扇形 【难度】5星 【题型】解答 ‎【关键词】希望杯 【解析】 如图所示，使(厘米)，则正方形的面积为 (平方厘米).如图所示，使(厘米)，则正方形的面积为()(平方厘米).‎ 如图所示，连结交曲线于点，使.观察图可知(厘米).(注：的长度在()厘米之间均可．)于是正方形的面积为(平方厘米).‎ 因为，所以剪成的正方形铁皮的面积最大为平方厘米. ‎ ‎【答案】110.25‎